2.1 유도전동기의 구조 및 특성

유도전동기는 전기 에너지를 기계적 에너지로 변환하는 전동기이며, 고정자와 회전자라는 두 주요 구성 요소로 이루어진다. 일반적으로 산업 현장에서 널리 사용되는 3상 농형 유도전동기의 고정자는 3상 교류 권선으로 구성되어 있으며, 회전자는 주로 도체 막대로 이루어진 사다리꼴 구조를 가진다. 고정자에 인가된 3상 교류 전류는 회전자계를 생성하고, 이 회전자계에 의해 회전자 내부 도체에 전자기 유도에 의한 전류가 흐르게 된다. 이후 유도된 전류와 회전자계 사이의 전자기력 상호작용으로 인해 회전자는 회전하게 된다.

유도전동기는 기계적 구조가 단순하고 내구성이 우수하며, 유지보수 비용이 낮다는 장점 덕분에 다양한 산업 시스템에 널리 적용되고 있다. 특히 100kW급 이상의 대형 모터가 요구되는 공업용 팬, 급수 시스템, 산업용 펌프와 같은 부하에 적합하며, 장시간 운전 시에도 안정적인 성능을 보인다. 그러나 동기기와 달리 회전자 속도가 회전자계를 따라 정확히 일치하지 않고 약간 느린 속도로 회전하며, 이를 ‘슬립’이라 한다. 이로 인해 정확한 속도 제어가 상대적으로 어려운 단점이 존재한다.

2.2 유도전동기의 수학적 모델링

일반적인 3상 유도전동기의 고정자와 회전자 회로는 각각 (1)-(2)와 같은 전압 방정식으로 표현된다^[13].

여기에서 ${ v}_{abc}$, ${i}_{abc}$, ${}\psi_{abc}$는 각각 3상 전압, 전류, 쇄교 자속이고, 밑 첨자 $s$와 $r$은 고정자와 회전자를 의미한다. ${}{R}$은 도선 저항이며, $d/dt$는 미분을 의미한다. 쇄교 자속은 유도전동기의 상호 인덕턴스를 고려하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기에서 ${}{L}$, ${}{L}_{sr}$은 각각 인덕턴스, 상호 인덕턴스 성분이다. 3상 모델은 시간에 따라 변하는 성분을 포함하므로, 해석과 제어에 어려움이 있다. 이에 따라 3상 abc 좌표계를 2축 좌표계로 변환하여 시스템을 단순화한다. 변환 방식으로는 고정 좌표계(Clarke 변환) 또는 회전 좌표계(Park 변환)를 사용할 수 있으며, 본 연구에서는 Clarke 변환을 기반으로 한 고정 좌표계(d-q 축) 모델을 채택한다.

여기에서 고정 좌표계에서의 d-q축 전압, 전류, 자속은 각각 $v_{ds}$, $v_{qs}$, $i_{ds}$, $i_{qs}$, $\psi_{ds}$, $\psi_{qs}$이고, $\omega$는 좌표계의 회전 속도이다. 변환한 좌표계의 식에는 $\omega\psi_{ds}$, $\omega\psi_{qs}$로 표현되는 속도 전압 항이 존재한다^[10]. 고정 좌표계에서는 좌표계가 움직이지 않으므로 $\omega$는 0이다.

고정자 자속은 전류와 인덕턴스를 기반으로 다음과 같이 표현된다.

여기에서 $L_{ls}$, $L_{ms}$는 고정자의 누설, 자화 인덕턴스이다.

본 연구에서는 자속 기반의 속도 추정을 위해 고정 좌표계로 모델을 구성하였으며, 이후 절에서 이를 상태 공간 형태로 정리하고 관측기 설계에 활용한다.

3.1 연속 시간 자속 관측기

유도전동기의 속도 추정을 위해 먼저 연속 시간 영역에서의 자속 관측기를 구성할 수 있다. 일반적으로 유도전동기의 모델은 식 (7)과 같이 표현되며^[14], 이 시스템에 대해 루엔버거(Luenberger) 구조의 연속 시간 자속 관측기는 식 (8)과 같이 구성된다^[15].

여기에서 $A_{11}=-(\dfrac{R_{s}^{*}}{\sigma L_{s}})I +\omega J$,

$A_{12}=(\dfrac{R_{r}}{\sigma L_{s}L_{r}})I -(\dfrac{\omega}{\sigma L_{s}})J,\: A_{21}=-R_{s}I,\: A_{22}=\vec{0},\:$

$B_{1}=(\dfrac{1}{\sigma L_{s}})I,\: B_{2}=I,\: K = 5\dfrac{R_{r}}{\sigma L_{s}L_{r}R_{s}},\:$

$G_{1}=A_{11}+A_{12}-KA_{21},\: G_{2}=(1-K)A_{21},\: R_{s}^{*}=R_{s}+\dfrac{L_{s}R_{r}}{L_{r}},\:$

$\sigma =1-\dfrac{M^{2}}{L_{s}L_{r}},\: I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\: J=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},\: \vec{0}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$ 이다.

이 관측기 구조는 회전자 속도에 따라 동적으로 변화하는 시스템 행렬 ${}{A}$에 대응할 수 있도록 설계된다. 그러나 관측기의 극점 위치가 속도에 따라 변하게 되며, 특히 저속 영역에서는 극점이 허수축 근처로 이동하여 시스템 응답이 느려지는 문제가 발생한다. 이러한 현상은 저속 운전 시 추정 오차가 커질 수 있는 주요 원인 중 하나이다. 따라서, 연속 시간 자속 관측기는 자속 추정이 가능한 구조이긴 하나, 샘플링 기반의 실제 시스템에 직접 적용할 경우 성능 저하 및 구현 복잡성이 발생할 수 있다. 이러한 한계를 극복하기 위해 다음 절에서는 이 시스템을 이산화하여 구현 가능한 형태로 확장한 이산 시간 자속 관측기를 제안한다.

3.2 이산 시간 자속 관측기

연속 시간 영역에서의 자속 관측기는 시스템의 연속적인 동특성을 기반으로 설계되므로, 실제 디지털 제어 환경에 직접 적용하기 위해서는 이산화 과정이 필요하다. 특히 샘플링 주기에 따라 관측기의 성능이 저하되거나, 구현의 복잡성이 증가하는 문제가 발생할 수 있다. 따라서 본 절에서는 이산 시간에서의 자속 관측기 구조를 수학적으로 정리하고, 이를 기반으로 속도 추정에 적합한 구조를 설계한다.

연속 시간의 상태 방정식을 샘플링 시간 $h$를 포함하는 (9)-(11)을 통해 (12)-(13)과 같이 이산 시간 형태로 변환할 수 있다^[16].

이산 시간 시스템에서 루엔버거 형태의 자속 관측기를 구성하면 식 (14)와 같다.

여기에서 ${ K}$는 관측기 궤환 이득, $[k|k-1]$은 $k-1$시점에서 연산한 $k$시점의 추정값이다.

회전자 속도 $\omega_{r}$에 따라 변화하는 ${}\Phi$, ${}\gamma$, ${ K}$는 낮은 회전자 속도 구간에서 ${ K}$ 행렬의 일부 성분을 제외한 나머지 성분들은 회전자 속도에 따른 변화량이 작다. 따라서 실제 회전자 속도가 아닌 지령 회전자 속도를 사용해도 고정자 자속 관측 성능에 큰 영향을 끼치지 않는다. 또한 각 행렬 성분을 2차, 3차, 지수 함수의 조합으로 표현할 수 있으므로 함수 표현을 통해 속도에 따른 행렬 변화를 간단히 표현하여 관측기를 구성할 수 있다^[17]. 그러나 저속에서 큰 관측기 이득으로 인한 진동 성분을 줄이기 위해 저속에서는 일정한 속도를 인가하여 안정적으로 관측기가 동작할 수 있도록 한다.

3.3 자속을 이용한 속도 추정

자속 관측기를 이용하여 추정한 고정 좌표계에서의 고정자 자속을 다음의 (15)-(16)을 이용하여 고정 좌표계의 회전자 자속으로 변환할 수 있다.

자속 각$\theta_{e}$는 고정 좌표계에서 회전 좌표계로 변환하기 위한 기준이 되며, 이를 이용하여 고정 좌표계의 고정자 전류를 회전 좌표계로 변환하면 식 (18)과 같다.

회전 좌표계의 q축 전류 $i_{ds}^{e}$를 사용하여, 다음의 식 (19)와 같이 회전 좌표계에서의 고정자 자속 $\lambda_{dr}^{e}$를 계산할 수 있다.

마지막으로 슬립 $\omega_{sl}$는 (18)-(19)의 결과를 이용하여 식 (20)과 같이 계산할 수 있으며, 이를 지령 속도에서 빼주어 추정 속도를 구한다.

4.1 모의실험 구성

본 연구에서 제안한 이산 시간 자속 관측기 기반의 속도 추정 방식의 유효성을 검증하기 위해 MATLAB/Simulink 기반의 모의실험을 수행하였다. 모의실험에서 V/f 제어의 주기는 1ms로 설정하였으며, 자속 관측기와 관련된 연산 주기는 보다 빠른 응답을 위해 0.1ms로 구성하였다. 인버터 구동을 위한 SVPWM(Space Vector Pulse Width Modulator)의 스위칭 주파수는 5kHz로 설정하였다. 또한, 시스템에서 측정된 3상 고정자 전압 및 전류는 Clarke 변환을 통해 고정 좌표계로 변환되며, 이 변환된 전류 성분을 자속 관측기의 입력으로 사용하여 자속을 추정한다. 추정한 고정자 자속을 통해 회전자 자속을 계산하여 자속 각을 구한다. 자속 각을 이용하여 자속과 전류를 회전 좌표계로 변환, 회전 좌표계에서의 자속 및 전류를 이용하여 속도를 추정한다. 모의실험의 Solver는 고정 시간 간격(Fixed-step) 방식으로 구성되었으며, 수치 해석 알고리즘은 Runge-Kutta method를 적용하였다. 표 1은 시뮬레이션에서 사용된 유도전동기의 주요 파라미터이다.

그림 1. 모의실험을 위한 시뮬레이터 구성도

Fig. 1. Simulator Configuration Diagram for Simulations

4.2 모의실험 결과

제안한 이산 시간 자속 관측기를 이용한 속도 추정 기법의 성능을 검증하기 위해, 정격 부하의 30% 및 50% 조건에서 모의실험을 수행하였다. 모의실험은 초기 4초 동안 회전자 속도를 2400rpm까지 선형적으로 가속한 후, 이후 20초 동안 목표 속도를 유지하는 방식으로 진행하였다. 24초 이후부터 정격 부하의 30% 또는 50%를 인가하여 실제 속도와 추정 속도 간의 차이를 분석하였다.

그림 2는 정격 부하의 30%를 인가한 조건에서 수행한 모의실험 결과를 나타낸다. 그림 2(a)는 모의실험 전체 시간 동안의 회전자 속도 및 부하 토크 응답을 보여주며, 그림 2(b)는 정상상태에서 부하 인가 시 속도 및 토크 응답 특성을 나타낸다. 그림에서 녹색 선은 지령 회전자 속도, 청색 선은 실제 회전자 속도, 적색 선은 추정 회전자 속도, 흑색 선은 부하 토크를 각각 나타낸다. 모의실험 결과, 전체적으로 추정 속도가 실제 속도를 안정적으로 추정하는 것을 확인할 수 있었다. 특히 정격 부하의 30% 인가 후에도 추정 속도는 실제 속도의 변동을 안정적으로 추종하였다.

그림 3은 정격 부하의 30%를 인가한 조건에서 실제 속도와 추정 속도의 속도 오차$(\omega_{r}-\hat{\omega}_{r})$를 나타낸다. 그림 3(a)는 모의 실험 전체 시간 동안의 속도 오차를, 그림 3(b)는 정상상태에서 정격 부하의 30\%를 인가 시 속도 오차를 보여준다. 영속도 부근에서는 161.07rpm, 부하 변동 구간에서는 최대 32.70rpm 수준의 속도 오차가 발생하는 것으로 나타났다. 그러나 정상 상태 구간에서는 오차가 매우 작아, 무부하 조건에서 0.57rpm, 정격 부하 30\% 인가 시 0.71rpm의 속도 오차를 유지하였다. 정상상태에서의 속도 오차율은 0.03\%로 안정적인 속도 추정 성능을 확인할 수 있었다.

그림 2. 모의실험에서 정격 부하의 30% 인가 시 속도 및 토크 응답 (a) 전 구간 (b) 정상상태

Fig. 2. Speed and torque response at 30% rated load torque in simulation (a) Overall (b) steady-state

그림 3. 모의실험에서 정격 부하의 30% 인가 시 속도 오차 (a) 전 구간 (b) 정상상태

Fig. 3. Speed error at 30% rated load torque in simulation (a) Overall (b) steady-state

그림 4는 정격 부하의 50%를 인가한 조건에서 수행한 모의실험 결과를 나타낸다. 그림 4(a)는 모의실험 전체 시간 동안의 회전자 속도 및 토크 응답을, 그림 4(b)는 정상상태에서 정격 부하의 50% 인가 시 회전자 속도 및 토크 응답을 나타낸다. 부하가 30%에서 50%로 증가하였음에도 불구하고 실제 속도와 추정 속도 간의 차이는 크지 않으며, 제안한 속도 추정 기법이 부하 변동에도 안정적인 성능을 유지함을 확인하였다.

그림 4. 모의실험에서 정격 부하의 50% 인가 시 속도 및 토크 응답 (a) 전 구간 (b) 정상상태

Fig. 4. Speed and torque response at 50% rated load torque in simulation (a) Overall (b) steady-state

그림 5는 정격 부하 50% 인가 시의 속도 오차를 나타낸다. 그림 5(a)는 전 구간에서의 속도 오차, 그림 5(b)는 정상상태에서 정격 부하의 50% 인가 시 속도 오차를 보여준다. 전체적인 속도 오차 양상은 정격 부하 30\% 인가 시와 유사하게 나타났으며, 정격 부하의 50% 조건에서의 평균 속도 오차는 약 0.97rpm으로 나타났다. 부하 인가 시 오차율은 0.04%으로 정격 부하의 50% 인가 시에도 매우 안정적인 속도 추정 특성을 나타낸다.

모의실험 결과를 종합하면, 제안한 이산 시간 자속 관측기를 이용한 속도 추정 방식은 정격 부하의 30%와 50% 조건에서 실제 속도와 추정 속도간의 속도 오차가 정상 상태에서 0.5~1rpm 이내의 범위를 유지하였다. 이는 부하 변동에도 안정적인 속도 추정 성능을 보여주며, 이를 통해 실시간 제어 시스템에서도 충분히 적용가능한 성능을 확보한 것으로 판단된다.

그림 5. 모의실험에서 정격 부하의 50% 인가 시 속도 오차 (a) 전 구간 (b) 정상상태

Fig. 5. Speed error at 50% rated load torque in simulation (a) all (b) steady-state

5.1 실험 구성

본 논문에서 제안한 이산 시간 자속 관측기 기반의 속도 추정 방식의 유효성을 검증하기 위해 그림 6과 같이 실험을 구성하였다. 그림 6(a)는 실험에 사용한 M-G set이며, 동일한 5.5kW 유도전동기로 구성하였다. 두 전동기는 커플링을 통해 연결되고 그사이에 속도/토크 센서를 결합했다. 실험에서 왼쪽에 있는 유도전동기는 부하로 사용되며, 오른쪽에 있는 유도전동기는 제어 시스템과 연결된다. 그림 6(b)는 실험에 사용된 제어 시스템 구성이다. 제어 시스템에서 컨트롤러는 지령 동기 속도에 따른 지령 전압을 생성하고, SVPWM을 사용해 IGBT 스위칭 신호를 생성한다. 이 신호는 Power Module을 통해 유도전동기에 전원을 인가하는 데 사용된다. 또한 측정한 전류와 지령 전압을 기반으로 고정 좌표계의 고정자 자속을 추정한다. 추정한 고정자 자속으로부터 회전자 자속을 계산하고, 자속 각을 구하여 고정 좌표계의 전류와 자속을 회전 좌표계로 변환한다. 결과적으로, 회전 좌표계의 전류와 자속을 이용하여 속도를 추정한다. 제어 시스템의 제어 주기는 모의실험과 같이 V/f 제어는 1ms. 이산 자속 관측기와 피드 포워드 보상은 0.1ms, SVPWM의 스위칭 주파수는 5kHz이다. 속도/토크 Display와 MCU와 PC 간 실시간 모니터링 프로그램 솔루션을 제공해주는 Green Power 사의 easy DSP를 통해 속도, 토크, 프로그램 변수와 고정자 3상 전류를 확인할 수 있고, Controller의 Analog Output 단자와 오실로스코프를 연결하여 데이터를 확인 및 저장한다.

그림 6. 실험을 위한 장비 구성 (a) M-G Set (b) 제어 시스템

Fig. 6. Configure the equipment for the experiment (a) M-G Set (b) Control System

5.2 실험 결과

실험은 모의실험과 동일한 지령 속도 및 부하 인가 조건을 적용하여 진행하였다, 4초 동안 지령 속도로 가속하였으며, 20초 후 부하를 인가하여 실제 속도와 추정 속도를 비교하였다.

그림 7은 정격 부하의 30% 인가 시 실험 결과를 나타낸다. 그림 7(a)는 전체 실험 시간 동안 회전자 속도 및 토크 응답이며, 그림 7(b)는 정격 부하의 30\%를 인가하였을 때의 회전자 속도 및 토크 응답, 그림 7(c)는 추정 자속이다. 그림에서 녹색은 지령 회전자 속도, 청색은 실제 회전자 속도, 적색은 추정 회전자 속도, 흑색은 부하 토크를 나타낸다. 그림 7(a)를 통해 전 구간에서 추정 속도가 전반적으로 실제 속도를 추정함을 확인할 수 있으며, 그림 7(b), 그림 7(c)를 통해 부하가 급격히 변화하는 상황에서도 속도 및 자속을 안정적으로 추정함을 확인할 수 있다.

그림 7. 정격 부하의 30% 인가 시 실험 결과 (a) 전 구간 (b) 정상상태 (c) 추정 자속

Fig. 7. Experiment result at 30% rated load (a) Overall (b) Steady-state (c) estimated flux

그림 8은 실험에서 정격 부하의 30%를 인가하였을 때 의 실제 속도와 추정 속도간의 속도 오차$(\omega_{r}-\hat{\omega}_{r})$를 나타낸다. 그림 8(a)는 전체 실험 시간 동안의 속도 오차, 그림 8(b)는 정격 부하의 30%를 인가하였을 때의 속도 오차이다. 영속도 부근에서 자속 추정이 어려워 속도 오차가 120rpm까지 커졌으나, 이는 빠르게 줄어들어 정상상태에서는 전반적으로 $\pm $8rpm 이내의 속도 오차를 보인다. 이는 오차율로 환산하면 약 0.33% 수준에 해당하여 안정적으로 실제 속도를 추정하고 있음을 보인다. 또한, 속도 오차가 0rpm을 중심으로 대칭적으로 분포하는 경향을 보였으며, 이는 추정 속도가 실제 속도의 전반적인 추세를 효과적으로 반영하고 있음을 의미한다.

그림 8. 실험에서 정격 부하의 30% 인가 시 속도 오차 (a) 전 구간 (b) 정상상태

Fig. 8. Speed error at 30% rated load torque in experiment (a) Overall (b) steady-state

그림 9는 정격 부하의 50%를 인가하였을 때의 실험 결과를 나타낸다. 그림 9(a)는 전체 실험 시간 동안의 회전자 속도 및 토크 응답이며, 그림 9(b)는 정격 부하의 50%를 인가하였을 때의 회전자 속도 및 토크 응답, 그림 9(c)는 추정 자속이다. 그림 9(a)를 통해 부하가 30%에서 50%로 더 커졌음에도 전 구간에서 안정적으로 속도를 추정함을 확인할 수 있으며, 그림 9(b), 그림 9(c)를 통해 부하가 더 급격히 변화하는 상황에서도 여전히 속도 및 자속을 안정적으로 추정함을 확인할 수 있다.

그림 9. 정격 부하의 50% 인가 시 실험 결과 (a) 전 구간 (b) 정상상태 (c) 추정 자속

Fig. 9. Experiment result at 50% rated load (a) Overall (b) Steady-state (c) estimated flux

그림 10. 실험에서 정격 부하의 50% 인가 시 속도 오차 (a) 전 구간 (b) 정상상태

Fig. 10. Speed error at 50% rated load torque in experiment (a) Overall (b) steady-state

그림 10은 정격 부하의 50%를 인가하였을 때의 실제 속도와 추정 속도간의 속도 오차$(\omega_{r}-\hat{\omega}_{r})$를 나타낸다. (a)는 전체 실험 시간 동안의 속도 오차, (b)는 정격 부하의 50\%를 인가하였을 때의 속도 오차이다. 정격 부하가 50%로 증가해도 30%를 인가하였을 때와 유사한 결과를 보인다. 즉, 영속도 부근에서 120rpm의 오차를 보이며 정상상태 도달 이후 전반적으로 $\pm $8rpm 이내의 속도 오차를 보인다. 또한 속도 오차가 0rpm을 중심으로 대칭적으로 분포하는 것으로 보이며, 이는 부하의 급격한 변동에도 추정 속도가 실제 속도의 전반적인 추세를 효과적으로 반영하고 있음을 의미한다.