1. 서 론
자연계에 존재하는 많은 시스템에서 시간 지연은 흔하게 존재하며, 이들은 시스템의 성능을 나쁘게 하는 요인으로 작용하고, 더 나아가 시스템의 안정성까지도
위협하는 요소로 작용한다. 이러한 이유로 시간 지연 시스템의 안정성 문제에 관한 많은 연구가 진행됐고 현재에도 매우 활발히 연구되고 있는 주제이다(book[2,5]과 review paper [9,13] 참고). 시간에 따라 변화하는 시간 지연을 갖는 선형 시스템의 안정성 문제를 효과적으로 다루기 위해 다음의 미분 방정식으로 기술되는 시간 지연 선형시간
시스템을 생각하자.
여기서 $x(t)\in{R}^{n}$은 상태, $A,\: A_{d}\in{R}^{n\times n}$은 시스템 행렬들, $\phi(\theta)$는
초기 상태, 그리고 $d(t)$는 연속인 시간 지연을 나타낸다.
시간 지연 시스템 (1)의 안정성 문제는 시스템 (1)의 안정성을 보장하는 범위 내에서 시간 지연의 최대 크기 $h$와 이의 시간 미분 $\mu_{1},\: \mu_{2}$간의 관계를 구하는 것이다.
이를 위하여 이용되는 가장 대표적인 방법이 LKF(Lyapunov Krasovskii functional) 접근방법이다. 이 방법은 적당한 하나의
LKF 후보 함수를 정한 후, 이 LKF 후보 함수의 시스템 (1)의 궤적에 따른 시간 미분이 모든 시간에서 음이 되게 하는 LMI(linear matrix inequality) 조건을 구하는 것이다[2,5]. 가장 대중적인 LKF 후보 함수는 다음 형식이며
이는 증강 변수를 포함한 이차함수(quadratic function), 이차함수 적분과 이차함수 가중 적분을 포함한다[2,5]. 이 LKF 후보 함수의 시간 미분을 구하면 가중 적분 항으로부터 나온 다음 이차함수 항이
곧바로 LMI로 표현할 수 없기에, Jensen 부등식을 포함한 많은 형태의 적분 부등식들[4,8,9,13]과 비선형 부등식을 선형 부등식으로 변환하기 위한 상호 볼록 부등식(reciprocally convex inequality)[7]과 자유 행렬 기반 부등식[8,12] 등이 제시되었다(review paper[9,13] 참고).
지금까지의 대부분 안정성 결과는 $\forall d(t)\in[0,\: h]$에 대하여 하나의 LKF 후보 함수를 사용했다[2,5]. 하지만 시간 지연 구간에 따라 서로 다른 LKF 후보 함수를 적용할 수만 있으면 좀 더 나은 결과의 예측은 상식적이다. 이를 위해 지연 구간 $[0,\:
h]$를 두 구간 $[0,\: h_{1}],\: [h_{1},\: h]$로 나누어 서로 다른 LKF의 사용을 시도하였다. 먼저 Fridman[3]은 비적분 이차함수에 존재하는 가중행렬을 각 구간에서 연속이지만 서로 다른 함수를 사용한 결과를 제시하였다. 최근에 Kim[15,17]은 이를 좀 더 일반화하여 다중 LKF 후보 함수의 필요조건을 제시하고, 비적분 항뿐만 아니라 적분 항까지도 $\lim_{b\to a}\int_{a}^{b}(\cdot)ds=0$의
사실을 이용하여 두 구간에 서로 다른 LKF 함수를 도입하여 개선된 안정성 결과를 보였다. 이 결과는 $d(t)\in[0,\: h_{1}]$와 $d(t)\in[h_{1},\:
h]$인 두 경우를 생각했지만, LKF 함수의 적분 구간은 모두 $[t-h,\: t]$이어서 도입된 증강 변수의 숫자가 같다.
이 논문에서는 이를 개선하기 위해 LKF 함수의 적분 구간을 두 개의 구간에서 서로 다르게 한다. 즉 제1구간 $d(t)\in[0,\: h_{1}]$인
경우에는 LKF 함수 적분 구간을 $[t-d(t),\: t]$로하고, 제2구간 $d(t)\in[h_{1},\: h]$인 경우에는 LKF 함수 적분
구간을 $[t-d(t),\: h_{1}]$과 $[t-h_{1},\: t]$의 합으로 한다. 그리고 제2구간의 적분 구간 $[t-h_{1},\:
t]$에서 함숫값은 제1구간 $[t-d(t),\: t]_{d(t)=h_{1}}$과 같게 함으로, 두 LKF 함수의 연속성이 보장된다. 이 방식은
각 구간에 도입된 증강 변수가 다르며 제1구간은 제2구간에 비하여 적다. 다음으로 새로이 정의된 LKF 들을 바탕으로 기존의 결과를 개선한 안정성
결과를 LMI 형태로 제시한다. 끝으로 제시된 결과는 잘 알려진 대표적 두 개의 예제를 통하여 이의 우수성을 보인다.
2. 새로운 지연 구간 종속 LKF 후보 함수
시간 종속 시간 지연 안정성 결과를 얻기 위해 채택된 대부분의 LKF 후보 함수는 위 수식 (2)에 제시된 형식을 가지며, 대부분의 노력은 (3)의 상한을 좀 더 나은 결과를 얻는 LMI로 표시하는 데 기울여왔다. 하지만 시간 지연 구간에 따라 서로 다른 LKF 후보 함수를 이용할 수 있으면,
좀 더 나은 결과를 얻을 수 있음은 예측이 가능한 사실이다.
일반적으로, 구간 종속이면서 각 구간에서 LKF 함수로써 필요조건을 만족하고 전체 구간에서 연속인 함수 $v(x_{t})$는
LKF 후보 함수의 필요조건을 만족하며, 만약 각 구간에서 시스템 궤적에 따른 시간 미분이 다음을 만족하면
시스템은 점근적으로 안정하다. 이를 처음으로 실현한 결과가 Fridman[3]이고, 그들은 LKF (2)에서 증강 변수가 포함된 비적분 이차함수의 가중행렬을 구간에 따라 다르지만 경계에서는 동일한 $P_{1}(h_{1})= P_{2}(h_{1})$ 다음
가중행렬을
사용하여 개선된 결과를 얻었다. 또한, 최근에 Kim[15,17]은 이차함수뿐만 아니라, 이차함수의 적분까지도 지연 구간에 따라 서로 다른 행렬들 $P_{0},\: P_{1},\: P_{2},\: S_{1},\:
S_{2}$을 도입하여, 다음에 기술되는 LKF를 이용하여
기존의 결과를 개선한 안정성 결과를 제시하였다. 여기서 $v(x_{t})$는 (2)의 값이다.
본 논문에서는 이를 더욱 개선하여, 구간 $d(t)\in[0,\: h_{1}]$구간에서 먼저 LKF 후보 함수 $v_{1}(x_{t})$를 정하고,
이를 토대로 $d(t)\in[h_{1},\: h]$에서 LKF 후보 함수 $v_{2}(x_{t})$를 정하는 방식을 채택한다.
여기서 $v_{a}(x_{t})$는 구간 $d(t)\in[h_{1},\: h]$에서 정의되는 이차함수로써 $\left[v_{a}(x_{t})\right]_{d(t)=
h_{1}}=0$ 이면서 $v_{a}(x_{t})> 0,\: \forall\xi_{t}\neq 0$를 만족하는 함수이고 자세한 것은 뒤의 수식 (13)에 있다. 이렇게 정한 $v(x_{t})$는 (4)를 만족하므로 LKF 후보 함수의 조건을 만족한다.
Remark 1. LKF (6)과 (7)의 차이점은 적분 구간의 차이이다. 함수 (6)의 적분 구간은 모두 $[t-h,\: t]$이나, (7)에서 $v_{1}(x_{t})$의 적분 구간은 $[t-d(t),\: t]$, $d(t)\in[0,\: h_{1}]$이고, $v_{2}(x_{t})$의
적분 구간은 $[t-d(t),\: t -h_{1}]\cup[t- h_{1},\: t]$, $d(t)\in[h_{1,\: }h]$로 서로 다르다.
이로써 LKF 후보 함수의 시간 미분의 상한에 사용되는 벡터의 크기가 서로 다르다.
다음은 잘 알려진 보조정리 1로써 (i)는 Wirtinger 기반 적분 부등식[4]이고, (ii)는 자유 행렬 기반 적분 부등식[8]이다. 이들은 다음의 주요 결과에서 LMI 형태의 결과를 얻는 데 사용된다.
보조정리 1 : 실수 $a<b$, 양 확정 행렬 $0<X =X^{T}\in R^{n\times n}$, $\hat{X}= diag\{X,\: 3
X,\: 5 X\}$, $w\in{R}^{n}$라 하자. 그러면 적당한 차원의 행렬 $L$ 과 벡터 $\xi$에 대하여 다음이 성립한다.
여기서 본 논문에서는 다음의 벡터 $\xi\in R^{4n}$를 사용한다.
그리고, 다음에 사용될 벡터들을 다음과 같이 정의하자.
여기서 두 벡터 $\xi_{t1}$와 $\xi_{t2}$는 각각 $d(t)\in[0,\: h_{1}]$와 $d(t)\in[h_{1},\: h]$의
각 영역에서 선정된 LKF의 시간 미분이 음임을 보이는 데 사용되는 서로 다른 크기의 벡터들이다.
3. 주요 결과
다음 정리 1은 시간 지연 시스템 (1)의 안정성 결과로써, 위 (7)에 기술된 형태의 시간 지연 구간 종속 LKF 후보 함수를 이용한 주요 결과이다.
정리 1 : 양 확정 행렬 $P_{0,\: }P_{1}\in{R}^{4n\times 4n},\:$ $X_{0}\in{R}^{9n\times 9n},\:$
$S_{0},\: S_{1}\in{R}^{3n\times 3n},\:$ $Q_{1},\: Q_{2}\in$${R}^{2n\times 2n},\:$
$R_{1},\: R_{2}\in$${R}^{n\times n},\:$ 일반행렬$L_{i}\in{R}^{3n\times 4n},\:$ $M_{i}\in{R}^{7n\times
2n},\: N_{i}\in{R}^{11n\times 2n},\: $ $i\in[1,\: 2]$ 들이 존재하여 다음 LMI를 $\dot{d}(t)=\mu_{1},\:
\mu_{2}$에 대하여 만족하면
(i) $\omega_{1}(0,\: \dot{d}(t))<0,\:$
(ii) $\begin{bmatrix}\omega_{1}(h_{1,\: }\dot{d}(t))&& h_{1}G_{7}^{T}L_{1}^{T}\\\star
&&- h_{1}\hat{R_{1}}\end{bmatrix}<0,\:$
(iii) $\omega_{2}(h_{1,\: }\dot{d}(t))<0,\:$
(iv) $\begin{bmatrix}\omega_{2}(h,\: \dot{d}(t))&&(h - h_{1})E_{11}^{T}L_{2}^{T}\\\star
&&-(h- h_{1})\cdot\hat{R_{2}}\end{bmatrix}<0,\:$
시간 지연을 갖는 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 여기서
이고, 여기에 사용된 벡터와 행렬들은 다음과 같다.
(10)
$g_{i}=[0_{n\times(i-1)n}I_{n\times n}0_{n\times(7- i)n}],\: i=1,\: 2,\: \cdots ,\:
7,\: \\ g_{0}=0\cdot g_{1},\: \widetilde{g_{2}}=(1-\dot{d})g_{2},\: \widetilde{g_{3}}=(1-\dot{d})g_{3},\:
A_{c1}=Ag_{1}+A_{d}g_{2},\: $
$\hat{R_{i}}= diag\left\{R_{i},\: 3R_{i},\: 5R_{i}\right\},\: i=1,\: 2,\:$
$G_{1}= co l\left\{g_{1},\: g_{2},\: g_{6},\: g_{7}\right\},\: \\ G_{2}= co l\left\{A_{c1},\:
\widetilde{g_{3}},\: g_{1}-\widetilde{g_{2}},\: -\dot{d}g_{5}+ g_{1}+(\dot{d}-1)g_{4}\right\},\:
$
$G_{3}= co l\left\{g_{1},\: A_{c1}\right\},\: G_{4}= co l\left\{g_{2},\: g_{3}\right\},\:
\\ G_{5}= co l\left\{g_{1}- g_{2},\: g_{1}+ g_{2}- 2 g_{4},\: g_{1}- g_{2}+ 6 g_{4}-
12 g_{5}\right\}$
$G_{6}= co l\left\{d\cdot g_{4}- g_{6},\: d\cdot g_{5}- g_{7}\right\},\: G_{7}= co
l\left\{g_{1},\: g_{2},\: g_{4},\: g_{5}\right\},\:$
$e_{i}=[0_{n\times(i-1)n}I_{n\times n}0_{n\times(11- i)n}],\: i=1,\: 2,\: \cdots ,\:
11,\: \\ e_{0}=0\cdot e_{1},\: \widetilde{e}_{2}=(1-\dot{d})e_{2},\: \widetilde{e}_{4}=(1-\dot{d})e_{4},\:
A_{c2}=Ae_{1}+A_{d}e_{2},\: $
$E_{1}= co l\left\{e_{1},\: e_{3},\: h_{1}e_{6},\: h_{1}e_{7}\right\},\: E_{2}=
co l\left\{A_{c2},\: e_{5},\: e_{1}- e_{3},\: e_{1}- e_{6}\right\},\:$
$\left. E_{3a}= co l\left\{e_{1},\: e_{2},\: e_{3},\: e_{6},\: e_{7}\right\},\:
E_{3b}= co l\left\{e_{8},\: e_{9},\: e_{10},\: e_{11}\right\},\: \\ E_{4a}=(d-h_{1})\cdot
co l\left\{A_{c2},\: \widetilde{e_{4}},\: e_{5},\: \dfrac{1}{h_{1}}(e_{1}- e_{3}),\:
\dfrac{1}{h_{1}}(e_{1}- e_{6})\right\},\: \\ E_{4b}= co l\left\{(d-h_{1})\left\{-\dot{d}e_{8}+
e_{3}-\widetilde{e_{2}},\: -2\dot{d}e_{9}+ e_{3}+(\dot{d}-1)e_{8}\right\},\: \right
. \\e_{3}-\widetilde{e_{2}},\: -\dot{d}e_{9}+ e_{3}+(\dot{d}-1)e_{8}\right\},\:
$
$E_{5}= co l\left\{e_{1},\: A_{c2}\right\},\: E_{6}= co l\left\{e_{3},\: e_{5}\right\},\:
E_{7}= co l\left\{e_{2},\: e_{4}\right\},\:$
$\left. E_{8}= co l\left\{e_{1},\: e_{2},\: e_{3},\: e_{6},\: e_{7},\: e_{8},\:
e_{9},\: e_{10},\: e_{11}\right\},\: \\ E_{9}= co l\left\{(d-h_{1})[A_{c2},\: \widetilde{e_{4}},\:
e_{5},\: (e_{1}- e_{3})/h_{1},\: (e_{1}- e_{6})/h_{1}],\: -\dot{d}e_{8}+ e_{3}-\widetilde{e_{2}},\:
\right .\\ -2\dot{d}e_{9}+ e_{3}+(\dot{d}- 1)e_{8},\: (d-h_{1})[e_{3}-\widetilde{e_{2}},\:
-\dot{d}e_{9}+e_{3}+(\dot{d}-1)e_{8}]\right\}.$
$E_{10}= co l\left\{e_{3}- e_{2,\: }e_{10},\: e_{11}\right\},\: \\ E_{11}= co l\left\{e_{5}-\widetilde{e_{4}},\:
e_{3}-\widetilde{e_{2}},\: -\dot{d}e_{9}+ e_{3}+(\dot{d}- 1)e_{8}\right\},\: $
$E_{12}= co l\left\{e_{1}-e_{3},\: e_{1}+ e_{3}- 2e_{6},\: e_{1}- e_{3}+ 6 e_{6}-12
e_{7}\right\},\: \\ E_{13}= co l\left\{e_{3}- e_{2},\: e_{3}+ e_{2}- 2 e_{8},\:
e_{3}- e_{2}+ 6 e_{8}-12 e_{9}\right\}.$
$E_{14}= co l\left\{(d- h_{1})e_{8}-e_{10},\: (d - h_{1})e_{9}- e_{11}\right\},\:$
$E_{15}= co l\left\{e_{3},\: e_{2},\: e_{8},\: e_{9}\right\}.$
증명 : 혼란을 주지 않는 한 시간 지연 $d(t)$는 $d$로 간략히 기술하기로 한다. 먼저 두 개의 집합을 정의한 후
뒤의 LKF 후보 함수(13) 정의에 사용될 벡터를 정의하자.
다음은 LKF 후보 함수 $v(x_{t})$를 다음으로 정의하자.
여기서
그리고 함수 $\rho_{i}(\cdot),\: i=1,\: 2,\:$는 (8)에 정의 되었고, 또한$\left[\eta_{3}(t)\right]_{d(t)=h_{1}}=0 ,\:$ 라는 사실을 이용하면, 다음이 성립하므로
(13)에 정의된 LKF 후보 함수는 모든 시간, 즉$\forall t\in I_{1}\cup I_{2}$에 대하여 연속이면서 양이므로 LKF 후보 함수의
조건을 모두 만족한다. 그러므로 시스템 (1)의 안정성을 보이는 것은 (13)에 정의된 LKF 후보 함수의 시스템 궤적 (1)에 따른 시간 미분이 모든 시간에 대하여 음임을 보이는 것이다. 이는 두 경우로 나누어 보인다.
Case 1 : $\forall t\in I_{1}$인 경우, 시간 미분을 구하면 다음이다.
여기서 보조정리 1의 (ii)를 이용하면 다음을 얻고
또한 (8)에서 등식 관계식 $d\cdot g_{4}\xi_{t1}= g_{6}\xi_{t1},\: d\cdot g_{5}\xi_{t1}= g_{7}\xi_{t1}$를
이용하면 다음을 얻는다.
이들을 수식 (14)에 적용하면 다음을 얻고
이어서 $d(t)$와 $\dot{d}(t)$에 대한 선형성과 Schur complement[1]를 적용하면 다음을 얻는다.
Case 2 : $\forall t\in I_{2}$인 경우, 시간 미분을 구하면 다음이다.
여기서 보조정리 1의 (i)과 (ii)를 $\gamma_{1}(x_{t})$와 $\gamma_{2}(x_{t})$에 각각 적용하면 다음을 얻는다.
또한 (8)의 $(d- h_{1})e_{8}\xi_{t2}= e_{10}\xi_{t2},\: (d- h_{1})e_{9}\xi_{t2}= e_{11}\xi_{t2}$
등식 관계로부터 다음을 얻는다.
$2\xi_{t2}^{T}(N_{3}+\dot{d}N_{4})\begin{bmatrix}(d - h_{1})e_{8}- e_{10}\\(d - h_{1})e_{9}-
e_{11}\end{bmatrix}\xi_{t2}=2\xi_{t2}^{T}(N_{3}+\dot{d}N_{4})E_{14}\xi_{t2}= 0$
이를 (16)에 모두 적용하면 다음이 되고
연속하여 $d(t)$와 $\dot{d}(t)$에 대한 선형성과 Schur complement[1]를 적용하면 다음을 얻는다.
따라서 (15)과 (17)은 (13)에서 $\dot{v}(x_{t})<0,\: \forall\xi_{t}\neq 0,\: \forall t$를 의미하고, 이는 LMI 조건 (i)-(iv)하에서
시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정함을 의미한다. 이것으로 증명을 마친다.
Remark 2. 정리 1에는 LMI 변수가 아닌 2개의 파라미터 $h_{1},\: h_{2}$가 존재하여 이를 동시에 찾는 것은 쉽지 않다. 하나의
방법은
(1) $h_{1}$만을 포함하는 두 개의 LMI (i)(ii)만을 이용하여 최 대치 $h_{1}= h_{10}$을 구한다.
(2) $h_{1}= h_{10}- k\Delta ,\: k=1,\: 2,\: \cdots$ 로 감소하면서, 4개의 LMI (i)(ii)(iii)(iv)를
동시에 만족하는 최대치 $h= h_{(k)},\: k= 1,\: 2,\: ....$를 구한다.
(3) $h_{(k)}$가 최대가 되는 $h_{(k)}^{*}$를 구하면 안정성이 보장되는 최댓값은 $h=h_{(k)}^{*}$이다.