1. 서 론

분산 다개체 시스템(distributed multi-agent system)은 국소적인 통신만을 기반으로 상호작용하는 특성을 가지며, 로봇 군집^[1], 무인기 편대^[2], 자율주행 차량 군집^[3] 등 다양한 분야에서 그 활용 가능성이 주목받고 있다. 이러한 시스템에서 모든 개체의 상태변수가 하나의 값으로 수렴하도록 하는 합의(consensus) 제어 기법들이 주요 연구 주제로 다루어져 왔다. 합의 조건에 대한 연구는 네트워크 토폴로지를 표현하는 그래프 이론(graph theory)을 기반으로 단일 적분기 시스템^[4]에서 시작하여 일반적인 선형 시스템^[5]과 비선형 시스템^[6]으로 확장되었다. 그러나 일반적으로 제어기 설계에는 정확한 모델 정보가 요구되며, 이를 얻기 위해 임의의 입출력을 활용한 시스템 변수 식별 방법^[7], 인공신경망 기반의 함수 근사화 방법^[8] 등이 주로 사용되었다. 그럼에도 실제 환경에서는 모델 불확실성이 불가피하게 존재하며, 이는 제어 성능 저하의 주요 원인이 된다. 따라서 모델 불확실성을 효과적으로 보상할 수 있는 합의 제어 기법의 필요성이 제기된다.

비선형 시스템 연구에서 널리 활용되는 슬라이딩 모드 제어(sliding mode control) 기법은 제어 입력에 부호 함수(signum function)를 사용하여 모델 불확실성에 강인한 성능을 쉽게 보장한다^[9]. 그러나 부호 함수는 영 근처에서 빠른 스위칭을 유발하여 입력의 채터링(chattering) 현상을 발생시키며, 이는 구동기의 과도한 부담과 고장으로 이어질 수 있다^[10]. 이러한 문제를 완화하기 위해 부호 함수 대신 쌍곡탄젠트(hyperbolic tangent)나 포화 함수(saturation function)와 같은 연속 함수를 적용하는 방법이 제안되었으나^[11], 경계층(boundary layer)이 도입되어 오차의 영으로의 수렴을 보장하기 어렵다는 한계가 있다. 또한 실험적으로 제어 이득을 작은 상수로 두면 구동기의 부담은 완화되지만 제어 성능이 저하되고, 큰 상수로 두면 성능은 향상되지만 입력의 채터링이 심화된다. 이와 같이 상수 제어 이득의 경우 제어 성능의 향상과 입력 채터링 완화 사이의 상충 관계는 불가피하다.

이러한 문제를 극복하기 위한 직관적인 접근은 오차가 클 때는 제어 이득을 크게, 오차가 작을 때는 제어 이득을 작게 설정하는 것이다. 그러나 오차와 제어 이득의 크고 작음에 대한 기준은 설계자의 주관적 판단에 의존하기 때문에 정량적으로 정의하기 어렵다. 퍼지 논리(fuzzy logic)는 이러한 모호한 개념을 정량화하여 체계적으로 계산하는 방법을 제공한다^[12]. 더 나아가 퍼지 추론을 통해 언어적 규칙을 수치적으로 구현할 수 있기에, 설계자의 직관적 지식을 제어기 설계에 반영할 수 있다는 장점이 있다. 따라서 퍼지 논리를 통해 제어 이득을 실시간으로 조절함으로써 제어 성능의 향상과 입력의 채터링 완화를 동시에 달성할 수 있다.

본 논문에서는 모델 불확실성이 존재하더라도 비선형 분산 다개체 시스템이 유한시간 내 합의에 도달하도록 부호 함수 기반 강인 합의 제어기를 설계하고, 퍼지 논리를 통해 제어 이득을 조절한다. 기존 연구에서도 불확실성을 갖는 분산 다개체 시스템에 대해 부호 함수 기반 제어 방법이 다양하게 논의 되어왔다^{[13, 14]}. 그러나 ^[13]은 분산 다개체 시스템의 유한시간 내 합의 도달을 보장하지 못하였고, ^[14]는 부호 함수의 제어 이득을 상수로 설정하여 채터링의 완화와 과도 응답 성능 개선을 동시에 다루지 못하였으며, 모두 선형 시스템에 한정되었다. 또한 비선형 분산 다개체 시스템에 대해 유한시간 수렴을 보장하면서 동시에 제어 이득 조절을 통해 입력 채터링의 완화와 과도 응답 성능의 향상을 명시적으로 통합하여 다룬 연구는 여전히 제한적이다. 본 논문은 이러한 공백을 보완하기 위해 합의 오차의 수렴을 효율적으로 유도할 수 있는 보조 평면을 도입하고, 리아푸노프(Lyapunov) 안정성 해석을 바탕으로 불확실성을 갖는 비선형 다개체 시스템이 유한시간 내 합의에 도달하기 위한 이득 조건을 제시한다. 이후 해당 조건을 만족하는 범위에서 입력 채터링의 완화와 과도 응답 성능의 향상까지 통합적으로 달성하기 위해, 퍼지 논리를 기반으로 제어 이득을 조절한다.

본 논문의 주요 기여는 다음과 같이 정리할 수 있다.

1) 분산 다개체 시스템의 합의를 간단히 유도할 수 있는 보조 평면을 정의하고, 이를 통해 모델 불확실성에 강인한 성능을 가지는 부호 함수 기반 제어 입력을 설계한다.

2) 리아푸노프 안정성 해석을 통해 분산 다개체 시스템의 유한시간 합의 도달을 보장하는 충분조건 및 부호 함수의 제어 이득 조건을 도출한다.

3) 제어 성능 향상과 입력 채터링 완화의 상충을 극복하기 위해, 설계자의 목적을 쉽게 달성할 수 있는 퍼지 논리를 적용하여 제어 이득을 조절한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 모델 불확실성을 고려한 분산 다개체 시스템의 합의 문제를 정의한다. 3장에서는 모델 불확실성에 강인한 제어기를 설계하고, 퍼지 논리를 이용하여 제어 이득을 조절하는 방법을 제안한다. 4장에서는 모의실험을 통해 제안하는 방법의 유효성을 검증한다. 마지막으로, 5장에서는 논문의 결론과 추후 연구 방향을 제시한다.

2. 분산 다개체 시스템의 합의 문제

이 장에서는 분산 다개체 시스템이 합의에 도달하기 위한 조건을 기술한다. 우선, 실제 시스템에는 모델 불확실성이 존재하므로 이를 반영하여 각 개체의 동역학을 모델링한다. 이어서, 모든 개체가 직접적으로 연결되어 있지 않은 특성을 고려하여 그래프 이론을 기반으로 네트워크 토폴로지를 설명한다. 마지막으로, 제시된 모델과 네트워크 토폴로지 하에서 분산 다개체 시스템이 합의에 도달하기 위한 조건을 도출한다.

3. 퍼지 논리를 이용한 강인 합의 제어

이 장에서는 모델 불확실성이 존재하는 분산 다개체 시스템이 강인하게 합의에 도달하도록 퍼지 논리를 기반으로 부호 함수를 적용한 제어기를 설계한다. 우선, 모델 불확실성에 대한 강인성을 확보하고 유한시간 합의를 보장하는 제어 이득의 조건을 제시한다. 이후, 해당 조건을 상수 제어 이득으로 설정할 경우 발생하는 제어 성능과 입력의 채터링 현상에 대한 한계점을 논의한다. 마지막으로, 이를 극복하기 위해 퍼지 논리를 이용한 부호 함수의 제어 이득 조절 방법을 제안한다.

3.2 퍼지 논리를 이용한 제어 이득 조절

부호 함수 기반 제어기는 모델 불확실성에 대한 강인성과 오차의 유한시간 수렴을 보장할 수 있지만, $\xi_{i}$가 영 근처에서 변동할 경우 빠른 스위칭으로 인해 입력의 채터링 현상을 유발한다. 이러한 현상은 구동기에 과도한 부담을 주어 고장을 초래할 수 있기에 완화할 필요가 있다. 부호 함수의 제어 이득 $k_{i}$를 작은 상수로 설정하면 채터링은 완화되지만 과도 응답 성능이 저하되고, 큰 상수로 설정하면 과도 응답은 개선되지만 채터링이 심화된다. 이와 같이 제어 이득을 상수로 설정하는 경우 제어 성능의 향상과 입력의 채터링 완화 사이의 상충 관계는 불가피하다.

이러한 문제를 극복하기 위한 직관적인 접근은 $\xi_{i}$의 크기가 클 때는 제어 이득 $k_{i}$를 크게 하여 과도 응답 성능을 향상하고, $\xi_{i}$가 작을 때는 제어 이득 또한 작게 설정하여 채터링을 완화하는 것이다. 그러나 이러한 접근은 크기의 기준이 설계자의 주관에 의존하기 때문에 정량적으로 정의하기 어렵다. 따라서 본 논문에서는 퍼지 논리를 기반으로 $\xi_{i}$의 크기에 따른 제어 이득의 크고 작음을 체계적으로 표현한다. 퍼지 논리는 모호한 개념을 수치화하고 설계자의 직관적인 언어적 규칙을 직접적으로 구현할 수 있다는 장점이 있다. 이를 기반으로 제어 이득을 실시간으로 조절함으로써 제어 성능 향상과 입력의 채터링 완화를 동시에 달성할 수 있다.

본 논문에서는 Mamdani 퍼지 추론 방법을 적용한다. 보조 평면 $\xi_{i}$는 비퍼지값(crisp value)으로 입력되며, 소속 함수(membership function)를 통해 퍼지값(fuzzy value)으로 변환된다. 퍼지 추론 규칙에 따라 출력 퍼지값이 생성되고, 무게 중심 비퍼지화(centroid defuzzification)를 통해 최종 제어 이득 $k_{i}$가 산출된다^[12].

삼각 소속 함수 $\Delta$는 임의의 실수 $y$와 $a < b < c$에 대해 다음과 같이 정의한다.

(22)

$\Delta(y; a, b, c) = \begin{cases} 0, & \text{if } y \le a \\ \frac{y - a}{b - a}, & \text{if } a < y \le b \\ \frac{c - y}{c - b}, & \text{if } b < y < c \\ 0, & \text{if } y \ge c. \end{cases}$

식 (22)의 삼각 소속 함수는 그림 1을 통해 확인 가능하다. 퍼지 입력의 소속 함수는 각각 ‘small’, ‘medium’, ‘large’를 나타내는 $p = 1, 2, 3$에 대해 $\mu_{p} = \Delta(\|\xi_{i}\|_{2}; a_{p}, b_{p}, c_{p})$, 퍼지 출력의 소속 함수는 실수 $v_{i}$에 대해서 $\lambda_{p} = \Delta(v_{i}; \alpha_{p}, \beta_{p}, \gamma_{p})$와 같이 정의한다. 여기서 설계 변수는 음이 아닌 실수 $a_{p}$, $b_{p}$, $c_{p}$, $\alpha_{p}$, $\beta_{p}$와 $\gamma_{p}$이다.

그림 1. 삼각 소속 함수 정의

Fig. 1. Definition of triangular membership function

퍼지 입출력 소속 함수 $\mu_{p}$와 $\lambda_{p}$를 기반으로 과도 응답 성능의 향상과 입력의 채터링 완화를 동시에 달성하기 위한 퍼지 규칙은 다음과 같이 설정한다.

Rule 1: If $\|\xi_{i}\|_{2}$ is ‘small’, then $k_{i}$ is $\lambda_{1}$.

Rule 2: If $\|\xi_{i}\|_{2}$ is ‘medium’, then $k_{i}$ is $\lambda_{2}$.

Rule 3: If $\|\xi_{i}\|_{2}$ is ‘large’, then $k_{i}$ is $\lambda_{3}$.

최종적으로 제어 이득의 비퍼지값 $k_{i}$는 무게 중심 비퍼지화 방법으로 다음과 같이 얻을 수 있다.

(23)

$k_{i} = \sum_{p=1}^{3} \mu_{p}\lambda_{p} / \sum_{p=1}^{3} \mu_{p}.$

소속 함수의 설계 변수를 적절히 설정하면 입력의 채터링 완화와 추종 성능의 향상을 동시에 달성할 수 있다. 제안하는 방법의 유효성은 다음 장에서 모의실험을 통해 검증한다.

4. 모의실험

이 장에서는 제안하는 방법의 유효성을 검증하기 위해 부호 함수의 제어 이득을 상수로 설정한 모의실험의 결과와 비교한다. 모의실험은 MATLAB/Simulink 환경을 사용하였으며, 3.2장의 내용은 퍼지 논리 툴박스(fuzzy logic toolbox)를 통해 구현하였다. 모의실험을 위해 식 (1)에서 $N = 5$와 $n = 2$를 가정하였고, 모델 함수는 $\overline{f}_{i} = \sin(x_{i})$, $\overline{g}_{i} = I_{2}$와 같이 설정했다. 또한, 각 개체 상태변수의 초기 조건은 $x_{1}(0) = [0.7, -0.8]^{T}$, $x_{2}(0) = [0.4, -0.1]^{T}$, $x_{3}(0) = [0, 0]^{T}$, $x_{4}(0) = [-0.4, 0.4]^{T}$, $x_{5}(0) = [-0.8, 0.8]^{T}$으로 설정하였으며, 네트워크 토폴로지는 그림 2와 같이 가정하였다. 퍼지 입출력의 삼각 소속 함수 $\mu_{p}$와 $\lambda_{p}$는 $b_{1} = 0$, $c_{1} = 0.3$, $a_{2} = 0$, $b_{2} = 0.83$, $c_{2} = 1.89$, $a_{3} = 1$, $b_{3} = 3$, $\beta_{1} = 0$, $\gamma_{1} = 0.05$, $\alpha_{2} = 0.6$, $\beta_{2} = 0.65$, $\gamma_{2} = 0.69$, $\alpha_{3} = 1.22$, $\beta_{3} = 1.3$와 같이 설계하였다. 공정한 비교를 위해 상수 제어 이득 방법은 제안하는 방법과 근사한 정착 시간(settling time)을 나타내도록 제어 이득을 설정하였다.

그림 2. 분산 다개체 시스템의 네트워크 토폴로지

Fig. 2. Network topology of distributed multi-agent systems

그림 3은 상수 제어 이득 방법과 제안하는 방법의 시간에 따른 제어 이득 변화를 비교한다. 점선은 상수 제어 이득 방법의 제어 이득을, 실선은 제안하는 방법에서 각 개체가 계산한 제어 이득을 나타낸다. 제안하는 방법은 초기 과도 구간에서 상대적으로 큰 제어 이득을 사용하지만, 시간 경과에 따라 이득이 감소하여 상수 제어 이득 방법보다 작은 값으로 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

그림 3. 상수 제어 이득 방법과 제안하는 방법의 제어 이득

Fig. 3. Control gains of the constant gain method and the proposed method

그림 4. 상수 제어 이득 방법의 합의 궤적

Fig. 4. Consensus trajectories of the constant gain method

그림 4와 5는 각각 상수 제어 이득 방법과 제안하는 방법의 합의 궤적을 나타낸다. 두 방법 모두 약 4초 부근에서 모든 개체의 상태변수가 동일한 값으로 수렴하였다. 그러나 상수 제어 이득 방법은 제안하는 방법과 유사한 정착 시간을 보였음에도, 초기 응답에서 상승 시간(rise time)은 더욱 느리게 나타났음을 확인할 수 있다.

그림 5. 제안하는 방법의 합의 궤적

Fig. 5. Consensus trajectories of the proposed method

그림 6과 7은 각각 두 방법의 제어 입력을 비교한 결과이다. 상수 제어 이득 방법은 합의 달성 이후에도 제어 이득이 그대로 유지되기 때문에 정상상태 구간에서 입력 채터링이 크게 발생하였으며, 이는 실제 시스템에서 구동기에 불필요한 부담을 초래할 수 있다. 반면, 제안하는 방법은 합의 이전 과도 구간에서는 빠른 수렴을 위해 비교적 큰 입력을 사용하지만, 합의 달성 이후에는 부호 함수의 스위칭 현상이 발생하기 때문에 제어 이득을 감소시켜 입력의 채터링을 효과적으로 완화하였다.

그림 6. 상수 제어 이득 방법의 제어 입력

Fig. 6. Control inputs of the constant gain method

그림 7. 제안하는 방법의 제어 입력

Fig. 7. Control inputs of the proposed method

결과적으로 제안하는 방법은 상수 제어 이득 방법 대비 과도 응답 성능의 향상과 입력 채터링 완화를 동시에 달성하여 보다 안정적이고 효율적인 제어 성능을 보여준다.

5. 결 론

본 논문에서는 모델 불확실성이 존재하는 분산 다개체 시스템에서도 강인하게 합의에 도달할 수 있는 퍼지 논리 기반의 강인 제어 방법을 제안하였다. 제어 입력에 부호 함수를 적용하여 모델 불확실성에 대한 강인성을 확보하였으며, 퍼지 논리를 이용한 제어 이득 조절을 통해 과도 응답 성능의 향상과 입력의 채터링 완화를 동시에 달성하였다. 제안하는 방법의 성능은 모의실험을 통해 상수 제어 이득 방법의 결과와 비교하여 검증하였다. 추후 연구에서는 통신 과정에서 발생하는 시간 지연을 보상하는 방법이나, 양방향 통신을 가정하지 않는 일반적인 네트워크 토폴로지에서의 합의 문제로 연구를 확장할 수 있을 것이다.