2.1 원심 펌프의 수력학적 모델링

EWP의 임펠러가 회전하며 유체에 에너지를 전달하는 과정은 속도 삼각형 이론과 오일러 터보머신 방정식을 통해 해석된다. 이에 대한 속도 성분 및 벡터 관계는 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다. 그림 1에서 묘사된 바와 같이 펌프 입구에서의 유동이 예선회(Pre-swirl) 없이 반경 방향으로 유입된다고 가정하면($C_{u1} = 0$) 이론 양정($H_{theoretical}$)은 출구 측의 임펠러 원주 속도($U_2$)와 절대 속도의 원주 방향 성분($C_{u2}$)에 의해 식 (1)과 같이 결정된다. 이때 $C_{u2}$는 $U_2$에서 상대 속도의 원주 성분을 뺀 값으로 유량에 비례하는 반경 방향 유속($C_m$)과 날개 각($\beta_2$)의 함수로 구체화 된다.

여기서 $g$는 중력 가속도, $C_{m2}$는 출구 측 반경 방향 유속, $\beta_2$는 임펠러 출구 날개각을 의미한다. 식 (1)은 유량이 증가하여 반경 방향 유속 $C_{m2}$가 커질수록 이론 양정이 선형적으로 감소함을 나타낸다. 이는 유량과 압력이 상충 관계(Trade-off)에 있음을 시사하며 펌프의 기본 성능 곡선을 결정짓는 핵심 수식이다.

실제 펌프 운전 시에는 유체의 점성과 유로 형상에 의한 에너지 손실이 발생하므로 실제 양정($H_{actual}$)은 이론 양정에서 각종 수력학적 손실 수두($H_{loss}$)를 감산하여 도출해야 한다. 본 연구에서는 주요 손실 요인을 마찰 손실, 형상 손실 및 충격 손실로 세분화하여 다음과 같이 구체적으로 모델링하였다.

그림 1. 임펠러 블레이드에서의 속도 삼각형 다이어그램

Fig. 1. Velocity triangle diagram at the impeller blade

2.2 BLDC 모터의 동적 모델링

본 연구에서는 EWP 구동을 위해 높은 내구성과 출력 밀도를 갖는 3상 영구자석형 BLDC 모터를 선정하였으며 6-step 방식을 사용하여 속도제어를 수행하였다.

2.2.1 전기적 및 기계적 지배 방정식

BLDC 모터의 고정자 3상 ($a, b, c$)권선은 3상 평형 상태(Balanced Condition)로 가정하였다. 이에 따라 각 상의 전압 방정식을 식 (7)과 같이 수립하였다.

(7)

$v_x = R_s i_x + L_{eq} \frac{di_x}{dt} + e_x (x = a, b, c)$

여기서 $v_x$, $i_x$ 및 $e_x$는 각각 해당 상의 전압, 전류 및 역기전력을 의미하며, $R_s$는 고정자 저항이다. $L_{eq}$는 자기 인덕턴스($L_s$)와 상호 인덕턴스($M$)를 고려한 등가 인덕턴스($L_{eq} = L_s - M$)이다.

각 상의 역기전력($e_x$)는 회전 각속도($\omega_m$)에 비례하며 회전의 전기적 위치($\theta_e$)에 따라 -1 에서 1 사이의 값을 갖는 단위 사다리꼴 함수 $f_{trap}(\theta_e)$에 의해 식 (8)과 같이 정의된다.

(8)

$e_x = K_e \omega_m f_{trap}(\theta_e)$

여기서 $K_e$는 역기전력 상수이다. 모터가 생성하는 전자기적 토크 $T_e$는 입력된 전기적 전력과 출력된 기계적 동력의 평형 관계로부터 식 (9)와 같이 유도하였다.

(9)

$T_e = \frac{e_a i_a + e_b i_b + e_c i_c}{\omega_m}$

최종적인 기계적 운동 방정식은 모터의 전자기적 토크($T_e$)와 펌프 부하 토크($T_L$) 그리고 베어링의 점성 마찰($B$) 및 쿨롱 마찰($T_{coul}$)을 고려하여 식 (10)과 같이 도출하였다.

(10)

$\frac{d\omega_m}{dt} = \frac{1}{J} (T_e - T_L - B\omega_m - T_{coul})$

특히 부하 토크($T_L$)는 2.1.3의 수력학적 모델에 의해 결정되는 변수로서 유체 부하가 모터의 회전 속도 변동에 직접적인 영향을 미치는 전기-기계-유체 간의 강한 결합 특성을 수식적으로 나타낸다.

그림 2. BLDC 모터의 3상 권선 구성 및 전압 구동 방식

Fig. 2. Configuration of 3-phase winding and voltage driving method for BLDC motor

2.2.2 평균 전압 모델

일반적인 모터 구동 시스템은 인버터의 PWM(Pulse Width Modulation) 스위칭 동작을 통해 전압을 제어한다. 그러나 수십 kHz 대역의 고주파 스위칭 모델을 직접 적용할 경우 시뮬레이션의 연산 부하가 과도하게 증가한다. 본 연구의 목적인 유량 제어 관점에서는 모터의 전기적 시정수($L/R$)와 기계적 시정수($J/B$)가 스위칭 주기보다 훨씬 크기 때문에 스위칭에 의한 전류 리플이 필터링 되어 유량에 미치는 영향은 무시할 수 있는 수준으로 가정하였다.

따라서 본 연구에서는 해석 효율성을 극대화하기 위해 평균 전압 모델(Average Voltage Model)을 도입하였다. 이는 한 스위칭 주기 동안의 듀티비($D$)에 비례하는 유효 전압을 모터에 인가하는 방식($V_{avg} = V_{dc} \times D$)이다. 이를 통해 기본파 성분에 해석 정확도를 유지하면서 시뮬레이션 속도를 크게 개선하였다.

그림 3. EWP 시스템의 MATLAB/Simulink 시뮬레이션 모델

Fig. 3. MATLAB/Simulink simulation model of the EWP system

3.1 실험장치 구성

개발된 시뮬레이션 모델의 파라미터를 동정하고 타당성을 검증하기 위해 KS B 6301(원심 펌프의 시험 및 검사 방법) 규격에 준하는 펌프 성능 실험 장치를 구축하였다. 실험 장치는 유체의 안정적인 순환을 위해 폐회로(Closed-loop) 시스템으로 구성되며 실험용 EWP는 실제 차량 구동 환경을 모사하기 위해 12 V 정격 전압의 차량용 전동식 워터 펌프를 사용하였다. 펌프 전단에는 유체 순환 과정에서 발생하는 기포를 제거하고 냉각수의 온도를 일정하게 유지하기 위한 리저버 탱크(Reservoir Tank)를 설치하여 실험의 재현성을 확보하였다. 유량 측정에는 측정 범위 0~60 LPM의 터빈 유량계(Turbine Flowmeter)를 사용하였으며 특히 배관 내 유동 불안정성을 최소화하여 정밀한 계측이 가능하도록 유량계 전단에 배관 직경의 10배 이상에 해당하는 충분한 직관부를 확보하였다.

그림 4. EWP 성능 테스트 실험 장치의 개략도 및 사진

Fig. 4. Schematic diagram and photograph of the experimental setup for EWP performance test

3.2 실험 및 검증 절차

실험은 펌프의 회전 속도를 4 000 RPM에서 6 000 RPM까지 500 RPM 간격으로 고정하고 각 속도에서 부하 밸브를 개방 상태부터 폐쇄 상태까지 단계적으로 조절하며 수행되었다. 데이터 수집은 LabVIEW 기반의 DAQ 시스템을 이용하였으며 각 운전점에서 유동이 안정화된 후 10초간의 데이터를 취득하고 평균값을 산출하여 측정 노이즈를 최소화하였다.

취득된 실험 데이터(P-Q 곡선)를 기준으로 시뮬레이션 모델 내의 손실 계수를 최적화 기법을 통해 도출하였으며 이후 동일한 운전 조건에서 시뮬레이션을 수행하여 모델의 예측값과 실험값을 비교 검증하였다.

4.1 과도 응답 특성

과도 응답 성능을 검증하기 위해 시뮬레이션 상에서 유량 목표치를 급격히 변경하는 계단 입력을 인가하였다. 해석 결과 그림 5와 같이 유량은 모터의 전기적 시정수와 유체의 관성 효과가 반영되어 오버슈트 없이 목표값에 안정적으로 수렴하는 거동을 보였다. 이는 개발된 모델이 정적 성능 맵 기반 모델과 달리 시스템의 동적 파라미터를 포함한 미분 방정식을 기반으로 설계되어 과도 구간의 물리적 지연 현상까지 타당하게 예측할 수 있음을 입증한다.

그림 5. 유량에 대한 과도 단계 응답 시뮬레이션 결과

Fig. 5. Simulation results of transient step response for flow rate

4.2 펌프 성능 특성 분석

그림 6은 4 000에서 6 000 RPM 범위의 회전 속도 조건에서 측정된 EWP의 유량-양정 성능 곡선을 나타낸다.

그림 6. 회전 속도에 따른 실험적 P-Q 성능 특성

Fig. 6. Experimental P-Q performance characteristics of rotational speeds

4.3 모델 정합성 검증

본 연구에서 제안된 EWP 시뮬레이션의 유효성을 검증하기 위해 실제 실험 데이터와의 비교 분석을 수행하였다. 모델의 예측 정확도를 정량적으로 평가하기 위해 수행한 통계적 오차 분석 결과는 표 1과 같다.

실험 결과 모든 회전 속도 조건에서 유량이 증가함에 따라 양정이 감소하는 원심 펌프의 전형적인 특성 곡선을 확인하였다. 특히 고유량 영역일수록 양정의 감소 기울기가 급격해지는 경향은 식 (2)의 마찰 손실 모델과 같이 유로 내 손실이 유속의 제곱에 비례하여 증가하기 때문으로 분석된다.

또한 펌프 상사 법칙(Affinity Laws)에 따라 회전 속도가 증가함에 따라 성능 곡선 전체가 우상향으로 이동하는 경향을 확인하였다. 정량적 분석 결과 4 000 RPM 대비 6 000 RPM 조건에서 체절 양정은 약 2.2배 증가하였다. 이는 이론적으로 양정이 회전 속도의 제곱에 비례한다는 법칙과 매우 근접한 결과로 측정 데이터의 신뢰성을 뒷받침한다.

결정계수($R^2$)는 0.9964로 산출되어 개발된 모델이 실험 데이터의 변동성을 99.6 % 이상 설명할 수 있음을 확인하였다. 또한 RMSE는 29 kPa, 최대 오차율(Max Error Rate)은 전체 운전 영역에서 3.0 % 이내로 유지되어 높은 신뢰성을 보였다.

그림 7. 실험과 시뮬레이션 성능 특성 비교 (P-Q 곡선)

Fig. 7. Comparison of experimental and simulation performance characteristics (P-Q Curve)

그림 7은 4 000~6 000 RPM의 회전수 범위에서 실험값과 시뮬레이션 결과의 유량-양정(Q-H) 특성 곡선을 비교한 결과이다. 시뮬레이션 모델이 저유량 영역의 평탄한 양정 특성부터 고유량 영역의 급격한 양정 강하까지 펌프의 비선형적 거동을 정밀하게 모사하고 있음을 확인하였다. 특히 전체 운전 영역에서 실험값과 시뮬레이션 결과의 결정계수가 0.9964로 나타나 거의 일치하는 결과를 확인하였다. 이는 본 모델이 제어 알고리즘 검증을 위한 가상 플랜트로서 활용되기에 충분한 정합성을 확보하여 그 타당성을 검증하였다.