2.1 계통 재구성 문제 정식화

기존 연구에서 계통 재구성은 선로의 연결 상태에 따라 구조가 결정되는 특성을 고려하여, 정수형 변수와 연속형 변수가 동시에 포함된 최적화 문제로 정식화된다. 선로의 연결 상태는 정수형 결정 변수로 표현되며, 이에 따라 계통의 토폴로지가 결정된다. 또한 배전계통의 운전 특성을 반영하기 위해, 재구성 이후에도 계통이 수지상 구조를 유지하도록 하는 토폴로지 제약이 함께 고려된다. 또한, 전력 평형 관계, 전압 범위, 선로 용량과 같은 제약조건들은 전압과 전류 간의 비선형 관계로 다음과 같이 표현된다.

2.2 계통 재구성 문제의 볼록 완화(Convex Relaxation)

MINLP로 정식화된 계통 재구성 문제의 계산적 부담을 완화하기 위해 비선형 제약을 직접적으로 다루기보다, 문제를 볼록(convex) 형태로 완화하였다. 이를 위해 다음과 같이 새로운 보조변수를 도입하였다^[10].

먼저, 노드 전압의 제곱 항을 나타내는 보조변수 $u_i$를 도입하여, 전압 크기에 대한 제약을 선형적으로 표현할 수 있도록 하였다. 또한, 전압 곱 항은 위상각 성분에 따라 $R_{ij}$, $T_{ij}$로 정의하였다. 이와 같은 보조변수 도입을 통해 원래의 제약조건을 선형화하여 나타낼 수 있다. 한편, 이러한 보조변수는 실제 전압 크기와의 물리적 관계를 만족해야 하므로, 보조변수와 전압 변수 간의 관계를 정의하는 등식 제약이 추가된다. 그러나 추가된 등식 제약은 여전히 비볼록(non-convex) 특성을 가지므로, 이를 식 (14)와 같이 부등식으로 완화하여 문제를 볼록 형태로 변환하였다.

이렇게 완화된 제약은 이차 원뿔(Second-Order Cone, SOC) 제약 형태를 가지며, 이에 따라 계통 재구성 문제는 혼합정수원뿔계획(MICP) 형태로 변환된다. 이러한 볼록 완화는 원래의 비선형 등식 제약을 완화한 근사 모델을 구성하는 것으로, 비볼록성으로 인한 계산적 어려움을 완화하는 데 목적이 있다. 이에 따라 완화된 문제에 대해서는 전역 최적해(global optimum)를 구할 수 있으나, 이는 원래 문제의 전역 최적해를 직접적으로 보장하는 것은 아니다.

2.3 SOC 제약 다면체 근사

SOC 제약을 포함한 문제는 비선형성으로 인해 여전히 계산 부담이 크며, 다수의 고장 시나리오를 반복적으로 분석해야 하는 사전 평가 목적에는 한계가 존재한다. 이에 기존 연구에서는 계산 효율을 향상시키기 위해 SOC 제약을 다면체 근사(Polyhedral Approximation)하여 선형 제약으로 대체하는 접근을 적용하였다^[11].

SOC 제약으로 표현된 실행 가능 영역을 유한개의 선형 부등식으로 근사함으로써, 원래의 볼록 제약을 선형 제약 집합으로 표현할 수 있다. 이러한 다면체 근사는 SOC 제약의 볼록성을 유지하면서도, 문제를 혼합정수선형계획(MILP) 형태로 변환할 수 있도록 한다.

다면체 근사에서 매개변수 $\nu$는 SOC 제약을 근사하기 위해 사용되는 분할면의 수를 의미하며, $\nu$ 값이 증가할수록 다면체 근사 영역은 원래의 SOC 영역에 점진적으로 수렴하게 된다. 그러나 $\nu$ 값이 증가할수록 선형 제약의 수 또한 증가하여 MILP 문제의 계산 부담이 증가하게 된다.

본 연구에서는 다면체 근사 파라미터 설정에 따른 영향을 확인하기 위해 $\nu = 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17$에 대해 추가적인 실험을 수행하였으며, 그 결과를 [표 1]에 정리하였다. 분석 결과, $\nu$ 값이 증가함에 따라 목적함수 값은 점차 증가하는 경향을 보였으며, $\nu \ge 11$ 이후에는 목적함수 값의 변화가 매우 작게 나타났다. 이는 다면체 근사의 분할 수가 일정 수준 이상 증가할 경우 SOC 제약에 대한 다면체 근사가 충분한 정밀도를 확보하고, 추가적인 정밀도 개선 효과는 제한적임을 의미한다. 따라서 계산 효율과 근사 정밀도를 고려하여 본 연구에서는 $\nu = 11$을 적용하였다.

이와 같이 SOC 제약의 다면체 근사를 적용함으로써, 계통 재구성 문제는 최종적으로 MILP 형태로 정식화된다. 본 연구에서는 이러한 기존 연구의 접근을 기반으로, 부하 절체 사전 평가를 위한 MILP 최적화 문제를 구체적으로 정식화한다.

3.1 Slack 기반 제약조건 완화

배전계통의 부하 절체 문제에서 전압 및 선로 전류 제약은 과전압, 저전압, 그리고 선로 과부하와 같은 계통의 주요 운영 한계를 반영하는 핵심 제약이다. 따라서 본 연구에서는 각 제약조건의 위배 정도를 정량적으로 평가할 수 있도록 slack 변수를 도입하여 제약조건을 완화한다.

여기서 $S_{V,i}^{lb}$, $S_{V,i}^{ub}$는 각각 전압 하한 및 상한 위배량을 나타내는 slack 변수로, 특정 고장 시나리오에서 발생하는 저전압 및 과전압의 정도를 정량적으로 표현한다.

선로 전류 제약은 설비의 열적 한계 초과 여부를 판단하기 위한 제약으로, slack 변수 $S_{I,l}$은 선로 과부하 발생 시 그 위배 정도를 정량적으로 나타낸다.

3.2 Non-binding 문제

Slack 변수를 도입한 제약조건 완화 기법에서는, 모든 제약조건을 만족하는 해가 존재하지 않는 경우에도 최소한의 제약 위배를 포함하는 해를 도출할 수 있다. 본 연구에서는 이러한 특성을 활용하여, 완화된 제약조건 하에서 발생하는 slack 변수의 크기를 최소화하는 목적함수를 다음과 같이 구성한다.

식 (17)에 포함된 가중치 $w_V^{lb}$, $w_V^{ub}$, $w_I$는 각 제약조건 위배의 상대적 중요도를 반영하기 위해 설정된 계수이다. 일반적으로 전압 위배는 조상설비 투입 혹은 Tap changer를 통해 완화 가능성이 있는 반면, 전류 위배는 선로 증설 외에는 실질적인 대응이 어렵기 때문에 보다 엄격히 고려할 필요가 있다. 이에 따라 전류 위배에 상대적으로 큰 가중치를 부여하였다.

구체적으로 전압 상한 및 하한 위배에는 동일하게 10의 가중치를 적용하였으며, 전류 위배에는 100의 가중치를 설정하였다. 또한 가중치 설정에 따른 결과의 민감도를 확인하기 위하여 가중치를 1~1000 범위 내에서 변화시키며 추가적인 수치 실험을 수행하였다. [표 2]는 가중치 설정에 따른 slack 값과 목적함수 값을 비교한 결과를 나타낸 것이다.

분석 결과 가중치의 크기를 변화시키더라도 slack 값의 분포는 대부분 유사하게 나타났으며, 절체 가능 여부 판정 결과에도 유의미한 변화는 발생하지 않았다. 이러한 결과는 본 연구에서 설정한 가중치가 결과 해석의 안정성을 유지하면서도 제약조건의 상대적 중요도를 적절히 반영하고 있음을 보여준다.

그러나 slack 변수의 합을 최소화하는 목적함수를 사용할 경우, 일부 선로에서 SOC 제약이 non-binding 상태로 유지되는 현상이 관찰되었다. SOC 제약은 비선형 전력 방정식에서 도출된 보조변수 간의 관계를 볼록 완화하여 도출된 부등식 제약이다. 따라서 해당 제약이 non-binding 상태로 유지된다는 것은 완화된 부등식이 전력 방정식 관계를 등식 수준으로 충분히 반영하지 않은 해가 선택되었음을 의미한다.

기존의 slack 최소화 목적함수는 전압 및 전류 위배량의 최소화에만 초점을 두고 있으므로, 보조 변수 간의 물리적 일관성을 직접적으로 강제하지 않는다. 그 결과, SOC 완화 제약이 등식에 근접하도록 유도하는 기제가 부족하며, 완화된 허용 영역 내부의 해가 선택될 가능성이 존재한다.

3.3 목적함수 개선

non-binding 문제를 해소하기 위해 앞서 제시한 slack 변수 기반 목적함수에 전력손실 항을 추가한 형태의 식 (18)로 목적함수를 재정의한다.

여기서 $P_{loss,i}$는 노드 $i$에서의 전력손실을 의미하며, 이는 다음과 같이 정의된다.

기존의 slack 최소화 목적함수는 전압 및 선로 전류 위배량의 최소화에 초점을 두며, 완화된 전력 방정식과의 정합성을 직접적으로 고려하지는 않는다. SOC 제약은 비선형 전력 방정식에서 나타나는 전압 곱 항을 보조변수로 치환하여 도출된 등식 관계를 기반으로 한다. 그러나 이러한 등식 형태의 SOC 제약은 non-convex 특성을 가지므로, 최적화 문제를 convex 형태로 변환하기 위해 부등식 형태로 완화된다. 이와 같이 SOC 제약을 부등식 형태로 완화하면, 완화된 허용 영역 내부에서도 해가 존재할 수 있으며 이 경우 SOC 제약이 non-binding 상태로 유지될 수 있다.

이를 완화하기 위해 본 연구에서는 목적함수에 전력손실 최소화 항을 포함하였다. 전력손실은 전압의 크기와 연관되어 있으므로, 손실을 최소화하는 방향으로 해가 형성될 경우 전압 수준이 상대적으로 증가하게 된다. 전압이 증가하면 전압 곱 항으로 표현되는 보조변수 $R_{ij}$ 및 $T_{ij}$의 값 또한 자연스럽게 증가하게 되며, 이는 완화된 SOC 제약의 경계면에 해가 존재하도록 유도한다. 그 결과 완화된 SOC 제약은 부등식 형태로 존재하더라도 등식 형태에 가까운 상태로 만족되며, 이를 통해 SOC 제약의 non-binding 문제가 완화된다.

그림 1. 제안 모델의 알고리즘 순서도

Fig. 1. Algorithm for simulation model

이러한 과정은 SOC 제약을 인위적으로 등식으로 강제하기 위한 조치가 아니라, 완화 모델이 허용하는 해 공간 내에서 물리적으로 타당한 해를 선택하도록 유도하는 역할을 한다. 따라서 목적함수에 전력손실 항을 포함하는 것은 완화 모델에서 발생할 수 있는 SOC 제약의 non-binding 문제를 완화하는 데 중요한 요소이다.

이러한 목적함수 설계를 기반으로, <그림 1>은 전체 절차를 나타낸 알고리즘 순서도를 도시한 것이다. 먼저 입력 데이터 및 계통 조건을 기반으로 전처리를 수행한 후, 각 선로를 대상으로 사고 시나리오를 구성하여 MILP 문제를 독립적으로 해결한다. 시뮬레이션 결과로부터 해의 존재 여부를 통해 부하 절체 가능성을 1차적으로 판단하며, 해가 존재하고 slack 변수의 값이 0인 경우에는 모든 제약조건을 만족하는 부하 절체 가능 상태로 판단한다. 반면, slack 값이 0보다 큰 경우에는 제약 위배를 수반하는 절체 불가능 상태로 판단한다. 한편, MILP 문제 자체가 해를 갖지 못하는 경우에는 해당 사고 시나리오가 구조적 고립 상태임을 의미한다.

이와 같이 제안된 알고리즘은 각 사고 시나리오를 독립적으로 평가함으로써 계산 효율성을 확보한다. 또한 부하 절체 가능 여부와 함께 제약 위배의 발생 구간 및 정도를 동시에 도출할 수 있어, 이후 사례 연구를 통한 결과 분석에 효과적으로 활용될 수 있다. 다음 장에서는 제안한 방법을 배전계통 모델에 적용하여 사고 선로별 부하 절체 가능성 및 제약 위배 특성을 분석한 사례 연구 결과를 제시한다.

4.1 사례연구 1: SOC 제약조건 binding 문제 검토

본 사례연구에서는 3장에서 제기한 SOC 제약조건의 non-binding 문제와 목적함수 개선의 효과를 검증하기 위해, 목적함수에 전력손실 항을 포함하지 않은 경우와 포함한 경우를 비교 분석한다. 이를 통해 SOC 제약조건의 binding 특성 변화와 그 영향을 정량적으로 분석한다.

<그림 2>와 <그림 3>은 목적함수에 전력손실 항을 포함하지 않은 경우와 포함한 경우에 대해 SOC 제약조건의 binding 특성을 선로 수와 비율 관점에서 비교한 결과를 나타낸다. 전력손실 항을 포함하지 않은 경우, 실제 운영 선로 83개 중 32개 선로에서만 SOC 제약이 binding되었으며, 이는 전체의 약 38.55%에 해당한다. 반면, 나머지 51개 선로에서는 SOC 제약이 non-binding 상태로 남아, 전력 방정식이 모델에 충분히 반영되지 않음을 의미한다.

반면, 목적함수에 전력손실 항을 포함한 경우에는 모든 운영 선로 83개에서 SOC 제약이 binding 상태를 만족하여, binding 비율이 100%로 증가하였다. 이는 전력손실 최소화가 SOC 제약의 좌변을 최대화하는 방향으로 유도함으로써, SOC 제약이 등식으로 성립됨을 의미한다.

이와 같은 결과는 SOC 제약의 non-binding 문제가 실제 대상 계통에서도 목적함수 개선을 통해 효과적으로 완화되었음을 보여준다. 따라서 전력손실 항을 포함한 목적함수는 SOC 제약이 계통의 물리적 전력 흐름을 보다 정확히 반영하도록 유도하는 데 효과적임을 확인할 수 있다.

그림 2. binding 선로 수 비교

Fig. 2. Comparison of binding lines

그림 3. binding 비율 비교

Fig. 3. Comparison of binding ratio

4.2 사례연구 2: 부하 절체 평가 기법의 정합성 검토

본 사례연구에서는 사례연구 1을 통해 신뢰성이 검증된 전력손실 항을 포함한 Slack 기반 완화 기법을 활용하여, 고장 발생 시 배전계통의 부하 절체 가능성과 절체 불가능 원인을 종합적으로 분석한다. 특히 본 사례연구는 제안한 기법이 단순한 절체 가능 여부 판단에 그치지 않고, 계통 구조에 기인한 구조적 고립 현상과 운영 조건에 따른 제약 위배를 구분하여 진단할 수 있는 분석 도구로서의 정합성을 갖는지 검토하는 데 목적이 있다.

이를 위해 전체 고장 시나리오에 대해 기본 부하 대비 부하량을 1.8배로 증가시킨 조건에서 시뮬레이션을 수행하였다. 해당 부하 조건은 구조적 고립이 존재하지 않는 경우에도 전류 및 전압 위배가 발생할 수 있는 상황을 유도하며, slack 값을 기반으로 절체 불가능 원인을 정량적으로 비교 및 분석하기 위한 설정이다.

4.3 결과 분석

본 절에서는 사례연구를 통해 도출된 고장 시나리오별 부하 절체 가능성 평가 결과를 종합적으로 분석한다. 사례연구 1과 사례연구 2를 통해, 전력손실 항을 포함한 slack 기반 완화 기법이 기존 slack 기반 모델에서 발생하던 SOC 제약의 non-binding 문제를 효과적으로 개선함을 확인하였다. 이를 통해 사고 발생 시 계통의 절체 가능 여부를 보다 신뢰성 있게 판단할 수 있음을 검증하였다.

사례연구 2에서는 전체 고장 시나리오를 세 가지 상태, 즉 모든 제약을 만족하는 경우(slack=0), 제약 위반이 발생한 경우(slack>0), 그리고 구조적 고립으로 인해 해가 존재하지 않는 경우(infeasible)로 구분하였다. 분석 결과, 구조적 고립이 발생한 일부 시나리오는 계통 토폴로지 구조에 의해 절체가 원천적으로 불가능한 영역에 해당함을 확인하였다.

한편, 구조적 고립이 발생하지 않은 시나리오 중에서도 다수의 slack 값이 발생하였으며, 이는 절체는 구조적으로 가능하나 운영 제약을 만족하지 못하는 상황을 의미한다. 해당 시나리오의 대부분은 선로 허용 전류 초과에 따른 전류 제약 위반으로 나타났으며, 위배량은 전반적으로 소규모 수준이었다. 이는 부하 증가 조건에서 일부 선로가 용량 한계에 근접하여 운전되고 있음을 의미한다. 또한 일부 시나리오에서는 전류 제약과 함께 전압 하한 위반이 동시에 발생하여, 부하 집중 시 전압 안정성과 선로 용량 제약이 복합적으로 취약해지는 구간이 존재함을 확인하였다.

제안한 slack 기반 분석 기법은 고장 시나리오를 단순한 절체 가능/불가능 여부로 구분하는 데 그치지 않고, 운영 기준에 대한 위배가 발생하는 조건과 계통 구간을 체계적으로 식별하기 위한 분석 도구로 활용될 수 있다.