2.1 원형 보간법

원형 보간법은 불감대로 인해 생긴 첨점을 중심으로 원형 아크를 만들어 곡선의 미분 가능성을 확보한다 ^[10]. 사용자가 첨점을 기준으로 지정한 코너 간격에 있는 두 점에서의 접선에 수직인 법선의 교점이 원의 중심이 되도록 보간을 시도한다. 단순히 두 선형 분절에 접하는 원은 무수히 많지만, 사용자가 코너 간격을 지정했을 때에는 두 점에서 접하는 원은 존재하지 않을 가능성이 있다.

그림 2 원형 보간 시 발생하는 문제

Fig. 2. Failure cases in circular spline

그림 2.(b)와 같이 보간의 경계점이 접점이 아니라 현의 중점이 되는 상황에서는 두 법선의 교점이 원의 중심이 아니게 되고, 원형 보간법이 실패한다. 따라서, 위처럼 적절한 코너 간격을 설정하지 않았을 때 이를 바로잡는 과정이 필요하다.

그림 3 점 보정을 통한 원의 중심 결정 절차

Fig. 3. Procedure to determine the center of circle

그림 3에서는 코너 O에서 한쪽 분절의 점 A와 동일 거리 조건을 이용해 반대쪽 분절의 점 B’을 정하면, 두 합동 삼각형(삼각형 OAC와 OB’C)으로부터 중심 C의 존재가 보장된다. 이어서 중심과 반지름을 수식 (1)-(4)를 통해 계산하고 원의 방정식으로 곡선을 부드럽게 연결한다.

여기서 $(x_1, y_1), (x_0, y_0), (x_2, y_2)$는 각각 점 A,O,B의 좌표를 나타낸다. 또한, $(x_c, y_c)$와 $R$은 각각 원의 중심좌표와 반지름을 의미한다. $m$은 드룹 곡선의 기울기이며, $\Delta x$는 보정된 점 B’과 점 O 사이의 x축 좌표 차이를 나타낸다.

위 과정을 통해 정확한 중심과 반지름을 산출하고, 미분 가능한 곡선을 형성하여 정상상태 해석을 가능하게 한다. 이때, 좌표평면에서 x,y는 각각 Q-V곡선에서의 V와 Q를 의미하며 수식 (5), (6)이 조류 계산에서 무효전력을 계산하고, 야코비안 행렬값을 계산하는 데 사용된다. 코너가 아래로 볼록한 경우에도 동일한 기법을 적용하여 해석할 수 있다.

2.2 삼차 보간법

삼차 보간법은 드룹 곡선의 첨점 주변을 3차 다항식으로 보간하는 방법이다. 그림 4의 경계점 A, B에서 값과 기울기의 경계 조건인 수식 (7), (8)을 이용해 네 개의 미정 계수를 결정한다. 원형 보간법과 달리 추가 보정 과정이 필요 없어 계산 자원이 최소화된다는 장점이 있다. 최종적으로 조류 계산에는 수식 (9), (10)이 무효전력 계산 및 야코비안 행렬에 사용되어 정상상태 해석을 가능하게 만든다 ^[10]. 여기서 $a, b, c, d$는 보간에 사용되는 3차 다항식의 계수를 나타낸다.

그림 4 삼차 보간법

Fig. 4. Cubic spline

2.3 원형 보간법과 삼차 보간법의 비교

원형 보간법과 삼차 보간법 모두 첨점을 부드럽게 보간하여 조류 계산을 효과적으로 가능하게 만든다. 하지만, 그림 5와 같이 두 직선이 이루는 각도의 차이가 작은 상황에서 원형 보간법을 적용한다면, 반지름의 크기가 무한대에 가까운 원이 필요하고, 이는 수치적 불안정성을 유발할 수 있다. 반대로, 두 직선이 이루는 각의 크기가 큰 상황에서 삼차 보간법을 적용한다면, 코너 점에서의 기울기가 급격한 삼차함수가 필요하므로 이 또한 불안정성을 유발한다. 정리하면, 원형 보간법은 코너를 원호로 부드럽게 보간하여 급격한 기울기 변화를 완화하지만, 중심 및 반지름 계산 시 보정 계산이 요구되며 작은 각도 차에서 불안정한 반면, 삼차 보간법은 도함수 식이 단순하여 야코비안 계산이 안정적이고 빠르지만, 큰 각도 차에서 불안정할 수 있다. 따라서, 분절의 끼인각과 불감대 주변의 전압 변동 폭을 고려해 원형과 삼차를 선택적으로 사용하거나, 실무 임곗값이나 간단한 예비 검사에 따라 자동으로 전환하는 구성이 조류 계산의 안정성 측면에서 유리하다 ^[10].

그림 5 보간 대상 두 직선의 각도 차가 작은 경우

Fig. 5. Small angle between the two line segments

본 논문에서는 이러한 두 보간법의 상충하는 한계를 객관적으로 평가하고 최적의 스위칭 임계각도($\theta_{th}$)를 결정하기 위해, 시스템의 최대 수치적 손실을 최소화하는 최소-최대(Minimax) 접근법에 기반한 방식을 제안한다.

이를 위해 각 보간법의 불안정성 지표를 다음과 같이 수학적으로 정의하였다. 먼저, 원형 보간법의 불안정성 지표 $M_{circle}$는 식 (4)에서 코너를 부드럽게 잇기 위해 요구되는 원의 반지름 $R$로 정의하였다.

반면, 삼차 보간법의 불안정성 지표 $M_{cubic}$는 코너 구간에서 발생하는 기울기의 급격한 변화량, 즉 이계도함수의 최댓값으로 정의하였다. 식 (10)의 1계 도함수를 수치 미분하여 2계 도함수의 최댓값을 계산한다.

두 지표는 물리적 단위와 값의 자릿수가 상이하므로, 본 연구에서는 공정한 비교를 위해 상용로그를 취하여 비선형적인 발산 추세를 선형화한 페널티 함수 $P_i(\theta)$를 구성하였다.

이후, 각 보간법이 시스템에서 겪을 수 있는 최악의 상황 대비 현재 각도에서의 상대적 위험도($\widehat{P}_i$)를 산정하기 위해, 탐색 구간 내에서 다음과 같이 Min-Max 정규화를 수행하였다.

두 정규화된 페널티 곡선이 교차하는 지점은 두 보간법 중 더 큰 위험도를 나타내는 최대 페널티 곡선이 가장 작아지는 균형점이 된다. 본 연구에서는 이 교차점을 최적 임계각으로 정의하여 탐색하였으며, 그 결과, 그림 6에서 $5.6^\circ$가 최적 전환 임계각으로 도출되었다. 이를 통해 조류 계산 전 구간에서 수치적 불안정성과 기하학적 왜곡을 효과적으로 통제하는 강건한 구성을 확보하였다.

그림 6 정규화된 페널티 곡선을 통한 최적 임계각 도출

Fig. 6. Optimal threshold angle using penalty curves

3.1 목적함수

목적함수는 총 연료비용을 최소화하는 것을 목표로 한다. 연료비는 화력발전기에만 부여하고, 태양광과 풍력자원은 0의 연료비로 모델링한다. MILP 구조를 유지하기 위해 수식 (16)의 2차 연료비용 함수를 수식 (18)-(21)의 구간 선형 표현으로 치환하고, 이들을 합산하여 최종 목적함수를 수식(17)으로 정의한다.

여기서 $Seg$는 출력 구간의 분할 수, $\delta$는 각 구간의 폭을 의미한다. 또한 $P_{T,p}$와 $C_p$는 각각 p번째 분할점에서의 발전기 출력과 연료비용 값을 나타내며, $\lambda_p$는 인접 분할점 사이의 증분비용을 의미한다.

3.2 제약 조건

버스 전압의 크기와 위상, 그리고 선로 용량에 대한 기본 한계 제약을 수식 (22)-(24)으로 부여한다. 이때 선로 전력 흐름은 수식 (24)을 정 n 각형 근사로 선형화하여 수식 (25)로 구현한다. 수식 (26)-(29)는 각각 화력·풍력·태양광·FACTS 발전기·VSC의 출력 상·하한을 규정한다. 전력 균형은 수식 (30)으로 주어지며, MILP 형식을 유지하기 위해 테일러 1차 전개를 적용한 선형식 (31)로 계산한다. 마지막으로, 수식 (32)은 VSC의 전압과 공급 전력을 지정된 값으로 고정하고, Slack 발전기의 위상각 기준을 설정한다.

3.3 인버터 모델링

불감대를 포함한 Q-V 드룹을 등식과 부등식 제약으로 표현하기 위해 가중치 변수 와 이진변수 을 결합한다 ^[13]. 그림 8과 같이 드룹 곡선의 경계점들을 미리 정의하고, 인접한 두 경계점만을 선택하여 그 가중 평균으로 운전점을 표현하면, 하나의 선형 분절을 조건문 없이 활성화할 수 있다. 이때 수식 (33), (34)은 선택된 두 점의 좌표 가중합으로 운전점을 결정하는 과정을 나타낸다.

그림 8 드룹 곡선 분절 선택 및 운전점 결정 예시

Fig. 8. Example of operating-point selection

선택되지 않은 나머지 경계점의 가중치는 0이 되어야 하며, 수식 (35)은 이진변수를 통해 매 시점 두 경계점만 활성화되도록 강제하여, 그림 8의 강조된 부분과 같이 단일 선형 분절만 모델에 반영되게 한다. 최종 OPF의 제약 조건은 3.2의 수식 (18)-(32)과 인버터 모델링 제약 조건 수식 (33)-(35)을 포함한다.

4.1 조류 계산 사례연구

PF 검증은 문헌 ^[11]의 Hybrid AC/DC 시험 계통을 사용한다. 그림 9의 계통은 AC와 DC가 각각 6 버스로 이루어져 있고 Interlinking 컨버터로 상호 연계된다. 우리는 AC측 분산 전원 (Distributed Generator, DG)에 대해 보간 적용 유무를 바꿔가며 조류 계산 결과를 비교하였다. 총 네 가지 사례를 통해 불감대가 특성이 정확히 재현되는지, 제안한 보간이 수치적 안정성을 확보하여 정상상태 해석에 인버터가 무리 없이 통합되는지를 확인한다. 모델 파라미터는 표 1에 정리하였다. 또한, 보간 효과를 더 명확히 보기 위해 참고 논문의 기준 무효전력 부하를 소폭 조정하여 목표 전압 수준을 변화시켰다.

그림 9 Hybrid AC/DC 6 버스 시험 계통

Fig. 9. Hybrid AC/DC 6 bus test system

Case 1은 DG4에만 보간을 적용하여 경계 근방에서 보간이 의도대로 작동하는지 점검한다. 표 2에서 보듯 AC 4번 버스 전압이 보간 구간 내에서 수렴했고, 이에 따라 DG4의 무효전력이 출력이 보간 미적용 대비 증가, 전력 균형에 의한 다른 DG들의 무효전력은 상대적으로 감소하였다. 이는 구현한 보간 방법이 정확히 적용되고 있음을 보여준다.

Case 2는 DG4와 DG5에 보간을 적용하되, DG5의 수렴 전압이 불감대 내부에 머무는 상황을 선택하여, 불감대가 정확히 재현되는지를 점검하였다. 결과적으로 DG5의 무효전력 출력은 보간 적용 여부와 무관하게 0으로 유지되어, 불감대 반영의 정확성을 확인하였다.

Case 3은 모든 분산전원에 보간을 적용하되, 정상운전점이 보간 구간 밖에서 결정되도록 설정하였다. 그 결과 보간 적용 전후의 조류계산 결과가 사실상 동일하게 나타나, 제안한 보간이 경계 부근에서만 국소적으로 작동하며 그 외 구간에서는 불필요한 왜곡을 유발하지 않음을 확인하였다.

마지막으로 Case 4는 DG4에만 보간을 적용한 상태에서 AC 4번 버스의 무효전력 부하를 증가시켜 수렴 전압을 불감대 경계 근처로 이동시켰다. 이때 보간을 적용하지 않으면 경계의 비미분성으로 인해 뉴턴–랩슨 반복이 수치적으로 불안정해져 조류계산이 수렴하지 못했으나, 보간을 적용하면 경계가 미분 가능하게 처리되어 정상적으로 수렴함을 확인하였다.

요약하면, Case 1은 보간 적용의 타당성, Case 2는 불감대 특성의 정확한 구현, Case 3은 보간 구간 외 비왜곡성, Case 4는 경계 근처에서의 수치 안정성 확보라는 필요성을 각각 독립적으로 입증한다. 이를 통해 제안한 국소 보간 절차가 불감대를 충실히 반영하면서도 필요 시에만 개입하여 전력 계통의 정상상태 해석에 안전하게 통합될 수 있음을 확인하였다.

4.2 최적 조류 계산 사례연구

3장에서 제시된 인버터 모델링을 포함한 제주 송·배전 혼합 계통 OPF 결과는 그림 10, 그림 11에 수록하였다. 그림 10은 태양광 발전기에 드룹제어를 적용 유무에 따른 전압 분포와 태양광 발전기의 무효전력 분담을 비교한다. 그림 10의 (a)에서 비드룹 시 태양광 버스 전압이 상·하한에 밀착되고, 전압 제약을 만족시키기 위해 일부 설비의 무효전력이 한계치 부근으로 한계치 부근으로 집중되는 해가 나타난다. 이는 무효전력과 전압의 관계가 부재할 때 무효전력 부담이 전기적으로 유리한 지점에 쏠리기 쉬우며, 그 결과 버스 전압이 한계에 위치하기 쉬워진다. 반면, 그림 10의 (b)는 불감대 밖 구간에서 기울기대로 무효전력이 여러 인버터에 분담되며, 전압 제약이 경계가 아닌 내부에서 충족된다. 그 결과 배전망 전압 분포가 평탄화되고, 운전점의 민감도도 낮아져 해의 견고성이 향상된다.

그림 10 OPF 결과: (a) 비드룹제어 (b) 드룹제어

Fig. 10. OPF results: (a) non-droop (b) droop control

그림 11은 동일한 드룹 환경에서 불감대의 폭만 달리한 결과로 (a) 좁은 불감대, (b) 넓은 불감대를 비교한다. (a)에서는 인버터가 더 이른 전압 수준에서 무효전력 분담을 개입하여 전압 편차를 신속히 줄인다. 반대로 (b)에서는 불감대 구간이 확대되어 개입이 지연되고, 태양광 발전기의 전압 분산 또한 증가하는 모습을 보인다. 더불어, 무효전력 흡수량 감소로 인해 전반적인 전압 분포가 더 높은 수준에서 형성된다. 이는 불감대 폭 변화에 따라 전압과 무효전력의 관계가 명확히 구분되어 제안한 인버터 해석 모델이 계통 해석에 효과적으로 적용될 수 있음을 제시한다.

그림 11 OPF 결과: (a) 좁은 불감대 (b) 넓은 불감대

Fig. 11. OPF results: (a) narrow (b) wide dead-band

한편, 본 연구의 OPF 목적함수는 식 (16)과같이 화력발전기의 총 연료비용 최소화로 정의되며, 제안된 Q-V 드룹 모델은 무효전력과 전압의 관계를 제약 조건으로만 반영한다. 본 연구의 MILP 기반 OPF 정식화는 선형화된 전력방정식, 식 (31)을 기반으로 하므로 선로 손실이 전력 수지에 직접적으로 반영되지 않는다. 또한, 태양광 인버터의 유효전력은 발전비용이 수반되지 않아 최적화 과정에서 상·하한 제약 내에서 가능한 최대 출력을 유지하려는 경향을 띠며, 제안된 드룹 제어는 이와 독립적으로 무효전력을 조정하는 Q-V 관계로 정식화되었다. 따라서 선로 과부하 등으로 인한 인위적인 유효전력 감발이 발생하지 않는 한, 드룹 적용 유무나 불감대 폭의 변화가 선형 OPF 단계의 연료비 목적함수 값에는 직접적인 영향을 미치지 않는다. 즉, 드룹 모델링은 OPF 해에서 무효전력 분담과 전압 제약 만족 위치를 변화시키지만, 손실이 배제된 선형 모델 하에서는 목적함수에 미치는 영향이 제한적이다.

그러나, OPF 해의 물리적 타당성을 검증하기 위해 OPF 결과를 운전점으로 하는 AC 전력조류계산을 수행한 결과, 드룹을 반영한 OPF 해가 비드룹 해에 비해 PF 기준 운영비가 감소하는 경향을 확인하였다. 이는 선형 OPF 단계에서는 명시적으로 고려되지 않던 선로 손실이 PF 단계에 반영되면서, 드룹 제어를 통해 개선된 전압 분포 및 무효전력 분담이 선로 전류를 완화하고 $I^2R$손실을 감소시켰기 때문이다. 결과적으로 슬랙모선이 추가로 감당할 손실 보상 발전량이 줄어들어 총 연료비용 절감으로 이어진다. 일반적으로 비용 최소화 목적에 따른 전압 상승 경향과 로컬 Q-V에 의해 상승한 전압을 낮추려는 경향은 상충을 유발할 가능성이 있으나, 본 제주 송배전 혼합계통 사례에서는 드룹 제약이 비용 최적해를 훼손하기보다는 전압 품질을 안정적으로 보장하였으며, 오히려 PF 검증 단계에서 손실을 낮추어 결과적으로 목적함수 관점의 운영비가 감소하는 방향으로 나타났다. 표 6은 드룹 반영 여부에 따른 선형 OPF 목적함수 값과 AC PF 검증 단계에서 도출된 실제 추가 공급 전력 및 최종 목적함수의 변화를 비교하여 나타낸 것이다.

마지막으로, 제안한 MILP-OPF 정식화의 대규모 배전망 적용 가능성과 연산 효율성을 검증하기 위해, 인버터 대수를 점진적으로 증가시키며 계산시간을 분석하였다. 본 모델은 식 (33)-(35)에 따라 인버터의 드룹 동작 구간 선택을 위해 인버터 1대당 3개의 이진변수를 추가하며, Branch & Bound 기반 탐색을 수행하므로 인버터 수 증가에 따라 계산 부담이 크게 증가할 수 있다. 다만 계산시간은 이진변수 개수에 의해서만 결정되지 않으며, 부하 수준, 전압 제약의 활성화 여부, 드룹 파라미터에 따른 유효구간 선택 패턴에 따라 가지치기 효율이 달라지므로 동일한 인버터 수(22대)에서도 경우에 따라 0.5초에서 수 초까지 변동이 관찰되었다. 즉, 계통 운영점과 제약 활성화 양상에 따라 탐색 트리의 크기가 달라지기 때문에 계산시간에 대한 정확한 분석은 어렵다

그럼에도 불구하고, 인버터 수를 임의로 증가시키며 반복 실험을 수행한 결과(표 7), 22대에서는 0.553초, 125대에서는 15.669초 수준이었으나, 150대에서는 1,000초(최대 설정 시간)를 초과하는 계산시간이 발생하였다. 이는 본 정식화가 수십~100여 대 수준의 인버터 집적 상황에서는 준실시간 해석 가능성을 보이지만, 인버터 수가 수백 대 이상인 대규모 배전망에 대해 동일한 MILP 정식화를 그대로 적용하는 것은 계산시간 측면에서 현실적으로 제한될 수 있음을 시사한다. 따라서 대규모 계통 적용을 위해서는 전기적 거리가 가까운 인버터들을 하나의 등가 모델로 병합하는 군집화 및 등가화 기법을 통해 결정변수의 차원을 물리적으로 축소하거나, Decomposition과 같이 대규모 이진 탐색 부담을 여러 하위 문제로 분산시키는 고도화된 최적화 기법의 도입이 향후 연구로 요구된다.