2.1 등각사상기법 소개

등각사상기법은 복잡한 기하학적 형상을 수식 전개가 용이한 단순 도메인으로 사상(Mapping)함으로써, 지배방정식의 해석적 접근성을 제고하는 방법론이다. 그림 1은 이러한 등각사상기법의 개념적 프로세스를 도식화한 것이다. 본 기법은 구조역학, 유체역학뿐만 아니라 전자기장 해석 등 다양한 물리적 필드 분석에 광범위하게 적용되고 있다.

전자기장의 해석적 풀이는 기본적으로 자유 공간(Free Space) 내 점전하 또는 점자하에 의한 거리 역자승 법칙에 근간하며, 매질의 특성을 반영하기 위해 경계값 문제(Boundary Value Problem)를 해결하는 과정을 거친다. 그러나 전기기기의 경우, 철심의 슬롯 구조로 인해 기하학적 불연속성이 발생하며 이는 해석적 접근을 매우 복잡하게 만든다. 이러한 난점은 MATLAB 환경에서 함수화된 Schwarz-Christoffel(S-C) 변환을 활용하여 해결할 수 있다. S-C 변환을 통해 복잡한 슬롯 형상을 단순화된 평면 도메인으로 사상함으로써, 모터의 공극 자계 해석을 보다 직관적이고 효율적으로 수행할 수 있다.

그림 1 등각사상변환을 활용한 전자계 해석 프로세스

Fig. 1. Electromagnetic field analysis process using conformal mapping

2.2 해석 모델

버니어 모터는 철심으로 인해 발생하는 자속 변조 효과를 활용해 높은 토크밀도를 갖는 모터이다. 적은 슬롯에서 자속 변조 효과를 극대화하기 위해 그림 2와 같이 분할치(Split-Tooth) 구조를 갖도록 내/외부 고정자 형상을 선정하였다. 각 고정자 사이에 영구자석을 배치하여 회전자를 구성하였으며, 자세한 사양은 표 1에 기재하였다.

그림 2 이중 고정자 버니어 모터 단면도

Fig. 2. Cross-sectional view of the double-stator vernier motor

2.3 등각사상기법을 이용한 해석 좌표평면 변환

복잡한 슬롯 형상으로 인해 기존의 해석적 접근만으로는 모터 성능을 정밀하게 평가하기 어려운 한계가 존재한다. 이를 극복하기 위해 본 연구에서는 복소 해석학의 등각사상기법을 도입하여 복잡한 슬롯 형상을 단순한 사각형 구조로 변환하고, 이를 기반으로 체계적인 성능 해석을 수행하였다. 이러한 방법론은 기하학적 복잡성을 효과적으로 단순화하면서도 물리적 특성을 유지할 수 있어, 슬롯 구조에 따른 모터 성능 분석의 정확성과 효율성을 동시에 확보할 수 있다.

사상 전 좌표계에서는 수식(1)과 같이 표현된다. s는 사상 전의 평면함수를 의미하며 방사 방향 길이 r, 접선방향의 각도 $\theta$로 표현한다.

수식(2)에서 m은 로그함수를 이용해 사상한 평면을 의미하며 그림 3과 같이 원통 구조를 직선 꼴로 표현한다.

그림 3 로그함수를 이용한 사상 후 좌표평면

Fig. 3. Coordinate plane after mapping using a logarithmic function

수식 (3)에서 z는 Schwarz–Christoffel 변환을 거쳐 얻어진 평면을 나타낸다. 해당 변환은 복소 평면의 상반부를 특정 다각형 영역으로 사상하는 기법으로, 관련 이론적 배경은 문헌 ^[6]에 상세히 기술되어 있다. 변환 결과에 해당하는 평면은 그림 4에 제시하였다. 한편, 복잡한 슬롯 형상의 m-평면 좌표를 상반 평면으로 옮기는 과정은 직접적인 해석이 까다로우며, 이에 따라 복잡한 계산 과정을 거치거나 MATLAB의 SC-Toolbox를 활용한 수치적 기법을 통해 근사적으로 구할 수 있다.

그림 4 Schwarz-Christoffel 변환 후 좌표평면

Fig. 4. Coordinate plane after Schwarz-Christoffel transformation

2.4 해석적 방법을 통한 자기장 해석

이전 절에서 도출된 좌표 평면은 비교적 단순한 형상을 가지므로, 점전류가 주어졌을 때 이에 따른 자기 포텐셜을 손쉽게 계산할 수 있다. 수식 (4)는 영구자석의 효과를 등가 전류로 치환하는 관계식을 나타내며, 이는 고정자 권선 전류와 함께 해석에 사용되는 소스로 고려된다. 여기서 $B_r$은 영구자석의 잔류 자속 밀도, $l_{pm}$은 자석의 두께, $\mu_0$는 공기의 투자율을 의미한다. 또한, 영구자석의 리코일 투자율은 공기의 투자율과 동일하다 가정하였다.

수식 (5)는 자기 포텐셜의 해석적 해에 그린 함수를 적용하고, 이를 z-평면 좌표계에 맞추어 변환한 일반식이다 ^[8]. 이때 $I_i$는 고정자 권선 및 영구자석을 등가화한 자화 전류를 나타내며, $z$는 관측점의 위치, $z_i$는 전류가 존재하는 지점을 각각 의미한다. 또한, $L$은 그림 4에서 제시된 바와 같이 $z$-평면의 허수축 길이를 나타내며, conj는 공액복소수를 의미한다.

공극자속밀도는 공극에서의 자기포텐셜을 미분하여 수식(6)과 같이 얻어지며, 변환 시 발생하는 크기 변화를 수식(7)과 같이 보상하면 구할 수 있다.

2.5 제안한 기법의 정합성 검증

제안한 등각사상기법을 활용한 전자계 해석의 정합성을 확인하기 위해 유한요소해석의 결과와 공극 자속을 방사 방향 및 원주 방향으로 구분하여 비교한다. 유한요소해석의 철심은 등각사상을 이용한 전자계 해석의 전제조건인 선형투자율을 기준으로 해석했다.

등각사상을 기반으로 한 제안 기법과 기존 유한요소해석을 비교한 결과, 두 방법 간의 높은 정합성이 확인되었다. 해석은 선형 투자율을 기준으로 수행되었으며, 부하 시 공극자속밀도 분포는 그림 5,6과 그림 7,8에서 확인할 수 있듯이 매우 우수한 일치도를 나타내었다.

그림 5 유한요소해석과 제안 기법의 방사 방향 공극자속밀도

Fig. 5. Radial air-gap flux density obtained by FEA and the proposed method

그림 6 유한요소해석과 제안 기법의 방사 방향 공극자속밀도의 조화 분석 결과

Fig. 6. Harmonic analysis of radial air-gap flux density by FEA and the proposed method

그림 7 유한요소해석과 제안 기법의 원주 방향 공극자속밀도

Fig. 7. Tangential air-gap flux density obtained by FEA and the proposed method

그림 8 유한요소해석과 제안 기법의 원주 방향 공극자속밀도의 조화 분석 결과

Fig. 8. Harmonic analysis of tangential air-gap flux density by FEA and the proposed method

그림 9 유한요소해석과 제안 기법의 토크 비교

Fig. 9. Comparison of torque between FEA and the proposed method

그림 10 유한요소해석과 제안 기법의 해석 시간 비교

Fig. 10. Comparison of computation time between FEA and the proposed method

전기각 한 주기 동안의 발생 토크 비교 결과는 그림 9에 제시되어 있으며, Intel I7-14700K CPU와 128GB RAM 환경에서 수행한 해석 결과, 그림 10과 같이 유한요소해석과 제안 기법 간 해석 시간의 차이가 뚜렷하게 나타났다.

2.6 제안한 기법의 한계와 향후 연구 방향

제안된 등각사상 변환 기반의 자계 해석 기법은 기존 모터 해석법 대비 명확한 이점을 지닌다. 기존 해석 방법은 크게 자기등가회로법(MEC), 분할영역법(Sub-Domain Method), 유한요소해석으로 구분된다. 제안 기법은 자기등가회로법과 달리 복잡한 회로 구성의 번거로움이 없으며, 분할영역법에서 나타나는 형상 변화에 따른 경계조건 재정의 및 수식 전개 과정의 복잡성을 배제할 수 있다. 또한, 유한요소해석 대비 연산 속도가 월등히 빨라 해석 효율성이 높다는 장점이 있다.

다만, 본 기법은 선형 투자율을 전제로 하여 해석이 이루어진다는 한계가 있다. 지배 방정식의 간소화를 위해 철심의 투자율을 무한대($\mu = \infty$)로 가정하여 수식을 전개하였으므로, 실제 철심의 자기 포화에 따른 비선형 특성 반영 시 오차가 발생할 수 있다. 최근 전기기기의 고성능·고출력화 추세에 따라 자기 비선형성 고려가 필수적이라는 점을 감안할 때, 이는 향후 연구에서 보완되어야 할 한계이다.

자기 비선형성에 따른 해석적 한계를 극복하기 위해, 향후 연구에서는 간소화된 자기등가회로(Simplified MEC)와 등각사상기법을 결합한 하이브리드 모델을 구축하고자 한다. Wu 등의 선행 연구 ^[9]에 따르면, 철심부는 간소화된 자기등가회로로 모델링하고 공극부는 등각사상기법을 통해 도출된 자속밀도를 입력원으로 활용할 수 있다. 이때 철심의 포화 현상을 등가자화전류로 치환하여 공극 자계에 피드백하는 메커니즘을 적용하면, 등각사상 기반의 해석에서도 높은 정밀도로 자기 비선형성을 반영할 수 있음이 입증된 바 있다. 본 연구에서는 해당 기법을 이중 고정자 구조에 최적화하여 적용함으로써 자계 해석의 정확도를 극대화할 계획이다.