2.1 시장가격과 발전력의 균형상태

전력시장에서 과점형태의 불완전 경쟁을 해석하기 위해서 쿠르노 모형(Cournot)이 주로 사용된다. 모형에서의 선택변수는 발전회사가 선택하는 발전력이다. 시장운영자는 이를 대상으로 전력거래가치를 극대화하는 시장가격을 결정한다. 즉 가격탄력성을 갖는 수요함수에서 사회적 편익(Benefit)이 최대가 되도록 지역별 수요전력의 배분을 계산한다. 제약조건을 포함하여 2차 최적화 문제로 표현하면 다음과 같다.

여기서 결정변수 $d_j$는 지역 $j$에서의 부하전력이고 함수 $p_j = a_j - r_j d_j$는 전력수요함수이고, B는 각 수요함수를 적분하여 계산되는 편익의 총합이다. 수급조건인 (2)에서 $q_i$는 i 발전기에서 선택한 발전력이고 D와 G는 각각 부하와 발전사의 집합, L은 전체 송전선 집합, $T_l$은 송전선 $l$에서의 전력조류이다.

한편 발전사는 이득을 극대화하기 위한 발전력(q)을 선택할 것이고 이는 다음 식과 같다.

여기서 $\pi_i$는 발전사 i의 이득, $p_{ai}$는 모선 i에서 발전가격을 나타내며 한계비용특성은 $mc_i(q_i) = b_i + m_i q_i$ 이다.

모선별 가격($p$)은 식(1)과 관련된 전력수요함수에서 결정되지만 발전사에 적용되는 발전가격($p_a$)은 이와 다르게 정의하는 것이 본 논문에서의 핵심 사항이며 3장에서 설명한다.

2.2 송전선 제약과 복합전략 내쉬균형

시장운영자의 최적조건과 발전사의 최적조건이 동시에 만족되는 상황이 내쉬균형이다. 부등식 제약조건인 식(3)에 구속(binding)이 생기면 혼잡현상이 발생하고 발전사의 이득분포에 불연속 구간이 나타나면서 NE는 복합전략으로 계산된다. MSNE에서 발전사 기대이득 분포 사례를 보면 그림 1과 같다.

그림 1. 복합전략 균형에서 발전사들의 기대이득 분포

Fig. 1. Expected Profits of Gencos at Mixed Strategy NE

그림1은 3인의 발전력 경쟁모형에서 균형상태를 나타낸 것이다. 참여자 1과 3은 최적이득에 해당하는 단일한 최적 선택을 하지만, 참여자 2는 두개의 값에서 동일한 기대이득을 가지므로 두개의 값 중에서 임의로 골라 선택을 하게 된다. 기존의 계산 기법을 적용하여 두 선택에 대한 확률을 계산하면 각각 49%와 51%이다.^[6]

위의 사례에 대한 계통과 수치 데이터는 그림2, 표1과 같고 선로 리액턴스는 $x_{12}=x_{13}=2x_{23}$, 조류의 방향은 모선1에서 모선 2로 향하며, 송전선 제약은 $T_{12} \leq 15$이다.

그림 2. 3모선 사례계통

Fig. 2. Sample System of 3 busess

3.1 송전전력분배계수의 의미

전력계통에서 어떤 송전선로가 특정 전력거래(또는 발전, 부하의 변화)에 얼마나 영향을 받는지를 나타내는 계수를 송전전력분배계수(PTDF)라 한다.^[11] 한 노드에서 1MW 주입(injection) 전력이 증가하고 슬랙모선에서 1MW 주입전력이 감소할 때 관심 대상의 선로에 선로조류가 얼마나 변하는가를 DC 조류계산식에 기반하여 계산한 것이다. 슬랙모선을 제외한 전 모선에 대해 전력식을 세우고 송전선로에서의 선로조류식과 연계하면 다음과 같은 PTDF 행렬이 계산된다^[6,12].

여기서 $B_{branch}$와 $B_{bus}$는 송전선로와 모선에서의 서셉턴스 행렬로 각각 L$\times$N, N$\times$N 이다. L은 선로, N은 슬랙을 제외한 모선의 개수이고 x는 송전선의 리액턴스 벡터이다. C는 선로와 모선 간의 접속(Incidence) 행렬이다. PTDF 행렬의 크기는 L$\times$N이며 행렬에서 각 행벡터는 해당 선로에 대한 PTDF 벡터를 의미한다.

PTDF는 슬랙 모선 지정을 전제로 정의되기 때문에 슬랙모선이 바뀌면 PTDF의 값도 달라지기 마련이다. 그림2의 계통에 대해 살펴보면, 노드 1을 슬랙으로 지정하고 송전선 $T_{12}$에 대한 PTDF 벡터를 계산하면 [0 –0.6 –0.4]이고 노드2를 슬랙으로 계산하면 [0.6 0 0.2], 노드3을 슬랙으로 계산하면 [0.4 –0.2 0]이다.

이렇게 슬랙모선에 따라 동일 모선에서 PTDF 값이 양수일 수도 음수일 수도 있기 때문에 모선과 선로간의 연관성을 절대적 수치로 규정할 수가 없다. 따라서 기존 PTDF를 모선에서의 가격조정에 직접 활용하는 것은 무리가 있다.

3.2 PTDF의 개선

혼잡현상을 완화시키는 모선에서 발전가격에 양의 인센티브를 주면 발전력 증가의 유인(incentive)이 작동하여 발전 입찰량은 증가한다. 반면 혼잡현상을 가중시키는 모선에서 음의 인센티브를 부여하면 발전 입찰량은 감소한다. 이러한 가격 인센티브를 적용함으로써 혼잡현상을 줄일 수 있다.

각 발전기 모선에 어떠한 가격 인센티브를 부여할 것인가가 관건인데 여기에 PTDF 벡터를 활용하는 것이 본 연구의 핵심이다. 이를 위해서는 가정하는 슬랙모선에 따라 PTDF의 값이 달라지면 안되고 일정한 값을 유지해야 한다.

기존 PTDF의 정의를 수정하는 과정은 다음과 같다. 한 모선에서 주입전력 1MW 증가에 대해 이를 상쇄하기 위한 기존 정의는 슬랙모선에서 1MW 전체를 감소시킨다는 것이다. 반면 발전기 모선에서 1/N MW 씩 배분하여 감소시킨다면 슬랙모선의 지정에는 영향을 받지 않게 된다. 여기서 N은 발전기 모선의 개수이다. 즉 슬랙모선에서 1MW 전체를 담당하는 것이 아니라 발전기 모선에서 골고루 분담함으로써 슬랙 지정이 불필요해지고 발전기 모선과 혼잡선로 선로조류 사이의 관계가 절대적 수치로 계산이 된다.

일례로 앞에서의 3모선 계통에 적용하면 수정된 PTDF 벡터는 h=[1/3 –0.8/3 -0.2/3]$^t$으로 계산된다. 이러한 계산은 3.1절에서 슬랙모선에 따른 3개의 PTDF 벡터 [0 –0.6 –0.4], [0.6 0 0.2], [0.4 –0.2 0]를 평균한 것과 일치한다.

3.3 모선가격 인센티브에 PTDF 활용

앞에서 수정된 PTDF h의 양/음수를 고려하면 노드1에서 발전사 $G_1$은 혼잡현상을 증가시키고, 노드 2, 3에서 $G_2$, $G_3$는 혼잡현상을 감소시킨다는 것이며 이는 슬랙의 지정과 무관하다는 것이다. 따라서 수정된 PTDF(h)에 비례해서 발전사에 지급되는 가격을 다음과 같이 조정한다.

여기서 $p_a$는 조정된 발전가격 벡터, $p$는 수요함수에 해당되는 부하가격, $\mathbf{e}$는 단위벡터, $\mathbf{h}$는 수정된 PTDF, $k$는 비례상수이다. 모든 벡터의 차원은 $N_g \times 1$이며 $N_g$는 발전기가 위치하는 모선의 개수이다.

비례상수 $k$를 3이라 가정하고 앞의 사례에 적용하면 $k \cdot \mathbf{h}$ =[1 -0.8 -0.2], 이를 모선가격의 인센티브로 활용하면, 모선 1에서 발전가격은 시장가격보다 1 만큼 낮고, 모선 2에서는 발전가격이 시장가격보다 0.8 만큼 높고, 3에서는 0.2 만큼 높게 설정된다. 이를 식(5)에 적용하여 NE를 구하면 혼잡현상은 감소한다. 하지만 이것만으로 복합전략이 단순전략으로 변하는 것은 아니다. PSNE로 변환하기 위해서는 적정한 파라미터 $k$ 값을 결정해야 한다.

4.1 복합전략의 실무 적용

복합전략에서 선택되는 전략들은 한계이득이 모두 동일하기 때문에 무작위(Random)로 선택이 된다. 어느 전략이 사용될지는 확률적으로만 알 수 있기 때문에 복합전략에서 확률 계산은 필수적이다. 계산의 어려움 외에도 시장에서는 거래결과의 예측과 모선가격의 산정에 불확실성을 초래한다. 따라서 안정적 시장운영이 힘들고 계통 신뢰도를 떨어뜨릴 수가 있다.

실무적 측면에서 보면 복합전략이란 발전사 직원이 확률에 기반하여 무작위로 발전력을 결정한다는 것인데 이는 정확한 이해를 기대하기 어렵고 실행하는데도 현실성이 떨어진다. 따라서 이론적으로 균형상태의 정의에 부합하지만 현실성이 떨어지는 MSNE를 힘들게 계산하는 것 보다는 제도적 보완 등 다양한 방법을 활용해서 PSNE가 나타나도록 하는 것이 바람직하다. 이와 관련한 연구^[9]를 4.2절에서 간단히 살펴보고 본 연구에서 제시하는 기법을 4.3절에서 마무리한다.

4.2 선도-추종자 모형

선도-추종자 모형에서 선도자(Leader)는 경쟁상대의 반응을 고려하면서 자신의 최적선택을 결정한다. 반면 추종자(Follower)는 쿠르노 모형에서의 가정과 동일하게 선도자의 일정한 선택에 대한 최적대응전략을 찾는다^[9,13].

연구 ^[9]에서는 송전선 혼잡시에 정의되는 주참여자^[6]를 선도자로 설정하고 일반참여자를 추종자로 두고서 NE의 계산 기법을 제시하였다. 앞선 그림2의 3모선 계통과 동일한 사례에 적용했는데 결과는 단순전략 NE를 보였으며 시장가격은 52.47, 송전선 $T_{12}$에서의 전력은 15MW로 계산되었다. 관련된 구체적 수치는 5장 사례연구의 표2에서 소개하며 본 연구에서 제시하는 결과와 비교 분석한다.

계산결과만 보면 MSNE를 피하고 PSNE를 발생시킴으로써 본 연구의 목표를 달성한 것으로 볼 수 있지만 NE의 계산과정에서 다수의 추종자 간에도 우선순위를 적용해야만 하는데 이것이 현실적이라 보기는 어렵다. 또한 혼잡선로에 따라 주참여자가 달라지는데 이는 상황에 따라 선도자 역할의 발전사가 바뀐다는 의미이다. 따라서 선도자, 추종자의 역할을 각각 주참여자, 일반참여자로 단순 대치하는 것은 Stackelberg 모형의 기본 전제와 거리가 있다.

4.3 임계 파라미터 결정

앞선 3.3절에서 정의한 파라메터 $k$ 값이 증가할수록 가격 인센티브가 강하게 작용하여 혼잡선로에서의 선로조류는 감소한다. 감소하는 선로조류가 혼잡선로의 한계용량에 이를 때 혼잡은 사라지고 NE는 단순전략으로 나타난다. 이때의 파라미터 $k$를 임계 파라미터라고 칭하며 다음과 같이 계산할 수 있다.

우선 혼잡현상이 나타나지 않는다고 가정하고 NE 조건을 구하면 다음과 같다. 이는 식(1),(2)로부터 구한 것이다.

여기서 $\Delta = 1/\Sigma(1/r_i)$, $\alpha = \Delta \Sigma(a_i/r_i)$이며 a, r은 식(1)에서의 수요함수 계수이다.

한편 발전기 i에서의 NE 조건을 구하면 식(10)과 같다.

식(10.a)를 정리하면 식(10.b)가 되고 이를 전체 발전기에 적용하면 다음 식(11)로 표현된다.

여기서 $M_\Delta$는 $m_i$와 $\Delta$로 이루어진 행렬, $\mathbf{q}$는 발전력 벡터, $\mathbf{b}$는 한계비용의 계수 벡터이다. 송전선 제약을 고려하지 않고 모선가격 조정도 하지 않은 초기상태에서 계산한 것이라 $\mathbf{q}_o$로 나타낸다.

PTDF 인센티브인 식(8)을 적용하여 식(10)에 대입하면 식(11)은 다음과 같이 정리된다.

여기서 $\mathbf{q}_h = M_\Delta^{-1} \cdot \mathbf{h}$이며 PTDF 인센티브를 전력시장의 NE에 적용하면 식(9)는 다음과 같이 바뀐다, $p_a$는 발전가격이다.

한편 NE에서의 부하전력은 다음과 같이 정리된다.

여기서 $\tau = [1/r_1, \dots, 1/r_N]^t$, $\mathbf{d}_o$는 초기상태 NE에서의 부하전력 벡터이며 $d_{0i} = (a_i - p)/r_i$이다.

발전기 모선에서 주입(injection) 전력은 $\mathbf{q}_a - \mathbf{d}_a$이며 식(12.b)와 (14)를 대입하고 PTDF를 이용하여 혼잡선로에서의 선로조류를 계산하면 다음과 같다.

여기서 $T_o$ 는 초기상태에서의 혼잡선로 선로조류이다.

PTDF 인센티브가 적용된 NE가 단순전략이 되기 위해서는 혼잡선로에서의 선로조류가 한계용량($T_{cap}$)의 값을 넘으면 안된다. 따라서 식(15)의 선로조류가 한계용량과 같을 때 $k$는 임계 파라미터가 되며 다음과 같이 계산된다.

5.1 3모선 사례의 비교 분석

앞선 그림2의 3모선 계통과 표1의 수요/공급에 대해 송전선 제약조건을 고려하지 않은 상태에서 NE를 계산하면 가격은 49.47, 발전력은 q=[84.21, 51.82, 55.71]이며 이때 송전선 $T_{12}$ 에서의 선로조류는 23.8이다.

$T_{12}$의 한계용량이 15MW라는 제약조건을 포함해서 NE를 계산하면 복합전략 NE가 나타난다. 휴리스틱 기법^[6]을 사용하여 계산한 결과, 그림1에서 보였듯이 발전기 $G_1$, $G_3$ 에서는 60.23, 60.95를 선택하고 $G_2$는 [56.1, 46.3] 두 개 값을 [49%, 51%]의 확률로 선택하게 된다.

또한 동일한 계통과 조건에 대해 선도-추종자 기법^[9]을 적용하여 NE를 구하면 표2와 같은 PSNE가 계산된다.

본 연구에서 제시한 PTDF 기법을 $T_{12}$ 에 적용하여 수정된 PTDF 벡터를 구하면 h=[1/3 –0.8/3 –0.2/3]$^t$이다. 또한 임계 파라미터 $k$를 식(16)에 의해 구하면 $k_{cr}$=23.76이다. 이를 적용하여 NE를 구하면 단순전략이 나타나며 각 모선에서의 부하와 발전력은 다음 표3과 같다. 이때의 $T_{12}$의 조류는 15이다. 파라미터 $k$가 임계값 이상이면 보다 강한 인센티브가 작용하여 선로조류는 한계용량보다 작아진다.

부하가격은 전체에서 균일한 반면 발전사에 지급하는 발전가격은 PTDF 벡터에 비례한 만큼 모선별 편차가 있다. 따라서 부하에서 받는 총수입과 발전사에 지급하는 총지급액에는 차이가 발생한다. 총수입은 9456.3(=49.75$\times$190.1), 총지급액은 9412.8로서 43.5 만큼이 남게 된다. 이를 송전혼잡수익(Transmission Congestion Surplus)이라 하며 송전망 운영자나 관련 시장참여자에게 귀속되는게 일반적이다^[15]. 한편 MSNE^[6]에서 혼잡현상이 51% 발생하며 혼잡수익을 계산하면 25.81이 된다.

또한 발전사의 이득 총액, 사회적후생(Social Welfare)을 앞서 설명한 3가지 기법에 대해 비교 정리하면 다음 표4와 같다. PTDF 기법에서 거래전력, 혼잡수익, 사회적후생이 가장 크게 나타나며 발전사 이득은 가장 작은 값을 보인다. 모선별 발전사 이득을 보면 복합전략 기법에서 $\pi$=[1992.5, 1160.3, 1467.8]이고 총합은 4620.6이다. 송전선 $T_{12}$ 에서의 혼잡현상을 완화시키는 위치에 있는 $G_2$ 이득은 기법 1, 2, 3에서 각각 1160<1430<1484로 기법3에서 가장 크게 나타났고, 혼잡현상을 유발시키는 위치의 $G_1$ 이득은 기법3에서 가장 작게 나타났다. 따라서 혼잡현상 해소를 위한 가격 인센티브의 효과가 적절히 나타났다고 볼 수 있다.

한편 제안한 PTDF 대신에 기존의 PTDF를 적용해서 균형상태를 계산한 결과, 기준모선이 어디인가에 따라 각 발전사의 이득이 달라짐을 확인하였다. 따라서 기준모선의 결정에 대해 논란이 발생하고 시장에서의 합의를 도출하기가 어려워진다.

5.2 IEEE 30 모선 계통에서의 NE

사례계통을 IEEE 30 모선으로 확장해서 적용한다^[14]. 계통은 그림 3과 같으며 25개 모선에 부하가 있고 6개 모선에서 6개 발전기가 공급경쟁하는 시장을 쿠르노 모형으로 해석한다. 수요함수와 발전비용함수는 연구^[6]에서의 설정한 조건을 그대로 사용한다. 수요함수는 25개 모선에 동일하게 $p_i = 6.0 - 0.2 d_i$로 두고 비용함수는 표 5와 같다.

그림 3. 6인이 참여하는 IEEE 30모선 계통

Fig. 3. Diagram of IEEE 30-Bus System

송전선 제약조건을 제외하고 NE를 구하면 발전력은 q=[47.35, 58.66, 21.94, 24.61, 21.94, 41.43]이다. 이 때 송전조류가 최대인 선로는 모선2에서 모선6으로 향하는 $T_{26}$ 에서 24.94이다. 모든 선로의 한계용량을 20으로 두고 제약조건을 반영하여 NE를 구하면 복합전략이 나타난다.

MSNE 상태에서 G1~G5 5개의 발전사는 다음과 같이 각각 1개씩의 발전력만 선택한다. q=[42.03, 47.25, 23.39, 25.19, 23.36] 반면 G6 발전사는 [44.68, 40.6] 2개의 발전력을 각각 [86% 14%]의 확률로 선택을 한다^[6].

5.3 IEEE 30 계통에 PTDF 기법 적용

모선가격에 차등 인센티브를 적용하기 위해서는 우선 발전기가 위치하는 6개의 모선과 혼잡선로 $T_{26}$ 선로조류 사이의 PTDF를 분석해야 한다. 다음 표6은 슬랙모선에 따른 6개 발전 노드 PTDF를 행렬로 나타낸 것이다.

본 연구에서 제시하는 슬랙과 무관한 PTDF를 얻기 위해 각각의 열벡터를 평균 계산하면 h=$\frac{1}{6}$[1.084 1.423 -0.480 -0.679 –0.588 –0.760]$^t$이다. 또한 식(16)을 이용하여 임계 파라미터를 계산하면 k=1.638이다.

이를 발전기 모선가격에 인센티브로 적용하여 NE를 계산하면 단순전략이 나타나며 표 7과 같다. 부하에서 가격은 균일하게 4.27이고 25개 부하전력은 8.63으로 동일하다. 부하전력의 총합이 215.75이므로 부하로부터 받는 전체 금액은 922.10이다. 반면 발전 노드에서의 가격은 PTDF 값에 양수인 모선에서는 감소, 음수인 모선에서는 증가한 것을 알 수 있다. 차등 발전가격을 적용하여 발전사에 지불하는 전체 금액을 계산하면 912.93이다. 따라서 혼잡수익은 9.17이다. MSNE 에서의 혼잡수익은 확률을 적용한 가중평균으로 구해지며 혼잡전략 비율 14%를 적용하면 0.31이다.

본 연구에서 제안한 기법(PTDF)를 기존의 MSNE와 종합적으로 비교하면 표8과 같이 거래전력, 혼잡수익, 사회적후생에서 큰 값을 보인다. 반면 발전사의 이득은 감소한다. 모선별로 구분하면 MSNE에서 이득은 $\pi$=[63.59, 83.9, 18.07, 44.93, 18.07, 32.62]이고 총합은 261.19이다.

수정 PTDF인 h에서 양의 값을 갖는 G1, G2는 $T_{26}$의 혼잡현상을 강화시킨다. 이로 인해 가격 인센티브가 음수로 작용했으며 발전사의 이득은 MSNE에 비해 크게 감소했음을 알 수 있다. 나머지 4개 발전사의 h 값은 음수로서 수전단인 모선6과 관련성이 높고 혼잡현상을 완화시키는 작용을 하여 발전사의 이득은 모두 증가하였다.