2.1 배터리 셀 및 데이터 수집 절차

본 연구에서는 파라미터 추정을 위한 전압·전류 데이터를 확보하기 위해 SK On의 NMC(Nickel–manganese–cobalt) 계열 파우치형 배터리 셀(E556, 55.6 Ah, 202.9 Wh)을 사용하였다. 해당 셀의 외형 치수는 355 × 100 × 9.5 mm (L × W × H), 중량은 745.3 g이다. 그림 2는 대상 셀과 시험 구성을 나타내며, 온도 제어가 가능한 챔버 환경에서 배터리 테스터를 이용해 충·방전 시험을 수행하였다. 시험에는 실제 운행에서 관측되는 부하 변동을 모사하기 위해 전류 부하 프로파일을 적용하였고, 이 과정에서 측정된 전압·전류 신호를 RLS 기반 파라미터 추정의 입력 데이터로 사용하였다. 또한 용량 시험과 OCV 시험을 통해 용량 및 OCV–SOC 특성 데이터를 확보하여 모델 초기화 및 기준 특성으로 활용하였다^[18]. 해당 데이터를 기반으로 그림 2의 1RC 등가회로 모델 파라미터를 추출하였다. 그림 2의 등가회로는 OCV 전압원, 내부 직렬 저항(Series resistance; $R_{i}$) 그리고 분극 저항(Polarization resistance; $R_{p}$) 및 분극 커패시턴스(Polarization capacitance; $C_{p}$)의 병렬 RC 소자로 구성되며, 단자 전압 $V_{t}$는 식 (1)과 같이 표현된다. 여기서 $V_{t}$는 배터리의 단자 전압(Terminal voltage)을 나타내며, 개방전압 기준에서 내부 직렬 저항 및 병렬 RC 소자에 의한 전압 강하가 반영된 실제 측정 전압이다. 내부 직렬 저항은 식 (2)와 같이 전류 인가 직후 순간 전압 강하 $\Delta V_{1}$에 옴의 법칙을 적용하여 산출하였다. 분극 저항은 휴지 구간에서 전압이 완화되는 동안 나타나는 전압 변화량 $\Delta V_{2}$에 옴의 법칙을 적용하여 식 (3)으로 산출하였으며, 분극 커패시턴스는 해당 완화 구간의 시정수 $\tau$를 $R_{p}$로 나누어 식 (4)를 통해 산출하였다^[5]. 각 파라미터는 SOC 5% 간격으로 추출하였으며, Look-up table 방식으로 전 SOC 구간에 대해 보간하여 등가회로 모델에 적용하였다. 모든 시험은 25 ℃에서 수행하였으며, 수집된 전압·전류 데이터는 이후 RLS 기반 파라미터 추정 및 전압 응답 재현에 활용되었다.

그림 2 실험 환경 및 추정된 모델 파라미터 기반 등가회로 모델

Fig. 2 Experimental setup and equivalent circuit model based on estimated model parameters

2.2 RLS 알고리즘의 구성 및 설계

배터리 상태 진단을 위해서는 정상 조건뿐 아니라 비정상 조건에서의 전압 응답 데이터가 필요하나, 실제 고장 상황에서 데이터를 직접 취득하는 것은 안전상의 이유로 매우 어렵다. 또한 기존의 최소자승법(Least squares; LS)과 같은 배치 기반 추정 방식은 전체 데이터를 일괄 처리하는 구조로, 실제 운용 환경에서 시시각각 변하는 부하 전류, SOC, 온도 등의 조건 변화를 실시간으로 반영하기 어렵다는 한계가 있다. 특히 새로운 데이터가 추가될 경우 전체 데이터를 다시 계산해야 하므로 계산 효율 측면에서도 비효율적이다. 한편, OCV–SOC 기반 Look-up table은 SOC 구간별 기준 파라미터를 제공하고 초기값 설정에는 유용하지만, 실제 운용 중 부하 변동, 전류 이력 및 시간에 따른 파라미터 변화를 실시간으로 반영하기에는 한계가 있다. 따라서 조건 반영 계수를 적용한 전압 응답 모사를 위해서는 고정된 기준 파라미터만을 사용하는 방식보다, 운용 전압·전류 데이터가 입력될 때마다 파라미터를 순차적으로 갱신할 수 있는 추정 기법이 필요하다. 이러한 문제를 해결하기 위해 본 연구에서는 RLS 알고리즘을 도입하였다. RLS는 새로운 측정값이 입력될 때마다 파라미터를 순차적으로 갱신하는 재귀적 구조를 가지므로, 동적 운용 조건에서도 모델 파라미터를 실시간으로 추적할 수 있다^[19]. 이를 통해 정상 조건에서 추정된 파라미터에 비정상 조건의 임피던스 변화율을 스케일링 형태로 적용함으로써, 실제 고장 데이터 없이도 조건별 전압 응답을 재현할 수 있는 기반을 마련하였다.

RLS 알고리즘을 이용하여 전기적 등가회로 모델(Electrical equivalent circuit model; EECM)의 내부 파라미터를 추정하였다. 초기 추정값은 대표 조건으로서 SOC 50% 부근에서 사전 식별한 파라미터를 사용하였다. 중간 SOC 구간은 OCV 변화가 비교적 완만하여 전압–전류 관계의 급격한 비선형성이 상대적으로 작으므로, 초기 추정값 설정을 위한 기준 구간으로 활용하기에 적절하다^{[20] [21]}. 이때 초기 파라미터값은 2.1절의 OCV 시험을 통해 구축한 Look-up table로부터 해당 SOC 구간의 값을 추출하여 설정하였다. 또한 RLS의 재귀적 갱신 특성을 고려하여 고 SOC 및 저 SOC 초기값 조건에 대해서도 추가 검증을 수행하였으며, 그 결과 서로 다른 초기 SOC 조건에서도 내부 파라미터 추정 및 전압 재현이 가능함을 확인하였다. 관련 결과는 그림 3 및 그림 4에 제시하였다. 과거 데이터의 반영 정도를 조절하는 망각 계수(Forgetting factor; $\lambda$)는 0.99로 설정하였으며, $\lambda$ 후보값에 대해 전압 재현 오차와 추정 파라미터 변동성을 비교한 결과, 최근 데이터에 대한 적응성과 추정 안정성 간 균형이 가장 양호한 값으로 판단되었다. 초기 설정값과 $\lambda$는 표 1에 정리하였다.

RLS는 예측 오차를 최소화하도록 파라미터를 순차적으로 갱신하는 알고리즘으로, 본 연구에서는 이를 배터리 전류 및 전압 데이터를 이용한 전기적 등가회로 파라미터 추정에 적용하였다. 구체적인 추정 과정은 네 단계로 이루어지며, 식 (5)~(8)으로 정리된다. 식 (5)는 입력 전류 정보를 포함한 회귀 벡터와 측정 전압을 기반으로 예측 오차를 정의하고, 식 (6)은 이를 반영해 게인 벡터를 계산한다. 식 (7)은 게인 벡터를 활용해 이전 추정값을 갱신하며, 식 (8)은 오차 공분산 행렬을 업데이트하여 추정의 안정성을 확보한다. 이러한 절차를 통해 RLS 알고리즘은 다양한 운용 조건에서도 전기적 등가회로 모델의 내부 파라미터를 실시간으로 추적할 수 있음을 확인하였다.

그림 3 SOC 초기값 기반 RLS 알고리즘을 통한 시간 변화에 따른 내부 파라미터 추정 결과: (a) SOC 50% 초기값 조건, (b) SOC 95% 초기값 조건, (c) SOC 10% 초기값 조건

Fig. 3 Estimated internal parameters over time using the RLS algorithm based on initial SOC values: (a) initial values set at SOC 50%, (b) initial values set at SOC 95%, and (c) initial values set at SOC 10%

그림 3(a)는 SOC 50% 초기값 기반 RLS 알고리즘으로 추정한 내부 파라미터의 시간 변화를 나타내며, 내부 직렬 저항과 병렬 RC 가지 파라미터가 전체 시험 구간에서 안정적으로 갱신되는 경향을 보인다. 이는 설정한 초기값과 갱신 구조가 추정 과정에서 안정적으로 동작함을 시사한다. 추가 검증에는 SOC 97%~9% 구간을 11% 간격으로 운행한 주행 프로파일 기반 데이터를 사용하였으며, 고 SOC 및 저 SOC 조건 검증은 각각 SOC 95% 및 SOC 10% 초기값을 적용하여 수행하였다. 그 결과를 그림 3(b), (c)에 나타내었으며, 두 조건 모두에서 파라미터가 전반적으로 안정적으로 갱신되어 서로 다른 초기값 조건에서도 RLS 기반 파라미터 추정 방법의 적용 가능성을 확인하였다.

그림 4 초기 SOC 조건에 따른 RLS 추정 결과 비교: (a)–(c) SOC 50% 초기값 조건, (d)–(f) SOC 95% 초기값 조건, (g)–(i) SOC 10% 초기값 조건. (a), (d), (g)는 SOC 변화, (b), (e), (h)는 측정 전압과 RLS 추정 전압의 비교, (c), (f), (i)는 두 전압 간 오차 분포

Fig. 4 Comparison of RLS estimation results under different initial SOC conditions: (a)–(c) initial values set at SOC 50%, (d)–(f) initial values set at SOC 95%, and (g)–(i) initial values set at SOC 10%. (a), (d), (g) show SOC variation, (b), (e), (h) show the comparison between measured and RLS-estimated voltages, and (c), (f), (i) show the voltage error distribution

그림 4는 초기값 조건에 따른 RLS 추정 결과 비교를 나타낸다. (a)~(c)는 SOC 50% 초기값 기반 결과로, 각각 SOC 변화, 측정 전압과 RLS 추정 전압의 비교, 두 전압 간 오차 분포를 나타낸다. 시험 구간에서 SOC는 완만히 감소하였고, 추정 전압은 측정 전압과 높은 일치도를 보였다. 다만 그림 4(b)에서 RLS 추정 전압이 측정 전압보다 다소 높게 나타나는 경향이 관찰되었다. 이는 RLS 초기값으로 설정한 SOC 50% 기준 OCV와 실제 주행 데이터의 운용 구간(SOC 약 64%~53%)에서의 OCV 차이로 인해 추정 전압에 양(+)의 오프셋이 발생한 것으로 판단된다. 즉, 초기 개방전압 기준값이 실제 운용 구간보다 다소 낮게 설정됨에 따라 추정 전압이 측정 전압 대비 전반적으로 높게 형성된 것으로 해석된다. 전압 오차는 전 구간에서 1% 이내로 유지되어, 제안한 RLS 기반 모델이 운용 신호 재현에 필요한 예측 정밀도를 확보함을 확인하였다. 또한 RLS 알고리즘의 가용 운용 범위 내 적용 타당성을 추가 검증하기 위해 SOC 95% 및 SOC 10% 초기값을 적용한 결과를 (d)~(f) 및 (g)~(i)에 나타내었다. 95% 초기값 조건에서는 전압 오차가 전 구간에서 1% 이내로 유지되어 고 SOC 조건에서도 안정적 추정이 가능하였으며, 10% 초기값 조건에서도 전압 오차가 전 구간에서 1% 이내로 유지되어 저 SOC 조건에서도 적용 가능함을 확인하였다. 이를 통해 제안한 RLS 기반 파라미터 추정 방법이 본 연구에서 확보한 SOC 97%~9%의 가용 운용 범위 내에서 타당하게 적용될 수 있음을 확인하였다. 전압 추정 정확도를 정량적으로 평가하기 위해 측정 전압과 RLS 추정 전압 간 오차를 기준으로 평균제곱근오차(Root mean square error; RMSE), 평균절대오차(Mean absolute error; MAE), 평균절대백분율오차(Mean absolute percentage error; MAPE)를 산출하였다. 표 2는 각 초기값 조건 및 운용 구간에서의 전압 추정 오차 지표를 정량적으로 나타낸 것이다. 모든 조건에서 MAPE는 0.5% 이내로 유지되었으며, 초기 SOC 50% 조건에서는 운용 SOC가 낮아질수록 오차가 증가하는 경향이 나타났다. 이는 초기 OCV 기준값과 실제 운용 구간 간 차이의 영향이 반영된 결과로 해석된다. 반면 95% 및 10% 초기값 조건에서는 구간별 오차가 전반적으로 안정적으로 유지되어, 제안한 RLS 기반 전압 추정 방법이 서로 다른 초기값 조건에서도 정량적으로 타당하게 적용될 수 있음을 확인하였다.

2.3 EIS 기반 파라미터 변화율 분석 및 조건 반영 계수 설정

비정상 조건에서 관측되는 전기화학적 변화가 시간 영역 전압 응답에 반영되도록, 조건 간 EIS 비교를 위한 기준 SOC를 설정하였다. 이때 2.2절에서 사용한 SOC 50% 초기값은 RLS 알고리즘의 수렴 안정성과 전압 응답 재현성을 검토하기 위한 초기 파라미터 설정 기준이며, 본 절에서 사용하는 EIS 기준 SOC는 조건별 임피던스 변화율을 산정하기 위한 비교 기준이다. 따라서 두 SOC 조건은 각각 RLS 기반 전압 모사와 EIS 기반 변화율 분석에서 서로 다른 역할을 가진다. 본 절의 EIS 기반 파라미터 변화율 분석은 정상 조건과 비정상 조건을 동일한 SOC에서 비교하여, 조건 변화에 따른 임피던스 성분의 상대 변화율을 도출하는 것을 목적으로 한다. 본 연구에서는 기준 SOC로 97%를 선정하였으며, 이는 사용된 주행 프로파일 데이터가 SOC 97%에서 시작하여 정상 및 비정상 조건의 EIS를 동일한 SOC 조건에서 측정하기에 적합하였기 때문이다. 이를 통해 SOC 차이에 의한 영향을 배제하고, 조건별 임피던스 특성 차이만을 일관된 기준에서 비교할 수 있도록 하였다.

본 연구의 비정상 조건은 전기적 이상을 모사한 단락 모사 조건, 기계적 손상을 모사한 국부 압흔(찍힘) 모사 조건, 열적 이상을 모사한 75 ℃ 열 노출 조건으로 구성하였다. 이 중 75 ℃ 열 노출 조건은 배터리 화재 또는 열폭주 자체를 재현하기 위한 조건이 아니라, 물리적 파손 이전 단계에서 나타날 수 있는 열적 변화에 따른 임피던스 특성 변화를 관찰하기 위한 조건으로 설정하였다. NMC 계열 배터리에서는 약 69 ℃ 부근부터 SEI 층 분해와 같은 초기 열적 변화가 시작될 수 있으므로^[22], 본 연구에서는 75 ℃를 정상 운용 범위를 초과한 열 노출 조건으로 설정하였다. 이와 같이 동일 SOC 기준에서 설정된 정상 및 비정상 조건의 EIS 스펙트럼으로부터 파라미터를 추출하였으며, 그 산출 기준은 그림 5와 같다.

그림 5 EIS 나이퀴스트 선도 기반 Rs, Rct 및 Cdl 산출 기준 개념도

Fig. 5 Schematic representation of Rs, Rct, and Cdl extraction criteria from the EIS Nyquist plot

그림 5는 나이퀴스트 선도에서 본 연구에 사용한 EIS 파라미터의 산출 기준을 개략적으로 나타낸 것이다. EIS 스펙트럼은 동일한 분석 기준에 따라 저항성 성분(Series resistance; $R_{s}$), 계면 반응 및 분극 성분(Charge transfer resistance; $R_{ct}$), 축전 성분(Double-layer capacitance; $C_{dl}$)을 추출하였다^[23]. 각 파라미터는 나이퀴스트 선도를 기반으로 산출하였다. $R_{s}$는 나이퀴스트 선도에 허수부가 0이 되는 지점(zero-crossing point)의 Zre 값으로부터 식 (9)를 이용하여 산출하였다. $R_{ct}$는 반원 영역에서 peak point의 Zre 값과 $R_{s}$의 차이의 2배를 이용하여 식 (10)과 같이 계산하였다. $C_{dl}$은 peak point에서의 주파수 f와 $R_{ct}$를 이용하여 식 (11)과 같이 산출하였다. 이렇게 계산된 각 조건의 $R_{s}$, $R_{ct}$, $C_{dl}$값을 정상 조건(25 ℃, SOC 97%) 기준으로 정규화하여 표 3의 변화율을 도출하였다.

표 3의 결과는 조건에 따라 임피던스 성분의 변화 크기와 방향이 상이함을 보여주며, 특히 일부 비정상 조건에서는 $C_{dl}$ 변화가 두드러지게 나타나 계면 축전 거동 변화가 크게 반영되었음을 시사한다. 반면 다른 조건에서는 $R_{s}$ 및 $R_{ct}$의 변화가 상대적으로 제한적이거나 변화 방향이 상이하여, 조건별로 변화가 크게 반영되는 임피던스 성분이 다를 수 있음을 시사한다. 산정된 변화율은 비정상 조건의 특성이 시간 영역 전압 응답에 반영되도록, RLS 기반 EECM 파라미터 갱신 결과에 적용되는 조건 반영 계수로 사용하였다. 이때 EIS에서 추출한 $R_{s}$, $R_{ct}$, $C_{dl}$을 모델 내부 파라미터에 직접 대응시키기보다, 각 성분의 변화 방향과 상대 크기가 EECM 파라미터 군에 등가적으로 반영되도록 스케일링 관점에서 구성하였다. 구체적으로, 전해질 및 접촉 저항에 해당하는 $R_{s}$의 변화는 내부 직렬 저항 $R_{i}$에, 전극 계면에서의 전하 전달 거동을 반영하는 $R_{ct}$의 변화는 분극 저항 $R_{p}$에, 계면 축전 특성을 나타내는 $C_{dl}$의 변화는 분극 커패시턴스 $C_{p}$에 각각 반영하였다. 따라서 본 절에서 산정한 EIS 기반 파라미터 변화율은 비정상 조건의 임피던스 특성을 RLS 기반 등가회로 모델에 반영하기 위한 조건 반영 계수로 정의된다.

2.4 RLS 기반 조건 반영 전압 응답 모사 및 비교

앞 절에서 도출한 EIS 기반 파라미터 변화율을 조건 반영 계수로 정의하고, 정상 조건에서 RLS로 추정된 등가회로 파라미터에 스케일링 형태로 적용하여 단락 모사, 국부 압흔(찍힘) 모사, 75 ℃ 열 노출 조건의 전압 응답을 생성하였다. 즉, 주파수 영역에서 관측된 임피던스 변화가 시간 영역 전압 응답에 반영되도록 모델 파라미터를 조정함으로써, 조건별 전압 거동 차이를 재현하였다. 그림 6은 SOC 50% 초기값 기반 결과로, 정상 상태에서 측정된 기준 전압과 조건 반영 계수를 적용한 RLS 기반 모사 전압의 시계열 비교 및 정상 기준 전압 대비 전압 상대 편차(%)를 함께 제시한다. 앞서 설명한 바와 같이 50% 초기값 조건에서는 초기 기준값과 실제 운용 구간 간의 차이로 인해 RLS 모사 전압이 측정 전압보다 다소 높게 나타나는 경향이 관찰되었다. 조건에 따라 전압 편차의 크기와 시간적 분포가 상이하게 나타났으며, 이는 앞 절에서 산정한 조건별 변화율이 시간 영역 전압 모사 과정에 정량적으로 반영되었음을 보여준다. 또한 서로 다른 초기값 조건에서의 적용 가능성을 검증하기 위해 SOC 95% 및 SOC 10% 초기값 조건에서도 동일한 조건 반영 계수를 적용하여 전압 응답을 모사하였으며, 그 결과를 그림 7 및 그림 8에 나타내었다. 95% 초기값 조건에서는 전압 편차가 전반적으로 더 작고 안정적으로 유지되는 경향이 나타났으며, 10% 초기값 조건에서는 특히 75 ℃ 조건에서 전압 편차가 상대적으로 증가하는 경향이 관찰되었다. 그러나 비정상 조건별 전압 거동의 상대적 차이는 서로 다른 초기값 조건에서도 전반적으로 일관되게 재현되었다.

그림 6 SOC 50% 초기값 기반 조건 반영 계수 적용 결과: 정상 기준 전압과 RLS 모사 전압의 비교 및 정상 기준 대비 전압 상대 편차(%): (a), (d) 단락 모사 조건, (b), (e) 국부 압흔(찍힘) 모사 조건, (c), (f) 75 ℃ 열 노출 조건

Fig. 6 Results with condition-dependent scaling under the initial SOC 50% condition: comparison between the healthy reference voltage and the RLS-simulated voltage, and the corresponding voltage variation (% relative to the reference): (a), (d) short-circuit-like condition, (b), (e) localized indentation-like condition, and (c), (f) 75 ℃ thermal exposure condition

그림 7 SOC 95% 초기값 기반 조건 반영 계수 적용 결과: 정상 기준 전압과 RLS 모사 전압의 비교 및 정상 기준 대비 전압 상대 편차(%): (a), (d) 단락 모사 조건, (b), (e) 국부 압흔(찍힘) 모사 조건, (c), (f) 75 ℃ 열 노출 조건

Fig. 7 Results with condition-dependent scaling under the initial SOC 95% condition: comparison between the healthy reference voltage and the RLS-simulated voltage, and the corresponding voltage variation (% relative to the reference): (a), (d) short-circuit-like condition, (b), (e) localized indentation-like condition, and (c), (f) 75 ℃ thermal exposure condition

그림 8 SOC 10% 초기값 기반 조건 반영 계수 적용 결과: 정상 기준 전압과 RLS 모사 전압의 비교 및 정상 기준 대비 전압 상대 편차(%): (a), (d) 단락 모사 조건, (b), (e) 국부 압흔(찍힘) 모사 조건, (c), (f) 75 ℃ 열 노출 조건

Fig. 8 Results with condition-dependent scaling under the initial SOC 10% condition: comparison between the healthy reference voltage and the RLS-simulated voltage, and the corresponding voltage variation (% relative to the reference): (a), (d) short-circuit-like condition, (b), (e) localized indentation-like condition, and (c), (f) 75 ℃ thermal exposure condition

3.1 STFT 기반 시간–주파수 변환 및 PEIS 산출 절차

앞 장에서는 RLS 기반 전압 모사 모델에 조건 반영 계수를 적용하여 조건별 전압 응답을 시간 영역에서 재현하였다. 그러나 시간 영역 파형 비교만으로는 조건별 차이가 어떤 지배 동특성의 변화에서 기인하는지 분리하기 어렵고, 전압·전류 신호에 포함된 주파수 성분 분포의 변화를 체계적으로 해석하는 데에도 한계가 있다. 이에 본 연구에서는 전압·전류 신호를 시간–주파수 영역으로 전개하여 성분 변화를 동시에 관찰할 수 있는 단기 푸리에 변환(Short-time Fourier transform; STFT)을 적용하였다. 이를 통해 조건별 응답 차이를 주파수 성분 관점에서 정량화하고, 동일 시간–주파수 좌표에서의 전압–전류 성분비로 운용 신호 기반 임피던스 산출을 위한 입력 정보를 구성하였다.

STFT는 신호를 일정 길이의 시간 창(window)으로 분할한 뒤 각 구간에 푸리에 변환을 적용함으로써, 시간에 따른 주파수 성분의 변화를 함께 분석하는 시간–주파수 해석 기법이다. 일반 푸리에 변환은 전체 구간을 대상으로 주파수 스펙트럼을 산출하므로 시간 변화 정보를 제공하기 어렵지만, STFT는 국소 구간별 스펙트럼을 산출하여 주파수 성분의 시간적 변화를 평가할 수 있다. 따라서 조건별 전압 응답에서 나타나는 주파수 분포 차이를 비교·분석하는 데 적합하다. STFT는 시간 $t$와 주파수 $\omega$의 함수로 정의되며, 시간 창 함수 $w(t-\tau)$를 이용하여 다음과 같이 표현된다. 식 (12)와 (13)은 각각 시간 영역 전압 $v(\tau)$과 전류 $i(\tau)$에 창 함수를 적용한 후 STFT를 수행하여 시간–주파수 영역의 전압 $V(t,\omega)$와 전류 $I(t,\omega)$성분을 산출한 것이다. 여기서 $t$는 분석 구간의 시간 위치를, $\omega$는 각주파수($\omega = 2\pi f$)를 의미하며, $w(t-\tau)$는 분석 구간을 제한하기 위한 창 함수이다. 또한 식 (14)는 동일한 $(t,\omega)$ 좌표에서의 전압–전류 성분비로 복소 임피던스 $Z(t,\omega)$를 정의한 것으로, 시간과 주파수에 따른 임피던스 성분을 계산할 수 있게 한다. 본 절에서는 위 정의에 따라 $V(t,\omega)$, $I(t,\omega)$ 및 $Z(t,\omega)$를 산출하며, 산출된 임피던스 성분을 이용한 조건별 PEIS 구성 및 비교는 다음 절에서 다룬다.

본 연구에서 산출되는 임피던스 $Z(t,\omega)$는 전통적인 EIS 측정에서 얻어지는 절대 임피던스와 구별되는 운용 신호 기반 수동 임피던스(PEIS)로, 실제 주행 전압·전류 신호의 주파수 성분과 신호 크기를 반영한다. 따라서 PEIS로부터 산출되는 임피던스의 절대 수치는 EIS 측정값과 상이하게 나타날 수 있으며, 본 연구에서는 절대 임피던스의 직접 추정보다는 조건 간 상대적 임피던스 패턴 비교에 중점을 두었다.

3.2 STFT 기반 PEIS 구성 및 조건별 임피던스 패턴 비교

2장에서 조건 반영 계수를 적용하여 생성한 전압 응답은 주행 부하를 반영한 비주기 신호이며, 이를 입력으로 STFT를 적용함으로써 시간에 따라 변동하는 주파수 성분을 구간별로 분해할 수 있다. 이는 기존의 주파수 응답 기반 임피던스 분석과 달리 운용 신호로부터 동일 주파수 성분에서의 전압–전류 응답비를 기반으로 임피던스 변화를 비교하려는 접근이므로, 시간에 따라 주파수 성분이 변하는 운용 신호를 해석하기 위해 STFT 기반 분석이 요구된다. 본 연구에서는 3.1절에서 정의한 시간–주파수 영역 전압 $V(t,\omega)$와 전류 $I(t,\omega)$로부터 동일한 $(t,\omega)$좌표에서 $Z(t,\omega) = V(t,\omega)/I(t,\omega)$로 복소 임피던스를 계산하였다. 이후 시간에 따라 계산되는 $Z(t,\omega)$는 부하 변동 및 계측 잡음의 영향으로 값이 일시적으로 크게 흔들릴 수 있으므로, 각 주파수에서 얻어진 임피던스 값을 중앙값으로 요약하여 대표 임피던스를 구성하였고, 이를 주파수별로 모아 임피던스 집합을 구성하였다. 본 연구에서는 STFT를 통해 산출된 주파수 성분 중 전압 및 전류 신호에서 동일 주파수 성분의 응답비를 안정적으로 산출할 수 있고, 조건 간 동일 기준으로 PEIS 비교가 가능한 약 0.002~0.5 Hz 범위를 분석 대역으로 설정하였다. 해당 범위는 최적화된 진단 주파수 대역을 의미하는 것이 아니라, 본 연구에서 사용한 운용 전압·전류 신호와 STFT 분석 조건에서 임피던스 패턴을 비교하기 위해 사용한 공통 분석 대역을 의미한다. 이렇게 구성한 임피던스 집합을 나이퀴스트 선도에서 정상 기준 조건과 단락 모사, 국부 압흔(찍힘) 모사, 75 ℃ 열 노출 조건에 대해 중첩 비교하였다. 한편, 실제 55.6 Ah 파우치셀의 정상 조건 EIS 측정 결과는 그림 9에 제시하였다. 그림 9는 정상 조건(25 ℃, SOC 97%)에서 측정한 EIS 나이퀴스트 선도로, 그림 10의 STFT 기반 PEIS 결과를 해석하는 데 참고할 수 있는 보조 자료로 제시하였다. 그림 10은 SOC 50% 초기 파라미터를 적용한 RLS 전압 모사 결과로부터 도출한 정상 기준 및 조건별 STFT-PEIS 임피던스 패턴의 나이퀴스트 비교 결과를 나타낸다. 여기서 SOC 50% 초기 파라미터는 RLS 기반 전압 모사에 사용된 초기 추정값을 의미하며, 조건별 전압 응답 모사에는 2.3절에서 산정한 SOC 97% 기준 EIS 파라미터 변화율을 적용하였다. 실측 EIS는 배터리에 소신호 교류 전압 또는 전류를 주파수별로 인가하고 이에 대한 응답으로부터 임피던스를 측정한 결과인 반면, 본 연구의 STFT-PEIS는 RLS 전압 모사로 생성된 운용 전압·전류 신호에 포함된 주파수 성분을 이용하여 동일 주파수 성분의 전압–전류 응답비로 구성한 운용 신호 기반 임피던스 표현이다. 따라서 실측 EIS의 저주파 영역에서 관찰되는 확산 관련 거동이 STFT-PEIS에서 동일한 형태로 나타나지 않는다.

그림 9 정상 기준 조건(25 ℃, SOC 97%)에서 측정한 55.6 Ah 파우치셀의 EIS 나이퀴스트 선도

Fig. 9 Measured EIS Nyquist plot of the 55.6 Ah pouch cell under the healthy reference condition (25 ℃, SOC 97%)

그림 10 SOC 50% 초기 파라미터를 적용한 RLS 전압 모사 기반 정상 기준 및 조건별 STFT-PEIS 나이퀴스트 비교

Fig. 10 Nyquist comparison of reference and condition-dependent STFT-based PEIS derived from RLS voltage emulation using SOC 50% initial parameters

본 연구에서는 동일한 STFT-PEIS 산출 기준에서 정상 기준 및 조건별 임피던스 패턴 변화를 비교하였다. 그림 10에서 확인되듯 조건에 따라 $Re(Z)$의 이동과 $-Im(Z)$ 피크 및 곡선 형상이 상이하게 나타나며^[24], 이는 2장에서 반영한 조건별 파라미터 변화가 시간 영역 전압 응답뿐 아니라 주파수 응답 기반 임피던스 패턴에도 일관되게 반영됨을 시사한다. 즉, 본 절의 목적은 실측 EIS 형상의 직접 재현이 아니라, 운용 신호 기반 PEIS에서 조건 간 상대 비교가 가능한 임피던스 표현을 구성하는 데 있다.

4.1 DRT 개념 및 분석 절차

앞 장에서 구성한 STFT-PEIS는 RLS 기반 전압 모사 신호로부터 동일 주파수 성분의 전압–전류 비를 계산하여, 정상 기준과 비정상 조건의 임피던스 패턴 차이를 동일한 산출 기준에서 비교하기 위한 표현이다. PEIS 나이퀴스트 선도는 $Re(Z)$의 이동, $-Im(Z)$ 피크 및 곡선 형상 변화를 통해 조건별 임피던스 응답의 차이를 직관적으로 제시할 수 있다. 그러나 리튬이온 배터리의 임피던스 응답에는 전해질 저항, 전극/전해질 계면 반응, 전하 전달 과정, 확산 지배 과정 등 다양한 전기화학적 반응이 동시에 포함되어 있으며, 이들은 주파수 영역에서 서로 중첩된 형태로 관찰된다. 이러한 중첩 특성으로 인해 나이퀴스트 곡선만으로는 각 반응의 기여도를 독립적으로 평가하기 어렵고, 조건 변화에 따른 국소적 반응 차이를 명확히 해석하는 데 한계가 있다^[25]. 이완시간 분포(DRT)는 임피던스 응답을 시간상수 영역으로 변환하여, 중첩된 반응을 시간상수별 성분으로 분해하는 기법이다. DRT 분포 $G(\ln\tau)$는 특정 시간상수 $\tau$에서의 반응 강도를 나타내며, 피크 위치는 지배적인 반응의 시간상수를, 피크의 크기와 폭은 반응 강도 및 분산 특성의 변화를 정량적으로 반영한다.

따라서 DRT 분석은 PEIS 곡선을 단순히 다른 형태로 표현하는 과정이 아니라, 동일한 PEIS 산출 기준에서 얻어진 조건별 임피던스 차이를 시간상수 영역의 반응 강도와 기여도 관점에서 해석하기 위한 후속 분석이다. 이를 위해 본 절에서는 PEIS로부터 산출한 복소 임피던스 $Z(\omega)$를 DRT 분석의 입력으로 설정하고, 이를 시간상수 영역의 반응 강도 분포로 변환하는 과정을 설명한다. 먼저 식 (15)를 통해 임피던스 응답과 시간상수 분포 사이의 기본 관계를 정의하고, 식 (16)~(18)을 이용하여 연속형 DRT 관계식을 계산 가능한 이산 형태로 근사한다. 이후 식 (19)의 Tikhonov 정규화를 적용하여 DRT 분포를 복원하는 절차를 제시한다. 식 (15)는 DRT의 연속형 표현으로, PEIS로부터 산출한 주파수 영역 임피던스를 고주파 저항 성분 $R_{\infty}$와 시간상수 $\tau$에 따른 반응 강도 분포 $G(\ln\tau)$로 재표현한 것이다^[26]. 여기서 $G(\ln\tau)$는 로그 시간상수 축에 따른 반응 강도 분포를 의미하며, 특정 시간상수 영역의 반응이 전체 임피던스 응답에 기여하는 정도를 나타낸다. 즉, 식 (15)는 주파수 영역의 PEIS 임피던스를 시간상수별 반응 성분으로 재표현하기 위한 기본식이다. 다만 식 (15)는 연속 적분 형태이므로 실제 계산에 바로 적용하기 어렵다. 따라서 본 연구에서는 시간상수 축을 이산화하여 식 (16)과 식 (17)의 형태로 근사하였다. 식 (16)은 연속적인 반응 강도 분포 $G(\ln\tau)$를 각 시간상수 지점의 이산 반응 강도 $\gamma_{k}$로 나타낸 것이며, 식 (17)은 이산화된 $\gamma_{k}$를 이용하여 전체 임피던스 응답을 근사한 것이다. 또한 식 (18)은 주파수 성분과 시간상수 성분 사이의 관계를 나타내며, 이를 통해 PEIS 임피던스와 DRT 분포 사이의 계산 관계를 구성하였다^[26]. DRT 복원은 주어진 임피던스 데이터로부터 반응 강도 분포를 역으로 추정하는 과정이므로, 측정 잡음과 수치적 불안정성에 민감할 수 있다. 이를 완화하기 위해 본 연구에서는 식 (19)와 같이 Tikhonov 정규화를 적용하였다^{[27] [28]}. 정규화는 PEIS 임피던스와 DRT 기반으로 재구성한 임피던스 사이의 오차를 줄이면서도, DRT 분포가 과도하게 진동하지 않도록 제한하는 역할을 한다.

본 연구에서는 조건 간 비교의 일관성을 확보하기 위해 모든 조건에 동일한 정규화 계수 및 계산 조건을 적용하였다. 또한 DRT는 주파수 정보를 시간상수 정보로 재표현하는 분석이므로, 계산에 사용되는 시간상수 범위는 PEIS에서 확보한 주파수 범위와 대응되도록 설정하였다. 이에 따라 PEIS의 최대 주파수와 최소 주파수를 기준으로 $\tau_{\min} = 1/(2\pi f_{\max})$, $\tau_{\max} = 1/(2\pi f_{\min})$로 시간상수 범위를 설정하였다. 이러한 절차를 통해 PEIS 임피던스를 시간상수 영역의 DRT 분포로 복원하였다.

4.2 정상 기준 및 비정상 조건의 DRT 특성 비교

본 절에서는 STFT 기반 PEIS-DRT 결과를 이용하여 정상 기준 및 비정상 조건의 반응 특성 차이를 비교하였다. 분석 대상은 정상 기준(Reference), 단락 모사, 국부 압흔(찍힘) 모사, 75 ℃ 열 노출 조건이다. 여기서 정상 기준은 비정상 조건 반영 계수를 적용하지 않은 정상 운용 조건을 의미하며, Reference는 단순한 정상 상태 명칭이 아니라 비정상 조건과의 상대 비교 및 정규화에 사용되는 기준 조건을 의미한다. 따라서 본 절에서는 이를 정상 기준(Reference)으로 표기하였다. 단락 모사, 국부 압흔(찍힘) 모사 및 75 ℃ 열 노출 조건은 각 조건에서 산정한 EIS 기반 파라미터 변화율을 RLS 기반 모델에 반영하여 구성하였다. 모든 조건에는 동일한 PEIS 주파수 범위를 적용하여 조건 간 비교의 일관성을 확보하였다.

그림 11 STFT 기반 PEIS로부터 도출한 정상 기준(Reference) 및 비정상 조건의 DRT 스펙트럼 비교

Fig. 11 Comparison of DRT spectra derived from STFT-based PEIS under the reference and abnormal conditions

그림 11은 정상 기준 및 각 비정상 조건에서 도출된 DRT 스펙트럼을 나타낸다. 해당 스펙트럼에서 가로축은 시간상수 $\tau$, 세로축 $\gamma(\tau)$는 직접적인 저항값이 아니라 특정 시간상수 영역에서의 반응 강도 또는 임피던스 기여도를 의미한다. $\gamma(\tau)$ 값이 크다는 것은 해당 시간상수 영역에서 저항성 부담 또는 분극 기여가 크다는 의미이므로, 정상 기준보다 증가할 경우 해당 반응 영역의 부담이 증가한 것으로 해석할 수 있다. 그러나 $\gamma(\tau)$ 값이 작다고 해서 반드시 배터리 상태가 양호하다는 의미는 아니며, 해당 시간상수 영역의 반응 기여도 변화로 해석해야 한다. 따라서 본 연구에서는 $\gamma(\tau)$ 값의 절대적인 크기만으로 좋고 나쁨을 판단하기보다, 정상 기준 대비 증가 또는 감소 방향과 변화 정도를 통해 비정상 조건의 반응 특성 변화를 해석하였다.

모든 조건에서 $\tau \approx 0.8\text{ s}$ 부근의 유사한 시간상수 영역에서 단일 지배 피크를 형성하였다. 이는 본 연구에서 설정한 PEIS 공통 분석 대역(약 0.002~0.5 Hz)에서 도출된 임피던스 응답이 특정 시간상수 영역에 집중되어 나타난 결과로 해석된다. 즉, 본 분석 범위에서는 비정상 조건에 의해 새로운 시간상수 영역의 피크가 분리되어 나타났다기보다, 동일한 지배 반응 영역 내에서 조건별 반응 강도와 기여도가 서로 다르게 나타난 것으로 볼 수 있다. 따라서 그림 11의 기술적 의미는 단일 피크의 존재 자체가 아니라, 동일한 PEIS 분석 기준에서 비정상 조건에 따른 반응 기여 특성의 차이가 동일 시간상수 영역에서 어떻게 변화하는지를 보여주는 데 있다. 또한 본 결과는 설정된 PEIS 주파수 범위와 이에 대응하는 시간상수 범위에서 관찰 가능한 DRT 특성을 나타내므로, 분석 대역 밖의 더 빠르거나 더 느린 반응 성분까지 포괄하는 결과로 해석하기보다는 본 연구의 운용 신호 및 STFT 분석 조건에서 비교 가능한 반응 특성으로 해석하였다.

그림 12 STFT 기반 PEIS-DRT로부터 추출한 대표 지표의 정상 기준(Reference) 대비 상대 변화

Fig. 12 Relative changes in representative DRT indicators extracted from STFT-based PEIS-DRT analysis with respect to the reference condition

그림 12는 그림 11의 DRT 스펙트럼에서 추출한 대표 지표를 정상 기준(Reference) 대비 상대 변화로 정규화하여 나타낸 결과이다. 본 연구에서는 피크 강도($\gamma_{\max}$), 피크 위치($\tau_{\text{peak}}$), 피크 면적(Area)을 대표 지표로 사용하였다. 여기서 피크 강도는 해당 시간상수 영역에서의 최대 반응 강도, 피크 위치는 지배 반응이 나타나는 대표 시간상수 위치, 피크 면적은 해당 반응 영역의 전체 기여도를 의미한다. 이상적인 정상 기준 그래프는 모든 대표 지표가 기준선 1에 위치하는 형태이며, 이는 비정상 조건에 의한 반응 특성 변화가 없는 기준 응답을 의미한다. 따라서 각 조건의 그래프가 기준선 1에서 벗어나는 방향과 크기는 정상 기준 대비 반응 특성 변화의 방향과 정도를 나타낸다. 표 4는 이러한 상대 변화를 수치적으로 정리한 결과이다. Reference가 모두 1로 나타나는 것은 정상 기준을 정규화 기준으로 설정했기 때문이며, 1보다 큰 값은 정상 기준 대비 해당 지표가 증가했음을, 1보다 작은 값은 감소했음을 의미한다. 그러나 본 결과의 의미는 단순히 각 지표의 증가 또는 감소를 제시하는 데 있지 않다. 그림 12는 그림 11에서 관찰된 DRT 스펙트럼 차이를 정량 지표로 재표현한 결과로, 비정상 조건에서 지배 반응의 시간상수 위치가 변화했는지, 또는 동일한 시간상수 영역에서 반응 기여 특성이 변화했는지를 확인하기 위한 것이다.

본 결과에서 피크 위치는 조건 간 큰 변화 없이 유지된 반면, 피크 강도와 면적은 조건에 따라 증가 또는 감소하였다. 이는 본 분석 범위에서 비정상 조건의 영향이 새로운 반응 영역의 생성이나 지배 시간상수의 뚜렷한 이동보다는, 기존 지배 반응 영역 내 반응 강도와 전체 기여도 변화로 나타났음을 의미한다. 단락 모사 조건에서는 동일 시간상수 영역에서 반응 기여가 증가한 반면, 국부 압흔(찍힘) 모사 조건 및 75 ℃ 열 노출 조건은 정상 기준 대비 감소하는 경향을 보였다. 다만 국부 압흔(찍힘) 모사 조건과 75 ℃ 열 노출 조건은 변화 방향이 모두 감소로 나타났으므로, 본 지표만으로 두 조건을 명확히 분리한다고 해석하기보다는 감소 정도의 차이를 통해 정상 기준 대비 반응 특성 변화의 크기를 비교할 수 있다는 데 의미가 있다. 또한 기여도 감소는 배터리 상태가 양호해졌다는 의미가 아니라, 정상 기준과 다른 반응 특성으로 변화했음을 의미한다. 따라서 그림 11과 그림 12는 단순한 후처리 결과라기보다, EIS 기반 조건별 파라미터 변화율이 RLS 전압 모사와 STFT-PEIS를 거쳐 DRT 지표로 재표현되는 과정을 보여주는 결과이다. 또한 정상 기준 대비 비정상 조건에서 나타나는 반응 특성 변화의 방향과 크기를 동일한 기준에서 정량적으로 비교하기 위한 기초 지표로서 의미를 가진다.