3.1 자기회로 모델

제어기 설계를 위한 저차수 모델을 구성하기 위하여 하이브리드 마그네틱 베어링(HMB)을 집중 자기회로 (lumped magnetic circuit)로 모델링하였다. 본 연구에서는 철심이 선형 자기재료로 동작한다고 가정하고 자기포화와 누설자속의 영향은 무시하였다. 또한 회전자 변위는 공칭 공극에 비해 충분히 작다고 가정하였다.

그림 2는 단일 반경 축에 대한 등가 자기회로 모델을 나타낸다. 영구자석은 바이어스 기자력(magnetomotive force, MMF) $F_m$을 생성하고 제어 코일은 추가적인 기자력 $Ni$를 생성한다. 회전자가 중심 위치에서 $x$만큼 변위하면 양측 공극은 각각 $g_0 - x$와 $g_0 + x$로 변화하며 이에 따라 공극 자기저항은 식 (1) 및 식 (2)와 같다.

그림 2 하이브리드 마그네틱 베어링의 단일 반경 축 등가 자기회로 모델

Fig. 2 Per-axis lumped equivalent magnetic circuit model of the hybrid magnetic bearing

여기서 $g_0$는 공칭 공극, $A$는 극면적, $\mu_0$는 자유공간 투자율이다. 각 공극을 통과하는 자속은 식 (3)과 같이 나타낼 수 있으며

이에 대응하는 공극 자속밀도는 식 (4)와 같이 정의된다.

이와 같이 공극 길이와 제어전류에 따라 변화하는 자속밀도는 HMB의 자기력을 결정하는 기본 요소가 된다.

3.2 자기력 모델

그림 3은 PM 바이어스 자속과 제어 자속에 의해 발생하는 차동 자기력과 음강성 발생 원리를 나타낸다. PM 바이어스에 의해 형성된 기본 자속밀도 ($B_0$)에 제어전류에 의한 자속 변화가 중첩되면 두 공극의 자속밀도가 서로 다르게 형성되고 이에 따라 차동 자기력이 발생한다.

공극면에 작용하는 자기력은 Maxwell 응력식을 이용하여 식 (5)와 같이 표현할 수 있다.

공극 자속밀도는 바이어스 자속밀도 $B_b$와 제어 자속밀도 $B_c$의 합으로 나타낼 수 있으므로 식 (6) 및 식 (7)이 된다.

그림 3 하이브리드 마그네틱 베어링의 자기력 발생 및 음강성 메커니즘

Fig. 3 Force generation and negative-stiffness mechanism of the hybrid magnetic bearing

이를 식 (5)에 대입하면 자기력은 공극 변위와 제어전류의 비선형 함수 $F(x, i)$로 표현된다.

제어기 설계를 위한 선형 모델을 얻기 위하여 동작점 $(x, i) = (0, 0)$ 근방에서 1차 Taylor 전개를 적용하면 식 (8)을 얻는다.

평형점에서 $F_0 = 0$이므로 자기력은 식 (9)와 같이 선형화된다.

여기서 $k_i$와 $k_s$는 각각 전류 강성(current stiffness)과 위치 강성(position stiffness)을 나타낸다.

위치 강성 $k_s$는 전류가 없는 상태($i = 0$)에서 변위에 따른 바이어스 자속의 재분배로부터 발생한다. 공극 자속밀도는 식 (10)과 같이 근사할 수 있으며

이를 식 (5)에 대입하면 식 (11)을 얻는다.

한편 평형 위치($x = 0$)에서 제어 자속 $B_c = \mu_0 N i / 2 g_0$를 이용하면 전류 강성은 식 (12)에 비례한다.

식 (11)에서 $k_s > 0$는 변위가 증가할수록 동일 방향의 자기력이 증가함을 의미한다. 즉 공극 감소에 따른 자속밀도 증가로 인해 변위를 증폭시키는 양의 피드백 특성이 발생하며 결과적으로 HMB는 음의 강성(negative stiffness)을 나타낸다^[15]. 따라서 안정적인 공극 유지를 위해 능동 변위 피드백 제어가 필수적이다.

3.3 운동방정식 및 개루프 불안정성

선형화된 자기력 모델을 이용하면 반경 방향 단일 축에 대한 운동방정식은 식 (13)과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $m$은 회전체의 등가 질량, $i$는 제어전류, $d$는 외란을 나타낸다. 식 (13)의 $k_s x$항은 일반적인 기계 시스템의 복원력과 반대 부호로 작용하므로 제어 입력이 없는 경우 시스템은 본질적으로 불안정하다.

상태변수 $z = [x \quad \dot{x}]^T$를 정의하면 상태공간 모델은 식 (14)와 같이 표현된다.

제어 입력과 외란을 제외한 개루프 시스템의 특성방정식은 식 (15)와 같으며

고유값은 식 (16)과 같이 주어진다.

따라서 하나의 고유값이 항상 우반평면에 존재하므로 개루프 시스템은 불안정하다. 초기조건 $x(0) = x_0, \dot{x}(0) = 0$에 대한 응답은 식 (17)과 같이 표현되며

시간이 지남에 따라 변위가 지수적으로 증가한다. 예시적으로 SmCo 영구자석(잔류자속밀도 $B_r \approx 1.0\text{ T}$)을 가정하여 공극 바이어스 자속밀도를 $B_0 \approx 0.5\text{ T}$로 두고, 공칭 공극 $g_0 = 0.5\text{ mm}$, 극면적 $A \approx 2.5\text{ cm}^2$ 및 회전체의 등가 질량 $m = 3\text{ kg}$을 적용하면 위치 강성은 $k_s \approx 2.0 \times 10^5\text{ N/m}$이며 개루프 불안정률은 $\Omega_0 \approx 260\text{ rad/s}$로 계산된다. 이에 대응하는 불안정 모드의 시간 척도 $1/\Omega_0$는 약 3.8 ms로, 능동 제어가 매우 빠르게 작동해야 함을 의미한다.

3.4 2자유도 모델 및 교차결합

앞 절에서 유도한 단일 축 모델을 실제 HMB에 적용하기 위하여 2자유도 반경 방향 모델로 확장하였다. 본 연구에서는 회전자의 반경 방향 병진 운동만을 고려하며 직교 좌표계의 $x$축 및 $y$축 변위를 상태변수로 정의하였다. 변위, 제어전류 및 외란 벡터를 각각 $q, I, d$로 정의하면 2자유도 시스템의 운동방정식은 식 (18)과 같이 표현된다.

여기서 자기 강성 행렬 $K_s$는 식 (19)와 같이 정의된다.

이상적인 대칭 구조에서는 축간 결합이 존재하지 않으므로 $k_c = 0$이다. 그러나 실제 시스템에서는 제작 공차, 자속 분포의 비대칭성 및 자기회로 간섭 등에 의해 축간 교차결합이 발생할 수 있다. 이를 고려하기 위하여 본 연구에서는 작은 교차결합 계수 $k_c$를 포함하였다.

또한 본 연구는 반경 방향 병진 운동만을 고려하므로 자이로스코픽 효과 및 틸트 자유도에 의한 동적 결합은 포함하지 않았다. 따라서 축간 결합은 자기적 교차결합에 의해서만 발생한다고 가정하였다.

교차결합 계수 $k_c$가 자기 강성 $k_s$에 비해 충분히 작은 경우 각 축은 독립적인 SISO(single-input single-output) 시스템으로 근사할 수 있다. 따라서 다음 절에서는 축별 변위 피드백 제어를 적용하고 폐루프 안정 조건을 유도한다.

3.5 변위 피드백 제어 및 안정조건

앞 절에서 나타낸 바와 같이 HMB는 음의 강성을 가지므로 개루프 상태에서는 본질적으로 불안정하다. 따라서 안정적인 공극 유지를 위해 변위 피드백 기반의 능동 제어가 필요하다. 본 연구에서는 각 축에 독립적인 PD 제어기를 적용하였으며 제어전류는 식 (20)과 같이 정의하였다.

이를 단일 축 운동방정식에 대입하면 폐루프 운동방정식은 식 (21)과 같이 표현된다.

따라서 폐루프 특성방정식은 식 (22)와 같이 된다.

Routh-Hurwitz 안정도 조건에 의해 시스템이 안정하기 위한 필요충분조건은 식 (23), 식 (24)와 같다.

첫 번째 조건은 제어기에 의해 생성되는 유효 강성이 자기 음강성보다 커야 함을 의미한다. 즉 HMB의 안정적인 부상을 위해서는 충분한 제어권한(control authority)이 확보되어야 한다. 2자유도 모델에서는 교차결합의 영향을 고려해야 한다. 가장 보수적인 경우의 안정조건은 식 (25)와 같이 표현된다.

따라서 교차결합이 증가할수록 더 큰 제어권한이 요구되며 반대로 교차결합이 충분히 작은 경우에는 축별 분산 제어를 적용하더라도 안정적인 부상이 가능하다.

3.6 정규화

앞 절에서 도출한 안정조건은 $k_i, k_s, k_c, m$ 등 물리 파라미터에 의해 결정된다. 그러나 초기 설계 단계에서는 HMB의 크기, 공극, 자속밀도 및 질량이 변경될 수 있으므로 절대값보다는 무차원 지표를 이용하여 시스템 거동을 일반화하는 것이 유용하다. 이를 위해 개루프 불안정률 $\Omega_0$를 시간 척도로 식 (26)과 같이 정의한다.

공칭 공극 $g_0$를 길이 척도로 사용하여 정규화 시간, 변위 및 외란을 식 (27)과 같이 정의한다.

또한 제어권한 비, 교차결합 비 및 정규화된 닫힌루프 고유진동수를 각각 식 (28)과 같이 정의한다.

여기서 $\beta$는 제어기에 의해 형성되는 유효 강성이 자기 음강성에 비해 얼마나 큰지를 나타내며 $\kappa$는 축간 자기 교차결합의 상대적 크기를 나타낸다.

식 (13)의 개루프 운동방정식을 정규화하면 제어가 없는 단일 축 시스템의 동역학은 식 (29)와 같이 표현된다.

여기서 $\xi$는 정규화 변위이다. 위 식에서 $\nu^2 = \beta - 1$이므로 폐루프 안정성을 위해서는 $\beta > 1$이 필요하다.

2자유도 모델의 경우 정규화된 변위 벡터와 외란 벡터를 식 (30), 식 (31)로 정의하면

정규화된 폐루프 운동방정식은 식 (32)와 같이 쓸 수 있다.

이때 교차결합을 포함한 안정조건은 식 (33)과 같이 정리된다.

따라서 정규화 모델을 이용하면 닫힌루프 거동은 제어권한 비 $\beta$, 교차결합 비 $\kappa$, 감쇠비 $\zeta$의 세 무차원 지표로 나타낼 수 있다. 이는 HMB의 구체적인 형상이나 크기가 확정되기 전에도 제어권한과 교차결합 허용범위를 평가할 수 있게 한다.

4.1 개루프 불안정성

그림 4는 제어가 없는 개루프 상태에서의 회전체 응답을 나타낸다. 초기 변위가 존재할 경우 변위는 시간에 따라 지속적으로 증가하며 정규화 변위가 공극 한계에 도달하게 된다. 이는 3장에서 유도한 음강성 특성에 의해 발생하는 개루프 불안정성을 나타낸다. 따라서 HMB는 능동 제어 없이 안정적인 부상 상태를 유지할 수 없음을 확인할 수 있다.

그림 4 정규화된 HMB 동역학의 개루프 불안정성

Fig. 4 Open-loop instability of the normalized HMB dynamics

그림 5(a)는 $\beta = 4, \zeta = 0.7$인 경우 초기 편심에 대한 폐루프 응답을 나타낸다. 변위 피드백 제어를 적용하면 회전체는 평형점으로 수렴하며 음강성이 효과적으로 보상됨을 확인할 수 있다. 또한 적절한 감쇠비에 의해 과도 응답이 빠르게 감소하고 안정적인 부상 상태가 유지된다.

그림 5(b)는 동일한 조건에서 계단 외란에 대한 응답을 나타낸다. 외란 인가 후 일시적인 과도응답이 발생하지만 안정적으로 새로운 평형점으로 수렴한다. 정상상태 변위는 이론적으로 도출된 $1/(\beta - 1)$와 일치하며 이는 제어권한 비가 증가할수록 외란에 대한 정적 강성이 향상됨을 의미한다.

그림 5 변위 피드백 제어에 의한 폐루프 안정화 (a) 초기 편심 복원 응답 (b) 계단 외란 응답

Fig. 5 Closed-loop stabilization by displacement feedback control (a) Recovery from an initial offset (b) Response to a step disturbanc

4.2 제어권한 비 및 감쇠비의 영향

그림 6(a)는 제어권한 비 $\beta$ 변화에 따른 초기 편심 응답을 나타낸다. $\beta$가 증가할수록 제어기에 의해 형성되는 유효 강성이 증가하므로 응답 속도가 향상되고 정착시간이 감소한다. 반면 $\beta$가 1에 가까워질수록 음강성 보상 여유가 감소하여 응답이 느려지고 안정 여유가 작아진다.

그림 6(b)는 감쇠비 $\zeta$의 영향을 나타낸다. 감쇠비가 작은 경우에는 진동성 응답과 큰 오버슈트가 발생하며 감쇠비가 증가함에 따라 과도응답이 감소한다. 특히 $\zeta \approx 0.7$ 부근에서 응답 속도와 오버슈트 사이의 균형이 가장 양호하게 나타난다. 반면 감쇠비가 지나치게 증가하면 진동은 감소하지만 응답 속도가 저하되는 특성을 보인다.

이 결과는 HMB 설계 시 제어권한 비와 감쇠비가 폐루프 성능을 결정하는 주요 설계 변수임을 의미한다.

그림 6 제어권한 및 감쇠비가 폐루프 응답에 미치는 영향 (a) 제어권한 비 $\beta$의 영향 (b) 감쇠비 $\zeta$의 영향

Fig. 6 Effect of control authority and damping ratio on the normalized closed-loop response (a) Response for different control authority ratios $\beta$ (b) Response for different damping ratios $\zeta$

4.3 교차결합 허용오차 분석

그림 7은 교차결합이 분산 제어 성능에 미치는 영향을 나타낸다. 그림 7(a)는 $x$축 외란에 의해 유도되는 $y$축 응답을 나타낸 것으로 교차결합 비 $\kappa$가 증가할수록 축간 간섭이 증가함을 확인할 수 있다. 그러나 $\kappa$가 충분히 작은 경우에는 유도 응답의 크기가 매우 제한적이며 각 축을 독립적인 SISO 시스템으로 근사할 수 있다.

그림 7(b)는 교차결합 비와 최대 축간 결합량의 관계를 나타낸다. 본 연구에서는 예시적으로 최대 축간 결합량이 5% 이하인 경우를 허용 가능한 분산 제어 범위로 정의하였다. 시뮬레이션 결과 해당 조건은 약 $\kappa \leqq 0.28$에서 만족되는 것으로 나타났다.

이는 실제 HMB 설계에서 FEM 해석이나 실험을 통해 추정된 교차결합 비가 해당 범위 이내에 존재하는 경우 별도의 MIMO 제어기 없이도 축별 분산 제어를 적용할 수 있음을 의미한다. 따라서 그림 7의 결과는 단순한 응답 비교를 넘어 HMB의 제어 구조 선택을 위한 정량적 설계 기준으로 활용될 수 있다.

그림 7 교차결합에 대한 분산 제어 허용오차 분석 (a) 교차결합에 의한 유도 변위 응답 (b) 교차결합 비에 따른 최대 축간 결합량

Fig. 7 Decoupling tolerance analysis for distributed SISO control (a) Induced displacement response due to cross-coupling (b) Peak cross-coupling versus coupling ratio