2.1 PMU 선형 측정모델

상태추정을 위한 상태변수는 식 (1)과 같이 각 모선 전압의 크기와 위상각으로 정의한다.

여기서 $V_{m,k}$와 $\theta_k$는 각각 $k$번 모선의 전압 크기와 위상각이고, $n$은 전체 모선 수이다. 다만 PMU 기반 선형 측정방정식을 구성하기 위해 계산 과정에서는 모선 전압 페이저를 식 (2)와 같이 직교좌표계 성분으로 표현한다.

이에 따라 선형 상태추정의 연산과정에서는 식 (3)과 같이 전압 페이저의 실수부와 허수부로 구성된 직교좌표계 상태변수 $x_{rect}$를 사용한다.

여기서 $V_r$와 $V_i$는 각각 전체 모선 전압 페이저의 실수부와 허수부 벡터이다. 상태추정 계산은 직교좌표계에서 수행하고, 최종 결과는 식 (1)의 전압 크기와 위상각으로 변환하여 나타낸다.

PMU 전압 및 전류 측정치도 직교좌표계 성분으로 변환하여 식 (4)의 선형 측정벡터를 구성한다.

여기서 $z_{Vr}$와 $z_{Vi}$는 PMU 전압 측정치의 실수부 및 허수부 성분이고, $z_{Ir}$와 $z_{Ii}$는 PMU 선로 전류 측정치의 실수부 및 허수부 성분이다.

전압 측정치는 해당 모선의 전압과 직접 대응하고, 전류 측정치는 계통 어드미턴스와 모선 전압의 관계를 이용하여 표현한다. 이에 따른 PMU 기반 선형 측정방정식은 식 (5)와 같다.

여기서 $H_{PMU}$는 PMU 전압 및 전류 측정 위치와 계통 어드미턴스 정보를 이용하여 구성되는 선형 측정행렬이고, $e_{PMU}$는 측정오차 벡터이다. $H_{PMU}$는 식 (6)과 같이 전압 및 전류 측정행렬로 구성한다.

여기서 $H_V$는 PMU 전압 측정 위치에 의해 결정되며, $H_I$는 PMU 선로 전류 측정 위치와 선로 어드미턴스 관계에 의해 결정된다. 선로의 From단 및 To단 전류는 식 (7)과 같이 표현한다.

여기서 $I_f$와 $I_t$는 각각 선로의 From단 및 To단 전류 벡터이고, $Y_f$와 $Y_t$는 해당 전류를 계산하기 위한 선로 어드미턴스 행렬이다. 또한 zero-injection 모선은 해당 모선으로의 전류 주입이 0인 조건으로 상태추정 모델에 반영하였다.

2.2 WLAV 기반 PMU-only 선형 상태추정 정식화

PMU-only 선형 상태추정은 식 (5)의 선형 측정방정식을 이용하여 직교좌표계 상태변수 $x_{rect}$를 추정하는 문제이다. 본 논문에서는 불량데이터의 영향을 완화하기 위한 기본 추정기로 WLAV(Weighted Least Absolute Value)를 적용한다^{[4], [5], [18]}.

식 (5)의 선형 측정방정식에서 잔차 벡터 $r$은 식 (8)과 같이 정의된다.

WLAV 추정기는 각 잔차의 절댓값에 측정 가중치를 부여한 목적함수를 최소화한다. WLAV 목적함수는 식 (9)와 같이 표현된다.

여기서 $m$은 전체 측정식의 개수이고, $w_i$는 $i$번째 측정식의 가중치이다. 측정오차의 표준편차 $\sigma_i$를 이용하여 식 (10)과 같이 가중치를 설정한다.

식 (9)의 절댓값 목적함수는 보조변수 $t$를 도입하여 선형계획(Linear Programming) 문제로 변환할 수 있다. 이때 $t$는 각 측정식의 잔차 절댓값 상한으로 구성된 보조변수 벡터이며, WLAV 문제는 식 (11) 및 식 (12)와 같이 벡터 형태로 정식화된다.

여기서 $w$는 각 측정식의 가중치로 구성된 벡터이다. WLAV는 잔차의 제곱이 아니라 절댓값을 최소화하므로, 일부 측정치에 큰 오차가 포함되더라도 해당 오차가 전체 추정 결과에 미치는 영향을 완화할 수 있다. 따라서 본 논문에서는 WLAV를 PMU-only 선형 상태추정의 기본 추정기로 사용하고, 추정 후 잔차 정보를 이용하여 이상 측정치 후보를 선별하고 불량데이터 처리 절차를 수행한다.

2.3 잔차 선별지표 기반 불량데이터 처리 및 제안 기법

제한된 PMU 계측환경에서는 이상 측정치 제거에 따라 측정행렬의 rank가 감소할 수 있다. 따라서 PMU-only 선형 상태추정의 불량데이터 처리에서는 잔차 크기와 함께 측정치 제거 이후의 관측성을 고려할 필요가 있다.

본 논문에서는 WLAV 추정 후 산정된 잔차를 이용하여 이상 측정치 후보를 선별한다. $k$번째 불량데이터 처리 반복에서 사용되는 측정행렬을 $H^{(k)}$, 반복별 측정 가중치를 반영하기 위한 대각 스케일링 행렬을 $R^{(k)}$로 정의한다. 이에 따른 행렬 $G^{(k)}$는 식 (13)과 같이 구성한다.

$R^{(k)}$는 $k$번째 반복에서 적용되는 측정 가중치를 반영하는 대각 스케일링 행렬이다. 측정 가중치 $w_i^{(k)}$에 대해 ${R^{(k)}}^{-1}$의 $i$번째 대각성분은 $(w_i^{(k)})^2$로 구성한다. 측정행별 잔차 크기를 스케일링하기 위한 행렬 $\Omega^{(k)}$는 식 (14)와 같이 정의한다.

$i$번째 측정행의 잔차 선별지표 $s_i^{(k)}$는 식 (15)와 같이 계산한다.

행렬 계산에는 현재 상태추정에 포함된 PMU 측정치와 zero-injection 조건을 반영하며, 잔차 선별 및 제거·재가중 대상은 PMU 측정치로 한정한다.

불량데이터 처리는 동일한 전압 또는 전류 측정치를 구성하는 실수부와 허수부 측정행을 하나의 측정치로 함께 처리하여 수행한다. 측정치 $g$를 구성하는 측정행의 집합을 $M_g$라 정의하고, 측정치별 잔차 선별지표 $S_g^{(k)}$를 식 (16)과 같이 산정한다.

여기서 $M_g$는 동일한 전압 또는 전류 측정치를 구성하는 실수부와 허수부 측정행의 집합이다. 식 (13)~(15)는 WLS 잔차분석에서 사용되는 스케일링 형식을 참조하여 구성하였으며^{[16], [17],} WLAV 추정 후 이상 측정치 후보의 상대적인 잔차 수준을 평가하기 위한 후처리 선별지표로 사용한다. 최소 $L_1\text{-norm}$ 추정기의 잔차 특성을 고려하여^[20], 본 논문에서는 해당 지표를 후보 선별에 적용하였다.

LAV 상태추정 관련 선행 연구에서는 잔차 기반 후처리 과정에 3.0의 임계값을 적용하였다^[21]. 본 논문에서도 이를 참고하여 세 불량데이터 처리 기법에 공통으로 적용하는 고정 후보 선별 임계값을 $\tau = 3$으로 설정하였다. 이상 측정치 후보는 식 (17)의 조건에 따라 판정한다.

본 논문에서는 동일한 잔차 선별지표와 임계값을 적용하여 측정치 제거 방식인 LNR-MR, 반복 재가중 방식인 RN-IRW, 그리고 제안하는 관측성 유지 기반 선택적 재가중 및 제거 기법(OP-SRR)을 비교한다.

LNR-MR은 잔차 선별지표가 임계값을 초과한 후보 중 가장 큰 $S_g^{(k)}$를 갖는 측정치를 제거하고 상태추정을 반복하는 방식이다. 이상 측정치의 영향을 직접 배제할 수 있으나, 제한된 PMU 계측환경에서는 측정치 제거에 따라 관측성을 확보하지 못할 수 있다^{[16], [17]}.

RN-IRW는 이상 측정치 후보를 제거하지 않고 해당 측정치를 구성하는 측정행의 가중치를 반복적으로 감소시키는 방식이다. 이를 통해 해당 측정치를 제거하지 않고 이상 측정치가 상태추정 결과에 미치는 영향을 완화한다. 이러한 반복 재가중 개념은 LAV/WLAV 기반 강건 상태추정 및 leverage point 처리 연구와 관련된다^[18].

RN-IRW에서는 잔차 선별지표가 임계값을 초과한 정도에 따라 가중치 조정계수를 갱신한다. $k$번째 반복에서 후보 측정치 $g$의 가중치 조정계수는 식 (18)과 같이 산정한다.

여기서 $\phi_g^{(k)}$는 $k$번째 반복에서 측정치 $g$의 가중치 조정계수이고, $\phi_{\min}$은 가중치 조정계수의 하한값이며, $\alpha_w$는 재가중 강도를 결정하는 계수이다. $S_g^{(k)} - \tau$가 증가할수록 식 (18)의 지수항이 감소하므로, 잔차 선별지표가 큰 측정치일수록 가중치가 더 크게 감소한다.

갱신된 가중치 조정계수는 측정치 $g$에 포함된 측정행에 동일하게 적용한다. 이에 따라 $i \in M_g$인 측정행의 가중치는 식 (19)와 같이 조정한다.

여기서 $w_i$는 식 (10)에서 정의한 $i$번째 측정행의 기본 가중치이다. 따라서 RN-IRW는 이상 측정치 후보를 측정행렬에서 제거하지 않고, 잔차 선별지표에 따라 해당 측정치의 영향을 단계적으로 감소시킨다.

본 논문에서는 LNR-MR의 측정치 제거와 RN-IRW의 재가중을 관측성 유지 여부에 따라 선택적으로 적용하는 관측성 유지 기반 선택적 재가중 및 제거 기법(Observability-Preserving Selective Reweighting and Removal, OP-SRR)을 제안한다. OP-SRR은 식 (17)에 따라 선정된 이상 측정치 후보를 임시 제거한 후 관측성 유지 여부를 확인한다.

관측성 판정에는 PMU 측정치와 zero-injection 조건을 이용하여 구성된 관측성 행렬 $H_{obs}$를 사용한다. 후보 측정치를 임시 제거한 후 $H_{obs}$를 재구성하고, 행렬의 rank가 상태변수의 수와 동일한 경우 관측성이 유지되는 것으로 판정한다. 관측성이 유지되는 경우 해당 측정치의 제거를 확정하고, 관측성을 확보하지 못하는 경우 해당 측정치를 복원하여 재가중한다.

그림 2는 제안하는 OP-SRR의 불량데이터 처리 절차를 나타낸다.

3.1 제주계통 PMU 측정치 구성

본 논문에서는 특정 기준 시점의 실제 PMU 채널 구성 정보를 기준으로 모선 전압 및 선로 전류 계측채널을 선정하고, 해당 기준 시점의 조류계산 결과에서 각 채널에 대응하는 전압 및 전류 페이저를 상태추정 측정치로 사용하였다. 이를 바탕으로 각 PMU의 전압 및 전류 계측채널에 대응하는 측정벡터를 구성하였다.

본 논문의 사례연구에 적용한 제주 전력계통은 그림 3과 같다.

3.2 PMU-only 상태추정을 위한 계통 모델 구성 및 데이터 전처리

PMU-only 선형 상태추정을 수행하기 위해서는 PMU 측정치와 함께 모선, 선로 및 변압기의 접속 정보와 계통 파라미터가 필요하다. 본 논문에서는 선로 및 변압기의 접속 정보와 파라미터를 이용하여 계통 어드미턴스 모델을 구성하였다. 또한 PMU에서 직접 계측하지 않는 부하, 션트설비 및 일부 발전기의 유효·무효전력은 기준 시점의 조류계산 결과를 이용하여 모선 단위의 등가 주입으로 구성하였다. 본 사례연구에서는 기준 시점에서 산정한 등가 주입 정보를 고정하여 적용하였다.

선형 측정행렬 $H_{PMU}$는 계통의 접속 정보와 어드미턴스, 실제 PMU 전압 및 선로 전류 측정채널을 이용하여 구성하였다. 관측성은 PMU 측정치와 zero-injection 조건을 이용하여 구성한 관측성 행렬 $H_{obs}$의 rank를 기준으로 판단한다. 부하 수준, 발전 출력 및 션트 운전 상태가 변화할 경우 기준 시점에 고정한 등가정보와 실제 운전 상태 간에 불일치가 발생할 수 있으며, 이는 상태추정 정확도에 영향을 줄 수 있다. 따라서 시계열 상태추정에 적용하기 위해서는 계통 운전 상태 변화에 따라 등가 주입 정보를 갱신하는 절차가 필요하다.

그림 4는 PMU-only 상태추정을 위한 입력 모델 구성과 미계측 설비의 등가화 개념을 나타낸다. 이와 같이 실제 PMU 계측 정보와 미계측 설비의 등가정보를 반영하여 상태추정 입력 모델을 구성하였다. 다음 장에서는 구성한 입력 모델을 바탕으로 정상상태, 불량데이터 및 측정치 누락 조건에서 제안 기법의 성능을 평가한다.

4.1 검증 조건 및 평가 지표

검증 시나리오는 정상상태와 불량데이터 및 측정치 누락 조건으로 구성하였다. Case 2~Case 5에서는 각 조건에 대해 총 100회의 몬테카를로 반복 모의를 수행하였으며, 각 반복에서 생성된 검증 조건은 LNR-MR, RN-IRW 및 OP-SRR에 동일하게 적용하였다.

Case 2에서는 전압 측정치, Case 3에서는 전류 측정치, Case 4에서는 전압 및 전류 측정치에 각각 ±5%의 오차를 적용하였으며, Case 5에서는 전압 및 전류 측정치에 ±2%의 오차를 적용하였다. Case 5에서는 전체 후보 측정치 중 2%를 누락 대상으로 설정하고, 관측성이 유지되는 범위에서 측정치를 누락하였다. 이때 전압 또는 전류 측정치의 실수부와 허수부는 하나의 측정치로 함께 처리하였다. 실제 운용 중 PMU 계측채널이 유실되는 경우에는 관측성을 재평가해야 하며, 계통 토폴로지가 변경되는 경우에는 어드미턴스 모델과 측정행렬을 재구성해야 한다. 광역 통신장애 및 미검출 토폴로지 오류에 대한 정량적 성능평가는 본 논문의 범위에 포함하지 않았다.

상태추정 정확도 평가를 위한 기준값은 동일 계통 모델의 조류계산 결과로 설정하였다. 조류계산에서 산정된 모선 전압 크기와 위상각을 상태추정 결과와 비교하였으며, 각 모선의 전압 크기 오차와 위상각 오차는 각각 식 (20) 및 식 (21)과 같이 정의한다.

여기서 $V_{m,k}^{ref}$와 $\theta_k^{ref}$는 각각 $k$번 모선의 기준 전압 크기와 위상각이며, $V_{m,k}^{est}$와 $\theta_k^{est}$는 상태추정을 통해 산정된 전압 크기와 위상각이다. 각 시나리오의 상태추정 정확도는 전체 모선에 대한 전압 크기 평균 절대오차(MAE)와 위상각 평균 절대오차(MAE)를 이용하여 평가하였다. 또한 불량데이터 처리 기법별 계산 효율은 평균 계산 시간을 이용하여 비교하였다.

PMU-only 선형 상태추정의 정상상태 및 불량데이터 조건에서의 성능을 비교하기 위해 표 1과 같이 시나리오를 구성하였다. Case 1은 불량데이터가 포함되지 않은 정상상태 조건이며, Case 2부터 Case 5는 각각 전압 오차, 전류 오차, 전압 및 전류 복합 오차, 그리고 오차와 측정치 누락을 포함한 복합 조건을 나타낸다.

Case 5의 ±2%는 불량데이터의 오차 크기이며, 측정치 누락 비율은 전체 후보 측정치의 2%로 설정하였다.

4.2 정상상태 조건에서의 PMU-only 선형 상태추정 결과

그림 5는 정상상태 조건에서 PMU-only 선형 상태추정 결과와 기준값을 비교하여 나타낸 것이다. 정상상태에서는 기준값과 유사한 전압 크기 및 위상각이 추정되었다. 이를 통해 3장에서 구성한 제주계통 PMU 계측 정보 및 계통 모델을 이용하여 정상상태에서 PMU-only 선형 상태추정이 수행됨을 확인하였다.

4.3 불량데이터 처리 결과 및 특성 비교

표 2는 불량데이터 조건에서 LNR-MR, RN-IRW 및 OP-SRR의 전압 크기와 위상각 평균 절대오차를 비교한 결과이다.

그림 6은 전압 및 전류 복합 오차 조건인 Case 4에서 모선별 전압 크기 및 위상각 MAE를 비교한 결과이다.

전압 오차 조건인 Case 2에서는 LNR-MR의 전압 크기 MAE가 가장 작게 나타난 반면, 위상각 MAE는 OP-SRR과 RN-IRW가 유사한 수준으로 나타났다. 따라서 Case 2에서는 평가 항목에 따라 각 기법의 상대적 성능에 차이가 나타났다.

전류 오차 조건인 Case 3에서는 LNR-MR이 RN-IRW와 OP-SRR보다 큰 전압 크기 및 위상각 오차를 나타냈으며, RN-IRW와 OP-SRR은 유사한 수준의 오차를 나타냈다. 전압 및 전류 복합 오차 조건인 Case 4에서는 OP-SRR이 세 기법 중 가장 작은 전압 크기 및 위상각 MAE를 나타냈다. Case 5에서도 RN-IRW와 OP-SRR은 유사한 전압 크기 MAE를 보였으며, OP-SRR의 위상각 MAE가 상대적으로 작게 나타났다.

Case 4에서 LNR-MR은 일부 모선에서 전압 크기와 위상각 오차가 크게 증가하였다. RN-IRW는 LNR-MR에 비해 전반적인 오차가 감소하였으나 일부 모선에서 위상각 오차가 증가하였다. OP-SRR은 대부분의 모선에서 상대적으로 낮은 전압 크기 및 위상각 오차를 나타냈다. 이를 통해 전압 및 전류 복합 불량데이터 조건에서 관측성을 고려한 선택적 재가중 및 제거 방식이 단순 제거 방식보다 낮은 상태추정 오차를 나타냄을 확인하였다.

4.4 불량데이터 처리 기법별 계산 시간 비교

표 3과 그림 7은 각 불량데이터 조건에서 LNR-MR, RN-IRW 및 OP-SRR의 평균 계산 시간을 비교한 결과이다. 모든 조건에서 평균 계산 시간은 LNR-MR, OP-SRR, RN-IRW 순으로 증가하였다.

LNR-MR은 이상 측정치 후보를 제거한 후 상태추정을 반복하는 방식으로 세 기법 중 가장 짧은 계산 시간을 나타냈다. RN-IRW는 이상 측정치 후보의 가중치를 반복적으로 조정하므로 가장 긴 계산 시간을 나타냈다. OP-SRR은 후보 측정치를 임시 제거한 후 관측성을 확인하고, 필요 시 측정치를 복원하여 재가중하는 과정이 추가되어 LNR-MR보다 계산 시간이 증가하였으나, 모든 Case에서 RN-IRW보다 짧은 평균 계산 시간을 나타냈다.