2.1 레졸버 구성 요소

레졸버의 구조는 회전자와 고정자로 구성되며, 고정자의 여자 권선에서 생성된 자속이 직교하는 두 신호 권선에 쇄교하며 나타나는 역기전력 신호를 통해 회전자의 위치 및 속도를 추정할 수 있다. 신호 권선의 극수 $p_w$는 식 (1)에 따라 결정되며, 각 SIN/COS 신호 권선의 슬롯당 턴수는 식 (2)와 (3)으로 표현된다 ^[5]. 이상적으로 분포된 신호 권선의 출력 전압은 정현파 형태로 나타나며, 여자 권선의 슬롯당 턴수 $N_{e,i}$는 식 (4)와 같이 정의할 수 있다.

여기서 $N_{\max}$는 최대 턴수, $Z$는 슬롯 수, $N_{s,i}$와 $N_{c,i}$는 i번째 슬롯에 감기는 SIN/COS 신호 권선의 턴수, $p$는 극수, $N_{ex}$는 여자 권선의 턴수, $\gamma$는 신호 권선의 위상각을 의미한다. 그림 1은 식 (2), (3)에 따른 SIN/COS 신호 권선과 여자 권선의 슬롯별 권선 분포 예시를 보여준다.

그림 1 이상적인 SIN/COS 신호 권선도 예시

Fig. 1 Signal winding distribution for each stator slot

VR 레졸버는 회전자 위치에 따른 자기 저항 변화를 통해 신호 권선의 출력 전압에 진폭 변조를 발생시킨다. 이때 공극 길이는 회전자 위치의 함수로 식 (5)와 같이 표현된다.

$\delta_{\min}$은 최소 공극 길이, $K$는 1과 2사이의 임의의 값으로 공극 형상을 결정하는 설계 변수이다. $P$는 퍼미언스의 크기를 나타내며, 공극 길이 함수에 반비례한다.

2.2 출력전압을 통한 위치 검출 과정

유기 기전력은 패러데이 법칙에 따라 쇄교자속의 시간 변화율에 비례한다. VR 레졸버의 각 슬롯과 전체 권선에서 발생하는 유기 기전력은 각각 (6), (7)과 같이 나타낼 수 있다.

$\lambda_{s,i}$는 i번째 슬롯에 쇄교되는 자속의 크기, $I_m$은 입력 전류이다. 그림 2는 각 권선의 유기 기전력으로부터 peak값을 검출하는 과정과 회전자 위치에 따른 각도 및 위치 오차를 계산하는 과정을 보여준다. 식 (8)을 통해 검출된 SIN/COS 신호 권선의 출력전압 peak 값으로부터 회전자 위치를 구할 수 있다.

그림 2 여자 권선의 입력전압, 신호 권선의 출력전압 및 위치 오차

Fig. 2 Excitation winding input voltage, signal winding output voltage, and angle error

3.1 레졸버 제원

권선 턴수는 위치 오차에 직접적인 영향을 미치므로, 오차 저감을 위해서는 다양한 권선 턴수 조합에 대한 검토가 필수적이다. 그러나 기존 방식은 턴수가 변경될 때마다 반복적인 FEA 수행이 요구되어 계산 비용이 과도하게 발생하는 단점이 있다. 본 장에서는 단 1회의 Transient FEA 결과를 기반으로 해석적 접근법을 통해 해석 시간을 크게 단축할 수 있는 One-Shot FEA 방법을 제안한다. 시뮬레이션에 사용된 12 슬롯, 4X 레졸버는 그림 1에 나타난 권선 수를 적용하였으며, 식 (5)를 활용하여 돌출부 형상 설계를 진행하였다. 레졸버의 최종 형상과 설계에 사용된 주요 파라미터는 그림 3과 표 1에 나타내었다.

그림 3 12-4X 레졸버

Fig. 3 12-4X VR resolver

3.2 회전자 형상에 따른 퍼미언스 고조파

레졸버의 출력전압은 공극 퍼미언스와 권선 턴수의 상호작용에 의해 결정된다. 퍼미언스가 공극 함수에 반비례하는 특성을 이용하면, 정현파 공극 퍼미언스를 가정하여 식 (5)를 통해 레졸버 형상 설계를 진행할 수있다. 그러나 실제 공극 퍼미언스는 누설 자속 및 자기 포화 등 비선형 요인으로 인해 기본파 성분뿐만 아니라 다양한 고조파 성분을 포함하며, 이는 식 (9)와 같이 나타낼 수 있다.

$P_0$는 기본 퍼미언스의 크기, $P_n$은 n차 고조파 성분의 크기, $n$은 고조파 차수, $\theta$는 회전자 위치를 나타낸다. 이러한 비선형 요인을 고려한 정확한 퍼미언스는 FEA를 통해 산출할 수 있다. 공극 퍼미언스는 턴수와 무관하게 회전자 및 고정자의 형상에 의해 결정되므로, 특정 레졸버 형상에 대한 퍼미언스 함수는 단 한 번의 FEA로 산출할 수 있다. 따라서 산출된 퍼미언스 값을 이용하면 추가적인 FEA 수행 없이 다양한 권선 구성에 따른 위치 오차를 평가할 수 있다.

그림 4 각 슬롯의 쇄교자속 크기

Fig. 4 Flux linkage of each stator slot

그림 4는 FEA를 통해 회전자 위치에 따른 각 슬롯의 쇄교자속 변화를 나타낸 것이다. 쇄교자속으로부터 공극 퍼미언스를 산출하기 위해서는 신호 권선 및 여자 권선의 턴수에 따른 영향을 제거해야 하며, 이를 고려한 퍼미언스는 식 (10)을 통해 구할 수 있다.

$\lambda_{sig}$는 신호 권선의 쇄교자속, $N_{sig}$는 신호 권선의 턴수, $N_{exc}$는 여자 권선의 턴수, $I_m$은 여자 전류를 나타낸다. 그림 5는 한 슬롯의 공극 퍼미언스에 대한 푸리에 스펙트럼으로, 실제 공극 퍼미언스에는 기본파 성분 외에도 위치 오차의 원인이 되는 다양한 고조파 성분이 존재함을 보여준다.

그림 5 공극 퍼미언스 푸리에 스펙트럼

Fig. 5 Permeance harmonic magnitude by harmonic order

3.3 권선 정수화에 의한 위치 오차

퍼미언스 고조파 외에도 레졸버의 위치 오차를 유발하는 요인으로 신호 권선 턴수의 정수화에 따른 오차를 들 수 있다. 이상적인 신호 권선의 턴수는 일반적으로 소수점을 포함한 실수값으로 나타나지만, 실제 제작 과정에서는 정수 단위의 턴수만 구현 가능하다. 이 과정에서 불가피한 오차가 발생하며, 이는 신호 권선의 출력전압을 왜곡하여 위치 오차를 유발한다. 그림 6은 $N_{\max}$가 150일 때 12-4X 레졸버의 SIN/COS 신호 권선의 슬롯별 이상적 턴수 분포와 정수화할 때 발생하는 턴수 오차를 나타낸다.

그림 6 신호 권선 분포도 및 각 슬롯의 권선 소수점 오차

Fig. 6 Signal winding turn distribution and quantization error for each slot

3.4 FEA 해석 결과

앞서 분석한 바와 같이, 신호 권선의 출력전압은 레졸버 코어 형상에 의해 결정되는 퍼미언스 고조파와 신호 권선 턴수의 정수화 오차에 큰 영향을 받는다. 비선형 특성을 포함한 퍼미언스는 One-Shot FEA를 통해 직접 산출하는 반면, 턴수 변화에 따른 영향은 선형적으로 근사하여 해석적으로 계산할 수 있다. 이를 통해 임의의 권선 조합에 대한 위치 오차를 추가적인 FEA 없이 빠르고 정확하게 평가할 수 있다. 본 연구에서는 JMAG designer를 이용하여 단 한 번의 Transient FEA로 슬롯별 쇄교자속 데이터를 추출하고, 이를 MATLAB 기반 해석 모델에 입력하여 위치 오차를 계산하였다.

그림 7 FEA 해석 결과와 제안하는 방식의 위치 오차 비교

Fig. 7 Angle error comparison: FEA vs. proposed formula-based method

그림 7은 동일한 권선 턴수 조건에서 FEA로 직접 계산한 결과와 제안된 One-Shot FEA 기반 결과를 비교한 것이다. FEA와 제안 기법으로 계산된 위치 오차의 peak-to-peak 값은 각각 0.277°와 0.280°로, 두 결과 간의 차이는 전기각 기준 0.003°로 1.1% 이내의 무시할 만한 오차 수준이다. 따라서 제안된 접근법의 높은 정확도와 유효성을 확인할 수 있다.

4.1 대칭성 기반 신호 권선 턴수 정수화 기법

3장에서 논의한 바와 같이, SIN/COS 신호 권선의 턴수 오차는 출력전압을 왜곡하고 레졸버의 위치 오차를 유발한다. 본 장에서는 이러한 위치 오차를 저감하기 위해 레졸버 슬롯의 대칭성을 활용한 권선 턴수 산정 기법을 제안한다. 제안된 기법은 $p = 2p_w$ 조건을 만족하는 극-슬롯 조합에 적용할 수 있다. 이 조건에서 마주보는 슬롯의 권선 위상과 퍼미언스 위상이 동일해지는 대칭 특성을 활용하여, 위치 오차를 유발하는 턴수 오차 성분을 마주보는 슬롯 간에 상보적으로 조정하여 출력전압 왜곡과 위치 오차를 저감한다. 그림 8은 제안하는 Hybrid 기법을 다양한 권선 조합에 적용하고 그 유효성을 검증하기 위한 전체 프로세스를 나타낸다. 제안 기법의 적용 절차는 다음과 같다.

그림 8 제안하는 Hybrid 기법의 검증 프로세스

Fig. 8 Validation process of the proposed Hybrid method

1) 표 1의 설계 사양 기반의 초기 조건 설정, One-Shot FEA 수행을 통한 슬롯별 쇄교자속 값 추출

2) 식 (10)을 이용한 슬롯별 공극 퍼미언스 고조파 산출

3) 주어진 ($N_{\max}, \gamma$) 조합에 대해 식 (12)와 (13)의 대칭성 기반 상보적 권선 턴수 적용 (슬롯 $i$: 내림 적용, 슬롯 $i+Z/2$: 올림 적용)

4) 각 권선 조합에 대한 위치 오차 계산 후, 식 (16)의 허용 기준을 만족하는 모델 선택 및 결과 저장

5) 모든 ($N_{\max}, \gamma$) 조합에 대한 탐색 완료 시 프로세스 종료, 허용 기준을 만족하는 모든 권선 조합 출력

레졸버의 공극 퍼미언스 주기와 신호 권선 주기가 $p = 2p_w$ 조건을 만족할 때 서로 마주보는 슬롯의 신호 권선 성분과 퍼미언스 성분의 위상이 동일해지는 대칭성이 형성되며, 이는 식 (11)과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $N_{ideal,i}$는 식 (2), (3)에 따라 계산된 슬롯 $i$의 이상적인 신호 권선 턴수를 의미하며, $b_i$는 슬롯 $i$의 단위 턴당 유기기전력 성분을 의미한다. 마주보는 두 슬롯의 권선 턴수를 각각 내림과 올림으로 상보적으로 정수화할 때 발생하는 권선 턴수 오차는 식 (12), (13)과 같이 표현된다. 여기서 $\epsilon_i$에는 내림을 적용하였으며, $\epsilon_{i+Z/2}$에는 올림을 적용한 결과이다.

여기서 $f$는 $N_{ideal,i}$의 소수부를 의미한다. 각 슬롯에서 발생하는 유기기전력 오차는 권선 턴수 오차와 단위 턴당 유기기전력의 곱으로 표현할 수 있다. 식 (11)의 대칭 관계를 적용하여 마주보는 두 슬롯의 유기기전력 오차 성분을 합산하면 식 (14)와 같이 나타낼 수 있다.

식 (14)로부터 권선 턴수의 소수부가 0.5에 가까울수록 두 슬롯의 오차 성분이 효과적으로 상쇄되어, 전체 유기기전력 오차가 0에 가까워짐을 확인할 수 있다. 따라서 본 연구에서 제안하는 권선 턴수 정수화 기법은 권선 턴수의 소수부가 0.5에 근접한 슬롯 쌍을 우선적으로 선별하고, 마주보는 두 슬롯에 각각 내림과 올림을 상보적으로 적용함으로써 권선 턴수 오차를 상쇄하는 방식으로 위치 오차를 저감한다.

그림 9는 표 1의 12-4X 레졸버 모델에서 $N_{\max} = 153$일 때, 기존 반올림 방식과 제안된 대칭성 기반 방식의 위치 오차를 FEA로 비교한 것으로, 기존 방식 대비 80.14%의 위치 오차 감소를 통해 제안된 기법의 효과를 확인할 수 있다.

그림 9 반올림 방식 vs. 제안 방식 위치 오차 비교 ($N_{\max} = 153$)

Fig. 9 Angle error comparison at $N_{\max} = 153$ (Direct FEA Simulation)

4.2 대칭성 기반 권선법의 범용성 검증

본 절에서는 4.1절에서 제안한 기법이 12-4X 레졸버뿐만 아니라 다른 극-슬롯 조합에도 효과적으로 적용될 수 있는지를 검토한다. 검증 대상으로 선정된 18-6X는 $p_w = 3$과 $p = 6$으로 $p = 2p_w$ 조건을 만족한다. 따라서 앞서 제안한 대칭성 기반 권선 턴수 정수화 기법을 동일하게 적용하였다. 그림 10은 18-6X 레졸버의 슬롯별 신호 권선 및 여자 권선의 턴수 분포를 나타낸다. 기존 권선 방식으로는 반올림 정수화 방식을 적용하였고, 제안 방식에서는 권선 오차의 상쇄를 위해 슬롯 1-9에는 내림, 슬롯 10-18에는 올림을 적용하였다. 그림 11은 시뮬레이션에 사용된 레졸버의 형상을 나타내며, 표 1을 기반으로 극수와 관련 치수만 변경하여 설계하였다.

그림 10 18-6X 레졸버 슬롯별 권선 분포도

Fig. 10 Winding distribution per slot for 18-6x VR resolver

그림 11 18-6X 레졸버

Fig. 11 18-6X VR resolver

그림 12는 18-6X 레졸버에 대해 기존의 반올림 방식과 제안 방식의 위치 오차를 비교한 결과로, 기존 대비 위치 오차가 약 96% 감소하였다. 이를 통해 제안된 권선 기법이 두 가지 극-슬롯 조합에서 효과적으로 적용될 수 있음을 확인하였다. 이러한 결과는 $p = 2p_w$ 조건을 만족하는 다양한 극-슬롯 조합에 대해 제안 기법의 일반화 가능성을 보여준다.

그림 12 반올림 방식 vs. 제안 방식 위치 오차 비교 (18-6X type)

Fig. 12 Angle error comparison at 18-6X type (Direct FEA Simulation)

4.3 제안 기법의 효과 검증

본 절에서는 4.1절에서 제안한 대칭성 기반 권선 기법에 One-Shot FEA 해석 결과를 결합한 Hybrid 기법을 제안한다. 식 (15)를 통해 모든 슬롯의 신호 권선 턴수의 소수부가 0.5로부터 허용 오차 이내에 위치한 구성만을 후보군으로 선정하였고, 하나의 슬롯이라도 소수부와 0.5의 편차가 허용 범위를 초과하는 경우 해당 권선 구성은 후보군에서 제외하였다. 이후 식 (16)을 통해 각 후보의 위치 오차에 대한 최댓값과 최소값의 차이를 산출하고, 위치 오차 허용 기준을 만족하는 권선 조합을 최종 선별하여 제안 기법의 성능을 평가하였다.

여기서 $\eta$는 권선 턴수의 소수부가 0.5에서 벗어나는 정도를 나타내는 허용 오차이며, $\Delta\theta_{p2p}$는 각 조합의 peak-to-peak 위치 오차, $\Delta\theta_{th}$는 위치 오차 허용 기준을 의미한다. 표 2는 제안 기법의 검증에 사용된 주요 파라미터를 나타낸다. 가능한 권선 조합을 폭넓게 탐색하기 위해 ^[7]에서 제안된 권선 위상각 개념을 도입하고, 위상각을 0에서 $2\pi$까지 변화시켰다. 이에 따라 허용 조건을 만족하는 위상각과 최대 권선 턴수의 조합을 탐색하였다. 그 결과, 권선 턴수 허용 오차를 만족하는 후보는 총 476개이며, 이 중 위치 오차 허용 기준까지 만족하는 조합은 175개로 나타났다.

그림 13은 기존 반올림 방식과 제안된 Hybrid 기법의 위치 오차를 비교한 결과이다. 기존 방식은 $N_{\max}$값에 따라 일부 구간에서 상대적으로 낮은 위치 오차가 나타나지만, 전체적으로 오차의 변동 폭이 매우 크다. 반면, 제안 기법은 다양한 권선 분포 조건에서 일관되게 낮은 오차를 유지하며, 평균 pk-to-pk 위치 오차를 기존 방식 대비 약 64% 저감하였다. 이는 제안 기법이 최대 권선 턴수와 무관하게 전반적인 위치 검출 정확도를 향상시킬 수 있음을 보여준다. 표 3에서 두 가지 $N_{\max}$ 조건에서 제안하는 기법의 상대적인 오차 저감율을 각각 Hybrid와 FEA로 계산한 결과를 비교하였다. Hybrid 기법과 FEA 결과의 pk-to-pk 위치 오차를 비교한 결과, 최대 오차는 기존 방식과 제안 방식에서 각각 0.0021° 및 0.0048°로 나타나 제안된 기법의 높은 정확도를 확인하였다. 표 4는 FEA와 Hybrid 기법 간의 계산 시간을 비교한 것으로, 권선 턴수 허용 오차 기준을 만족하는 모든 후보를 대상으로 평가한 결과, 제안된 Hybrid 기법은 전체 계산 시간을 기존 FEA 대비 약 99.78% 단축하였다. 이는 제안 기법이 계산 정확도와 탐색 효율을 동시에 확보할 수 있음을 보여준다. 표 5는 시뮬레이션에 사용된 컴퓨터 사양을 나타낸다.

그림 13 최대 턴수에 따른 위치 오차 비교

Fig. 13 Angle error comparison vs. maximum number of turns