2.1 지배방정식

공기-손실유전체 이종계면에서의 전계 및 전하 거동을 해석하기 위해 공기와 손실유전체를 포함한 전체 영역에 전류 연속방정식을 적용하였다. 시간에 따른 전계 변화를 고려한 전류 연속방정식은 다음과 같다.

여기서, $\varepsilon_{0}$는 진공 유전율, $\varepsilon_{r}$은 상대유전율이며, 손실유전체인 XLPE는 2.3으로 설정하였다. $\vec{E}$는 전계, $\vec{J}$는 전도전류밀도를 나타낸다. 전류밀도는 각 영역의 전기전도도와 전계에 의해 다음과 같이 정의된다.

공기 영역의 전기전도도는 전자, 양이온 및 음이온의 수밀도와 이동도를 이용하여 다음과 같이 계산하였다.

여기서 $N_{e}$, $N_{p}$, $N_{n}$은 각각 전자, 양이온 및 음이온의 수밀도를 나타내며 $\mu_{e}$, $\mu_{p}$, $\mu_{n}$은 각 하전입자의 이동도를 나타낸다. 따라서 공기 영역의 전기전도도는 하전입자의 생성과 이동에 따라 시간 및 공간적으로 변화한다. 손실유전체 영역에는 전기전도도 $\sigma_{s}$를 적용하였으며, 본 연구에서는 상수 전도도와 전계 및 온도에 의존하는 비선형 전도도 모델을 적용하였다.

공기 영역에서는 전자, 양이온 및 음이온의 생성과 이동을 고려하였으며, 각 하전입자에 대한 연속방정식은 다음과 같다.

$\alpha$와 $\eta$는 각각 이온화계수와 전자부착계수이다. $\beta_{ep}$와 $\beta_{np}$는 각각 전자-양이온 및 음이온-양이온 재결합 계수를 나타내며 $\vec{W}_{i}$와 $D_{i}$는 각각 하전입자의 드리프트 속도와 확산계수를 의미한다. 연속방정식에는 전계에 의한 드리프트와 확산 및 이온화, 부착, 재결합에 의한 하전입자의 생성과 소멸을 고려하였다. 방전 해석에 사용된 주요 변수는 표 1에 정리하였다.

공기-손실유전체 계면에서는 공기측과 손실유전체측의 법선방향 전류밀도 차이에 의해 표면전하가 축적되며, 표면전하밀도의 시간 변화는 다음과 같이 표현된다.

여기서 $\rho_{s}$는 계면의 표면전하밀도이며, $\vec{J}_{f}$와 $\vec{J}_{s}$는 각각 공기와 손실유전체의 전류밀도를 나타낸다. 이에 따라 공기 영역에서 시간에 따라 변화하는 하전입자 분포와 손실유전체의 전도 특성이 전류 연속방정식을 통해 결합되며, 두 영역의 법선방향 전류밀도 차이에 의해 계면에 표면전하가 축적된다.

2.2 해석 모델 및 전기전도도 모델

그림 1은 본 연구에 사용된 공기-XLPE 이종계면의 해석 모델 및 요소망을 보여준다. 해석 모델은 음극성 침 전극과 평판 전극으로 구성된 2차원 축대칭 구조로 침 전극과 XLPE 사이에 공기 영역을 배치하였다. 침 전극의 곡률반경은 25 μm, 침 전극과 유전체 표면 사이의 간격은 0.5 mm이다. 침 전극에는 –2.5 kV의 직류전압을 인가하고 하부 평판 전극은 접지하였다. 침 전극 선단과 공기-손실유전체 계면 인접 영역을 중심으로 거리에 따라 최대 요소 크기를 1~3 μm로 적용하였다.

기체 방전 해석의 초기조건으로 침 전극 끝단 부근에 중성 플라즈마가 존재하는 것으로 가정하였으며, 전자와 양이온의 초기 밀도는 침 끝단을 중심으로 한 가우시안 분포로 설정하였다. 초기 전하분포의 최대 밀도는 $N_{\max} = 10^{16} m^{-3}$, 분포 반경은 $25\mu m$로 설정하였으며, 이에 따라 침 끝단에서 가장 높은 전하밀도를 갖고 주변으로 갈수록 지수적으로 감소하도록 하였다. 음이온에 대해서는 별도의 초기 플라즈마 분포를 부여하지 않았다. 전극 경계의 입자 플럭스 조건은 양이온 충돌에 따른 2차 전자 방출만을 고려하였다. 즉, 전극으로 유입되는 양이온 플럭스에 비례하여 전자가 방출되는 것으로 가정하였으며, 전자 유입 플럭스는 $N_{e}\vec{W}_{e} = \gamma N_{p}\vec{W}_{p}$의 관계로 정의하였다. 여기서 $\gamma$는 2차 전자 방출계수이며, 본 연구에서는 실험 결과와 비교적 일치하는 값인 0.004를 사용하였다 ^[3].

시간 의존 해석은 방전 개시 직후의 빠른 전하 이동과 후속 전류 펄스 및 표면전하 축적 과정을 충분히 관찰하기 위하여 0-1200 ns 범위에서 수행하였다. 해석 결과는 0.1 ns 간격으로 출력하여 초기 방전 과정의 시간적 변화를 확인하였다. 수치해석 수렴조건은 COMSOL의 시간 의존 해석 설정에 따라 적용하였으며, 계산 과정에서 각 시간 단계의 비선형 반복해가 설정된 허용오차를 만족하도록 하였다.

그림 1 공기-XLPE 해석 모델 및 요소망

Fig. 1 Analysis model and mesh for the Air-Lossy dielectric system

손실유전체의 전기전도도 특성에 따른 전류 및 표면전하 거동을 비교하기 위해 두 개의 상수 전도도 모델과 전계 및 온도로 변화하는 비선형 전도도 모델을 적용하였다. 상수 전도도는 각각 $1 \times 10^{-17}$ S/m와 $1 \times 10^{-10}$ S/m로 설정하였으며, 비선형 전도도는 다음과 같이 표현하였다 ^[11].

여기서 $A$와 $\lambda$는 전도 특성을 나타내는 계수이며 $E_{a}$는 활성화 에너지, $k_{B}$는 Boltzmann 상수, $E$와 $T$는 각각 전계의 크기와 절대온도를 나타낸다. 또한 $B(T)$는 온도에 따라 변화하는 계수로 정의하였다. 위 변수는 표 2에 정리하였다.

또한, 비선형 전도도 모델에서는 온도 분포가 전하 이동 및 전도 특성에 미치는 영향을 구분하여 분석하기 위해 두 가지 온도 조건을 적용하였다. 첫 번째는 XLPE 전체의 온도를 30°C로 일정하게 유지한 균일 온도 조건이며, 두 번째는 침 전극 직하부의 XLPE 온도를 80°C로 설정한 후 반경 방향으로 감소하여 외곽에서 30°C가 되는 온도 구배 조건을 적용하였다. 이를 통해 전계 의존성만을 고려한 경우와 전계 및 온도 의존성을 동시에 고려한 경우의 전류 응답 및 계면 전하 축적 특성을 비교하였다. 그림 2는 온도 구배 조건의 XLPE 내부 온도 분포도를 나타낸다.

그림 2 XLPE 내부 온도 분포

Fig. 2 Temperature distribution inside XLPE

3.1 전기전도도에 따른 전류 펄스 특성

그림 3과 4는 전기전도도 조건에 따른 전류 변화를 나타낸다. 그림 3에서는 $1 \times 10^{-17}$ S/m와 $1 \times 10^{-10}$ S/m 조건의 상수 전도도 조건 및 온도를 30°C로 고정한 비선형 전도도 모델을 비교하였다. 두 상수 전도도 조건에서 전류 펄스의 크기는 유사한 반면, 발생 시점에는 차이가 나타났다. $1 \times 10^{-17}$ S/m 조건에서는 첫 번째 후속 전류 펄스가 98.5 ns에서 발생한 반면, $1 \times 10^{-10}$ S/m 조건에서는 약 112 ns에서 발생하였다. 이후의 전류 펄스에서도 $1 \times 10^{-17}$ S/m 조건이 상대적으로 빠른 발생 특성을 나타냈으며, 852.9 ns에서는 추가적인 전류 펄스가 확인되었다. 온도를 30°C로 고정한 비선형 전도도 모델에서는 첫 번째 후속 전류 펄스가 약 89.4 ns에서 나타났으며, 이후 약 148.1 ns와 200.1 ns에서도 반복적인 펄스가 나타났다. 비선형 전도도 모델에서는 상수 전도도 조건과 비교하여 전류 펄스의 크기에는 큰 차이가 나타나지 않았다. 이는 온도가 일정한 조건에서는 전도도 증가가 국부적인 고전계 영역에 제한적으로 나타나 전체 전류 응답에 미치는 영향이 상대적으로 작기 때문으로 판단된다. 그림 4에서는 $1 \times 10^{-17}$ S/m의 상수 전도도 조건과 온도 구배를 고려한 비선형 전도도 모델을 비교하였다. 온도 구배를 고려한 경우에는 전류 펄스의 발생 시점뿐만 아니라 크기에서도 뚜렷한 차이가 나타났다.

그림 3 상수 및 온도 고정 비선형 전도도 조건에 따른전류 펄스 특성 비교

Fig. 3 Comparison of current pulse characteristics under constant and temperature-fixed nonlinear conductivity conditions

그림 4 온도 구배에 따른 전류 펄스 특성 비교

Fig. 4 Comparison of current pulse characteristics considering the temperature gradient

3.1 전기전도도에 따른 표면전하 축적 특성

그림 5와 6은 전기전도도 조건에 따른 공기-XLPE 계면의 표면전하밀도 분포를 나타낸다. 표면전하밀도는 후속 전류 펄스 이후인 1200 ns에서 비교하였다. 먼저 그림 5에서는 $1 \times 10^{-17}$ S/m와 $1 \times 10^{-10}$ S/m의 상수 전도도 조건 및 30°C로 고정한 비선형 전도도 모델을 비교하였다. 약 0.104 mm 위치에서 표면전하밀도는 각각 $-1.508 \times 10^{-4}$ C/m²와 $-1.437 \times 10^{-4}$ C/m², $-1.363 \times 10^{-4}$ C/m²로 나타났다. 두 상수 전도도 조건의 차이는 약 4.7%였으며, 온도 고정 비선형 모델과 두 상수 전도도 조건의 차이 역시 10% 이내로 나타났다. 따라서 온도가 일정한 경우 전계에 따른 비선형 전도도 변화가 존재하더라도 계면의 표면전하 축적량과 공간 분포에 미치는 영향은 제한적인 것으로 나타났다. 반면 그림 6에서 $1 \times 10^{-17}$ S/m 상수 전도도 조건과 온도 구배를 고려한 비선형 전도도 모델을 비교한 결과 0.104 mm 위치에서 비선형 모델의 표면전하밀도는 $-1.49 \times 10^{-5}$ C/m²로 감소하여 상수 전도도 조건보다 약 90% 낮게 나타났다. 또한 최대 표면전하밀도가 나타나는 위치가 침 전극 직하부에서 약 0.44 mm 부근으로 이동하면서 표면전하의 공간 분포에서도 뚜렷한 차이가 나타났다. 그림 7은 $1 \times 10^{-17}$ S/m 상수 전도도 조건과 온도 구배를 고려한 비선형 전도도 모델의 표면전하밀도 공간 분포를 나타낸다. 이를 통해 온도에 따른 유전체의 전도 특성 변화가 공기-고체 계면의 표면전하 축적 위치와 공간 분포를 변화시키는 주요 요인임을 확인하였다.

그림 5 상수 및 온도 고정 비선형 전도도 조건에 따른 표면전하밀도 분포 비교

Fig. 5 Comparison of surface charge density distributions under constant and temperature-fixed nonlinear conductivity conditions

그림 6 온도 구배에 따른 표면전하밀도 분포 비교

Fig. 6 Comparison of surface charge density distributions considering the temperature gradient

그림 7 전기전도도 모델에 따른 표면전하밀도 공간 분포

Fig. 7 Spatial distribution of surface charge density for different electrical conductivity models

3.3 전류 펄스와 표면전하 축적의 연계성

전류 펄스와 계면 표면전하 축적은 계면 전류와 전계의 변화를 통해 상호 연계된다. 공기 중에서 생성된 하전입자가 XLPE 계면에 도달하면 공기측과 유전체측의 법선방향 전류밀도 차이에 의해 표면전하가 축적된다. 이때 유전체의 전기전도도가 온도와 전계에 따라 변화하면 고체 내부의 전도전류와 전하 완화 특성이 위치에 따라 달라지며, 이에 따라 계면에 축적되는 전하의 크기와 공간적 분포도 변화한다. 축적된 표면전하는 계면 부근의 국부 전계를 변화시키며, 이러한 전계 변화는 다시 기체 영역에서의 하전입자 생성과 드리프트·확산 조건에 영향을 미친다. 따라서 온도 구배를 고려한 비선형 전도도 모델에서는 전도도의 공간적 불균일성이 계면 전하 분포와 전계를 변화시키고, 그 결과 후속 방전의 개시 조건과 전류 펄스의 발생 시점 및 크기가 상수 전도도 조건과 다르게 나타난 것으로 판단된다. 즉, 전도도 변화에 따른 표면전하 재분포와 이에 수반되는 계면 전계 변화가 전류 펄스와 표면전하 축적을 연계하는 물리적 메커니즘으로 판단된다.