2.1 모터 프로펠러 모델

모터·프로펠러 모델은 모터 동역학과 프로펠러 공력학(aerodynamics)로 구성된다. 모터 동역학은 제어 입력에 대한 모터 출력의 응답 특성과 시간 지연을 설명한다. 본 연구에서는 각 모터에 인가되는 펄스폭 변조(pulse width modulation, PWM) 신호를 제어 입력 $u$로 정의한다. 모터 토크 $\tau$의 응답 특성은 1차 지연 시스템으로 근사할 수 있으며, 연속 시간 영역에서 식 (1)과 같은 미분방정식으로 표현된다. 여기서 $c$는 모터의 시정수(time constant), $\kappa_{pv}$는 제어 입력과 전압 간의 비례 계수, $\kappa_{vt}$는 전압과 모터 토크 간의 비례 계수이다.

프로펠러 공력학은 프로펠러 회전에 의해 발생하는 추력 및 모멘트의 특성을 설명한다. 쿼드로터 4개의 모터는 그림 2와 같이 2개는 시계 방향, 2개는 반시계 방향으로 회전한다. 이때, 모터 동역학으로 설명되는 모터 토크가 프로펠러를 회전시키고 프로펠러의 회전 운동은 공기를 아래 방향으로 가속시킨다. 이에 의한 반작용으로 프로펠러 축에 추력과 모멘트가 발생한다. 쿼드로터에 가해지는 총 추력 $\mathbf{F}_{thrust}^{b}$은 4개의 프로펠러의 추력을 합산하여 식 (2)로 표현되며, 축별 회전 모멘트 $\mathbf{M}^{b}$는 각 프로펠러의 회전 방향을 고려하여 식 (3)으로 표현된다.

여기서 $\gamma_{tf}$은 모터 토크와 추력 간의 비례 계수, $l$은 무게중심으로부터 프로펠러까지의 거리, $\gamma_{tm}$는 모터 토크와 모멘트 간의 비례 계수이다.

그림 2 X형 쿼드로터의 모터ㆍ프로펠러 구조도

Fig. 2 Motor-Propeller configuration of an X-type quadrotor

2.2 강체 동역학 및 운동학

6자유도 운동방정식은 이동체의 선형 운동과 회전 운동을 통합하여 기술하는 기본 방정식으로, 운동학과 동역학으로 구성된다. 운동학은 위치, 속도, 자세, 각속도 등 운동 상태 간의 기하학적 관계를 기술하며, 이러한 항법 정보는 동체 중심에 고정된 동체 좌표계(body frame)와 지구의 한 점에 고정된 항법 좌표계(navigation frame)에서 표현할 수 있다. 위첨자 $\{b\}$와 $\{n\}$으로 표현한 각 좌표계에서의 항법 정보 간의 기하학적 관계는 식 (4)로 정의된다.

여기서 동체 좌표계에서의 속도 $\mathbf{v}^{b}$를 항법 좌표계에서의 위치 변화율 $\dot{\mathbf{p}}^{n}$로 변환하는 좌표변환 행렬(direction cosine matrix, DCM) $\mathbf{C}_{b}^{n}$과, 동체 좌표계에서의 각속도 $\boldsymbol{\omega}^{b}$를 항법 좌표계에서의 자세 변화율 $\dot{\boldsymbol{\Phi}}^{n}$로 변환하는 행렬 $\mathbf{T}_{b}^{n}$은 각각 식 (5), (6)으로 정의된다.

동역학은 추력 $\mathbf{F}_{thrust}^{b}$와 항력 $\mathbf{F}_{drag}^{b}$, 중력 $\mathbf{F}_{gravity}^{b}$로 구성된 합력과 모멘트를 사용하여 뉴턴-오일러(Newton-Euler) 방정식으로 기술하며 식 (7), (8)로 표현된다.

여기서 $m$은 질량, $\mathbf{J}$는 관성 모멘트이며, 항력 $\mathbf{F}_{drag}^{b}$은 $8\text{m/s}$ 이하의 저속 비행 조건에서 동체 속도에 대한 단순 선형 모델로 근사할 수 있다^{[12] [13] [15]}. 이러한 동역학 모델을 이용하면 모델에 포함된 힘과 모멘트에 따른 운동 변화를 계산할 수 있다. 그러나 실제 비행에서는 측정되지 않은 바람과 모델 불확실성 등 동역학 모델에 명시되지 않은 외란이 존재하므로 실제 운동과 동역학 모델로 예측한 운동 사이에 차이가 발생한다. 특히, 바람이 존재하면 대기가 항법 좌표계에 대해 이동하면서 동체와 대기 사이의 상대 속도가 변화한다. 이에 따라 실제 항력은 모델로 예측한 항력과 달라지며 쿼드로터의 항력 계수를 $d$라 하면 두 항력의 관계는 식 (9)와 같다.

항법 시스템에서 획득되는 속도는 외란에 의해 변화된 실제 운동 결과를 포함한다. 따라서 외란이 작용하는 경우 항법 시스템에서 획득되는 속도와 동역학 모델 기반 추측 항법의 속도가 상이하며 이 관계는 그림 3과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $\mathbf{v}_{GNSS/INS}$는 항법 시스템에서 얻은 동체의 속도, $\mathbf{v}_{model-DR}$은 동역학 모델 기반 추측 항법으로 예측한 속도, $\mathbf{v}_{disturbance}$는 외란의 속도를 의미한다. 본 연구에서는 바람에 의한 항력 변화를 모델에 명시적으로 포함되지 않은 외란으로 보고 GNSS/INS 복합항법시스템의 속도와 동역학 모델 기반 추측 항법으로 예측한 속도와의 차이를 이용하여 외란 속도 성분을 추정한다.

그림 3 쿼드로터의 자유물체도

Fig. 3 Free-Body diagram of the quadrotor

3.1 GNSS/INS 복합항법시스템

쿼드로터에 사용하는 대표적인 항법 센서인 관성측정장치는 관성 좌표계 기준 비력을 측정하는 가속도계와 회전 각속도를 측정하는 자이로스코프로 구성된다. 관성항법시스템은 그림 4와 같이 3축 자이로스코프를 이용해 계산한 자세를 기반으로 3축 가속도계 측정치를 적분하여 위치를 계산한다. 본 연구는 짧은 거리의 항법이므로 지구 자전 각속도, 코리올리 효과는 고려하지 않는 NED 항법시스템으로 구성하였다.

그림 4 관성항법시스템의 블록선도

Fig. 4 Block diagram of inertial navigation system

관성항법시스템에서 오차를 야기하는 요인으로 관성측정장치의 잡음, 바이어스(bias) 등이 있다. 관성측정장치의 바이어스는 보상되지 않으면 시스템에 전파되어 항법 해를 발산시킨다. 본 연구에서는 이러한 누적 오차를 보정하기 위해 GNSS를 채용하여 GNSS/INS 복합항법시스템을 구성하였다. 이때 선형 동작 시스템에서 상태를 추정하기 위해 사용되는 대표적인 필터인 칼만필터(Kalman filter)를 적용하였다. 칼만필터는 필터를 구성하는 방법에 따라 다양한 형태로 구분되는데, 본 연구에서는 그림 5와 같이 상태변수의 오차를 추정하는 간접 확장 칼만필터(indirect Extended Kalman filter, iEKF)를 사용하였다. 이를 통해 상태변수의 비선형성을 선형근사로 처리하고 단순화된 시스템 모델을 사용하여 효율적인 연산을 수행할 수 있다.

그림 5 GNSS/INS 복합항법시스템의 블록선도

Fig. 5 Block diagram of GNSS/INS integrated navigation system

이산 시간 간접 확장 칼만필터의 상태변수 오차 $\delta\mathbf{x}_k$와 측정치 $\mathbf{z}_k$ 모델은 식 (10), (11)와 같다.

여기서 $\mathbf{F}_{k-1}$는 상태 전이 행렬(transition matrix), $\mathbf{G}_{k-1}$는 제어 입력 행렬, $\mathbf{u}_{k-1}$는 제어 입력 벡터, $\mathbf{H}_k$는 측정 행렬이다. 필터 공정 잡음 $\mathbf{w}_{k-1}$과 측정치 잡음 $\boldsymbol{\nu}_k$는 각각 $\mathbf{Q}_k$와 $\mathbf{R}_k$를 공분산으로 하는 화이트 가우시안(white Gaussian) 잡음이며 위첨자 ‘-’는 $k$ 시간의 사전 추정값(a priori), ‘+’는 사후 추정값(a posteriori)을 의미한다. 칼만필터는 선형화된 시스템 모델을 기반으로 현재 상태를 예측하는 단계와 측정치를 갱신하여 예측된 상태를 최적화하는 두 단계로 구성된다. 예측 단계(time update)에서는 시간에 따른 상태변수 $\delta\mathbf{x}_k$와 예측된 상태의 불확실성을 나타내는 오차 공분산 $\mathbf{P}_k$를 전파(propagation)하며 이는 식 (10), (12)를 따른다.

측정치 갱신(measurement update) 단계에서는 칼만 이득(Kalman gain) $\mathbf{K}_k$와 측정치 $\mathbf{z}_k$를 이용하여 예측된 상태변수 $\delta\mathbf{x}_k$와 오차 공분산 $\mathbf{P}_k$를 보정하며 이는 식 (13)~(15)을 따른다^[16].

본 연구의 GNSS/INS 복합항법시스템에서는 위치 오차, 속도 오차, 자세 오차, 가속도계 바이어스, 자이로스코프 바이어스를 추정하며 15차 상태변수 오차 $\delta\mathbf{x}_k$와 상태 전이 행렬 $\mathbf{F}_{k-1}$은 각각 식 (16), (17)과 같다^[17].

여기서 $\hat{\mathbf{f}} = \begin{bmatrix} \hat{f}_x & \hat{f}_y & \hat{f}_z \end{bmatrix}^T$는 동체의 비력이며, 가속도계 측정값에 추정된 가속도계 바이어스를 보상한 후 좌표변환 행렬을 곱해서 구할 수 있다^[16]. 간접 확장 칼만필터를 통해 GNSS 측정값과 INS 추정값의 잔차를 사용하였으며 측정 행렬 $\mathbf{H}_k$은 식 (19)와 같다.

3.2 외란 모델링

본 논문에서는 쿼드로터의 동역학 모델 기반 추측 항법에서 주요 오차 요인으로 작용하는 바람을 중심으로 외란의 특성을 모델링하였다. 앞서 정의한 등가 외란에 포함되는 바람, 모델링 오차 및 미모델링 동역학 등은 서로 다른 물리적 원인에 의해 발생하지만 모두 동역학 모델의 예측과 실제 운동 간의 차이로 나타난다. 이에 본 논문에서는 주요 외란인 바람의 시공간적 변화 특성을 기반으로 등가 외란의 상태 모델을 구성하였다.

바람의 속도는 위치와 시간에 따라 변화하는 확률 과정(random process)으로 해석할 수 있다. 일반적으로 시간과 공간에 따라 느리게 변하는 평균풍(mean wind) 성분 $\overline{\mathbf{v}}_{wind}(\mathbf{p}, t)$과 빠르고 무작위적인 난류(turbulence) 성분 $\tilde{\mathbf{v}}_{wind}(\mathbf{p}, t)$으로 구분할 수 있다. 위치 $\mathbf{p}$ 및 시간 $t$에서의 바람 속도 $\mathbf{v}_{wind}(\mathbf{p}, t)$은 식 (20)으로 나타낼 수 있다.

이동체가 시간에 따라 이동할 때 경험하는 바람 속도 $\mathbf{v}_{wind}(\mathbf{p}, t)$는 동일한 위치에서의 시간적 변화뿐만 아니라 위치 변화에 따른 공간적 변화를 포함한다. 따라서 이동체가 궤적 $\mathbf{p}(t)$를 따라 이동하며 관측하는 바람 속도의 변화율은 식 (21)와 같이 표현된다^[7].

바람 추정 분야에서 일반적으로 사용되는 가정에 따라, 평균풍 $\overline{\mathbf{v}}_{wind}(\mathbf{p}, t)$은 짧은 시간 구간에서 정상 상태(steady)이고 공간적으로 균일(uniform)하다고 간주하였다^{[7] [13]}. 또한, 테일러 정지 난류 가정(Taylor frozen turbulence hypothesis)에 따라 난류 성분 $\tilde{\mathbf{v}}_{wind}(\mathbf{p}, t)$이 고정된 형태를 유지한 채 평균 바람 성분에 의해 센서를 통과한다고 간주하였다^[18].

따라서 식 (22), (23)을 식 (21)에 적용하면, 바람의 속도 변화는 이동체가 공간적으로 분포된 난류를 통과하면서 발생한다고 볼 수 있다. 난류는 가우시안 백색 잡음으로 근사할 수 있으며 이러한 물리적 가정을 기반으로 외란 속도 $\mathbf{v}_{disturbance}$를 랜덤 워크(random-walk)로 모델링하였고 이를 마르코프 연쇄(Markov chain)로 추정할 수 있다.

3.3 칼만필터 기반 외란 추정기

본 연구에서는 동역학 모델에 반영되지 않은 외란의 영향을 하나의 등가 외란으로 추정하기 위해 쿼드로터의 속도와 등가 외란 속도를 상태변수로 구성한 직접 칼만필터 기반 외란 추정기(disturbance estimator, DE)를 설계하였다. 제안하는 외란 추정기는 칼만필터의 예측 단계와 측정치 갱신 단계를 따르지만, 앞서 제시한 간접 확장 칼만필터와 달리 오차 상태가 아닌 상태변수 자체를 직접 추정한다.

그림 6 칼만필터 기반 외란 추정기의 블록선도

Fig. 6 Block diagram of the Kalman-filter-based Disturbance Estimator

그림 6과 같이 예측 단계에서는 제어 입력과 동역학 모델을 이용하여 쿼드로터의 속도를 예측하고 측정치 갱신 단계에서는 GNSS/INS 복합항법시스템에서 출력되는 속도를 측정치로 활용한다. 동역학 모델 기반 예측 속도와 GNSS/INS 복합항법시스템에서 출력되는 속도 사이의 잔차에는 바람, 모델링 오차, 추진계 불확실성 및 미모델링 동역학 등 동역학 모델에 반영되지 않은 요인의 영향이 포함된다. 제안한 외란 추정기는 이러한 속도 잔차를 이용하여 각 요인의 영향을 개별적으로 구분하지 않고 하나의 등가 외란으로 통합하여 추정한다.

본 연구에서는 저고도 비행 조건에서 주요 외란인 바람의 수직 성분의 영향이 수평 성분에 비해 현저히 작고^[12], 수평 성분만을 추정하는 선행 연구들을 고려하여^{[11] [13],} 등가 외란의 수직 성분을 추정 대상에서 제외하였다. 이에 따라 외란 추정기의 상태변수 $\mathbf{x}_{DE}$는 식 (24)와 같이 항법 좌표계의 쿼드로터 수평 속도 $v_{north}^{n}$, $v_{east}^{n}$와 외란 속도의 수평 성분 $v_{disturbance,north}^{n}$, $v_{disturbance,east}^{n}$로 구성하였다. 항법 좌표계의 쿼드로터 속도 $\mathbf{v}^{n}$는 동역학 모델 기반 추측 항법 결과인 식 (7)의 $\mathbf{v}^{b}$에 좌표변환 행렬 $\mathbf{C}_{b}^{n}$을 곱하여 구한다.

쿼드로터 속도의 시스템 모델은 식 (7)의 동역학 모델 선형 운동방정식을 따르며, 등가 외란 속도는 $\lambda_m$의 1차 마르코프 과정으로 모델링하였다. 이에 따른 상태변수 $\mathbf{x}_{DE}$의 시스템 모델은 식 (25)로 표현된다. 이때, 항법 좌표계의 추력 $\mathbf{F}_{thrust}^{n}$는 동역학 모델에서 계산된 $\mathbf{F}_{thrust}^{b}$에 좌표변환 행렬 $\mathbf{C}_{b}^{n}$을 곱하여 구할 수 있다.

외란 추정기의 측정치 갱신에는 GNSS/INS 복합항법시스템에서 출력되는 수평 속도를 사용하며 이에 따른 측정 모델 $\mathbf{z}_{DE}$는 식 (26)으로 구성하였다. 이를 통해 바람을 비롯하여 동역학 모델에 반영되지 않은 오차 성분들을 등가 외란의 속도 형태로 흡수하여 추정하고 동역학 모델 기반 추측 항법의 오차를 보상하는 데 활용할 수 있다.

제안하는 외란 추정기의 가관측성을 확인하기 위해 상태변수의 시스템 행렬과 측정 행렬을 이용하여 가관측성 행렬 $\mathbf{O}_k$을 구성하였다. 가관측성 행렬 $\mathbf{O}_k$의 계수(rank)가 상태변수의 차원과 동일하게 나타났으며 이를 통해 GNSS/INS 복합항법시스템의 속도 정보가 이용 가능한 조건에서 등가 외란 상태가 관측 가능함을 확인하였다.

제안하는 외란 추정기는 GNSS 가용 환경에서 GNSS/INS 복합항법시스템으로부터 출력되는 속도 정보를 이용하여 등가 외란을 추정하도록 설계하였다. GNSS 비가용 환경에서는 비가용 시점 직전까지 추정된 등가 외란 속도를 식 (9)의 항력 모델에 반영하여 외란의 영향이 보상된 동역학 모델 기반 추측 항법을 수행한다. 이를 통해 GNSS 비가용 환경에서 동역학 모델 기반 추측 항법의 속도 예측 오차와 이로 인한 위치 오차의 누적을 완화할 수 있으며 본 연구에서 제안하는 외란 추정 및 보상 과정을 포함한 항법 알고리즘의 전체 흐름도를 그림 7에 제시하였다.

그림 7 제안하는 항법 알고리즘 흐름도

Fig. 7 Flowchart of the proposed navigation algorithm

4.1 백색 잡음과 동적 바이어스 포함한 정상 외란 조건

대한민국 연평균 풍속이 $2.0\text{m/s}$임을 고려하여, 시나리오 1은 북쪽으로 $-2\text{m/s}$, 동쪽으로 $2\text{m/s}$의 평균풍에 표준편차 $0.01\text{m/s}$의 가우시안 백색 잡음과 랜덤 워크 기반 동적 바이어스의 난류를 더해 구성하였다. 그림 9에 원형 및 스캔 궤적에서 제안하는 알고리즘으로 추정한 외란을 도시하였다. 백색 잡음과 동적 바이어스 성분이 포함된 외란 조건에서도 제안하는 알고리즘이 외란 속도 성분을 안정적으로 추정함을 확인할 수 있다.

그림 9 시나리오 1의 원형 궤적(상) 및 스캔 궤적(하)에 따른 등가 외란 수평 속도, 쿼드로터의 수평 위치 및 속도 추정 결과

Fig. 9 Estimated horizontal Disturbance Velocity, Quadrotor position and velocity for circular(top) and scan(bottom) trajectories in Scenario 1

등가 외란 속도에 따른 추측 항법 성능 개선 효과를 검증하기 위해 그림 9에 GNSS 비가용 구간에서의 관성항법, 동역학 모델 기반 추측 항법, 제안하는 항법의 위치 추정 결과를 비교하였다. 제안하는 항법 알고리즘은 GNSS 가용 구간에서 추정된 등가 외란 속도를 GNSS 비가용 구간의 항력 모델에 반영하며 외란의 영향을 보상한다. 이러한 효과는 속도 예측 과정에 나타나며 이를 확인하기 위해 그림 9에 속도 추정 결과도 함께 제시하였다. 기존 동역학 모델 기반 추측 항법은 외란에 의한 항력 변화를 반영하지 못하여 속도 예측 오차가 발생하고 시간이 지남에 따라 위치 오차가 누적되는 반면, 제안하는 항법 알고리즘에서는 속도 예측 오차와 이에 따른 위치 오차의 누적을 완화하였다.

모델 정확도가 제안하는 알고리즘의 성능에 미치는 영향을 확인하기 위해 파라미터 불확실성에 대한 민감도 분석을 수행하였다. 주요 파라미터인 항력 계수 $k_d$에 $\pm 20\%$의 오차를 부여하여 시뮬레이션을 수행한 결과를 그림 9에 함께 표시하였다. 항력 계수가 실제보다 작게 설정되면 동역학 모델에서 예측되는 항력 효과가 작아지므로 동일한 속도 잔차를 설명하기 위해 상대적으로 큰 외란 속도가 추정되었으며 반대로 항력 계수가 실제보다 크게 설정되면 외란 속도 추정값이 작아지는 경향을 보였다. 그러나 본 연구에서 추정하는 외란은 물리적인 바람 속도를 나타내는 것이 아니라 동역학 모델과 실제 기체 운동 간의 차이를 속도 형태로 흡수한 등가 외란이다. 따라서 항력 계수의 불확실성에 따라 외란 추정값에 편향이 생기더라도 이는 모델링 오차가 속도 예측에 미치는 영향이 등가 외란에 포함되어 추정된 결과로 해석할 수 있다. GNSS 비가용 구간의 항법 결과에서도 위치 오차가 지속적으로 누적되지 않았으며 이를 통해 일정 수준의 모델링 오차가 존재하는 환경에서도 항법 성능 개선 효과가 유지됨을 확인하였다.

그림 10 시나리오 2의 원형 궤적(상) 및 스캔 궤적(하)에 따른 등가 외란 수평 속도, 쿼드로터의 수평 위치 및 속도 추정 결과

Fig. 10 Estimated horizontal Disturbance Velocity, Quadrotor position and velocity for circular(top) and scan(bottom) trajectories in Scenario 2

그림 11 외란 특성 및 비행 궤적에 따른 쿼드로터 3차원 위치 추정 결과 비교: (a), (b) 시나리오 1 (c), (d) 시나리오 2

Fig. 11 Three-dimensional position estimation results for circular and scan trajectories under two wind scenarios

4.2 백색 잡음을 포함한 비정상 외란 조건

시나리오 2는 시간에 따라 변화하는 비정상 평균풍에 백색 잡음의 난류를 더해 외란을 모델링하였다. 초기 평균풍은 북쪽으로 $3\text{m/s}$, 동쪽으로 $-1\text{m/s}$로 설정하였으며, 비행 시작 후 20초부터 22초까지 2초에 걸쳐 북쪽 $1\text{m/s}$, 동쪽으로 $3\text{m/s}$로 선형 보간하여 점진적으로 변화시켰다. 또한, 전 구간에 걸쳐 표준편차 0.1m/s의 백색 잡음을 난류 성분으로 중첩하였다. 시나리오 1과 동일하게 원형 및 스캔 궤적에 대해 시뮬레이션을 수행하였으며, 그림 10에 각 궤적에서 추정한 외란 속도와 쿼드로터 속도 및 위치 예측 결과를 도시하였다. 이를 통해, 비정상 외란 조건에서도 제안하는 알고리즘으로 등가 외란을 안정적으로 추정하며 일정 수준의 모델링 오차가 존재하는 환경에서도 동역학 모델 기반 추측 항법 성능 개선에 적용 가능함을 확인하였다.

시뮬레이션 결과를 보다 정량적으로 분석하기 위하여 각 조건에 대해 몬테카를로(Monte-Carlo) 시뮬레이션을 500회 수행하였다. GNSS 비가용 환경에서, 제안하는 알고리즘으로 추정한 외란을 보상한 동역학 모델 기반 추측 항법을 수행한 결과와 그렇지 않은 항법 결과를 비교하기 위해 쿼드로터 위치 평균 제곱근(root mean square, RMS) 오차를 계산하였으며, 그 결과를 표 4에 제시하였다. 또한 모델링 오차가 항법 성능에 미치는 영향을 함께 확인하기 위해 주요 파라미터인 항력 계수 $k_d$에 $\pm 20\%$의 오차를 부여한 조건에서의 RMS 오차의 평균값을 함께 제시하였다.