2.1 FDS를 이용한 유도기 성능특성해석

TDS 방식의 유한요소해석의 지배방정식은 식 (1)과 같다. 해당 방식은 해석영역 안의 물체들 간의 상대운동뿐만 아니라 시간차분의 개념을 통해 입력전류의 시간고조파 및 자속의 시간 변화에 따른 유도 기전력 등의 전동기의 성능특성과 관련된 제반 사항을 모두 고려할 수 있다는 장점을 가지고 있다.

여기서, μ는 재질의 투자율, $\vec{A}$는 자기 벡터 포텐셜, Js는 전류밀도, σ는 도전율, V는 전압, $v$는 해석영역 안의 물체의 이동속도를 각각 의미한다.

하지만 해당 방식은 첫 째 시간차분의 개념으로 원하는 해석결과를 얻기 위해서는 전체 해석시간을 사용자가 지정한 단위 시간들로 분할한 횟수만큼 계산이 수행되어야 하며, 둘 째 실제 물리적인 과도구간이 아닌 수치해석 상의 과도구간이 발생하여, 필요한 해석시간보다 더 긴 해석시간을 설정해야만 정상상태 결과를 얻을 수 있다는 문제를 가진다. 결과적으로 TDS 방식의 유한요소해석을 이용한 선형 유도전동기의 성능해석 시 기타의 그 어떤 전동기의 성능해석보다 과도한 해석시간이 요구된다.

이에 반해 식 (2)와 같은 지배방정식을 이용하는 FDS 방식의 유한요소해석은 시간차분으로 분할된 수십 회 이상의 반복 해석이 필요한 TDS와 달리 1회의 해석으로 정상상태의 해석결과를 바로 얻을 수 있다는 장점을 가지고 있다. 하지만 해당 방식은 해석영역 안에 입력전류, 유도전류, 자속밀도와 같은 모든 물리량이 하나의 동일한 주파수를 가져야 하며, 해석영역 안 물체들 사이의 상대운동을 고려할 수 없다는 제약조건이 수반된다. 이런 이유로 고정자와 이동자 사이의 상대운동이 없는 유도전동기의 기동해석과 같은 한정적인 분야에서만 FDS가 사용되어 왔다.

여기서, μ는 재질의 투자율, $\vec{A}$는 자기벡터 포텐셜, $j$는 허수, $\sigma$는 도전율, $\epsilon$는 유전율, $\omega$는 전기각주파수, $\psi$는 자기스칼라 포텐셜을 각각 나타낸다.

유도전동기의 이동자는 항상 고정자의 전기자 코일에 의해 발생하는 이동자계보다 작은 속도로 움직이기 때문에, 이동자와 이동자계 사이에는 식 (3)으로 표현되는 슬립이 발생한다.

여기서, $v_{1}$는 공극자속 중 기본파 성분에 의한 이동자계의 속도, $v$는 이동자의 이동속도를 각각 나타낸다.

이와 같은 이동자계와 이동자 사이의 상대운동에 의하여 유도전동기의 회전자나 이동자의 도체에는 식 (4)로 표현되는 주파수의 유도전압 및 유도전류가 발생한다.

여기서, $f_{2}$는 이동자 유도전류의 주파수, $s_{1}$는 기본파에 대한 슬립, $f_{1}$는 고정자 전기자 코일에 입력되는 전원 주파수를 각각 의미한다.

만약 이동자가 자기적인 요철구조가 없는 평판일 경우에는 이동자의 이동에도 이동자의 자기적인 형상에는 변화가 없다. 그래서 전류원 해석을 수행한다는 가정 하에 이동자를 정지시키고, 고정자 전기자 코일에 원래의 전원 주파수가 아닌 슬립 주파수 $sf_{1}$를 입력시킨 경우와 이동자를 속도 v로 이동시키고, 고정자 전기자 코일에 전원 주파수 $f_{1}$를 입력한 경우의 해석결과는 동일하다. 이의 검증을 위하여, 그림 1과 같이 얇은 current sheet가 사용된 선형 유도전동기 해석모델을 TDS 방식의 유한요소해석로 해석하여, 이의 추진력을 계산하였다. 일반적인 슬롯구조의 선형유도전동기는 슬롯구조와 전기자 코일의 비정현적인 배치로 공극에 극간 거리를 1/2 파장 길이로 가지는 기본파 성분 외에 공간고조파 성분이 포함되어 있다. 이와 같은 공간고조파 성분을 배제하기 위하여, 그림 1의 해석모델은 얇은 도체판을 고정자의 공극부에 배치하고, 해당 도체판에 극간 거리를 1/2 파장길이로 가지며, 식 (5)와 같이 전원주파수 $f_{1}$를 주파수로 가지는 정현함수의 입력전류를 전류밀도로 배치하였다. 결과적으로 해당 해석모델의 공극부에는 고정자의 기본파 입력전류에 의하여, 오직 기본파 성분의 이동자계만 생성된다.

여기서, $I_{peak}$는 입력전류밀도의 크기, $t$는 시간, $\tau$는 극간 거리, $x$는 이동자의 이동방향으로의 거리를 각각 의미한다.

그림 1의 해석모델을 이용하여, 상하 양측의 고정자 사이에 배치된 이동자를 실제로 이동시키면서, 입력전류의 전원주파수는 $f_{1}$으로 유지한 조건에서 슬립에 따른 이동자의 추진력 해석결과는 그림 2의 검은 실선으로 나타내었다. 다음으로 이동자는 고정된 상태에서 current sheet 입력전류의 주파수를 전원주파수 $f_{1}$이 아닌 슬립 주파수 sf1으로 변화시켜가면서, 슬립에 따른 이동자의 추진력을 해석한 결과를 그림 2의 적색의 작은 원들로 나타내었다.

그림 1의 해석모델의 current sheet에 기본파의 1/5의 극간거리를 가지는 5고조파 입력전류만을 입력한 상태에서 슬립에 따라서 그림 2와 같이 실제 이동자의 이동을 고려한 경우와 슬립 주파수의 개념으로 이동자를 정지시킨 상태에서 주파수만을 변화시켜가면서 해석한 결과를 그림 3(a)에 나타내었다. 그리고 7고조파 입력전류만을 가지는 경우의 해석결과 비교는 그림 3(b)와 같다. 여기서 각 공간고조파의 입력전류의 크기는 기본파 입력전류보다 공간고조파의 차수만큼 작다. 그림 2와 같이 기본파 이동자계만을 가지는 경우 평판형 유도전동기의 슬립 별 추진력 해석결과는 이동자와 고정자 사이의 상대운동을 FDS에서 사용하고 있는 슬립 주파수 개념을 이용한 계산한 결과와 일치한다. 하지만 그림 3에 나타나 있는 바와 같이 만약 공간고조파가 존재할 경우에는 슬립 주파수로 계산된 추진력과 이동자가 실제 이동하는 경우의 해석결과는 슬립이 1인 정지 상태를 제외한 모든 슬립구간에서 상당한 차이가 발생한다. 이와 같이 공간고조파에서 해석오차가 발생하는 원인은 공간고조파의 이동자계는 기본파의 이동자계보다 고조파 차수만큼 작은 속도로 이동하므로, 공간고조파에 의한 이동자 도체에 유도되는 유도전류의 주파수는 식 (4)의 슬립 주파수와 다르기 때문이다. 5고조파의 공간고조파와 이동자의 상대운동에 의해 이동자의 도체 유도전류의 주파수를 구해보면 식 (6)과 같다. 5고조파는 기본파의 이동자계인 vs1의 1/5의 속도로 반대 방향으로 이동하기 때문에, 이동자의 도체의 유도전류의 주파수는 식 (4)이 아닌 식 (6)과 같이 슬립 s1의 함수로 표현된다.

유사하게 7고주파의 이동자계에 의하여 이동자의 도체에 유도되는 전류의 주파수는 식 (7)과 같다.

결과적으로 기본파가 아닌 공간고조파에 의한 이동자 유도전류의 주파수는 식 (4)와는 상이한 식 (6)과 식 (7)과 같은 주파수를 가진다. 그래서 만약 해석하는 전동기가 공간고조파 성분을 가지고 있다면, 이동자의 이동을 식 (4)로 표현되는 기본파 성분에 대한 슬립주파수를 이용하여 고려하는 FDS의 해석결과는 TDS와 다른 값을 가지게 된다.

2.2 FDS를 이용한 양측식 평판형 선형유도전동기의 추진력 성능해석

앞선 분석을 통해 평판형 유도전동기의 공극자속 중 기본파성분에 의한 추진력에 대한 해석결과는 FDS와 TDS가 서로 잘 일치함을 확인하였다. FDS와 TDS의 해석결과 차이는 공극자속 중 공간고조파 성분에 의해서 발생하며, 이는 곧 FDS의 해석오차를 의미한다. 일반적인 전동기들은 고출력을 위하여 슬롯 구조를 사용하고 있으며, 선형 유도전동기 역시 슬롯 구조를 주로 사용하고 있다. 슬롯구조의 전동기에서는 슬롯구조에 의한 공간고조파를 피할 수 없으나, 유도전동기의 동작특성 상 공간고조파가 존재할 경우, crawling 현상으로 효율 및 역률특성이 불리한 고슬립 영역에서 동작할 수 있다는 문제가 있다. 그래서 유도전동기는 공간고조파 저감을 위한 단절 형태의 분포권 권선법과 같은 설계 기술들이 기본적으로 적용되고 있다. 또한 선형 유도전동기는 대부분 공극 길이가 수 mm 이상으로 크기 때문에, 공극 자속 중 공간고조파 성분의 비중이 상당히 작은 편이다. 결과적으로 선형 유도전동기는 슬립 주파수 개념이 도입한 FDS를 사용하여, 허용 가능한 해석오차를 가지면서 해석시간이 효과적으로 절감된 특성해석이 가능하다. 비록 FDS는 기본파 성분이 아닌 공간고조파 성분에 대해서는 TDS와 상이한 해석결과가 발생하지만, 잘 설계된 선형 유도전동기의 경우에는 공간고조파 성분이 크기 않기 때문에, 영구자석 전동기에서 자기등가회로가 수행하는 설계 도구로서의 역할을 FDS가 담당할 수 있다. 이와 같은 측면에서 아래 표 1과 같은 사양의 평판형 선형유도전동기를 설계하고, FDS를 이용하여 이의 슬립 별 추진력을 계산하였다. 이 때, 설계된 평판형 선형 유도전동기의 극간 거리, 공극의 길이, 고정자 권선법과 같은 주요 설계 변수들을 변화시켜 가면서, FDS와 TDS 사이의 해석결과와 해석시간을 각각 비교하였다. 해당 성능해석은 2차원 해석으로 진행되었으며, 해석에는 전동기 성능해석 분야에서 연구소 및 산업계에서 많이 사용되고 있는 FEA 상용 SW인 Jmag Designer의 TDS와 FDS를 이용하였다. 그림 4에 유한요소 해석에 사용된 2차원 해석모델을 나타내었다. 해당 해석모델은 그림 4에 나타나 있는 바와 같이 주기성을 이용하여 이동방향으로 1극만 모델링되었으며, 이동방향에 수직한 방향으로는 대칭성을 이용하여, 편측식으로 1/2만 모델링 되었다. 해석은 전류원으로 수행되었으며, TDS에서는 2차측 도체판을 각 슬립에 해당하는 속도로 이동시켰으며, FDS에서는 고정자 권선에 입력되는 전류의 주파수를 전원 주파수에 슬립을 곱한 슬립 주파수를 입력하여 해석되었다.

그림 5부터 그림 7까지는 표 1의 사양을 가지는 양측식 평판형 선형유도전동기의 주요 설계변수 중 단 하나만을 변화시키면서, TDS와 FDS의 슬립 별 해석결과를 나타내었다.

표 2에는 그림 5에서부터 그림 8까지의 각 주요 설계변수들의 변화에 따른 해석기법 별 해석시간과 TDS를 기준으로 계산된 FDS의 각 슬립 별 해석오차를 나타내었다. 이때, 두 해석기법에 사용된 해석모델은 동일한 mesh와 재질 및 경계조건이 사용되었다. 표 2의 해석시간 비교를 통해 FDS가 TDS와 비교하여, 적절한 수준의 해석오차를 가지면서 해석시간이 효과적으로 절감되었다는 사실을 확인할 수 있었다. 이 때, TDS의 경우에는 해석 상의 과도시간이 종료된 후의 정상상태 결과를 얻기 위하여, 충분한 해석시간을 설정하였다. 그림 6 (b)에 해당하는 해석모델의 TDS의 해석결과를 그림 8에 나타내었다. 표 2에 나타나 있듯이 각 해석모델들에 대해서, FDS는 TDS의 약 1/300 수준의 빠른 성능해석이 가능하다. 각 슬립에서의 해석결과는 0.5에서부터 1.0 사이의 고슬립 구간에서는 대부분 5% 미만의 작은 해석오차가 발생하였으며, 0.1에서 0.5까지의 저슬립 구간에서는 5~15% 정도의 해석오차가 발생하였다.