2.1 코깅토크

코깅토크 발생에 영향을 주는 인자를 분석하기 위해 SPM형 BLDC 모터의 코깅 토크를 방정식으로 나타내면 수식 (1)과 같이 자기 에너지의 편미분으로 표현할 수 있다⁽³⁾.

수식 (1)에서 $\alpha$는 회전자의 위치각도를 말하며 고정자의 투자율이 매우 크고 슬롯을 고려하지 않을 때 자기장의 세기와 자속 밀도의 관계가 선형이라고 가정하고 수식 (2)와 같이 자기 에너지를 자속밀도에 대한 적분으로 표현할 수 있다.

수식 (2)에서 μ는 투자율이고 B는 자속 밀도이다. 수식 (2)에서 자기 에너지는 작은 투자율에서 더 많이 축적되는 것을 알 수 있고 이때 치의 투자율은 공극에 비해 매우 커서 대부분의 에너지가 공극에 저장되게 된다. 따라서 SPM형 BLDC 모터의 경우에도 대부분의 에너지는 공극에서 발생한다. 치에 저장된 에너지는 공극에서 생성되는 에너지에 비해 매우 작다고 가정하면 무시할 수 있게 되고 자속 밀도가 공극에서 일정 할 때 공극에 축적된 에너지는 공극의 자속밀도로 표현 할 수 있고 수식 (3)과 같이 공극의 자속과 공극의 면적으로도 표현할 수 있다.

수식 (3)에서 $A_{{g}}$는 공극의 면적, $\Phi_{{g}}$는 공극 자속이며, 수식 (3)은 코깅 토크가 공극 자속에 비례함을 알 수 있다. 코깅토크를 감소시키기 위해서는 공극 자속을 감소시켜야 하는데 공극 자속은 수식 (4)와 같이 공극 자속밀도와 공극의 면적에 의해 결정된다 ⁽⁴⁾.

2.2 자기등가회로

앞서 코깅토크 수식에서 볼 수 있듯이 코깅토크는 공극자속에 비례하기 때문에 고정자 Notch구조에 따른 코깅토크 저감 효과를 분석하기 위해서는 SPM형 BLDC모터의 공극자속을 정의하고 Notch 형상이 공극자속에 어떤 영향을 미치는지 분석하여야 한다. 따라서 SPM형 BLDC 모터의 자기등가회로를 그림 1(a)와 같이 구성하였다. 이때 자기 등가회로는 F 투자율이 매우 크고 슬롯을 고려하지 않으며 누설 성분은 누설 계수를 통해 상수로 가정한다. 그림 1(a)의 자기 등가 회로에서 $R_{l}$(누설 저항)과 누설 자속은 공극을 가로 지르는 1 차 자속에 비해 매우 작다. 또한 누설 저항과 누설 자속을 정확하게 표현하기 어렵 기 때문에 누설 성분은 일반적으로 자기 회로의 누설 계수 $k_{l}$로 1보다 작은 상수로 간주된다. 그림 1(b)는 누설 계수를 고려하여 간소화된 자기등가회로를 나타낸 것이다. 그림 1(b)의 간소화된 자기등가회로에서 공극자속은 분배법칙을 이용하여 공극자속을 수식 (5)와 같이 회전자 자속과 자기저항의 관계로 나타낼 수 있다. 수식 (5)와 같이 나타내었을 때 공극자속은 공극의 자기저항에 의해 결정되며 공극의 자기저항은 공극의 길이와 반비례 관계를 가지는 것을 알 수 있다.

Fig. 1. (a) Magnetic equivalent circuit of SPM type BLDC motor (b) Simplified magnetic equivalent circuit by applying leakage coefficient

수식 (5)에서 $\Phi_{r}$은 회전자의 자속, $k_{l}$은 누설 계수, $R_{g}$는 공극 자기저항, $R_{s}$는 고정자 자기저항, $R_{r}$은 회전자 자기저항, $R_{t}$는 고정자 치의 자기저항, $R_{m}$은 영구자석의 자기저항, $A_{g}$는 공극 단면적이다. 이때 $R_{s}$, $R_{r}$은 높은 투자율에 의해 매우 작은 값을 가지기 때문에 무시할 수 있게 되고 공극의 자속은 공극의 자기저항에 의해 결정된다. Notch 형상을 고정자에 적용하면 $R_{t}$(고정자 자기 저항)가 감소하고 $R_{g}$(공극 자기 저항)가 증가하여 수식 (5)에 따라 코깅 토크가 감소한다. 또한 $R_{g}$가 증가함에 따라 공극의 자속 밀도가 감소하여 치의 쇄교 자속이 감소한다. 쇄교 자속이 감소함에 따라 역기전력이 감소하여 모터의 토크가 감소한다. 따라서 Notch형상을 모터에 적용할 때 출력 토크 감소 대비 코깅 토크 감소를 극대화시키기 위한 Notch형상에 대한 최적화 설계가 필요하다.

3.1 SPM형 BLDC 모터의 기본 모델

표 1은 기본 모델의 사양이며 그림 2는 기본 모델과 Notch가 추가된 기본 모델이다. 그림 2의 b) 모델의 Notch를 최적화 하기 위해 자기저항의 크기와 자기 경로에 영향을 미치는 Notch직경 $R$, 각도 $\alpha$ 및 Notch갯수 n으로 변수를 설정하여 최적화한다. 이때 선정한 변수의 크기가 너무 커지게 되면 그림 4의 $l_{1}$과 $l_{2}$의 길이가 너무 작아지게되면서 가공 및 강성에 문제가 발생할 수 있으며 자속의 포화 역시 발생할 수 있다. 따라서 core의 강판 두께, 토크, 회전속도를 고려하고 각 변수들을 적용하였을 때 $l_{1}$과 $l_{2}$의 길이가 강판 두께인 0.5 [mm] 보다 크게 형성되는 변수 범위를 설정하였다. Notch 갯수에 따른 Notch 형상과 파라미터 범위는 그림 3과 표 II에 나타내었다.

Fig. 2. (a) Basic model (b) Basic model with notch

Fig. 3. Stator type and parameter setting according to the number of notches (a) One notch type (b) Two notch types (c) Three notch types

Fig. 4. Constraints according to the notch shape (a) Length restrictions according to the notch size and angle (b) Restrictions according to the number and size of notches

3.2 반응 표면 분석을 통한 최적점 도출

RSM은 설정된 변수의 경우의 수를 모두 분석하지 않고 각 변수가 결합된 효과를 추정하여 최적의 반응을 나타내는 조건을 찾는 데 사용된다. 그림 5, 6, 7은 RSM을 이용하여 모터의 코깅토크, 출력, 토크리플을 Notch의 각도와 직경에 따른 그래프로 표현한 것이다. 그림 5, 6, 7의 각 (a), (b), (c)는 Notch 개수가 증가함에 따라 변하는 특성을 표현한 그래프이다. 그림 5의 코깅 토크 그래프를 보면 가장 작은 코깅 토크 포인트가 파란색으로 표시된다. 그러나 이 포인트의 Notch 크기와 Notch 각도를 그림 6과 7에 같은 포인트에 나타내었을 때 출력과 토크리플 특성이 코깅토크에 비해서 최적점이 아니다. 따라서 각 특성 그래프들의 최적점 영역들을 교차시켜 중복되는 영역을 최적점으로 추정할 수 있다. 마찬가지로 Notch 개수가 2개일 때와 3개일 때 분석한 결과 코깅토크 감소율 및 출력 감소율이 유사하게 나오는 것을 확인하였으며 Notch 개수가 변화함에 따라 유사한 출력 특성을 가질 경우 Notch 개수가 많게 되면 제작의 편의성과 비용 측면에서 불리하게 된다. 따라서 Notch 개수는 1개로 선정하였으며 직경 $R$은 3.5mm, 각도 $\alpha$는 0도 일 때 코깅토크 감소와 출력 감소가 최적점임을 확인하였다 ⁽⁵⁾.

Fig. 5. Graph of cogging torque versus angular and diameter variables (a) one notch diagram (b) two notch diagrams (c) three notch diagrams

Fig. 6. Graph of output power versus angular and diameter variables (a) one notch diagram (b) two notch diagrams (c) three notch diagrams

Fig. 7. Graph of torque ripple versus angular and diameter variables (a) one notch diagram (b) two notch diagrams (c) three notch diagrams

Fig. 8. Cogging torque simulation data (a) Cogging torque waveform of the basic model (b) Cogging torque waveform of the notch model

4.1 시뮬레이션 데이터 분석

RSM을 통해 최적화된 Notch모델과 기본 모델과의 출력 특성을 비교 분석하여 기본 모델 대비 Notch 형상에 의한 출력특성을 비교하였다. 비교분석결과 자기등가회로를 통해 분석한 것과 같이 Notch 구조에 의해 고정자의 자기저항과 공극의 자기저항이 증가하여 공극 자속이 6.27 [%] 감소하였고 공극 자속이 감소함에 따라 출력은 2.5 [%], 토크는 2.6 [%] 감소하였다. 역기전력과 효율에는 큰 변화가 없으며 코깅 토크는 40.89 [mNm]로 12 [%] 감소한다. Notch 구조의 경우 수식에서 보이듯이 공극의 자기저항을 증가시키기 때문에 출력을 감소시키게 된다. Notch 구조 설계 시에 이러한 출력 감소를 고려하여 목표 사양을 만족할 수 있는 설계 포인트를 도출하는 것이 중요하다.

4.2 시험 측정을 통한 분석

RSM 및 시뮬레이션 데이터 분석을 통해 도출된 모델을 그림 9번과 같이 실제 프로토타입을 제작하여 그림 10번과 같은 실험환경을 구축하여 코깅토크를 측정하였다. 측정시 코깅토크의 정확한 측정을 위해 5 [RPM] 미만의 저속에서 측정하였으며 무부하 상태에서 회전자가 360도 회전하였을 때 측정된 토크의 Peak to peak 값을 코깅토크로 간주하여 측정하였다. 실험 결과 40.83 [mNm]로 측정되었으며 측정 값은 시뮬레이션 데이터와 비교하였을 때 오차가 1% 미만으로 RSM으로 도출된 Notch형상이 12%의 코깅토크 저감을 확인하였다.

Fig. 9. Prototype of SPM type BLDC motor with notch applied to stator

Fig. 10. Dynamo test environment for measuring cogging torque

Fig. 11. Cogging Torque Waveform of Notch Model