2.1 자기 부상체의 원리와 기초 모델

제안한 자기등가회로를 검증하기 위하여 흡인식 E-type 자기부상체를 선정하였다. 흡인식 E-type 자기부상은 릴럭턴스 힘을 이용하므로 그림 1과 같이 코어와 코일로만 구성되어 있다. 코일에 전류를 흘려주면 자속이 발생하며 자기에너지가 최소로 발생하는 릴럭턴스 힘에 의해 부상체가 부상하게 된다. 기초 모델은 공극 4[mm]에서 50[kg]의 무게를 부상하도록 선정하였다. 따라서 자기 부상체는 공극 4[mm]에서 부상력 500[N]를 요구하나 10\% 마진을 고려하여 550[N]로 설계하였다. 표 1은 기초 모델에 대한 사양을 나타내었다.

그림. 1. 기초 자기부상 모델

Fig. 1. Basic maglev model

2.2 기존 자기등가회로

그림 1의 기존 모델의 자기 부상력을 예측하기 위하여 기존 방식의 자기등가회로를 이용하였다. 자기회로를 전기회로와 같이 나타낼 수 있으며 자기저항은 식 (1)로, 자계의 옴의 법칙은 식 (2)와 같이 구할 수 있다.

여기서 m은 자기저항, 은 자속경로의 길이, 는 자속이 통과하는 면적, 는 재질의 투자율, 은 턴수, 는 전류, 는 자속이다.

그림 2는 기존 모델의 자기등가회로도를 나타낸다. 그림 2의 자기등가회로의 전체 등가저항 eq는 식 (3)과 같이 구할 수 있고, 이를 통해 자기회로에 흐르는 전체 자속은 식 (4)와 같다.

그림. 2. 기초 모델의 자기등가회로도

Fig. 2. Magnetic Equivalent Circuits of basic maglev model

여기서 g는 공극의 자기저항, c는 부상체의 자기저항, c1과 c2는 각각 고정자의 윗면, 옆면의 자기저항, eq는 등가자기저항이다. 하지만, 철심에서의 비투자율은 약 1000으로 공극의 비투자율인 1보다 매우 크므로 철심의 자기저항을 무시하여 계산을 진행하였다.

저장된 자기에너지의 식으로부터 부상체에 작용하는 부상력을 식 (5)를 통해 계산할 수 있으며 자속의 제곱 비례, 진공의 투자율에 반비례, 공극 면적에 반비례하는 것을 알 수 있다.

여기서 core는 부상체에 작용하는 부상력, 0는 진공의 투자율, g는 치에 맞닿는 공극의 단면적, 그리고 g는 중앙 치 중심의 공극자속밀도이다. 여기서 표 1을 참조하여 공극의 단면적 g는 teeth로 구하고, 공극의 자속경로 길이 를 통해 모델의 자기저항 및 부상력을 구할 수 있다.

그림. 3. 기초 모델의 자속밀도 분포

Fig. 3. Magnetic flux density of the basic model

자기등가회로 및 FEM 모델의 중앙 치에서의 결과는 표 2와 같이 나타난다. 자기등가회로와 FEM 결과를 비교했을 때 자속밀도는 큰 차이를 보이지 않지만 부상력에서 오차가 생기는 것을 확인할 수 있다. 그림 3은 FEM 모델의 자속밀도 분포도이고, 그림 4는 공극자속밀도를 나타낸다. 그림 3과 4로부터 알 수 있듯이 공극뿐만 아니라 고정자 치에 맞닿는 면적과 치의 양 옆에도 프린징 효과로 인해 자속이 존재하는 것을 알 수 있다. 식 (5)와 같이 기존 자기등가회로로부터 구한 부상력은 공극사이에서 발생하는 자속만 고려한 것이므로 그림 4에서와 같이 프린징 효과에 의한 부상력은 고려하지 못한다. 따라서 정확한 부상력 예측을 위해서는 프린징 효과를 고려한 자기등가회로가 필요하다.

그림. 4. 기초 모델의 공극자속밀도 분포

Fig. 4. Airgap flux density of the basic model

2.3 프린징 효과를 고려한 자기등가회로

그림. 5. 프린징 효과의 자속 흐름

Fig. 5. Magnetic flux flow of fringing effect

그림 6은 프린징 효과가 고려되었을 때 자기등가회로도를 나타낸다. 그림 5에서와 같이 고정자의 치 구조에 의해 자속이 치에 맞닿는 면적의 공극뿐만 아니라 치의 양 옆에서도 자속이 흐르게 된다. 이 때 프린징 효과의 경로를 여러 가지 방법으로 설정할 수 있지만 본 논문에서는 그림 5와 같이 자속이 원형으로 들어가 공극에서 직진하는 모델로 선정했다. 하지만 고정자 양쪽 치의 바깥쪽의 자속 경로와 안쪽 및 중앙 치의 자속 경로는 Core의 형상에 의해 다르기 때문에 이 자속경로를 고려하여 자기저항을 구한다. 프린징 효과의 자기저항은 프린징 효과에 의한 원주 반경 와 공극 길이에 의해서 결정되며 식 (6)과 같이 구할 수 있다.

그림. 6. 프린징 효과가 고려된 자기등가회로

Fig. 6. Magnetic equivalent circuit considering fringing effect

프린징 효과의 자기저항은 치의 양 옆으로 흐르므로 공극자기저항과 병렬로 배치한다. 공극자기저항과 프린징 효과의 자기저항을 포함한 전체 등가자기저항의 식은 식 (7)과 같이 구할 수 있다. 여기서 식 (7)의 첫 번째 항은 중앙의 등가 공극자기저항이고, 두 번째 항은 양쪽의 등가 공극자기저항이다. 또한 식 (7)과 식 (4)를 통해 자기회로에 흐르는 전체 자속을 구할 수 있다.

프린징 효과의 자속선이 구성하는 면적이 일정하지 않아 부상체에 가해지는 부상력은 식 (5)를 통해서 구할 수 없으므로, 자기에너지 식과 가상변위 원리를 이용하여 식 (8)과 같이 부상력을 계산할 수 있다.

2.4 FEA 결과 분석 및 비교

그림 7은 유한요소 해석을 통한 자속밀도와 자속선의 분포를 보여준다. 그림 7을 통해 자속이 치에 맞닿는 뿐 아니라 치의 양 옆에서도 흐르는 것을 알 수 있다. 표 3은 기존 자기등가회로, 제안한 자기등가회로, 그리고 FEA를 통해 얻은 자속밀도 및 부상력의 크기 비교를 보여준다.

그림. 7. 프린징 효과가 고려된 자속선도

Fig. 7. Magnetic flux line considering fringing effect

그림. 8. 공극 길이에 따른 부상력의 크기 비교

Fig. 8. Comparison of the magnitude of the levitation force according to the airgap length

표 3으로부터 FEA 결과 대비 자속밀도는 제안한 자기등가회로에서 차이가 없었고, 부상력의 차이는 기존 자기등가회로가 약 3.61\%, 제안한 자기등가회로는 약 0.61\%의 차이가 발생한다. 따라서 제안한 자기등가회로를 통해 정확한 부상력 예측이 가능하다.