2.1 무한한 적층길이로 3D 단부효과가 없는 전동기에서의 코깅토크 저감을 위한 최적 스큐착자에 관한 기존 이론

슬롯 구조의 고정자 코어를 가지는 영구자석 동기전동기는 회전자의 영구자석과 고정자 코어 사이의 자기적인 인력으로 코깅 토크가 발생한다. 이때 전동기의 적층길이가 무한하여 단부효과를 무시할 수 있다고 가정하면 코깅토크는 식(1)와 같이 적층길이 방향인 z축에 무관하고 회전자의 회전각도인 θm를 변수로 가지는 함수로 표현될 수 있다.

여기서 m는 기계각, cog는 전동기의 코깅토크, s는 적층길이, cog는 적층길이가 무한히 긴 전동기의 적층길이방향의 단위길이 당 발생하는 코깅토크를 각각 의미한다.

단부효과를 무시할 수 있는 전동기의 코깅토크는 식(1)와 같이 적층길이에 선형적으로 비례하게 된다. 링 자석과 같은 일체형 자석을 사용하는 전동기의 코깅토크를 저감하기 위해 사용되는 스큐착자는 전동기의 적층길이 방향인 z축을 따라서 착자파형의 위상을 변화시키는 방법이다. 스큐착자 시 발생하는 코깅토크는 식(1)의 중요한 가정인 적층길이가 무한하여 z값에 따라서 코깅토크의 크기와 파형에는 변화 없이 오직 코깅토크의 위상만 변한다는 가정을 사용하여 식(2)과 같이 표현된다.

여기서 sk는 기계각 기준 전동기의 적층길이 방향으로 최하단과 최상단 사이의 스큐착자 각도 차이를 의미한다.

영구자석 동기전동기에서 회전자가 기계적으로 360도 회전할 때 극수와 슬롯수의 최소 공배수에 해당하는 코깅토크 주기가 발생하므로, 코깅토크의 기본파 주파수는 식(3)과 같다.

여기서 cog는 코깅토크의 기본파 주파수, 은 극수와 슬롯 수의 최소공배수, p는 극 수, s는 고정자 코어의 슬롯 수를 의미한다.

회전자가 기계적으로 360도 회전할 때, 코깅토크는 식(3)에 나타난 값만큼의 주기가 발생하므로, 기계각과 코깅토크 기준의 전기각 사이에는 식(4)의 관계가 성립한다. 이때 코깅토크 기준 전기각은 기존의 일반적인 전동기 관련 문헌에 나오는 전동기의 극수와 관련된 전기각과는 다른 개념이다.

여기서 cog는 코깅토크 기준 전기각, m는 기계각이다.

코깅 토크에 기본파 성분만 존재할 경우에 적층방향의 단위길이 당 코깅 토크는 코깅토크 기준 전기각을 이용하여 식(5)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 peak는 코깅토크의 최대값을 의미한다.

식(5)를 식(2)에 대입하여 정리하면 단부효과를 무시한 경우에 대한 스큐착자의 코깅토크에 대한 표현식(6)을 얻을 수 있다. 이때 기계각으로 표현된 식(2)를 식(4)를 이용하여 코깅토크 기준 전기각으로 변환해주어야 한다.

식(6)의 값은 식(7)을 만족하는 스큐착자 각도 sk 대하여 0이 된다.

여기서 n은 1과 같거나 큰 자연수를 의미한다.

n이 0인 스큐착자를 적용하지 않은 경우에도 식(6)의 최종 결과식을 기준으로는 코깅토크를 0으로 만드는 것으로 보이나, n이 0인 경우에는 식(6)의 가장 우측의 최종 결과식의 형태로 정리되지 못하기 때문에 코깅토크를 0으로 만들 수 없음에 유의해야 한다. 식(7)의 코깅토크를 0으로 저감할 수 있는 최적의 스큐착자각도의 단위는 기계각이다.

2.2 실제 특정 형상의 영구자석 동기전동기의 유한요소해석의 2차원 및 3차원 코깅토크 해석결과 비교

표 1과 같은 사양과 그림 1에 나타난 형상을 가지는 영구자석 동기전동기를 이용하여 회전자에 위치한 링 형상의 영구자석에 적용된 스큐착자 각도에 따른 코깅토크를 유한요소해석으로 계산하였다.

그림 2에는 유한요소해석에 사용한 2차원 및 3차원 해석모델의 메시 정보를 나타내었다. 2차원과 3차원 해석모델의 메시는 동일한 크기를 갖도록 생성되었다. 메시 정보의 원할한 확인을 위하여 공극부에서 메시를 일부 생략하였으며, 3차원 모델의 경우에는 공극부 메시정보의 원활한 확인을 위하여 축방향으로 최상단과 최하단에 위치한 에어 더미에 대한 메시를 생략하였다.

해당 영구자석 동기전동기에 스큐착자가 적용되지 않은 상태에서 발생하는 코깅토크의 2차원과 3차원 유한요소해석결과를 그림 3에 나타내었다. 그림 3의 2차원와 3차원 유한요소해석에는 인텔사의 E5-2699 v4 CPU 2개와 256GB의 메모리를 가지는 해석용 PC가 사용되었으며, 각 해석의 Mesh 수, Memory, 해석시간들을 아래 표 2에 나타내었다. 3차원 단부효과를 고려할 수 있는 3차원 해석을 통해 계산된 코깅토크는 2차원 유한요소해석 모델을 이용한 코깅토크와 파형은 유사하지만 그 크기가 일부나마 작았다.

이는 3D 단부효과로 인하여 공극 상에 존재하는 자속밀도가 적층의 최하단과 최상단인 단부 근처에서의 프린징 현상 등으로 인하여 적층의 중심영역보다 감소하기 때문이다. 3차원 유한요소해석에서는 이와 같은 단부효과가 고려되며, 2차원 유한요소해석에서는 적층의 중심에서의 자속밀도가 모든 적층길이에서 동일하다는 가정이 사용되기 때문에 단부효과를 고려할 수 없다. 이를 해석으로 확인하기 위하여 3차원 유한요소해석 모델의 고정자 슈가 위치한 공극 상에 적층길이 방향으로 가상의 선을 긋고 해당 가성의 선을 따라서 측정한 공극 자속밀도 값을 그림 4(b)에 나타내었다. 그림 4(a)에 공극자속밀도를 측정한 위치를 이해를 돕기 위해 3차원 해석모델의 xy 평면에 표시하였다. 그림 4(b)의 x축 상의 값은 적층방향으로 위치를 의미하는 것으로, 0mm는 적층방향으로 정 중심을, -3.5mm는 적층방향으로 최하단의 지점을, +3.5mm는 적층방향으로 최상단의 지점을 각각 의미한다.

그림 4(b)에 나타나 있듯이 적층의 최상단과 최하단 부근의 일부 영역에서는 프린징에 의한 3차원 단부효과로 공극자속 밀도의 크기가 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 결과적으로 코깅토크는 공극자속밀도의 제곱에 비례하므로 적층의 중심에서 발생하는 코깅토크보다 적층의 최상단과 최하단 부근에서 발생하는 코깅토크의 크기가 감소하게 되어 기존 적층길이 방향에 따라서 일정한 코깅토크가 발생한다는 가정을 통해 유도된 최적 스큐각도에 대한 식(6)과 식(7)는 틀린 결과를 도출하게 된다.

2.3 3차원 단부효과가 영구자석 동기전동기의 최적스큐착자각도에 미치는 영향 고찰

상대적으로 크지 않은 적층길이를 가지는 표 1의 사양의 영구자석 동기전동기의 스큐착자가 적용되지 않은 경우의 2차원과 3차원 유한요소해석 비교를 통하여 3차원 단부효과가 코깅토크의 파형에는 영향이 없으나, 코깅토크의 최대값과 최소값을 감소시킨다는 것을 확인할 수 있었다. 하지만 코깅토크 저감을 위하여 회전자 영구자석에 스큐착자를 적용할 경우에는 2차원과 3차원 유한요소해석 사이에는 상당한 차이가 발생하였다. 10극 15슬롯의 극수와 슬롯 수를 가지는 영구자석 동기전동기의 표 1의 사양을 가지는 영구자석 동기전동기의 경우 코깅토크의 기본파 성분을 0으로 만들 수 있는 스큐착자각도는 식(7)에 극수와 슬롯 수를 대입한 식(8)를 만족하는 각도들이다.

이에 대한 확인을 위하여 스큐착자각도를 0도에서 18도로 변화시키면서 이때 발생하는 코깅토크를 2차원과 3차원 유한요소해석을 통해 계산한 결과를 그림 5에 나타내었다.

그림 5의 y축인 코깅토크 리플은 코깅토크의 최대값과 최소값 사이의 차이를, x축은 기계각으로 측정된 스큐착자 각도를 의미한다. 그림 5의 스큐착자 각도에 따른 2차원 유한요소해석은 스큐착자 각도가 없는 해석모델의 결과인 그림 3의 2차원 해석결과에 식(6)를 적용하여 계산한 것이다. 그림 5에 나타나 있듯이 2차원 유한요소해석으로 계산한 스큐착자 각도에 따른 코깅토크는 식(8)의 결과와 같이 12도에서 0으로 감소되었다. 하지만 3차원 단부효과가 고려되는 3차원 유한요소해석으로 계산된 코깅토크는 12도에서 0으로 감소되지 않았으며, 약 17도에서 최소의 값을 가지는 형태로 나타났다. 이는 3차원 단부효과를 무시하고 적층길이 전체에 걸쳐서 일정한 공극자속밀도가 유지되어 일정한 코깅토크가 발생한다는 가정을 사용하는 식(6)이 잘못되었기 때문이다.