2.1 유도전동기의 등가회로도

그림 1은 유도전동기의 동작 특성을 계산하기 위한 단상 간이 등가회로도이다.

여기서 $r_{s},\: r_{r}$은 각각 고정자와 회전자의 저항이고, $L_{s},\: L_{r}$은 각각 고정자와 회전자의 누설 리액턴스이며, $L_{m}$은 자화 리액턴스이고, $s$는 슬립이다. $I_{s},\: I_{r},\: I_{m}$은 각각 고정자 전류, 회전자 전류 그리고 자화전류이다.

유도전동기의 특성을 파악하기 위해서는 그림 1의 등가회로도 표시된 각각의 파라미터와 고정자와 회전자에 흐르는 전류에 대한 값을 구해야 한다.

2.2 전동기 명판에서 파라미터 산출

그림 1의 등가 회로도에서 슬립 $s$에 대해서는 표 1에 제시된 정격속도로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 $N_{s}$ 와 $N_{r}$은 각각 동기 회전수와 전부하로 운전 중일 때의 회전수이다.

고정자에 인가되는 전류는 명판에 표기되어 있으므로 회전자에 흐르는 전류는 다음과 같이 나타낼 수 있다⁽⁵⁾.

자속을 만들기 위해 흐르는 자화전류는 고정자에서 회전자로 흐르는 성분을 뺀 것으로서 다음과 같이 쓸 수 있다.

유도전동기에서 발생하는 전체 손실($P_{t-loss}$)은 입력 성분 중에서 출력성분을 제외한 것이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $P_{out}$는 유도전동기의 출력이다.

유도전동기에서 기계적으로 발생하는 손실($P_{mech-loss}$)과 철손($P_{core-loss}$)은 전체 손실 중의 일부로 다음과 같이 계상할 수 있다^(3,6).

여기서, $k_{m}$ 과 $k_{c}$ 는 각각 기계적인 손실과 철손의 비율을 나타내는 것으로서 전체 손실의 10%를 조금 상회하는 값을 선정하면 된다⁽³⁾. 표유부하손($P_{stray-loss}$)은 전동기의 용량에 따라 달라지는데 보통 정격의 1~2% 정도로 산정하고 있다⁽³⁾.

공극을 거친 전력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $P_{conv}$는 기계적인 에너지로 변환되는 전력으로 출력과 기계적인 손실 그리고 표유부하손을 합친 값에 해당된다. 고정자와 회전자에 발생하는 손실은 다음과 같이 각각 구할 수 있다.

위의 식 ⑵~⑼를 이용하여 그림 1에 제시된 등가회로도 상의 파라미터를 구할 수 있다. 먼저 회전자의 저항과 고정자의 저항은 고정자와 회전자의 저항손으로부터 다음 식과 같이 구할 수 있다.

고정자와 회전자의 누설 리액턴스를 구하기 위해서는 먼저 기동전류가 흐르는 조건에서의 구속 조건에 해당되는 임피던스를 알아야 한다. 유도전동기의 회전자를 구속하는 순간에 흐르는 전류는 정격전압, 정격 전력과 NEMA 코드 문자에 따라 달라진다^(3,4). 이와 같이 회전자의 구속 순간에 대응하는 전류가 바로 기동전류에 해당되는 것으로 보통 정격전류의 수배가 된다. 이때의 임피던스는 다음과 같이 구속 순간에 해당되는 전류와 정격전압의 크기로부터 구한다.

고정자와 회전자에서 발생하는 누설 리액턴스는 임피던스와 저항 성분으로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

식 ⒀에서 구한 누설 리액턴스 중에서 고정자와 회전자의 값은 NEMA에 정한 기준에 따라 다르게 적용한다^(3,4).

전체 리액턴스 성분 중에서 고정자와 회전자의 누설 리액턴스가 각각 절반이라고 할 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

회전자계를 만드는데 필요한 자화 리액턴스는 다음과 같이 정격전압과 자화전류로부터 구할 수 있다.

표 1에 제시된 값을 이용하여 그림 1에 표시한 각 파라미터는 앞서 전개한 수식을 이용하여 구하면 표 2와 같은 결과를 얻을 수 있다.

표 2와 같이 구한 값들을 그림 1의 등가회로에 적용하면 입력, 출력, 손실 및 효율 등을 회전속도에 따라 달라지는 유도전동기의 동작 특성을 파악하는데 도움이 된다.

3.1 파라미터에 의한 계산

유도전동기 명판에 표시된 것을 이용하여 고정자와 회전자의 저항, 리액턴스로 표현된 값들이 실제로 적합한지를 검증하는 것이 필요하다. 이를 위해 표 2에 계산된 값을 이용하여 역으로 입력전력, 출력, 토크, 효율 그리고 역률을 구해 비교 분석이 필요하다. 먼저 유도전동기 임피던스를 구해야 한다. 고정자에 본 전체 임피던스는 다음과 같다.

고정자에 흐르는 전류는 정격전압과 전체 임피던스로 나타낼 수 있다.

회전자에 흐르는 전류는 고정자에 흐르는 전류에서 자화에 필요한 전류를 제외한 값이다.

여기서, $Z_{m},\: Z_{r}$은 각각 자화 임피던스와 회전자 임피던스이다.

유도전동기에 공급되는 피상전력(S), 유효전력(P) 그리고 자화에 필요한 무효전력(Q)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

공극을 통해 전기적인 출력으로 전개되는 전력($P_{dev}$)은 다음과 같다.

축을 통해 기계적으로 변환되는 전력은 기계손을 제외한 성분으로 다음과 같다.

유도전동기의 토크는 출력을 각속도로 나누면 구해진다. 유도전동기의 효율은 고정자에 인가되는 유효전력에 대한 출력의 비율로 다음과 같다.

3.2 동작 특성 분석

전동기 명판에서 주어진 값을 이용하여 등가 회로도에 필요한 파라미터를 구하여 식(16)~(22)에 제시된 공식을 이용하여 기동에서 동기속도에 이르기까지 속도의 변화에 따라 달라지는 각각의 특성 변화를 분석하였다.

그림 2는 표 2에서 구한 파라미터를 이용하여 기동에서 동기속도에 이르기까지의 유효전력(P), 무효전력(Q) 및 피상전력(S)과 역률(pf)을 나타낸 것이다. 기동 초기에는 무효전력이 유효전력보다 높아 역률이 낮지만, 속도가 증가함에 따라 무효전력은 점차 줄어들고, 유효전력이 증가하여 역률은 점차 높아진다. 정격속도에 가까운 경우에는 유효전력이 무효전력보다 높아 역률은 0.8 정도가 된다. 동기속도 근처에서 유효전력은 제로가 되지만, 무효전력은 회전자계를 유지하기 위해 제로가 되지 않는 것을 확인할 수 있다. 이는 동기속도를 벗어나 운전할 경우 발전기 영역에서 자속을 형성하는데 기여할 수 있다.

그림 3은 표 2에서 구한 자료를 사용하여 기동 초기에서부터 동기속도까지 입력과 출력 그리고 효율의 변화를 나타낸 것이다. 기동 순간에 출력은 제로가 되지만, 고정자에 전력이 공급되고 있어 효율은 제로가 되고, 회전속도가 증가함에 따라 입력에 대해 출력이 점차 상승하여 효율이 증가되고, 정격속도 근처에서 효율이 매우 높게 나타나고 있다.

그림 4는 표 2에서 구한 파라미터를 사용하여 기동에서부터 동기속도까지를 토크 특성을 나타낸 것이다. 기동 초기에는 약 130Nm의 토크가 나타나고, 최대 토크는 392Nm가 되며, 정격속도로 운전할 경우 77Nm의 토크를 얻을 수 있다.

그림 5는 표 2에서 구한 자료를 사용하여 기동 초기에서부터 동기속도까지 고정자 전류, 회전자 전류 그리고 자화 전류의 변화를 나타낸 것이다. 기동 순간에 고정자에 흐르는 전류는 246A로 정격속도로 운전할 때 흐르는 전류의 약 8배가 흐르고 있다.

유도전동기는 정격으로 운전하는 경우보다 부하의 변동에 따라 속도가 달라진다. 이와 같이 속도의 변동에 따라 특성 변화를 알기 위해 명판을 통해 제시된 것을 파라미터를 이용하여 동작의 변화를 확인할 수 있다.

유도전동기의 명판상에서 제시한 값을 이용하여 구한 파라미터로 정격속도로 회전할 때 계산한 결과를 비교한 결과는 표 2와 같다.

표 2에서 명판에 표시된 고정자에 유입되는 전류와 파라미터로 구해 얻는 고정자 전류 그리고 출력은 크게 차이가 나지 않지만, 역률은 계산값이 명판에 제시한 것보다 약간 낮고, 또한 효율도 약 0.7% 정도 낮은 결과를 얻었다. 명판의 값과 약간 오차가 발생하는 부분은 전동기 시험에서 얻은 결과에 대해 계산의 경우 전동기를 정격속도 근처에 운전할 때 발생하는 것의 차이라고 판단된다. 명판의 값에 맞추기 위해서는 약간의 조정이 가능하다.