1. 서 론

최근에 Brushless DC Motor (BLDCM)는 전기자동차, 가전기기, 항공우주산업등의 다양한 산업현장에서 폭넓게 사용되고 있다 ^(1,2). BLDCM은 효율이 높고 상대적으로 큰 토크를 가지며 브러쉬에 의한 기계적 접점이 없어 고속제어에 유리하다. 이러한 구동 특징 때문에 BLDCM은 기계적 브러쉬 없이 홀 센서를 이용한 위치 정보를 이용하여 구동되어진다. BLDCM의 구동방법은 크게 3상 전류 중 두 개의 상을 이용하는 6-step 스칼라 방식과 3개의 상의 전류를 모두 이용하는 벡터제어 방식으로 구분되어 진다. 6-step 스칼라 방식의 경우 제어가 단순하다는 장점을 가지고 있는 반면, 벡터제어 방식의 경우 정밀 서보제어에 용이하다는 장점을 가지고 있다 ^(3,4).

BLDCM는 trapezoidal 형태의 역기전력을 가지기 때문에 구형파 형태의 전류가 0이 될 때 발생하는 토크 리플을 보상하는 것이 중요하다 ⁽¹⁾. 이러한 토크 리플 문제를 해결하기 위해 다양한 연구들이 진행되어 왔다 [5, 6, 7, 8, 9]. Adaptive internal model을 이용한 전류제어 기법은 current regulation을 향상시키고 토크리플을 저감시킬 수 있다 ⁽⁵⁾. 비 이상적인 역기전력이 존재할 때 위치 센서 없이 제어기를 설계함으로써 고속 구동이 가능하다 ⁽⁶⁾. Varying 입력전압을 이용한 토크 리플 저감기법이 제안되었다 ⁽⁷⁾. Fourier 변환을 이용하여 전류 고조파를 분석함으로써 토크 리플을 저감시키는 기법이 제안되었다 ⁽⁸⁾. Cogging 토크에서 발생하는 리플을 분석하여 전류 고조파를 줄여주는 기법이 연구되었다 ⁽⁹⁾. 하지만 기존의 방법들에서 각자의 관점에서 다양한 제어기법을 제안하였지만 전류제어 성능관점에서만 분석하였거나 오차기반으로 토크 지령을 생성한 것은 아니기 때문에 추종성능이나 리플 저감성능에 한계를 가지고 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 direct torque control같은 토크제어 기법에 대해 연구가 진행되어왔다 ^(10,11). Indirect flux 제어와 direct torque 제어를 결합한 형태의 제어기법이 제시되었다 ⁽¹⁰⁾. Torsional vibration을 줄이기 위한 direct torque 제어기법이 제안되었다 ⁽¹¹⁾. 하지만 direct torque control기법은 저속에서 상대적으로 큰 flux 리플을 가지며 동적특성이 저하된다는 단점을 가지고 있다. 따라서 토크 리플에 의한 성능저하 문제를 해결하기 위해서는 속도리플에 의해 발생하는 속도추종 오차를 이용한 고성능 제어기법에 대한 설계가 필요하다. BLDCM와 유사한 동역학을 가지는 영구자석형 동기전동기나 스테퍼 모터의 속도 및 전류 추종 성능을 향상시키기 위해서 다양한 위치, 속도, 전류제어기법이 제안되어 왔다 [12, 13, 14].

따라서 본 논문에서는 위치, 속도, 전류등의 BLDCM의 상태변수에 대한 오차 동역학을 기반으로 한 토크 변조기법과 리아푸노프 기반 전류 제어기를 설계하였다. 제안된 토크 변조기법은 위치와 속도로 구성되는 기계적 오차 동역학의 추종성능을 향상시키기 위해 설계되었으며 이때 계산되는 지령 토크를 잘 추종하기 위해 전류 제어기법으로 리아푸노프 기반 전류 제어기가 설계되었다. 제안된 제어기법에 대한 폐루프 안정도를 확인하기 위해 오차 동역학을 이용하여 리아푸노프 안정도를 증명하였다. 또한 설계된 제어기의 성능평가를 위해 Matlab/Simulink를 이용하여 속도추종 성능을 확인하였다.

본 논문의 구성은 다음과 같다, 2장에서는 BLDCM의 모델링에 관해 서술하였으며, 3장에서는 오차 동역학을 기반으로 기계 및 전기적 제어기를 설계하였다. 4장에서는 설계된 제어기에 대한 폐루프 안정도를 증명하였으며 5장에서는 시뮬레이션을 통한 속도 추종 성능을 확인하였다. 마지막 6장에서는 본 논문에 대한 결론을 제시하였다.

2. Brushless DC Motor 모델링

2.1 기계적 및 전기적 동역학

2장에서는 본격적인 제어기의 설계에 앞서 기계적 위치와 속도, 토크 및 3상 전압, 전류의 관계식을 이용해 Brushless DC Motor(BLDCM)를 수학적으로 모델링하고자 한다. BLDCM의 3상 각 권선이 이상적으로 감겨있고, 상호 인덕턴스 값이 매우 작아 자기인덕턴스만 고려한다고 가정했을 때 BLDCM의 기계적 및 전기적 동역학을 상태 공간식으로 나타낼 것이다.

BLDCM 구동 시 기계적 위치를 미분하면 아래 식(1)의 속도가 되며,

(1)

$\dot\theta_{m}=\omega_{m},\:$

$\theta_{m}$와 $\omega_{m}$은 각각 기계적 위치와 기계적 각속도를 의미한다. 마찰력과 관성모멘트를 고려한 토크, $\tau_{e}$,는 다음과 같다 ⁽⁹⁾.

(2)

$\tau_{e}=J_{m}\dot\omega_{m}+F_{m}\omega_{m},\:$

여기서 $F_{m}$과 $J_{m}$는 각각 마찰계수 및 관성모멘트를 의미한다. 식(2)로부터 아래 식(3)의 기계적 동역학을 유도할 수 있다.

(3)

$\dot\omega_{m}=\dfrac{\tau_{e}-F_{m}\omega_{m}}{J_{m}}.$

3상 역기전력의 수학적 모델링은 다음절에서 다루도록 하겠다. 전기적 동역학을 수학적으로 모델링하기 위해 참고한 BLDCM의 3상 등가회로는 그림 1과 같다. 3상 등가회로로부터 유도된 수식은 다음과 같으며, 이는 상태 공간 방정식의 형태로 정리해 아래의 식(4)와 같은 전기적 동역학으로 나타낼 수 있다 ⁽¹²⁾.

그림. 1. BLDCM의 3상 등가 회로

Fig. 1. 3 Phase equivalent circuit of BLDCM

그림. 2. 3상 역기전력 및 역기전력 단위함수 (a) 3상 역기전력 (b) 3상 역기전력

Fig. 2. 3 Phase back EMF and unit function (a)　3 Phase back EMF (b) Unit function of back EMF

(4)

\begin{align*} \left[\begin{aligned}\begin{aligned}V_{a}\\ V_{b}\end{aligned}\\ V_{c}\end{aligned}\right]= R\left[\begin{aligned}\begin{aligned}i_{a}\\ i_{b}\end{aligned}\\ i_{c}\end{aligned}\right]+ L\dfrac{d}{dt}\left[\begin{aligned}\begin{aligned}i_{a}\\ i_{b}\end{aligned}\\ i_{c}\end{aligned}\right]+\left[\begin{aligned}\begin{aligned}E_{a}\\ E_{b}\end{aligned}\\ E_{c}\end{aligned}\right] \end{align*}

이때 $V_{a}$, $V_{b}$, $V_{c}$는 3상 인가전압을, $R$은 저항을, $i_{a}$, $i_{b}$, $i_{c}$는 3상 전류를 의미하며, $L$은 상 인덕턴스를 의미하며 상호 인덕턴스($L_{m}$)는 자기 인덕턴스($L_{s}$)에 비해 매우 작아 상 인덕턴스는 자기 인덕턴스와 같다고 가정하였다. $E_{a}$, $E_{b}$, $E_{c}$는 3상 역기전력을 각각 의미한다. 식(3)과 (4)로부터 유도된 BLDCM의 수학적 동역학은 다음과 같다.

(5)

\begin{align*} \dot\theta_{m}=\omega_{m}\\ \dot\omega_{m}=\dfrac{\tau_{e}-F_{m}\omega_{m}}{J_{m}}\\ \dot i_{a}=\dfrac{1}{L}[V_{a}- R i_{a}- E_{a}]\\ \dot i_{b}=\dfrac{1}{L}[V_{b}- R i_{b}- E_{b}]\\ \dot i_{c}=\dfrac{1}{L}[V_{c}- R i_{c}- E_{c}] \end{align*}

3. 제어기 설계

3장에서는 BLDCM의 수학적 모델링을 기반으로 오차 동역학을 안정화 시킬 수 있는 제어기를 설계하고자 한다.

4. 안정도 평가

3장에서 설계한 토크 변조기법을 활용한 속도 제어기와 리아푸노프 기반 전류 제어기를 이용하여 유도된 오차 동역학의 안정도를 평가하기 위해 식(19)와 식(22)를 아래와 같이 행렬로 표현했다.

5. 시뮬레이션

설계된 속도 제어기의 성능을 평가하기 위해 MATLAB /Simulink를 이용한 시뮬레이션을 진행하였다. 실험과 유사한 상황에서 성능을 평가하기 위해 모델 매개변수 ($J_{m}$, $F_{m}$)에 nominal 값의 10\%의 불확실성을 인가하였다. 또한 다른 제어기와의 비교평가를 위해 전동기 제어에서 가장 보편적으로 사용되는 PI제어기를 비교군으로 사용하였다. 공정한 비교평가를 위해 PI제어기의 제어이득은 제안된 제어기와 마찬가지로 정상상태 추종오차를 0이 될 수 있게 제어이득을 조정하였다. 모의실험에 필요한 BLDCM의 매개변수 및 제안된 제어기의 제어 이득은 표 1과 같다.

그림 3은 속도 및 토크에 대한 지령을 보여주고 있다. 속도 지령은 정상상태에서 $100[rpm]$을 가지며, 토크 지령은 식(13)에 의해 계산된다. 토크 변조기법에 의해 발생된 토크 리플에 의한 속도 추종 오차를 보상하기 위한 지령 토크가 생성되었음을 확인 할 수 있다.

그림 4는 지령 토크로부터 계산된 3상 전류 지령의 파형이다. 전류 지령에서 관측되는 리플은 각 상의 역기전력이 0이 될 때의 가장 크게 관측되어 진다. 이는 지령 속도의 기본파주파수인 100[rpm](≒1.66 [Hz])에 대한 2고조파인 (≒3.33 [Hz]) 성분의 리플 주파수가 생성되어진 것이다. 특히 A상 지령전류에서는 지령속도가 0에서 갑자기 값이 변함에 따라 과도전류가 다른 상에 비해 크게 나타나고 있다.

그림. 3. 속도 지령 및 토크 지령

Fig. 3. Desired velocity and desired torque

그림. 5. 각 속도 추종 오차

Fig. 5. Angular velocity tracking error

6. 결 론

본 논문에서는 BLDCM의 역기전력에 의한 토크 및 속도 리플을 감소시키고 속도 추종 성능을 향상시키기 위한 토크 변조기법과, 리아푸노프 기반 전류 제어기법이 제안되었다. 제안된 제어기법에서는 기계적 오차와 지령속도를 이용하여 토크 변조기법을 설계하였다. 또한 토크 변조기법으로부터 계산된 지령 토크를 지령 전류로 변환하고 지령 전류를 추종하는 리아푸노프 기반 전류제어기를 설계함에 따라 기존 PI제어기에 비해 속도 추종 성능을 향상 시킬 수 있었다.