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The Transactions P of the Korean Institute of Electrical Engineers

Korean Journal of Air-Conditioning and Refrigeration Engineering

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  3. 2022-06 (Vol.71P No.02)
  4. 10.5370/KIEEP.2022.71.2.117
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Research article

]

The Transactions P of the Korean Institute of Electrical Engineers

KIEEP Vol. 71P, No. 02, p.117-121

ISSN (print) :

1229-800X

ISSN (online) :

2586-7792

Received : 18 May 2022Revised : 27 May 2022Accepted : 29 May 2022

DOI :

https://doi.org/10.5370/KIEEP.2022.71.2.117

루프 형성기법을 이용한 필터보상형 LQ-PID 제어기 설계

Filter Compensation type LQ-PID Controller Design Using Loop Shaping Method

정형근 (Houng-Kun Joung) 1iD 이호준 (Ho-Joon Lee) 1iD 김창현 (Chang-Hyun Kim) †iD
  1. (Dep. of Electrical & Control Engineering, Cheongju University, Korea)

†Corresponding Author : Dep. of Electronic Engineering, Kangnam University, Korea. E-mail : chkim@kangnam.ac.kr

Copyright © The Korean Institute of Electrical Engineers(KIEE)

License :

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.(www.kiee.or.kr).

Abstract

System control requires high-speed response performance, stability, and robustness. However, tuning controller design parameters for high-speed response performance, stability, and robustness is a challenging task. The LQ-PID controller design parameter tuning method proposed in this paper satisfies the design condition since it ensures stability and robustness, which are the advantages of LQR control and the design weighting factors Q and R are selected using the loop shaping method. Since the proposed method achieves the characteristic of avoiding the high-and the low-frequency region through the setting of the filter coefficients included in the two zero points and the differential time term of the PID controller. it satisfies the performance in the frequency domain with improved features compared to the existing LQ-PID controller design parameter tuning method.

Key words

PID control, LQR control, Ziegler-Nichols tuning Method, Loop Shaping Method, Filter

1. 서 론

현대 제어 공학 엔지니어의 관심은 강인성과 안정성을 동시에 만족하고 또한 설계 사양도 만족하는 제어기를 설계하는 것이다. 플랜트를 제어하기 위한 제어기 설계 문제 해결을 위한 방법으로 수학적인 방법론이 제시된 최적제어 이론이 연구되고 있다. 대표적인 최적제어 이론으로는 LQR(Linear Quadratic Regulator)[1]-[2], LQG-LTR[3], $H_{\infty}$[4]-[5]와 같은 수학적인 기법을 이용한 최적제어 방법들이 제안되었다. 이러한 방법들은 외부 환경에서 발생할 수 있는 최악의 조건에서도 설계 사양 및 안정성과 강인성을 만족하는 목적으로 설계가 이루어지기 때문에 제어기 설계 시 플랜트의 차수에 비하여 제어기의 차수가 높아지는 단점이 있다. PID 제어기의 경우 제어기 설계의 단순성과 유연성을 가지고 있어 실제 산업현장에서는 수학적인 기법을 이용한 최적제어 방법보다 설계가 쉬운 PID 제어기를 선호한다[6]. 수학적으로 복잡함과 관련 없이 고성능인 제어기 설계가 목적이면 고급 수학적인 방법으로 최적제어 방법을 사용하지만, 실제 산업현장에서는 설계 비용이 저렴하고 제어기 구조가 간단한 PID 제어기를 선호한다. 응답속도를 빠르게 되도록 PID 제어기를 설계하면 매우 작은 변화가 발생해도 민감하게 반응하여 전체적인 제어시스템이 불안정해지는 단점을 가지고 있다. 어느 정도의 변화에도 안정하게 PID 제어기를 설계하면 응답속도가 늦어지는 단점을 가지고 있다. 따라서 전체 시스템에 만족하도록 성능과 안정성 사이의 균형을 이루어 설계 하는 것이 핵심이다.

따라서 본 논문에서는 루프형성기법을 이용한 LQR 설계 방법으로 필터보상형 PID 제어기 파라미터 동조 방법을 제안한다. 이러한 방법은 LQR의 강인성과 안정성을 보장받고, 필터가 포함된 PID 제어기의 파라미터를 동조 하는 방법으로 기존 LQ-PID 제어기 설계 방법[7]-[10]보다 저주파수 영역에서 안정성이 강화되고 좋은 성능을 얻는 설계 방법을 제안한다.

2. Controller Design

2.1 LQR 설계 문제에서 PID 제어기 동조

플랜트(제어 대상)가 미분 방정식으로 표현되는 2차 시스템이라 가정하면 식 (1)과 같다.

(1)
$\dfrac{d^{2}y(t)}{dt}+2\zeta\omega_{n}\dfrac{dy(t)}{dt}+\omega_{n}^{2}y(t)=\omega_{n}^{2}u(t)$

식 (1)에서 $y(t)$는 출력(output), $\omega_{n}$은 고유 주파수(natural frequency), $\zeta$는 감쇠비(damping ratio), $u(t)$는 제어 입력(control input)이다. 그리고 출력 $y(t)$를 최종적으로 안정된 상태 $y(\infty)=0$이 되도록 제어하는 것이 목표이다. 식 (1)의 미분 방정식에서 초기 조건은 고려하지 않는다. LQR 제어시스템의 구조는 상태 궤환(state feedback)으로 오차를 제어할 수 없는 단점이 있다. 따라서 상태방정식의 상태 변수에서 출력 변수를 추가해야 명령 추종 성능을 만족하는 제어기 설계가 가능하다. 출력 변수와 출력의 미분값이 포함된 형태로 새로운 상태 변수를 정의하면 식 (2)와 같다.

(2)
$\begin{align*} x_{p}(t)=\left[y(t)\qquad \dfrac{dy(t)}{dt}\right] \end{align*} $

식 (1)의 미분 방정식에서 새로운 상태 변수에 대한 식 (2)를 적용하면 식 (3)과 같은 상태 공간 방정식으로 표현할 수 있다.

(3)
$\begin{cases} \dfrac{dx_{p}(t)}{dt}=A_{p}x_{p}(t)+B_{p}u(t)&,\: x_{p}(t)\in R^{2}\\ y(t) =C_{p}x_{p}(t)&,\: y(t)\in R^{1} \end{cases}$
(4)
$A_{p}=\left[\begin{matrix}0&1\\-\omega_{n}^{2}&-2\zeta\omega_{n}\end{matrix}\right],\: B_{p}=\left[\begin{matrix}0\\\omega_{n}^{2}\end{matrix}\right],\: C_{p}=\left[\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]$

PID 제어기와 LQR 제어시스템의 구조를 등가화하기 위해 순방향 루프에서 식 (5)와 같이 출력 변수에 적분 변수를 추가한 상태방정식을 유도하면 식 (6)과 같다.

(5)
$\begin{align*} x(t)=\left[x_{0}(t)x_{p}(t)\right]^{T}=\left[\int_{0}^{t}y(\tau)d\tau y(t) \dfrac{dy(t)}{dt}\right] \end{align*} $
(6)
$\begin{cases} \dfrac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bu(t)&,\: x(t)\in R^{3}\\ y(t) =Cx(t)&,\: y(t)\in R^{1} \end{cases}$
(7)
$A=\left[\begin{matrix}0&1&0\\0&0&1\\0&-\omega_{n}^{2}&-2\zeta\omega_{n}\end{matrix}\right],\: B=\begin{bmatrix}0\\B_{p}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\omega_{n}^{2}\end{bmatrix},\: C=\begin{bmatrix}0\\C_{p}\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}^{T}$

그리고 식 (8)과 같은 가격 함수(cost function)를 고려해야 LQR 제어문제로 변환할 수 있다.

(8)
$J=\int_{0}^{\infty}\left[x(t)^{T}Qx(t)+u(t)^{T}Ru(t)\right]dt$

식 (8)에서 $Q$는 양의 반한정 대칭 행렬이고 $R=\rho I$는 양의 한정 대칭 행렬로 정의된다. LQR 제어기 설계 문제는 식 (8)에서 고려된 가격함수를 최소화하기 위해 설계요소인 $Q$와 $R$의 해를 구하는 것이며, 최적 제어 입력은 식 (9)와 같이 정의된다.[9]

(9)
$u(t)=Gx(t)$

여기서 제어 이득 $G$는 $R^{-1}B^{T}K$이며 $K=K^{T}$이다. 그리고 식 (9)에서의 $K$는 식 (10)에서 정의된 Riccati 방정식의 해로 구할 수 있다.

(10)
$KA+A^{T}K+Q-KBR^{-1}B^{T}K=0$

적분요소가 추가된 상태방정식에서 $x(t)\in R^{3}$ 이기 때문에 식 (9)에서 정의된 제어 이득 $G$는 식 (11)과 같이 분해할 수 있다.

(11)
$G=\begin{bmatrix}g_{0}&g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}$

식 (9)에서 유도된 죄적 제어 입력 $u(t)$는 식 (6)에서 유도된 상태방정식을 이용하여 식 (12)와 같이 분해 가능하면 PID 제어기의 형태로 정의할 수 있다. 일반적인 PID 제어의 형태는 식 (13)과 같다.

(12)
$u(t)=-\left(g_{0}\int_{0}^{t}y(\tau)d\tau +g_{1}y(t)+g_{2}\dfrac{dy(t)}{dt}\right)$
(13)
$u(t)=-K_{p}\left(\dfrac{1}{K_{i}}\int_{0}^{t}y(\tau)d\tau +y(t)+K_{d}\dfrac{dy(t)}{dt}\right)$

여기서, $K_{p},\: K_{I},\: K_{D}$ 는 각각, 비례 이득, 적분 시간, 미분 시간으로 PID 제어기 파라미터 요소들이다. 식 (13)에서 표현된 일반적인 PID 제어기의 설계요소와 식 (11)에서 정의된 제어 이득의 관계를 이용하면 LQR 제어기의 설계 파라미터들과 PID 제어기의 설계 파라미터들의 등가 관계를 식 (14)와 같이 정의할 수 있다.

(14)
$K_{p}=g_{1},\: K_{I}=g_{2},\: K_{D}=\dfrac{g_{2}}{g_{1}}$

따라서, PID　제어기 설계 파라미터인 $K_{p}$(비례 이득), $K_{I}$(적분 시간), $K_{D}$(미분 시간)을 동조하는 문제가 LQR 제어기 파라미터 동조문제로 변형할 수 있다. LQR 제어의 가중치 요소 $Q$와 $R$을 선정하고 식 (11)에서 유도된 제어 이득 $G$를 구하면 식 (14)에서 유도된 제어 이득과 PID 제어 설계 파라미터를 구할 수 있다.[7] 따라서 그림 1의 LQR 제어시스템의 구조와 그림 2의 PID 제어기 시스템의 구조는 등가가 된다.

그림 1. LQR 제어시스템의 블록 선도

Fig. 1. Block diagram of LQR control system

../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/fig1.png

그림 2. PID 제어시스템의 블록선도

Fig. 2. Block diagram of PID control system

../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/fig2.png

2.2 루프형성기법을 이용한 LQ-PID 제어기 동조

루프 전달함수의 특이값 동조기법[11]을 이용하여 LQR 의 설계 파라미터 Q와 R을 선택한다. 그림 2에서 플랜트 출력 측의 절단점 ①에서 구한 루프 전달함수 $H(s)$와 절단점 ②에서의 루프 전달함수 $G_{L}(s)$는 식 (15)와 식 (16)과 같이 정의된다.

(15)
$H(s)=\dfrac{1}{\tau s+1}\bullet C_{P}(SI-A)^{-1}B_{P}(g_{2}s+g_{1}+\dfrac{g_{o}}{s})$
(16)
$H(s)=C_{P}(SI-A)^{-1}B_{P}(g_{2}s+g_{1}+\dfrac{g_{o}}{s})\bullet\dfrac{1}{\tau s+1}$

단일 입출력 시스템에서는 식 (15)와 식 (16)과 같이 같다. LQR 제어 문제의 주파수역 등가(Frequency domain equality)를 사용하여 설계 파라미터 $Q=N^{T}N$과 $R=\rho I$를 결정할 수 있고, LQR의 주파수역 특성은 식 (17)과 같다.

(17)
$| 1+H(j\omega)| =\sqrt{1+\dfrac{1}{\rho}\left | N(j\omega I-A)^{-1}B\dfrac{1}{j\tau\omega +1}\right |^{2}}$

그리고 설계 파라미터 $N$은 식 (18)과 같이 분해할 수 있다.

(18)
\begin{align*} N=\left[n_{1}{\quad}n_{2}{\quad}n_{3} \right]=\left[n_{2}p_{2}^{2}-2n_{2}p_{2}n_{2}\right] \end{align*}

명령 추종과 외란 제거 성능을 위한 저주파수 영역의 성능을 위한 조건은 식 (19)와 같이 정의할 수 있고 보드 선도를 나타내면 그림 3과 같다.

(19)
$H_{r}=\left | H(j\omega_{r})\right |\simeq\dfrac{\omega_{n}^{2}}{\sqrt{\rho}}\left |\dfrac{n_{0}-n_{2}\omega_{r}^{2}+jn_{1}\omega_{r}}{-2\zeta\omega_{n}\omega_{r}^{2}+j(\omega_{n}\omega_{r}-\omega_{r}^{3)}}\dfrac{1}{j\tau\omega_{n}+1}\right | >m_{r}$

그림 3. 명령 추종 및 외란 제거에 대한 루프 형상

Fig. 3. Loop Shaping for command following and disturbance rejection

../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/fig3.png

센서 잡음 및 모델링 오차에 대한 저감도를 위한 고주파수 영역의 성능을 위한 조건은 식 (20)과 같이 정의할 수 있고 보드 선도를 나타내면 그림 4와 같다.

(20)
$H_{r}=\left |\widetilde{H}(j\omega_{n})\right |\simeq\dfrac{\omega_{n}^{2}}{\sqrt{\rho}}\left |\dfrac{n_{0}-n_{2}\omega_{r}^{2}+jn_{1}\omega_{r}}{-2\zeta\omega_{n}\omega_{r}^{2}+j(\omega_{n}\omega_{r}-\omega_{r}^{3)}}\dfrac{1}{j\tau\omega_{n}+1}\right | <e_{\max}^{-1}(\omega_{n})$

2.3 영점 배치기법을 이용한 루프 형상

플랜트가 2차 시스템으로 가정할 때 두 극점이 존재한다. 제어기의 영점이 플랜트의 최대 극점과 멀리 떨어지면 고주파수 영역에서 낮은 이득을 갖게 된다. 그러나 제어기를 이용하여 설정되는 영점이 복소 평면의 원점으로부터 멀어지면 많은 에너지가 필요한 단점이 있다. 따라서 플랜트의 최대 극점과 제어기의 두 영점이 같게 되는 경우가 가장 효율적인 경우이다. 플랜트의 극점이 실근을 갖는 경우 식 (18)의 설계 파라미터 $n_{2}$의 범위는 식 (20)과 같다.

(20)
$\dfrac{\left |(j\omega_{r})(j\omega_{r})-p_{1}\right | m_{r}\sqrt{\rho}}{\left |\omega_{n}^{2}(j\omega_{r}-p_{2})\right |}<n_{2}<\dfrac{\left |(j\omega_{r})(j\omega_{r})-p_{1}\right .e_{\max}^{2}(\omega_{n})\sqrt{\rho}}{\left |\omega_{n}^{2}(j\omega_{n}-p_{2})\right |}$

그림 4. 센서 잡음 및 모델링 오차에 대한 루프 형상

Fig. 4. Loop Shaping for Sensor Noise and Modeling error

../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/fig4.png

플랜트의 극점이 공액 복소근을 갖는 경우 설계 파라미터 $n_{2}$의 범위는 식 (21)과 같다.

(21)
$\dfrac{m_{r}\omega_{r}\sqrt{\rho}}{\left |\omega_{n}^{2}\right |}<n_{2<}\dfrac{e^{-1_{\max}}(\omega_{n)}\omega_{n}\sqrt{\rho}}{\left |\omega_{n}^{2}\right |}$

3. Simulation

모의실험을 위한 사례를 연구하기 위하여 시물레이션 소프트웨어(Matlab)[11]을 사용하고 안정한 플랜트를 기준으로 본 논문에서 제시한 방법과 Ziegler-Nichols 동조 방법[6]과 비교 하였다. 2차 시스템인 안정한 플랜트의 전달함수는 식 (22)과 같다. 설계 사양으로 저주파수와 고주파수 영역에 대한 장벽을 표 1과 같이 설정한다.

(22)
$G(s)=\dfrac{1}{S^{2}+10s+1}$

PID 제어기에서 미분 시간항에 포함되어 있는 필터 계수 $\tau$의 값은 2.1로 설정해야 저주파수 영역에서의 이득을 최대로 할 수 있다. LQR에서 가중 요소 $\rho$를 1.0으로 설정하고 제어 이득을 구하면 표 2와 같다. 그리고 표 2에서 구한 제어 이득을 이용하여 LQ-PID 제어기의 설계 파라미터를 구하면 표 3과 같다. 그리고 상대적인 비교를 위하여 Zigler-Nichols 제어기 설계 방법과 비교하였다.

표 1 주파수 영역 설계 사양

Table 1 Frequency domain design specifications.

장벽

경계 주파수

$B_{r}(\omega)$

$m_{r}=30[d B]$

$\omega\le 1$

0

$\omega < 1$

$B_{n}(\omega)$

0

$\omega\le 10$

$e^{-1_{\max}}(\omega)= 10/\omega$

$\omega < 10$

표 2 제어 이득

Table 2 Control gain

$g_{0}$

$g_{1}$

$g_{2}$

505.42

103.44

10.21

표 3 LQ-PID 제어 파라미터와 Z-N 방법과 비교

Table 3 Comparison of Z-N method and LQ-PID controller design parameters in design

$K_{P}$

$K_{I}$

$K_{D}$

Z-N

164.32

0.16

0.04

LQ-PID

170.15

1.11

0.10

그림 5에서 Zigler-Nichols의 제어기 설계 방법과 본 논문에서 제안하는 LQ-PID 제어기 설계방법의 특이값 형상을 비교하였다. Zigler-Nichols의 방법보다는 제안하는 제어기 설계 방법이 고주파수 영역을 침범하지 않는 것을 확인할 수 있다. 따라서 본 논문에서 제안하는 방법이 안정된 결과를 볼 수 있다.

그림 5. 폐루프 전달함수의 특이값 형상

Fig. 5. Singular Value of the closed loop transfer function

../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/fig5.png

그림 6. 폐루프 전달함수의 단위 계단 응답

Fig. 6. Step response of the closed loop transfer function

../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/fig6.png

그림 6은 Zigler-Nichols의 제어기 설계 방법과 본 논문에서 제안하는 LQ-PID 제어기 설계 방법의 정량적 비교를 위한 단위 계단응답을 보여주고 있다. 그림 6에서 본 논문에서 제안하는 방법이 정착시간만 제외하면 계단응답에 있어 %오버슈트 및 상승 시간에 있어 제안한 LQ-PID 제어기 설계　방법이 빠르고 안정된 시간 응답을 보여주고 있다.

4. 결 론

본 논문에서는 LQR 제어기법의 장점인 안정성과 강인성을 보장하고 PID 제어기법의 장점인 설계의 유연함과 단순함을 보장하는 루프 형성기법을 이용한 필터보상형 LQ-PID 제어기 설계 방법을 제안하였다. 본 논문에서 요구되는 루프 형성기법에서 영점 배치 기법의 이용으로 루프 전달함수에 대한 특이값 형상이 고주파수 영역에서의 모델링 에러와 센서 노이즈에 대한 저감도의 성능이 개선되었고 저주파수 영역에서는 PID 설계 파라미터 중 미분 시간과 필터의 영향으로 명령 추종 장벽에서 멀어지는 효과와 외란 제거의 성능이 개선되어 효과적인 강인성을 보장하고 기존의 LQ-PID 제어기 설계 방법과 비교하여 효과적인 동조방법과 우수한 성능에 대하여 모의실험을 통하여 증명하였다. 본 논문에서 제안하는 LQ-PID 제어기 설계 방법은 플랜트가 2차 시스템에서만 가능하기 때문에 3차 이상인 시스템에서는 근사화 과정을 이용해야 하는 단점이 있고, 단일 입출력 시스템에서만 가능한 문제가 있어 이를 보완하는 연구가 진행되어야 한다.

Acknowledgements

This work was supported by the National Research Foundation of Korea (NRF) grant funded by the Korea government (MSIT) (No.NRF-2022R1G1A1011838)

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저자소개

정형근(Houng-Kun Joung)
../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/au1.png

He received the bachelor’s degree in the Department of Electrical Engineering from the Semyung University in 2002. He received the M.S. degree and the Ph.D. degree in the Department of Electrical Engineering from Hanyang University in 2004 and 2017, respectively. From 2011 to 2017, he was an Assistant professor at Korea Polytechnic College. He has been an Assistant professor in the Department of Electrical & Control Engineering at Cheongju University since 2019. His current research interests include Control System, Motor Control System, Power Electronics. E-mail : 21c8545@cju.ac.kr

이호준(Ho-Joon Lee)
../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/au2.png

He received the M.S. and Ph.D. degrees in Electrical Engineering from Hanyang University, Seoul, South Korea, in 2011 and 2015, respectively. He joined Cheongju University, in 2020, where he is currently an Assistant Professor with the Department of Electrical & Control Engineering, His main research interests include electric machinery and its drives, electro-magnetic field analysis, transportation systems, such as electric vehicles(EV), and propulsion systems. E-mail : hjlee@cju.ac.kr

김창현(Chang-Hyun Kim)
../../Resources/kiee/KIEEP.2022.71.2.117/au3.png

He received his M.S and Ph.D in Electrical Engineering from Hanyang University, Korea, in 2006, and 2015, respectively. He was an Assistant Professor at VISION College of Jeonju, Korea from 2016 to 2021. He joined Kangnam University, in 2021, where he is currently an Assistant Professor with the Department of Electronic Engineering, His current research interests include the robust control, MPC, machine learning control, and its application to magnetic levitation systems, electric power grid, network congestion, and so on. E-mail : chkim@kangnam.ac.kr