3.1 홀딩 토크

스페리컬 전동기에서의 홀딩 토크 정의는 영구자석과 전자석의 상대 위치에 따른 토크의 벡터 합으로 고정자의 기자력과 영구자석이 특정 위치에서 발생시키는 회전력이다.

고정자에 코일을 감아 전류를 흘려 전자석을 만들었기 때문에 홀딩 토크는 로렌츠 힘(Lorentz force)으로 설명이 가능하다^[9-11]. 로렌츠 힘은 전자기장 내에서 전하가 받는 힘에 의해 식 (1)과 같이 정의된다.

자기장 내에 움직이는 전하에 작용하는 힘 밀도는 식 (2)와 같다.

미소 전하 $dq$에 작용하는 힘은 $df$로 표현하고, 미소 전하 $dq$의 속도는 미소 길이 $dl$을 미소 시간 $dt$을 통과하는 것이라 하면, 식 (2)를 식 (3)으로 나타낼 수 있다.

이때, $\dfrac{dq}{dt}$는 $i$와 같고 식 (3)처럼 도선의 미소 길이 $dl$에 작용하는 힘으로 다시 쓸 수 있고, 식 (4)와 같다.

전류 $i$는 전류밀도 $J$ 로 표현이 가능하다. 모델의 형상은 3D이므로 전류밀도를 $J_{vol}$라 하면 체적$\triangle_{vol}$로 정의할 수 있다.따라서 전류가 흐르는 하나의 권선의 작용하는 힘은 식 (5)로 표현이 가능하다.

그리고 권선의 위치벡터 $R_{j}$와 권선의 턴 수의 힘의 합$F_{j}$을 외적으로 코일의 발생 토크를 계산할 수 있고, 식 (6)과 같이 나타낸다.

회전자의 합성 토크 벡터는 각 코일의 토크 벡터의 합으로 구할 수 있다. 홀딩 토크에 관한 회전자의 중심은 영구자석의 중심으로 한다. 따라서 회전자의 합성 토크 벡터의 중심은 영구자석으로 한다.

3.2 조향 안정성 확보를 위한 영구자석 보조구조

Fig. 3과 같이 틸팅 축에 영구자석을 삽입 후, 고정자 기자력을 이용하여 중심부에 정렬시키면 코일에서 발생하는 자속과 영구자석에서 발생하는 자속의 상호작용으로 자기적인 커플링이 구현된다. 영구자석을 틸팅 고정자 중심에 정렬시킨 상태를 Fig. 4(a)로 기준한다. Fig. 4(b)와 (c)의 경우처럼 영구자석과 틸팅 고정자가 정렬하지 못할 경우에는 정방향 혹은 역방향으로 기본 상태로 돌아오기 위한 홀딩 토크가 발생하게 된다. 따라서 안정적으로 이동 방향을 유지하기 위해서는 틸팅 고정자로 움직이려는 회전력이 발생이 되어야 하며, 이는 전자계 해석을 통해 토크를 분석할 수 있다.

Fig. 5에서 홀딩 토크가 0[Nm]이 되는 부분은 고정자의 전자석과 영구자석이 자기적으로 정렬상태를 나타낸다. 홀딩 토크가 0[Nm]인 0$^{\circ}$지점에서 영구자석이 회전하게 되면, 고정자의 전자석과 영구자석이 다시 자기적으로 정렬하려는 토크가 발생하는 것을 Fig. 5를 통해 볼 수 있다.

본 논문에서 연구한 스페리컬 전동기의 구조상 하지만 전기각 45$^{\circ}$이상부터는 영구자석이 틸팅 고정자 주변의 고정자 코어에 정렬하기 때문에 홀딩 토크가 다시 반대 부호를 가지며 줄어들게 된다. 또한 영구자석이 추가됨으로써 홀딩 토크가 발생할 수 있음을 확인할 수 있으며, 추가로 고정자의 전류를 10[A]인가 시 홀딩 토크를 더욱 증가시킬 수 있음을 Table 2의 것을 토크 변화율을 통해 볼 수 있다.

10[A] 전류 인가 시, 0$^{\circ}$와 1$^{\circ}$사이의 토크 변화율은 약 2.5배 증가하게 된다. 즉 전류인가로 인해 홀딩 토크의 크기가 더욱 증가하게 된다.

Fig. 6은 영구자석을 2개의 고정자 축 사이 중심에 정렬시킨 상태 Fig. 6(a)을 기준으로 한다. 이 경우에도 Fig. 6(b)와 (c)에서 영구자석이 2개의 전자석 축과 정방향 혹은 역방향으로 비틀리게 되면 기본 상태로 돌아오기 위한 홀딩 토크가 발생하게 된다. 토크가 0[Nm]인 0$^{\circ}$지점에서 영구자석이 회전하게 되면 고 정자의 전자석과 영구자석의 상호작용으로 홀딩 토가 발생하게 된다. 추가로 전류를 10[A]인가 시, 홀딩 토크가 더욱 증가하는 것을 Fig. 7과 Table 3을 통해 볼 수 있다. 0$^{\circ}$와 1$^{\circ}$사이의 토크 증감율은 10[A] 전류인가 시 약 3.8배 더 증가하는 것을 확인할 수 있다.

그림 3. 조향 안정성 확보를 위한 영구자석 보조구조

Fig. 3. Permanent magnet auxiliary structure to secure steering stability

그림 4. 영구자석 보조구조의 위치에 따른 홀딩 토크

Fig. 4. Holding torque generation structure of permanent magnet and stator

그림 5. 영구자석 및 고정자 홀딩 토크 발생 구조

Fig. 5. Holding torque according to the position of the permanent magnet auxiliary structure

그림 6. 영구자석 및 고정자 중심의 홀딩 토크 발생구조

Fig. 6. Holding torque generation structure centered on permanent magnet and stator

그림 7. 영구자석 보조구조의 위치에 따른 홀딩 토크

Fig. 7. Holding torque according to the position of the permanent magnet auxiliary structure

3.3 영구자석의 너비에 따른 홀딩 토크

3.2절에서는 전자석을 기준으로 영구자석의 상대적 위치에 따른 홀딩 토크의 변화를 분석하였다. 3.3절에서는 영구자석의 너비 변화에 따른 홀딩 토크의 변화를 분석하였다. Fig. 8은 영구자석의 크기와 코일피치(C1, C2, C3)에 따라 홀딩 토크를 분석하기 위해 연구한 구조를 보여주고 있다. 분석에 사용된 모델의 코일 피치의 길이는 30[mm]이며, Fig. 8(a)를 보면 영구자석의 크기가 코일 피치 보다 작은 경우, C2에서 발생 되는 자속에 의한 영구자석과의 정렬 토크를 나타내는 그림이다. 일반적으로 표현하는 슬롯과 치(teeth)구조에 따른 디텐트 토크(코깅토크)의 발생으로 인하여 틸팅 고정자 중심부에 영구자석의 중심이 위치하지 못하고 상하로 불안정한 움직을 보여주게 된다.

코깅토크에 의한 영향을 줄이기 위해서 영구자석의 크기와 코일 피치와의 관계로 분석이 가능하다. Fig. 8(b)는 영구자석의 크기가 코일 피치와 동일한 경우이다. 이 경우 C2에서 발생 되는 자속과 영구자석이 정렬하게 된다. 하지만 주 자속과 반대 방향인 코일 C1과 코일 C3가 일부 겹치게 된다. 그로 인해 주 자속과 반대 방향의 자속에 의해 홀딩 토크의 변화량이 Fig. 8(a)에 비해 상대적으로 감소하게 된다. Fig. 8(c)은 영구자석의 크기가 코일 피치 보다 큰 경우이며 C2와 영구자석이 이루는 주 자속 방향뿐만 아니라 자속 방향의 반대 방향인 코일 C1과 코일 C3가 생성하는 자속에 의해 Fig. 8(a)와 (b)보다 홀딩 토크의 변화량이 더욱 감소하게 될 것이다. 영구자석의 직경이 30~34[mm]에서 홀딩 토크 변화량이 급격하게 감소하게 됨을 확인할 수 있다. 영구자석의 너비가 26[mm]과 28[mm]에서의 토크 변화율이 가장 높음을 확인할 수 있으며, 28[mm]의 경우 C1, C3의 자속에 의해 26[mm]보다 토크 변화율이 낮음이 확인할 수 있다. 즉, 홀딩 토크 변화율을 높이기 위해서는 C1, C3의 자속에 영향을 적게 받으며 C2와의 자기 배열이 유리한 영구자석의 너비를 선정할 필요가 있다.

Table 4는 영구자석의 직경 사이즈 변화에 따른 발생 홀팅 토크의 크기를 분석한 데이터 이다. 또한, Fig. 9는 영구자석 직경에 따른 틸팅 토크의 크기를 영구자석의 위치를 임의로 이동시킴으로써 틸팅을 분석한 결과이다. 따라서 Fig. 9에서 보는 바와 같이, 그래프의 기울기는 틸팅력의 민감도와 크기를 나타내는 것으로 영구자석의 직경 사이즈가 작을수록 틸팅 고정자의 중심부로 더 큰 틸팅력이 발생된다고 볼 수 있다.

그림 8. 영구자석 너비에 따른 회전자 및 고정자 자속

Fig. 8. Rotor and stator flux as a function of permanent magnet width

그림 9. 영구자석 너비에 따른 홀딩 토크

Fig. 9. Holding torque according to permanent magnet width