2.1 목적함수

서론에서 정의한바와 같이 배전계통 간 연계선로는 특정계통에 고장이 발생할 경우 인근계통으로부터 전력을 공급하는데 활용되며, 이처럼 인근계통을 통해 전력을 공급하는 것을 부하전환능력이라 한다. 증설한 연계선로 수와 부하전환능력은 양의 관계를 갖으나, 이의 관계가 선형적이지 않다. 다시 말해 연계선로 증설 수를 증가시키더라도 특정 구간에서 부하전환능력이 향상되지 못할 수 있다. 따라서 부하전환능력 확보에 관한 최적화 문제에는 부하전환능력을 극대화시키는 것과 동시에 무분별한 연계선로 증설로 인한 투자비용을 최소화하는 과정이 고려되어야 한다.

제안하는 최적화 방법은 앞서 언급한 두 가지 목적을 고려하기 위해 다중목적함수 기법을 활용하며, 각각에 대한 목적함수는 식 (1), (2)와 같다.

식 (1)은 선로 증설 비용을 최소화하는 목적함수이며, 식 (2)는 부하전환능력을 확보하기 위해 모든 비상상황(f)에 대하여 비상시 전환불가 용량을 최소화하는 목적함수이다.

2.2 제약조건1. 고장상황을 고려한 계통 구성

선로 고장에 대한 제약조건은 식 (3)과 같다.

식 (3)은 이진변수로, 각각의 고장상황(f)에 대하여 고장이 발생한 선로($l$)를 비가용 상태($b_{f,\: l}=0$)로 취한다.

배전계통은 비상시 사고파급을 방지하기 위해 방사형 구조로 운영되며, 이에 대한 제약조건은 식 (4)와 같다 ^[6],^[12].

식 (4)에서 $\sum_{\forall l}b_{f,\: l}$는 비상시 가용선로의 수를, $\sum_{\forall i}a_{f,\: i}$는 비상시 전력이 공급되는 모선의 수를, $|S |$은 S/S의 수를 의미하며, 따라서 식 (4)는 비상시 가용되는 선로 수와 노드 수의 관계를 통해 방사형 구조를 유지하도록 한다.

2.3 제약조건 2. 전력수급 균형

전력수급 균형에 관한 제약조건은 식 (5)과 같다 ^[4],^[5].

여기서 $P_{i}^{G}$는 S/S과 연계된 모선을, $L_{t o}(i)$와 $L_{f r o m}(i)$는 i번째 노드를 기준으로 나가는 선로와 들어오는 선로를 의미하며, 따라서 식 (5)는 키르히호프 법칙에 기반하여 수립된 전력수급 균형의 제약조건을 의미한다.

2.4 제약조건 3. 계통 운영 규정

선로 한계용량에 관한 제약조건은 식 (6)과 같다.

식 (6)은 비상시 선로의 전력조류($P_{f,\: l}$)가 한계용량($\overline{P_{l}}$) 내에서 운영되어야 함을 의미한다. 이때 식 (6)에는 각 고장상황에 대하여 선로의 가용여부를 나타내는 이진변수 $b_{f,\: l}$이 활용되며, 이로 인해 식 (6)의 제약조건은 선로가 가용상태($b_{f,\: l}=1$)일 때의 조류를 한계용량의 범위 내에서 결정되도록 제약하고 있지만, 선로가 비가용 상태인 경우($b_{f,\: l}=0$) 각 선로의 전력조류($P_{f,\: l}$)는 ‘0’의 값을 갖도록 한다.

한편 배전계통 운영 시 검토되는 전압에 대한 제약조건은 식 (7)과 같다.

식 (7)은 각 모선의 전압이 규정범위 내에서 운영되어야 함을 나타내는 제약조건이며, 이때 각 모선의 전압 $V_{i}$는 식 (8),(9)와 같이 산정한다 ^[13].

식 (8),(9)는 big M method를 기반으로 수립한 두 모선 간 전압강하를 산정하는 수식이며, 이때 선로가 비상시 가용상태일 경우($b_{l}=1$), 모선 j와 i 사이의 전압강하는 $-(r_{l}\times P_{l})/V_{0}$에 의해 결정된다. 한편 비상시 선로가 비가용 상태인 경우($b_{l}=0$), 식 (6)에 의해 $P_{f,\: l}$이 ‘0’의 값을 갖는다. 이러한 이유로 식 (8),(9)에서 $-(r_{l}\times P_{l})/V_{0}$만을 제약조건으로 활용할 경우, j,i 노드의 전압이 동일한 값을 유지하게 된다. 이러한 경우 연계선로 이용을 통한 노드 간 전압강하를 산정할 수 없다. 식 (11),(12)는 이를 방지하기 위한 수식으로 각 모선 전압에 관한 제약조건에는 big M method를 기반으로 하는 $M\times(1-b_{l})$가 적용되어 비상시 비가용 선로 양단의 노드의 전압이 큰 범위의 제약조건을 갖게 되며, 이는 결국 식 (7)의 제약조건을 따라 그 값이 결정된다.

2.5 제약조건 4. 정전민감부하

병원, 금융기관과 같은 고객은 비상시 지속적인 전력공급을 받을 수 있어야 하며, 본 논문에서는 이를 정전민감부하(Critical load)이라 정의한다. 모선별 정전민감고객 포함 유무에 대한 파라미터 $\kappa_{i}$는 사전에 정의되며, 이는 정전민감부하의 전력공급을 보장하기 위한 제약조건으로 식 (10)과 같이 활용된다.

식 (10)은 특정 모선에 정전민감부하가 포함된 경우($\kappa_{i}=1$)에 대하여 각 고장상황(f)에 대한 모선(i)별 전력공급여부를 나타내는 이진변수($a_{f,\: i}$)의 값을 ‘1’로 제한한다. 하지만 정전민감부하가 포함되지 않은 경우($\kappa_{i}=0$)에 대한 $a_{f,\: i}$의 값은 식 (2)의 목적함수에 의해 결정된다.

2.6 제약조건 5. 선로증설 여부

선로 증설여부를 검토하는 방법은 식 (11)과 같다.

식 (11)에서 $c_{l}$은 선로 증설 여부를 나타내는 이진변수이며, 이는 식 (1)의 선로 증설 비용을 최소화하는데 활용되고 있다. 식 (11)은 l번째 선로가 증설 선로의 후보군에 속하며($l\in RL$), 모든 고장상황($\forall f$)에 대하여 한번이라도 가용된 경우($\sum_{\forall f}b_{f,\: l}\ge 1$) 해당 선로가 증설되어야 함($c_{l}=1$)을 나타내게 된다.

3.1 입실론 제약조건 기반 다중목적함수 해석 기법

E-MOP 기법은 다수의 목적함수가 존재하는 최적화 문제에서 하나의 목적함수를 설정하고 나머지 목적함수들을 제약조건으로 사용하는 방법이다 ^[14].

식 (12)은 기존의 다중목적함수 문제를, 식 (13)은 E-MOP 기법을 적용하여 변환한 최적화 문제를 수식적으로 표현한 것이다.

여기서 $x$는 결정변수, $f_{p}(x)$는 목적함수, $S$는 $x$의 실현가능영역(feasible set), $e_{p}$는 입실론 제약조건을 의미한다.

식 (13)에 나타낸 E-MOP 기법은 식 (12)에서 설정된 p개의 목적함수 중 하나의 목적함수($f_{1}(x)$)를 설정하고, 나머지 목적함수($f_{2}(x),\: ...,\: f_{p}(x)$)에 대해서 입실론 제약조건($e_{2,\: ...,\:}e_{p}$)을 설정하여 단일 목적함수 기반의 해석을 가능하게 한다.

식 (13)의 E-MOP에서 $e_{p}$의 범위는 각 목적함수 최적화를 기반으로 도출한 결과에 의해 결정되며, $e_{p}$의 설정 값에 따라 E-MOP의 목적함수 $f_{1}(x)$에 대한 결과가 상이하게 나타날 수 있다. 이처럼 E-MOP 기법은 서로 다른 목적을 갖는 함수에 대한 pareto-front 솔루션을 제공하며, 이러한 과정을 통해 도출된 결과는 의사결정자로 하여금 다양한 목적함수 중 어느 목적함수에 더 초점을 두어 최적 솔루션을 선택할 것인지를 결정할 수 있도록 한다.

3.2 E-MOP 기반 최적 배전계획 문제 정식화

E-MOP 기법을 기반으로 2장에서 제안한 최적 배전계획 문제를 재구성한 모델은 식 (14)와 같다.

식 (14)에서는 식 (1)의 선로 증설비용 최소화를 목적함수로 사용하며, 식 (2)의 전환불가 용량을 제약조건으로 변환하여 나타낸 것이다.

4.1 모의조건

사례연구를 위한 모의계통도는 그림 1과 같다 ^[15].

그림 1의 모의계통은 4개의 feeder(F #1- #4)가 변전소(S/S)와 연결되어 있으며, 보강 전에는 2개의 인근계통 연계선로(tie-line)를 가지고 있다. 또한 그림 1에는 6개의 선로증설 후보군($RL$)과, 정전민감부하($\kappa_{i}$)가 표기되어 있다.

그림 1. 계통 구성도

Fig. 1. The system configuration

증설 선로의 단위길이 당 비용은 0.255 [억원/km]로 가정하며, 증설선로에 대한 파라미터는 표 1과 같다.

기존 선로와 및 각 모선에 대한 정보는 부록의 표 A.1 및 A.2와 같으며, 계통 운영 규정에 대한 정보는 아래와 같다 ^[1].

전압 운영 규정 ($\overline{V},\: \underline{V}$) : 1.05, 0.9 [p.u.]

선로 허용용량 ($\overline{P_{l}}$) : 14 [MW]

고장상황의 경우 국내 배전계획에서 실제로 수행되는 방법과 동일하게 가정하며, 본 논문에서는 0번과 연계된 각 선로(0-1, 0-12, 0-16, 0-26)의 N-1 고장상황을 고려한다.

한편 식 (14)에 나타낸 전환불가 용량에 대한 입실론 제약조건($e$)의 범위는 표 2와 같다.

그림 1에서 F #2는 계통 보강 전 연계선로가 없기 때문에 14번 모선의 비상시 전력공급이 불가능하다. 이러한 이유로 표 2에서 선로 증설비용 최소화를 목적으로 도출한 경우, 보강비용이 발생하게 된다. 한편 전환불가 용량 최소화를 목적으로 할 경우, 모든 비상상황에 대해 지속적인 전력공급을 할 수 있으나, 이를 위해서는 모든 선로의 증설이 필요할 수 있다. 이처럼 표 2의 결과는 제안한 문제가 제약조건의 범위 내에서 실현가능영역을 제공하고 있으며, 이를 통해 도출된 전환불가 용량의 범위(0~58.2 [MW])는 식 (14)의 최적 배전계획을 위한 입실론 제약조건으로 활용된다.

4.2 모의결과

최적 배전계획에 대한 pareto-front는 그림 2와 같으며, 그림 2의 최적 배전계획 결과(S1~S7)의 상세 정보는 표 3과 같다.

그림 2와 표 3은 앞서 언급한 $e$를 0.1[MW]씩 변화하며 총 131건의 입실론 제약조건을 검토하여 도출한 결과이다. 총 수행시간은 24.7 [m]이 소요되었으며, 각 $e$에 대한 수행시간은 11.3[s]가 소요되었다.

앞서 가정한 배전계통의 구성이 다소 간단하고 표 1에서 설정한 선로 증설 개수가 작기 때문에, 그림 2의 다소 넓은 feasible region에서 pareto-front 솔루션은 총 7개로 도출되었다. 표 3은 각각의 최적 솔루션에 대한 전환불가 용량, 선로 증설 비용 및 선로 증설 위치를 제공하고 있으며, 그 결과는 선로 증설 비용과 전환 불가 용량이 반비례 관계에 있음을 보여준다. 또한 이를 수행하는 과정에서 정전민감부하는 모든 고장상황에 대하여 전력을 공급받고 있음을 확인하였다.

그림 2. 최적 배전계획의 pareto-front 산정결과

Fig. 2. The results of pareto-front for optimal planning problem

4.3 의사결정자를 통한 최적 배전계획 선정 방안

본 절에서는 의사결정자(한국전력공사와 같이 계통 보강을 담당하는 사업자)의 현실적인 상황을 반영한 최적 배전계획의 대안을 선정하는 방법을 제시한다.

최적 대안은 의사결정자가 설정한 선로 증설 비용 또는 전환불가 용량의 기준 값에 의해 결정된다. 예를 들어 의사결정자가 선로증설의 투자비용의 상한 값을 1.5 억원으로 설정하면서 전환불가 용량을 최소화하고자 할 경우, 표 3의 S4가 최적 대안으로 결정된다. 한편 의사결정자가 전환불가 용량이 발생하지 않도록 계통을 구성하고자 할 경우 S1을 최적 대안으로 활용할 수 있다.

이처럼 제안한 최적 배전계획 방법은 다양한 선로증설 후보군에 대한 다수의 솔루션을 제공하며, 의사결정자가 최적 대안을 선정하는데 활용될 수 있다.