최윤성
(Yoon-Seong Choi)
1
류신호
(Sin-Ho Ryu)
2
김성환
(Seong-Hwan Kim)
1
이동호,
(Dongho Lee)
†iD
-
(Dept. of Electrical Engineering, Mokpo National University, Korea.)
-
(Protech EMS, Korea.)
Copyright © The Korean Institute of Electrical Engineers(KIEE)
Key words
Prony, RMS Filter, Power System Oscillation, Hann Window, Fourier Transform
1. 서 론
데이터를 활용한 진동 감지 중에서 가장 보편적으로 활용되는 방법인 Prony 분석은 시간 도메인 데이터를 선형 회귀 방법을 통해 주파수 도메인으로
변환하여 주파수 진동 모드를 식별한다. 하지만, Prony 분석은 노이즈에 대한 민감성이 높아 노이즈가 주파수 모드와 겹쳐 있거나, 노이즈의 성질이
진동 모드와 유사한 경우 정확한 주파수 모드의 추정이 어려워진다. 또한 선형 회귀 문제를 해결하기 위해 많은 계산량을 필요로 하기 때문에 충분한 데이터
양을 필요로 한다[4]. 특히 실무적으로는 Prony 분석의 다항식의 적절한 차수 선택에 있어 많은 노력을 필요로 한다. Prony 분석에 비해 간단히 진동 주파수만을
감지할 수 있는 방법으로 RMS 필터링(루트 평균 제곱 필터링)방법이 널리 활용된다[5]. RMS 필터링은 노이즈와 원치 않는 주파수 성분을 제거하고, 중요한 신호 성분만을 추출하게 되고, 잠재적인 문제를 빠르게 감지하게 된다. 하지만,
진동이 염려되는 주파수만을 감지할 뿐 Prony 분석과 같이 댐핑 정도를 파악하기에는 어려운 방법이다.
본 논문에서는 RMS 필터링을 활용하여 Prony 분석에 있어서 어려움인 다항식의 적절한 차수 선택 방법을 제안한다. 알고 있는 시험데이터와 확보가능한
PMU 실측데이터를 활용해서 제안하는 방법의 효용성을 보여준다.
2. RMS 필터링과 Prony 분석
2.1 이론
시간축의 데이터를 주파수 축으로 변환하는 푸리에 변환 함수는 다음과 같이 정의된다.
이산신호의 경우 아래와 같이 표현된다.
주파수 해상도($X(f)$)는 DFT(Discrete Fourier Transform) 출력 사이의 주파수 차이로 정의된다. 이는 샘플링 주기($Fs$)와
윈도우 내 데이터의 길이($N$)에 의해 결정되며 다음 식과 같다.
위 식으로부터 DFT는 윈도우 내 데이터의 길이가 짧으면 주파수 해상도가 높아지므로 주파수의 상세한 분석이 가능하다.
Prony 분석은 입력 신호를 복소 지수 함수들의 합으로 표현하며 특정 주파수, 위상, 감쇠율 등을 추정한다. 식 (4)의 $c_{i}$는 이산신호의 Residue이며 샘플링 주기 T에 따른 $z_{i}$는 복소 모드로 $e^{\lambda_{i}T}$이다.
이산신호의 선형예측방정식 $A^{T}y=0$을 통해 미지수를 계산하고, 미지수를 계수로 하는 식 (5)와 같은 선형예측 다항식으로부터 극점을 계산한다.[4]
계산된 극점 $Z = a+bj$를 식 (6) 통해 주파수와 감쇠계수를 추정한다.
2.2 시험데이터를 활용한 분석
FFT와 RMS 필터링 적용의 타당성을 검증하고 주요 주파수 추출에 있어 정확성을 확인하기 위하여 식 (7)와 같은 지수감쇠 정현파 함수를 시험데이터로 사용한다. 60Hz의 정상적인 전력에 감쇄하는 1Hz의 신호를 추가하였다.
2.3 시험데이터 Hann Window 구간별 적용
이산신호 기반의 분석에 있어 유한한 신호구간을 분석하기 때문에 스펙트럼 누설(Spectral leakage)이 발생하게 되는데 이러한 문제에 있어
Hann Window의 적용은 누설을 감소시키기 때문에 널리 활용된다. Hann 함수는 다음과 같다.
N은 Window 함수를 적용하려는 데이터의 수이고 n은 데이터 샘플의 번호이다. Hann Window는 데이터의 시작과 끝을 0으로 처리하여 FFT
전의 데이터 손실로 인한 신호 변화를 줄여 스펙트럼 누설을 줄일 수 있다.
그림 1은 신호를 구간별로 나누고 Hann Window를 적용하여 FFT를 수행한 그래프로 각 구간별 측정 시간은 0~33.33초(a), 16.67~50초(b),
33.33~66.67초(c)이다.
그림 1. Hann Window를 적용한 시험데이터의 FFT; 첫 번째 (a), 두 번째 (b), 세 번째 구간 (c)
Fig. 1. FFT of the Test Data with Application of a Hann Window; First Interval (a),
Second Interval (b), and Third interval(c)
2.4 시험데이터 RMS 필터링
Hann Window가 적용된 데이터에 RMS 필터링을 적용하여 주파수별 시간에 따른 데이터 신호의 강도 변화 및 변동성을 추정할 수 있다. 노이즈와
같은 불필요한 주파수 성분을 걸러내고 주요 주파수 대역을 식별하여 진동 모드를 분석한다. 그림 2는 RMS 필터링의 알고리즘으로 BPF(Band Pass Filter)를 통해 주파수를 구분하고, 제곱-평균-제곱근 과정을 보여준다.
그림 3은 시험데이터 식 (7)에 RMS 필터가 적용된 개별 Hann window다. 시험데이터는 노이즈가 없어 그림 1과 유사하지만, 실측 데이터를 분석할 경우 반드시 필요한 과정이다.
RMS 필터링을 사용하면 신호 주요 특성을 추출하는데 유용하며 주요 주파수 이외의 노이즈 신호를 줄이는데 효과적이다. 해당 분석 결과는 Prony
분석의 차수 선정에 신뢰성을 향상시키고 신호의 정확한 감쇠율 추정 등 상호보완적인 방법으로 사용한다.
그림 2. RMS 필터링 알고리즘
Fig. 2. RMS Filtering Algorithm
그림 3. 시험데이터 Window 내 RMS 필터 적용; 첫 번째 (a), 두 번째 (b), 세 번째 구간 (c)
Fig. 3. Application of RMS Filter within the Test Data Window; First Interval (a),
Second Interval (b), and Third interval(c)
2.5 시험데이터 Prony 분석
검출된 주파수를 토대로 Hann Window를 5개로 설정한 Prony 분석의 적합한 차수를 선택한다. 복소 모드의 Z-plane에서 저주파 영역의
진동 모드는 원주 우측에 존재하며 그림 4와 같이 0.98Hz에서 진동이 감지되었다.
그림 4. 시험데이터 Prony Z-plane
Fig. 4. Test Data in Prony's Z-plane
3. 실제 PMU 전압 데이터에 적용
2017년 7월 20일 미국 New England 주의 대형발전기에서 발생한 3분가량의 PMU 전압 데이터를 활용하여 제안 방법을 검증한다. 해당
데이터는 다수의 지역모드에서 관찰되었고, 피크 투 피크 크기는 최대 115MW이며 1.13Hz에서 이벤트가 발생한 것으로 보고되었다. 시간 영역의
데이터는 그림 5와 같다[6].
그림 5. 이벤트 발생 PMU 전압 데이터
Fig. 5. Event Triggered PMU Voltage Data
3.1 PMU 데이터 Hann Window 구간별 적용
시험데이터 식 (7)의 분석과 동일한 개수의 Hann Window를 PMU 전압 데이터 전체에 적용한 그래프는 그림 6과 같다.
그림 6. Hann Window 적용 PMU 전압 데이터
Fig. 6. PMU Voltage Data Applied with a Hann Window
그림 6은 데이터 신호의 크기를 동일한 크기의 여러 Window를 적용하여 데이터 구간별 시간에 따른 주파수 변화를 감지한다.
3.2 PMU 데이터 RMS 필터링
개별 Window 내 RMS 필터링을 적용하여 특정 주파수 대역을 식별하고 진동 모드를 분석한다. 그림 7은 PMU 데이터에 적용된 개별 Hann window다. 그림 7의 (b), (c), (d)에서 실제 이벤트 주파수인 1.13Hz 크기의 진동 주파수가 감지되었다. 각 구간별 측정 시간은 0~60초(a), 30~90초(b),
60~120초(c), 90~ 150(d)초, 120~180(e)초로 0.033의 샘플링 측정 주기를 갖는다.
그림 7. Hann Window를 적용한 PMU 데이터의 FFT; 첫 번째 (a), 두 번째 (b), 세 번째 (c), 네 번째 (d), 다섯 번째
구간 (e)
Fig. 7. FFT of PMU Data Applied with a Hann Window; First Interval (a), Second Interval
(b), Third interval(c), Fourth Interval (d), and Fifth Interval (e)
3.3 PMU 데이터 Prony 분석
시험데이터에 적용한 방법과 같이 Hann Window를 적용하고 RMS 필터링을 통해 검출된 주파수로 적합한 차수를 선택한다. 시험데이터의 경우와
마찬가지로 복소 모드의 Z-plane에서 저주파 영역의 진동 모드는 원주 우측에 존재하며 이는 그림 8에 나타나 있다. Prony 분석 결과 주요 주파수 1.13Hz에서 음의 감쇠계수가 나타남으로써 해당 주파수 성분은 시스템에서 불안정하다고 판단할
수 있고 본 논문에서 제안하는 방법의 효용성을 확인할 수 있다.
그림 8. PMU 데이터 Prony Z-plane
Fig. 8. Prony Z-plane of PMU Data
표 1 PMU 데이터 주요 주파수 추정 모드
Table 1 Estimation Mode of Dominant Frequencies in PMU Data
|
No
|
real
|
imag
|
frequency
|
damping
|
|
1
|
0.9902
|
0.0508
|
1.13
|
0.0198
|
|
2
|
0.9925
|
0.2373
|
1.13
|
-0.0202
|
|
3
|
0.9745
|
0.0682
|
0.33
|
0.0233
|
|
4
|
0.2740
|
0.9331
|
6.20
|
0.0279
|
|
5
|
0.7630
|
0.5868
|
3.17
|
0.0381
|
4. 결 론
본 논문에서는 전력 시스템에서의 진동 모드 분석에 활용되는 RMS 필터와 Prony 분석에 대해 서술하였으며 RMS 필터링을 이용한 이상 주파수의
진동을 분석하는 Prony method의 적합한 차수 선택 방법을 제안한다. 또한 Hann Window를 FFT와 Prony 분석 모두에 적용함으로써
스펙트럼의 누설을 줄인다. 이의 정확성과 신뢰성을 검증하기 위하여 PMU 데이터를 분석하기에 앞서 시험데이터 함수를 활용하여 모의 분석을 실행하였으며
PMU 데이터 적용을 통해 주요 진동 모드를 감지하고 분석하였다. 그 결과 추정된 진동 모드의 주파수가 실제 이벤트가 발생한 주요 진동 모드의 주파수와
동일함을 확인하였다. 즉, RMS 필터링 결과로 얻은 주파수를 차수 선택에 활용할 수 있음을 검증하였다.
Acknowledgements
본 결과물은 환경부의 재원으로 한국환경산업기술원의 유망녹색기업기술혁신개발사업 사업의 지원을 받아 연구되었습니다.(2021 003160017)
References
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Prony Method for Power System Oscillation Analysis Using Synchrophasor Data,” Energies
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General Meeting, Boston, MA, July 17-21, 2016.
저자소개
He received the B.S. degree in electrical engineering from Mokpo National University,
Muan, Korea, in 2023 and working toward the M.S. degree. He is studying the oscillation
detection method and simulation technique in the power system.
He received B.S., M.S. and Ph.D. degrees in mechanical engineering from Chosun
University, Gwangju, Korea, in 1994, 1996, and 2001, respec-tively. He is currently
working at PROTECH KOREA.
He received his B.S. and Ph.D. degrees in electrical engineering from Korea University,
Korea. He is currently an professor at the Department of electrical and control engineering,
Mopko National University. His main research interest includes the application
of intelligent control to ac motor drives and power electronics
He received B.S. and Ph.D. degrees in electrical engineering from Korea University,
Korea. He is currently an assistant professor at the Department of electrical and
control engineering, Mokpo National University, Muan, Korea. His current research
interests include power system, smart energy system, and wireless power transfer.