3.1 유선(Streamline Method)

유선은 주어진 특정 시간에 각각의 제어체적의 속도의 접선방향 성분을 이은 선으로 식(2)와 같이 표현할 수 있다.

유선은 대개 후처리(post-processing) 과정에서 유체의 흐름을 확인하기 위해 많이 사용된다. 또한 정상상태의 유동에서는 가상의 입자(massless particle) 궤적을 나타내기도 한다. 이 때 제어체적이 가지고 있는 속도 성분을 이용하여 유선 각각의 시간을 계산하게 된다. 이와 같은 방법은 계산이 종료된 이후 추가적인 계산 없이 쉽게 얻을 수 있다. 또한 특정 위치에서 생성할 수 있으며, 입자의 개수 역시 얼마든지 활용할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 반면에 특정시간에서의 유동특성만을 나타내기 때문에 시간에 따른 변화를 고려할 수 없다는 단점을 가지고 있다. 쉽게 활용할 수 있다는 장점으로 널리 사용되었지만 앞서 2장에서 확인했듯이 입구 경계의 제어체적 개수 이상으로 입자를 활용할 경우 출구로의 통과율이 매우 떨어져 결과의 신뢰도를 얻기 어려우며 체류시간 분포에서도 많은 오류를 나타내고 있다. 이에 따라 본 연구에서는 입구에 투입하는 유선 개수를 제어체적의 수로 제한하여 다른 계산 방법과 비교하였다. 또한 유동장에 따라서 벽면에 부딪혀 사라지거나 와류나 소용돌이에 빨려 들어가 나오지 못하는 입자가 생기는 경우가 발생한다.

3.2 DPM(Discrete Phase Method)

이상 유동(discrete phase flow)의 방법 가운데 라그랑지안 이상 유동 모델(Lagrangian discrete phase model)은 오일러-라그랑지(Euler-Lagrange) 접근법으로 분류된다. 즉 전체 유동장을 지배하는 방정식은 Navier-Stokes 방정식으로 연속체를 해석하는 반면, 다수의 입자, 버블, 액적 등을 추적함으로써 두 번째 상의 거동을 해석한다. 본 연구에서는 입자의 궤적을 힘평형 방정식(force balance equation)을 이용하여 계산한 뒤, 출구에서의 통과시간을 모니터하여 체류시간 분포를 구성하게 된다.^(5-7) 입자의 거동을 계산하기 위한 방정식은 아래와 같다.⁽³⁾

식(3)은 정상 및 비정상 유동장에 대해 계산되며 앞선 유선 방법과 마찬가지로 입구 경계에서 입자를 뿌리고 출구 경계에서 모니터함으로써 체류시간 분포를 얻게 된다. 본 연구에서는 무질량 입자(massless particle)를 활용함으로써 유동장의 변화 없이 궤적을 추적하였으며, 입구 경계에서의 제어체적 수만큼 주입되도록 설정하였다. 입자 모델의 특성상 유선 방법에서 나타나는 벽면에 부딪혀 사라지거나 와류에 들어가 빠져나오지 못하는 경우가 발생하지만 단순히 속도벡터를 이은 곡선이 아니라 거동과 관련한 방정식을 직접 해석함으로써 사라지는 입자의 수가 확연하게 적게 나타난다. 하지만 유선 방법 보다 추가적인 계산 비용이 요구된다는 단점을 가지고 있는데 이는 유동장 특성에 따라 많이 변화된다. 또한 경계에서 제어체적 수만큼만 적용하게 되는 제한이 생기게 되는데, 조밀하지 않은 격자계에서는 소량의 입자만으로 전체 유동장을 구현하기 때문에 신뢰성을 얻기 어려울 수 있다.

3.3 UDS(User Defined Scalar)

실험적 방법으로 체류시간을 계산하기 위해서는 유체 내에 트레이서를 매우 짧은 시간에 투입을 하고 출구에서 트레이서의 농도를 확인해야 한다. 유사한 방법을 수치적으로 활용하게 되면 다상유동 모델 혹은 다중요소 유동 모델 등에 적용할 수 있는데 보다 쉽게는 스칼라 수송 방정식(scalar transport equation)을 이용하여 임의의 UDS를 활용하는 방법이 있다.^(8-10) UDS 수송 방정식은 아래와 같이 표현할 수 있다.⁽³⁾

식(4)에서 항이 트레이서(tracer)를 나타내는 것으로 일반적으로 정상상태 해석을 수행하게 되면 위치별 평균 체류시간은 보여주지만 분포를 나타내진 못하게 된다. 따라서 출구에서 유체 체류시간 분포를 얻기 위해서는 비정상 유동해석을 수행하여야 한다. 유동장 내부를 충분히 정상상태로 수렴한 뒤, 매우 짧은 시간 동안 임의의 트레이서 농도를 적용하여 투입한다. 이후 출구에서 트레이서 양을 시간에 따라 모니터링하며 이를 입구에 투입한 농도 크기로 나눠주면 체류시간 분포 곡선으로 나타나게 된다. UDS를 활용하는 방법은 입구로 투입한 스칼라 양의 대부분이 출구로 빠져나오기 때문에 보존성(conservation)의 관점에서 입자를 활용하는 방법보다 우월하다고 할 수 있다. 이는 특히 복잡한 형상에서 확연한 차이를 보일 것으로 예상되며, 감쇠탱크와 같이 큰 볼륨을 가지는 동시에 내부에 다공판이 존재하여 복잡한 유동장을 만드는 해석에서 더욱 유리할 것으로 판단된다. 하지만 UDS를 활용하는 방법은 비정상 유동해석을 수행하기 때문에 계산비용이 많이 소요되며, 비정상 해석에 따른 수치오차가 추가적으로 발생할 수 있다는 단점을 가지고 있다.

3.4 방사선량 계산 방법

설계된 감쇠탱크 형상에 대한 평가를 위해 최종적으로 출구에서의 N-16 방사선량을 계산하게 된다. 감쇠탱크 입구에서의 방사선량을 라고 하면, 특정 시간(t) 경과 후의 방사선량을 계산하는 식은 식(5)와 같이 나타낼 수 있다.

식(5)에서 T1/2는 N-16의 반감기로 7.13초이다. 이를 이용하여 출구에서의 N-16 방사선량을 계산하기 위한 식은 식(6)과 같이 표현된다.

식(6)은 체류시간 분포를 각 시간대별로 방사선량을 계산하여 적분함으로써 얻게 되며 따라서 출구 방사선량을 계산하기 위해서는 정확한 체류시간 분포를 필요로 하게 된다.

4.1 확장 유동(Expansion Flow)

감쇠탱크 입구부를 모사하기 위해 확장유동에 대해 해석을 수행하였다. 본 해석 케이스의 경우 난류모델의 검증으로 널리 활용되는 backward facing step과 매우 유사하며, 확장비(h:H)는 감쇠탱크의 형상을 고려한 1:6이다. 해석은 2차원으로 해석을 수행하였으며, 사용된 격자는 △x/h=0.02의 크기를 가지는 정사각형이다. 입구에서는 속도 입구 경계조건을, 출구에서는 압력 출구 경계조건을 활용하였다. 속도는 감쇠탱크 입구 유량 및 계산시간을 고려하여 1 m/s의 속도를 부여하였다.

먼저 정상상태 해석을 수행하였으며, 해석 결과로 속도 분포와 표면 유선을 Fig. 4에 나타내었다. 입구 유동이 완전 발달된 유동(fully developed flow) 형태로 진행되며, 확장된 이후 속도가 급격히 감소하는 것을 확인할 수 있다. 급격한 확장으로 인해 윗부분에서는 상당히 큰 형태의 회전(circulation) 영역이 발생함을 확인할 수 있다.

UDS 방법을 이용한 체류시간 계산을 위해 정상상태 해석 결과로부터 비정상 해석을 수행하였다. 시간 간격(time step)은 유체속도 및 격자크기를 고려하여 0.001초를 사용하였으며, 각 시간단계에서 충분히 수렴시키기 위해 20번의 내부 반복계산을 활용하였다. 트레이서는 0.01초간 10%의 농도를 입구에 부여하였으며, 해석은 정상상태 해석으로부터 먼저 체류시간을 계산할 수 있는 유선과 DPM 방법의 결과를 토대로 50초까지 수행하였다.

시간에 따른 트레이서의 농도선도를 Fig. 5에 나타내었다. 투입된 트레이서는 1초에서 완전 발달된 유동의 형태로 진행하는 것을 볼 수 있으며, 5초에서는 확장된 이후는 더욱 길게 분포되는 것을 확인할 수 있다. 15초에서는 점차 최대 농도는 낮아지고 영역은 더욱 길어지는데, 특히 와류의 영향으로 트레이서의 상부가 더 길어지는 경향이 나타나고 있다.

체류시간 계산 방법에 따른 체류시간 분포 비교를 Fig. 6에 나타내었다. 유선 방법의 경우 앞서 확인한 바와 같이 입구경계의 제어체적 수 이상의 입자를 활용하게 되면 투입량 대비 출구 통과량이 너무 낮으며 분포에서도 정확하지 않은 결과를 도출하게 되어 본 연구에서는 제어체적 수만큼의 입자만을 활용하였다. 유선과 DPM 방법의 경우 제어체적의 수 50개의 입자를 활용하였다. 최대값 부근까지는 유사한 분포를 가진 반면, 체류시간이 긴 영역에서 유선과 DPM 방법에서 입자가 충분하지 않는 결과를 확인할 수 있다. 반면 UDS 방법에서는 모든 시간대에서 매끄러운 분포를 가지며 이에 따라 상대적으로 최대값은 다소 낮게 예측하는 것을 확인할 수 있다.

Table 2에는 Fig. 6의 체류시간 분포를 활용하여 입구 투입량 대비 출구 통과량(mass/particle ratio)과 가중 평균시간(weighted averaged-time) 그리고 N-16 방사선량 출구비율을 체류시간 계산 방법에 따라 비교하였다. 유선과 DPM 방법은 투입된 입자 모두 출구로 빠져나온 것을 확인할 수 있으며, 반면 UDS 방법의 경우 투입된 스칼라의 95% 가량 측정되었다. 가중 평균시간에서는 유선과 DPM 방법이 유사하게 21.8초로 예측된 반면 UDS 방법의 경우 약간 긴 22.1초로 계산되었다. 이는 UDS 방법이 20초 이후의 분포를 잘 모사하고 있기 때문으로 예측할 수 있다. 한편 출구에서의 N-16 방사선량 비율을 입구 방사선량 기준으로 평가하였다. 결과는 가중 평균시간과 유사하게 예측되었으며, 체류시간이 가장 길게 예측한 UDS 방법에서 가장 낮은 방사선량 비율이 나타났다. 반면 가장 짧은 체류시간을 나타낸 DPM 방법이 가장 높은 방사선량 비율을 보였다.

4.2 축소 유동(Contraction Flow)

감쇠탱크 출구부에서의 체류시간 분포를 해석하기 위해 축소 유동 케이스에 대한 해석을 수행하였다. 앞선 확장 유동과 동일하게 축소비는 6:1이며, 사용된 격자 크기도 동일하게 적용하였다. Fig. 7은 정상상태 결과로 속도 선도와 표면 유선 분포를 나타내었다. 축소 지점을 통과하면서 속도가 증가하게 되는데 축소부에서는 최대 9배가량, 이후에서는 6배 증가되었다. 축소 지점 직전의 아랫부분과 축소지점에서 아랫부분에서 각각 크고 작은 크기의 와류가 발생된 것을 확인할 수 있다.

이후 정상상태 결과를 초기조건으로 이용하여 비정상 해석을 수행하였다. Fig. 8에 시간에 따른 트레이서 농도 선도를 나타내었다. 입구에서 투입된 트레이서는 1초에 발달된 형태로 후류로 진행되고 있으며, 3초에는 축소지점 이전의 속도차에 의해 상부 트레이서는 대부분 축소관을 통과하는 반면, 하부 트레이서는 여전히 많은 양이 통과하지 못한 형태로 나타나고 있다. 충분히 시간이 지난 10초에는 와류가 형성된 영역에서 미소량의 트레이서가 남아있는 것을 확인할 수 있다. 이는 앞선 확장유동과 다른 결과로 볼 수 있다. 일반적으로 유동장 내에 존재하는 와류발생 영역은 체류시간을 계산하는 분류에서는 데드 존(dead zone)으로 구분할 수 있는데, 이는 두 가지로 나눌 수 있다.⁽¹¹⁾ 첫 번째는 완전히 정체되어 유입되는 유체가 전혀 데드 존 내부로 들어가지 않는 경우이며, 두 번째는 데드 존 내부의 유체가 유입되는 유체(inflow)와 미소량이지만 교환이 일어나는 경우이다. 본 축소 유동은 미소량의 유체 교환이 일어나는 경우로 데드 존에서 트레이서가 남아있는 것으로 볼 수 있다. 앞선 팽창유동에서는 트레이서가 상부 벽면과 부딪히지 않고 출구로 빠져나가기 때문에 유체 교환이 나타나지 않는 것으로 판단할 수 있다.

축소유동에 대한 체류시간 분포를 Fig. 9에 나타내었다. 세 가지 체류시간 계산 방법 모두에서 유사한 시간 분포를 나타내고 있지만 5초 이후에는 UDS 방법만이 체류시간 분포를 나타내고 있다. 이에 따른 영향으로 UDS 방법의 최대비율이 다소 낮은 것을 확인할 수 있다. 이는 벽면근처에 충분한 수의 입자가 활용되지 않거나 Fig. 8에서 나타난 데드 존에서 미소량의 유체 교환이 입자 활용방법에서는 모사할 수 없기 때문으로 예상할 수 있다.

체류시간 분포를 활용하여 입구 투입량 대비 출구 통과량 및 가중 평균시간과 N-16 방사선량 감소비율을 계산하여 Table 3에 비교하였다. DPM 방법은 팽창유동 케이스와 마찬가지로 모든 입자들이 출구로 통과하였지만, 유선의 경우 4% 정도의 입자가 사라진 것을 확인할 수 있다. 입자가 사라지는 경우 대부분 벽면 근처 혹은 와류 내부로 유입되면서 사라지는데, 이러한 입자들은 대체로 오랜 체류시간을 가지게 된다. 유선방법에서 일부 입자가 사라짐에 따라 가중 평균시간이 DPM 방법보다 다소 짧아진 결과가 나타났다. UDS 방법에서도 대부분의 스칼라가 출구로의 이동이 확인되었으며, DPM 방법과 거의 동일한 가중 평균시간이 나타났다. 입구에서의 초기 방사선량을 기준으로 출구에서의 N-16의 방사선량 비율을 계산하면 UDS와 DPM이 가중 평균시간과 마찬가지로 유사한 수준으로 보이며, 상대적으로 짧은 체류시간을 보인 유선방법이 가장 큰 방사선량을 나타내고 있다.

4.3 Orifice Flow

Fig. 1에 나타낸 다공판은 감쇠탱크 내 유입된 냉각재를 탱크 내부에 고르게 흐르도록 작용한다. 냉각재가 다공판의 매우 작은 홀을 지나는 유동을 모사하기 위해 오리피스 형상에 대한 수치해석을 수행하였다. 다공판 면적과 전체 홀의 면적을 고려하여 2:1 비율의 오리피스 형상에 대해 해석을 수행하였다.

Fig. 10은 오리피스 형상에 대한 해석결과로 속도선도 및 평면 유선 분포를 나타냈다. 오리피스 주변의 유동을 자세히 살펴보기 위해 해당 영역의 결과를 나타내었다. Orifice를 통과하면서 면적이 1/4로 감소됨에 따라 속도는 4배 이상, 국부적으로는 6배 가량 증가된 결과를 볼 수 있다. 이후 orifice를 나오면서 다시 속도는 줄어 초기 입구속도인 1m/s로 줄어들 게 된다. 오리피스 이전과 이후 그리고 입구에서 와류가 발생한 것 역시 확인할 수 있다.

UDS 방법을 활용한 트레이서 농도 선도를 Fig. 11에 나타내었다. 축대칭 계산의 특성상 축을 나타내는 아래 경계를 중심으로 트레이서가 발달된 유동 형태를 보이고 있다. 1초에 대부분의 트레이서가 오리피스를 통과하고 있으며, 2초에는 오리피스를 대부분 통과했으며 위 벽면을 따라 길게 늘어난 형태를 보이고 있다. 이후 10초에는 대부분의 트레이서가 출구를 통해 빠져나갔으며 일부가 와류 영역과 오리피스 후단 벽면에 남아있는 것을 확인할 수 있다. 앞선 축소유동 케이스와 유사한 결과로, 와류 영역내의 유체와 유입된 유체간의 매우 느린 교환이 나타나는 것으로 판단할 수 있다.

Fig. 12에는 각 체류시간 방법에 따른 2:1 오리피스 형상에 대한 체류시간 분포를 비교하였다. DPM과 유선 방법은 거의 유사한 체류시간 분포를 가지는 반면, UDS 방법의 경우 최대 비율 값이 타 방법대비 절반 이하에 그치고 있다. 한편 5초 이후의 시간대에서는 DPM과 유선방법의 경우 UDS에서 모사하는 체류분포를 따르지 못하고 있다. 앞서 설명한 바와 같이 데드 존은 두 가지 형태를 보이며, 그 가운데 천천히 물질 교환이 일어나는 데드 존의 경우 평균체류시간의 2배에 가까운 긴 꼬리형태의 분포를 가지는 것으로 알려져 있다.⁽¹¹⁾ DPM과 유선방법의 경우 데드 존 내에 발생하는 유체교환을 모사하지 못하고 이에 따라 투입된 입자들이 대부분 비슷한 시간에 출구를 통과하여 4초 근방에서 UDS 방법보다 높은 비율을 보이고 있다.

체류시간 분포를 이용하여 가중 평균시간과 입구 투입량 대비 출구 통과량 및 N-16 방사선량 비율을 Table 4에 나타내었다. DPM과 유선방법은 80개의 입자를 활용하였으며, DPM의 경우 모든 입자가 유선방법의 경우 77개 입자가 출구를 통과하였다. 이는 Fig. 12에서도 확인할 수 있는데 8초 부근에서 DPM 방법의 경우 일부 입자가 나타나지만 streamline 방법은 나타나지 않는 결과를 볼 수 있다. 이런 결과로 가중 평균시간에서 streamline 방법이 미세하지만 짧은 결과를 나타내고 있다. 한편 긴 꼬리형태의 분포 모사 여부에 따라 DPM과 유선방법에 비해 UDS의 가중 평균시간이 0.25초 가량 더 길게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 가중 평균시간의 영향으로 출구에서의 N-16 방사선량 비율 역시 UDS에서 가장 낮게 예측하고 있다.