1. 연구배경 및 목적

밀폐계 내부의 자연대류 현상은 열교환기, 핵 안전 설계나 전자 장비 냉각 등에 대한 공학적 분야 및 대기 경계층 문제 등과 같은 여러 환경 분야에 적용된다. 이러한 다양한 적용 분야에 따라 밀폐계 내부에 존재하는 실린더의 형상 및 위치, 크기 등에 따른 수많은 연구가 진행되어 왔다.^(1-3) 전산 해석은 밀폐계 내부의 열전달 현상에 미치는 주요 변수를 쉽게 변화할 수 있으므로 실험에 비해 다양한 장점이 존재한다. 따라서, 지난 수년간 밀폐계 내부 물체에 따른 자연대류 현상을 분석하기 위해 다양한 수치해석 기법과 열 경계 조건에 따른 유동 및 열전달 성능이 분석되었다.^(4-7)

최근 수치 해석 기법의 발달로 인해 밀폐계 내부의 다양한 형태를 가지는 물체의 크기와 위치 등을 보다 쉽게 구현할 수 있다. 밀폐계 내부에 수평 동심 실린더가 존재하는 기하학적 형상을 바탕으로 타원형 실린더에 관한 연구가 활발히 진행되어 왔다. 현재까지 이루어진 선행 연구에 따르면, 밀폐계 내부의 자연대류 현상은 타원형 실린더의 크기, 위치, 각도 및 종횡비 등에 의해 큰 영향을 받는다.^(8-12)

Bararnia et al.⁽⁸⁾은 Lattice Boltzmann Method(LBM)를 활용하여 차가운 사각 밀폐계와 뜨거운 타원형 실린더 사이에서 발생하는 자연대류 현상에 관해 수치해석으로 분석하였다. 결과적으로, 내부 실린더의 위치와 Rayleigh 수의 변화가 유선, 온도장, 밀폐계 내부의 와의 형성 등에 큰 영향을 끼쳤다. 또한, Rayleigh 수가 증가할수록 열전달 성능이 증가하고, 타원형 실린더의 수직 위치에 따라 달라지는 열전달 성능을 보고하였다.

Sheikholeslami et al.⁽⁹⁾은 원형 밀폐계 내부에 존재하는 타원형 실린더로부터 발생하는 자연대류 현상의 효과에 대하여 연구하였다. 밀폐계 내부에 존재하는 유체는 Cu-water nanofluid이며, Rayleigh 수, 타원형 실린더의 각도, 열전도도와 유체의 점성 및 Volume fraction 등에 대한 영향을 조사하였다. 그 결과, 밀폐계 내부의 열전달 성능이 위와 같은 다양한 파라미터에 의해 큰 영향을 받았다.

Zhang et al.⁽¹⁰⁾은 Variational Multiscale Element Free Galerkin Method(VMEFG)를 활용하여 타원형 실린더와 기울어진 사각 밀폐계 사이의 온도차에 의해 유도되는 자연대류 현상을 분석하였다. 밀폐계의 각도는 0°~45°, 타원형 실린더의 장축은 0.2~0.4, Rayleigh 수는 10³~10⁶로 변화하여 각 파라미터의 영향을 조사하였다. 타원형 실린더의 열전달 현상은 Rayleigh 수가 증가할수록 증가하지만, 사각 밀폐계의 기울기 변화에 따른 영향은 거의 미미하였다.

Raman et al.⁽¹¹⁾은 사각 밀폐계 내부에 타원형 실린더가 존재할 때, Rayleigh 수, 밀폐계의 종횡비 및 실린더의 종횡비 등이 자연대류 현상에 미치는 영향을 조사하였다. 실린더 종횡비는 높은 Rayleigh 수와 낮은 밀폐계의 종횡비일 때 영향을 끼치며, 밀폐계 내부의 열전달 현상은 실린더의 종횡비와 Rayleigh 수가 증가할수록 증가함을 보고하였다.

Liao와 Lin⁽¹²⁾은 Immersed Boundary Method(IBM)를 활용하여 고정되어 있거나 회전하는 실린더가 존재하는 밀폐계 내부의 자연대류 및 혼합대류 현상을 분석하였다. 자연대류 현상은 Rayleigh 수, 타원형 실린더의 종횡비 및 각도에 따라 분석하였으며, 혼합대류 현상은 실린더의 회전 속도와 일치하는 Richardson 수에 대한 영향을 조사하였다. 그 결과, 타원형 실린더의 종횡비 및 각도가 증가할수록 열전달 성능이 증가하였으며, 기울어진 각도가 45° 이상이 되면 원형 실린더와 비해 열전달 성능이 높은 것을 알 수 있다.

밀폐계 내부에 타원형 실린더가 존재하는 경우에 관련된 수많은 연구가 수행되었음에도 불구하고, 타원형 실린더의 각도에 따른 세부적인 영향에 대한 정보가 부족하다. 따라서, 본 연구에서는 타원형 실린더의 각도 변화가 밀폐계 내부의 자연대류 현상에 미치는 영향을 분석하고, 대류의 영향이 지배적인 비교적 높은 Ra = 10⁶에서 타원형 실린더의 각도 변화에 따른 밀폐계 내부 열전달 성능을 확인해보고자 한다. 또한, 본 연구의 결과는 열교환기, 핵안전 설계나 전자 장비 냉각뿐만 아니라, 지하 송전 케이블의 가압 가스 등 많은 공학적인 분야에 사용될 수 있다.

2. 연구 방법

본 연구는 사각 밀폐계 내부에 존재하는 타원형 실린더의 각도가 밀폐계 내부의 자연대류 현상에 미치는 영향을 보기 위해 가상 경계법(Immersed boundary method)을 사용하였다. 본 연구에서 사용한 질량, 운동량, 에너지 보존에 대한 지배방정식은 아래와 같이 무차원화된 형태로 정의된다.

여기서 x_i는 직교 좌표계를 나타내며, u_i, P, T, 및 θ는 각각 무차원화 된 속도, 압력, 시간 및 온도를 나타낸다. 부력항 내의 온도에 따른 유체의 밀도 변화는 Boussinesq 근사를 적용하여 구현하였으며, 나머지 유체의 물성치는 일정하다고 가정하였다. Gray와 Giorgini⁽¹³⁾에 의하면 본 연구에서 고려한 Raleigh 수의 범위는 Boussinesq 근사를 이용하기에 적합하다. 위 식에 사용된 무차원 변수들의 정의는 다음과 같다.

여기서 g와 L은 중력 가속도 및 특성 길이며, T, β, ρ는 각각 차원이 존재하는 온도, 열팽창 계수, 밀도를 나타낸다. 식(4)의 상첨자 *는 차원이 존재하는 변수를 나타낸다.

식(1)에 사용된 질량 원천 q와 식(2)에 사용된 운동량 부가 f_i를 사용하여 가상 경계면을 포함하는 격자 내의 질량 보존 및 가상 경계면에서의 점착 조건을 만족하였다. 식(3)에 사용된 열원 h는 가상 경계면에서의 일정 벽 온도 조건을 만족하기 위해 사용되었다. 격자면과 가상 경계 표면이 일치하지 않는 경우, 위와 같은 조건을 만족시키기 위해 2차 정확도의 linear/bilinear interpolation 기법을 활용하였다. 사각 밀폐계 내부의 타원형 실린더의 각도가 변할 때, 가상 경계법은 복잡한 형상 주위의 곡선으로 이루어진 격자의 방법보다 더 효율적이며, 계산의 정확성을 높이는 장점이 있다. 가상 경계법에 대한 자세한 원리 및 적용 방법은 Kim et al.⁽¹⁴⁾과 Kim과 Choi⁽¹⁵⁾에 기술되어 있다.

식(1)~식(3)에 대한 공간 이산화 과정에서는 Finite volume method(FVM)를 기초로 한 2차 정확도의 Central difference scheme이 사용되었다. 비선형 항인 대류항과 확산항에는 각각 2차 정확도의 Adams-Bashforth scheme과 Crank-Nicolson scheme을 사용하였다.

본 연구에서 고려한 무차원 파라미터로는 Prandtl 수와 Rayleigh 수가 있으며, 다음과 같이 정의된다.

사각 밀폐계 및 타원형 실린더의 열전달 성능을 분석하기 위한 국소 Nusselt 수와 표면 평균 Nusselt 수는 각각 다음과 같은 정의 의해 계산된다.

여기서 n은 벽면에 수직한 법선 벡터의 방향을 의미하며, S는 벽면의 표면적을 의미한다.

Fig. 1(a)는 본 연구에서 고려한 계산 영역 및 경계 조건을 보여주고 있다. 밀폐계의 길이는 L, 타원형 실린더의 장축은 a(= 0.2L), 단축은 b(= 0.1L)이며, 장축을 기준으로 수평선에 관해 ϕ로 각도가 변화한다. 타원형 실린더의 둘레는 $p=\pi \left[3\right(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]$에 의해 정의되며, 원형 실린더의 둘레는 타원형 실린더의 둘레와 일치한다.

Rayleigh 수는 10³~10⁶의 범위를 고려하였으며, Prandtl 수는 0.7로 고정하였다. 내부 실린더의 표면과 밀폐계 벽면의 속도 경계 조건은 점착 조건이며, 내부 실린더의 표면은 고온(θ=1), 밀폐계 벽면은 저온(θ=0)에 해당하는 등온 조건으로 설정하였다. 중력가속도는 -y 방향으로 작용한다.

Fig. 1(b)는 타원형 실린더의 각도가 0일 때, 밀폐계 내부의 격자계를 나타낸다. 원형 및 타원형 실린더의 가상 경계면을 구현하기 위해 x 및 y 방향으로 각각 500개의 충분히 조밀한 격자를 균일하게 구현하였다.

본 연구에서 사용한 수치 해석 기법의 타당성을 검증하기 위하여 Liao and Lin⁽¹²⁾이 연구한 사각 밀폐계 내부에 존재하는 내부 타원형 실린더의 종횡비에 따른 자연대류 현상에 대한 연구 결과와 비교하여 본 연구에서 사용된 수치 기법의 타당성을 검증하였다. Fig. 2는 Liao and Lin⁽¹²⁾이 연구한 수치 해석 데이터와 본 연구에서 사용한 수치 방법으로 계산된 실린더 표면 평균 Nusselt 수를 비교한 것이다. Fig. 2와 같이 본 연구에서 사용한 수치 기법에 의한 결과가 선행 문헌 결과와 오차 범위 내에서 잘 일치하였다.

3. 연구 결과

4. 결 론

본 연구에서는 타원형 실린더의 각도 변화가 밀폐계 내부의 자연대류 현상에 미치는 영향을 분석하고 원형 실린더의 경우와 비교하였다. 직교 좌표계를 사용하여 밀폐계 내부에 존재하는 원형 및 타원형 실린더 주변의 2차원 유동 및 열전달을 규명하기 위해 유한 체적법에 기초한 가상 경계법을 사용하였다.

본 연구에서 고려한 Rayleigh 수와 타원형 실린더의 각도 변화에 따라 온도장 및 유동장의 밀폐계 내부의 특성이 변화하였다. Rayleigh 수가 증가할수록 대류의 영향으로 인해 새로운 2차 와가 발생하며, 유동 및 플룸의 세기가 증가하였다. 타원의 각도가 증가할수록 실린더로부터 발생하는 상승 플룸의, 특히, 타원형 실린더의 각도가 ϕ = 45°인 경우, 수직 중심선에 대해 좌우 비대칭 형태의 정상상태를 보였다.

Rayleigh 수가 증가할수록 대류의 영향이 증가하므로, 원형 및 타원형 실린더의 모든 경우에서 밀폐계 벽면 및 실린더 표면에서 Nusselt 수가 증가하였다. 또한, Rayleigh 수가 증가할수록 타원형 실린더의 각도 변화에 따른 밀폐계 벽면 및 실린더 표면의 평균 Nusselt 수의 변화가 더욱 증가하게 된다. 또한, 타원형 실린더의 각도가 증가할수록 밀폐계의 상부 벽면과 실린더 표면 사이의 거리가 감소하므로 열전달 성능이 증가하게 되는 것을 알 수 있다.