2.1 운동 방정식

Fig. 1은 강관에 압전 가진기에 의한 축방향 가진력 $F _{x}$에 대한 미소 체적에서의 힘 평형을 나타내며 관벽에서의 점성 마찰과 다른 방향의 힘 작용은 무시하였다. 응력과 스트레인의 관계는 다음과 같다.

미소체적 $\Delta x$의 운동 방정식은 다음과 같다.

식(1)을 식(2)에 대입하고 $c ^ { 2 } = E / \rho$의 물리적 관계를 적용하면 다음의 음파 방정식이 유도된다.

본 연구에서는 사용되는 강관은 일정 단면이 아니라 관과 관을 잇는 이음매의 칫수가 다름으로 인한 반사파의 발생을 모사하기 위해서는 길이 $x$대신 다음과 같이 정의되는 질량 좌표 $m$으로 변환하는 것이 편리하다.

식(4)와 음파 임피던스 $z$관계식 $z= \rho Ac$를 식(3)에 대입하면 다음과 같다.

식(5)를 적용한 이유는 드릴 파이프 단면적 변화에 따라 달라지는 임피던스 변화를 반영하기 위한 것이다. Fig. 2는 드릴 파이프와 파이프 이음관이 반복되는 시추 배관의 반복 형태를 나타낸다. 이와 같이 두 개의 다른 임피던스를 갖는 반복 구조에 대하여 유한요소법과 특성방정식 적용을 용이하게 하기 위하여 다음의 조건을 만족하는 정수 $n _{1}$과 $n _{2}$를 구한다.

이로부터 수치해석을 위한 시간 간격 $\Delta t$는 다음과 같이 정해진다.

변위장 $u(x,t)$는 시간 와 위치 $j \Delta t$를 대표하는 첨자 $j$와 $n$으로 표시되는 $u _{n} ^{j}$로 근사된다. 단순 유한차분식으로 속도와 가속도를 표현하면 다음과 같다.

임피던스에 관한 다음 관계식(10), 식(5), 식(8), 식(9)를 연립하여 정리하면 식(11)로 정리된다.

식(11)의 각 항들의 관계는 Fig. 3의 수치해석 공간에 도시되어 있다. 식(11)의 운동방정식에 대한 경계조건은 드릴 스트링의 좌우측 경계에 변위나 힘으로 명시될 수 있다. 다음의 축 작용력 $F _{x}$는 상응하는 유한차분형태로 식(13)과 같이 표현된다.

최종적인 경계조건은 다음과 같이 정리된다.

$U _{n} ^{j}$, $\Upsilon _{n-1/2} ^{j}$ 및 $\Upsilon _{n+1/2} ^{j}$는 경계조건에 작용하는 힘이나 변위를 서술하는 임의 함수이다.

2.2 드릴 파이프 제원 및 경계조건

Table 1은 드릴 파이프와 이음관의 표준 치수를 나타낸다. 식(7)의 시간 간격을 결정하기 위해 $n _{1} =19$, $n _{2} =1$로 설계하였다. 그 결과 $dt$는 $89 \mu sec$이다. 드릴 스트링이 시작되는 공저부(Bottom hole assembly)에서 지상부로 정보전달을 위해 압전가진기(Piezo actuator)로 가진한다. 9개의 드릴 파이프와 10개의 이음관 조합으로 구성된 드릴스트링에 가진하였고 동특성 파악을 위해 진폭 1 mm, 펄스 폭 $\Delta t$인 임펄스를 가하였다. 좌측 경계는 임퍼스 파, 우측 경계는 식(14)의 우측무한 조건을 적용하였다.

3.1 임펄스 입력 반응

Fig. 4는 임펄스 입력의 결과를 나타낸다. 주파수 분석을 해보면 신호가 통과하는 통과대역과 정지대역이 나타남을 알 수 있다. 그 원인은 파이프와 이음관의 음파 임피던스가 다르고 파이프와 이음관의 배치가 주기적이어서 통과대역과 정지대역이 생기게 된다. 또한 통과대역 내에는 9개의 작은 피크가 존재하는데 이는 드릴 파이프 개수와 일치한다. 이는 Jia et al.^[2] 및 Drumheller et al.^[4]의 관찰결과와 일치한다.

3.2 음파 통신 방법

Drumheller et al.^[4]에 의하면 Fig. 4의 두 번째 통과 대역까지는 드릴 비트 노이즈, 지상의 머드 펌프 노이즈 등으로 인해 신호 전달이 어려워 세 번째 대역(600~800 Hz)을 통신 대역으로 사용한다. 머드 펄스 방식의 경우는 저주파이므로 시간 영역에서 펄스파 진폭을 신호로 해석하는데 반해, 음파 통신은 상대적으로 고주파 영역이므로 시간 영역에서의 신호해석이 불가능하다. 따라서 음파가 지상부까지 전파되는 세 번째 통과대역 주파수대의 chirp 신호를 만들어 송신하고 지상에서는 수신호 주파수 분석을 통해 0, 1의 비트 정보를 해석한다.^[4]

이러한 통신 방법을 모사하기 위하여 Fig. 5(a)와 같이 통과대역 중심주파수 기준으로 양쪽으로 25 Hz 대역폭인 675~725 Hz 밴드에서 ±1 mm 범위 내에서 무작위 변위를 chirp 신호 형식으로 압전구동기로 발생시키는 상황을 모사하였다. 이때 드릴 스트링의 길이는 드릴 파이프 200개에 해당하는 1.83 km의 깊이에서 [1, 0, 1, 0, 1, 0]의 비트 시퀀스를 송신하는 상황이다. 각 비트 정보를 송신하는 시간 프레임은 0.05초이다. 이에 대하여 지상에서 가속도계로 수신하는 변위의 모습은 Fig. 5(b)와 같으며 약 0.42초 경과 후 수신된다. 비트 정보 확인을 위해서는 동기화된 시간 프레임 동안 수신된 가속도 신호를 주파수 분석하여 3번째 통과 대역 내 스펙트럼 에너지의 크기로 0, 1 여부를 판단해야 한다.

Fig. 6은 비트 1과 0에 상응하는 스펙트럼 분석 결과를 나타낸다. 결과에 의하면 비트 0에 해당하는 스펙트럼 피크는 비트 1의 30% 수준이고 모든 0비트의 피크가 반복성이 있음을 알 수 있다. 이러한 관찰은 Fig. 5(b)의 시간 영역에서 보이는 피크 거동에서도 유추할 수 있다. 따라서 음파에 의한 통신이 가능함을 확증할 수 있다. 그러나 이러한 통신은 chirp 신호 발생시 chirp 신호 중심주파수와 주파수 대역의 설정에 민감하다. 비록 세 번째 통과대역 범위라도 chirp 신호를 중심주파수 660 Hz, 대역폭 ±50 Hz에 대한 시간 영역 반응은 Fig. 7과 같다. 민감도를 평가한 결과 대역폭이 넓고 중심 주파수가 통과대역의 최소값에 가까워질수록 Fig. 7과 같은 현상이 발생하여 주파수 분석에 의한 정보해석이 어려움을 확인할 수 있었다. 이는 통과대역을 통과한 음파에너지가 충분히 커서 드릴 스트링 내를 standing wave 형태로 공진을 일으키고 있기 때문이다. 이는 한 번 종을 치면 오랜 기간 공진음을 내는 것과 유사하다. 따라서 0비트에 해당하는 시간 프레임에서는 음파 에너지가 소멸되어 낮은 스펙트럼 진폭을 나타내야 하는데 공진으로 인해 신호가 교란되고 있다.

Drumheller et al.^[5]에 의하면 현장 실험에서 드릴 스트링 1,000 feet 당 음파 에너지가 1/4수준으로 감소하여 다음과 같은 감쇠비 경험값 $\alpha$가 제안된다.

따라서 드릴비트에서 발신된 음파는 지상에 도달하기 전에 대부분의 음파 에너지를 소실하여 공명에 의한 standing wave가 형성되지 못할 것이므로 Fig. 7의 현상은 많이 완화될 것이다. 본 연구에서 제시된 운동방정식 및 수치해석 모델은 마찰 감쇠항 $b \frac { d u } { d t }$ 및 임의 지점에의 노이즈 발생항 추가가 가능한 구조이므로 향후 이 부분을 추가하여 실제 시추 현장에 유사하게 모사한 후 chirp 신호의 지상부 수신 및 노이즈 제거 필터 연구가 가능하다.