2.1 오일쿨러의 상태공간 모델

오일쿨러의 핵심 요소인 냉동사이클은 기본적으로 열교환기인 응축기와 증발기, 그리고 압축기와 팽창밸브로 구성된다. 상태공간 모델은 상태변수 $x(t)$, 출력변수 $y(t)$, 입력변수 $u(t)$를 갖는 상태방정식 식(1)과 출력방정식 식(2)로 구성된다.

오일쿨러의 상태방정식 모델링은 Shah, R 등의 방법을 참고하여 각 구성 요소별 동특성을 표현하는 식을 유도한다.^[9] 우선, 열교환기 관내에 흐르는 유체의 열적 동특성 파악을 위해 Navier-Stokes의 지배방정식을 도입한다. 식(3)은 연속방정식, 식(4)는 에너지평형방정식, 식(5)는 열전달방정식이다.^[10]

응축기는 과열, 2상, 과냉의 세 구간으로, 증발기는 2상, 과열의 두 구간으로 구분하여 총 15개의 비선형 편미분방정식이 도출된다. 이 15개의 비선형 미분방정식에 대해 Taylor 1차 근사를 적용하여 선형화 한 후, 압축기와 전자팽창밸브(Electronic Expansion Valve : EEV)의 동특성 모델인 식(6)과 식(7)을 대입하여 정리한다.

여기서 $A _{o}$는 EEV의 오리피스 단면적[$m ^{2}$], $A _{max}$는 EEV의 최대 개도(500 step)를 각각 나타낸다. $C _{v}$는 유량계수, D는 압축기 실린더 직경[$m$], $d$는 회전 피스톤 직경[$m$], H는 실린더 높이[$m$], $\rho $는 압축기 흡입 냉매밀도[$kg/m ^{3}$], $\eta $는 압축기 체적효율, p는 구동 모터의 극수를 각각 나타낸다.^[10]

응축기와 증발기의 모델에 식(6)과 식(7)을 병합하여 정리하면 12×12의 고차원 상태방정식 모델이 얻어진다. 제어 관점에서 모델의 차원이 너무 크면 모델의 파라미터 동정(identification)이 어렵고 이로 인해 모델의 불확실성이 증가하며, 상태관측기의 타당성 검증 과정 또한 복잡해지는 문제점이 있다. 따라서 제어하고자 하는 출력변수에 영향을 거의 미치지 않는 상태변수들을 소거하여 실용적인 4차원 상태방정식 모델을 식(8)과 같이 구하였다.^[10]

여기서, 상태변수 $P _{c}$는 응축압력, $P _{e}$는 증발압력, $h _{c}$는 응축기 출구 엔탈피, $h _{e}$는 증발기 출구 엔탈피를 각각 나타낸다. 계수 행렬 $A(4 \times 4)$, $B(4 \times 2)$는 제어대상인 냉동사이클이 포함된 오일쿨러 시스템으로부터 구해지는 파라미터 값들이고, 입력은 인버터 주파수 $F _{i}$와 전자팽창밸브의 개도(opening angle) 지령값 $A _{v}$이다.

본 연구에서 오일쿨러 시스템의 주된 제어량은 오일출구온도 $T _{o}$이고, COP가 최대인 동작점에서 운전되도록 과열도 $T _{s}$도 보조적으로 제어한다. 따라서 이들 두 제어량을 갖는 출력방정식은 식(8)의 4개의 상태변수를 이용하여 식(9)와 같이 유도된다.

출력방정식 식(9)의 계수행렬 $C(2 \times 4)$는 Van-der-Waals의 기체 상태방정식인 식(10)을 도입하여 상태변수와 제어변수 간의 관계를 반영하였다.

여기서, 기체의 부피 $V$는 몰리에르 선도(Mollier chart)로부터 읽은 비체적 값과 냉매의 질량 연산을 통해 구하고, 입자수 $n$은 R-22의 분자식($CHClF _{2}$)으로부터 계산한다. 또한 $R$은 기체상수, $a$, $b$는 Van-der-Waals 상수이다.

2.2 Robust LQG 서보 제어기 설계

LQG 서보 제어계는 LQR(Linear Quadratic Regulator) 서보 제어계에 칼만필터(Kalman filter) 상태 관측기가 결합된 형태로 Fig. 1과 같다.

LQG 서보 제어기 설계는 평가함수를 최적화 하기 위한 LQR 게인인 상태피드백 게인 $K _{1}$, 지령값 추종을 위한 서보 게인 $K _{2}$와 잡음의 영향을 최소화하기 위한 칼만 게인 $L$을 설계하는 문제로 귀착된다. 식(1)과 식(2)는 잡음의 영향을 고려하기 위해 식(11), 식(12)와 같이 재 정의된다.

여기서 $w(t)$는 시스템의 프로세스 잡음, $\nu (t)$는 센서 잡음을 각각 의미한다. 또한, 센서 잡음은 그 평균값이 0인 백색잡음(white noise)으로 가정한다. 이때, LQR 게인 $K$($K _{1}$,$K _{2}$)와 칼만 게인 $L$은 분리정리(separation theorem)에 의해 독립적으로 구해진다.^[11] LQR 제어기 설계는 제어 입력 $u(t)$와 상태변수 $x(t)$에 대하여 평가함수 식(13)을 최소화 하는 하중행렬 $Q$와 $R$을 설계하고 입력 $u(t)$를 구하는 것이다. 식(13)의 우변 첫째 항은 상태 $x(t)$에 가중치를 부가하며, 둘째 항은 입력 $u(t)$의 크기를 적절하게 조절하기 위한 항이다.

상태변수의 하중 $Q$를 증대시키면 $J$를 최소화하기 위해 상태 $x(t)$가 작아져야 되므로 결국 속응성에 대한 요구가 엄격하게 된다. 마찬가지로, 입력 하중 $R$을 증대시키면 입력 $u(t)$가 작아져야 하므로 제어 입력에 대한 요구가 엄격하게 된다. 식(13)의 상첨자 T는 행렬의 전치(transposition)를 나타낸다.

한편, 출력 $y(t)$가 $t \rightarrow \infty$에서 지령값인 $r(t)$에 일치하여 정상상태에 도달한다고 해도, 입력 $u(t)$는 $t \rightarrow \infty$에서 ‘0’이 아닌 값을 가진다. 따라서 $u(t)$의 적분 누적으로 인해 식(13)의 값이 무한대가 되어 2차 평가함수인 식(13)을 최소화하는 것은 사실상 불가능하다. 하지만 정상상태($t \rightarrow \infty$)에서는 $\dot{u}(t)$가 $\lim _{t \rightarrow \infty} \dot{u}(t)=0$을 만족한다. 따라서 $v(t)=\dot{u}(t)$를 새로운 제어 입력으로 하는 확대계를 식(14) 및 식(15)와 같이 나타낼 수 있고 이 확대계의 평가함수는 식(16)과 같이 표현된다.

식(16)에서 $\delta x_{m}(t)$는 확대계의 정상상태 값으로부터의 변동분 $\delta x_{m}(t)=[\delta x(t) \delta u(t)]^{T}$이다. 식(16)의 $J_ {m}$을 최소로 하는 최적 레귤레이터의 해인 제어 입력 $v(t)$는 식(17), $K_ {m}$은 식(18)로부터, 그리고 $P_ {m}$은 식(19)의 Riccati 방정식의 해로서 양의 한정 값으로 구해진다.^[10]

식(18)과 식(19)에서 $R_{m}(2 \times 2)$, $Q_{m}(6 \times 6)$은 설계자가 지정하는 값이며, $A_{m}(6 \times 6)$, $B_{m}(6 \times 2)$은 식(20)에서와 같이 모델로부터 정해지는 파라미터 값들이다. 또한 식(17)~식(19)가 성립하기 위해서는 식(20)의 $Z$가 full rank여야 한다.

따라서 식(19)에서 미지의 값인 $P_ {m}$이 구해지고, 이 값을 통해 식(18)에서 $K_ {m}$이, 그리고 최종적인 LQR 게인 $K\left[K_{1} \quad K_{2}\right]$는 이 $K_ {m}$에 식(20)의 $Z^{-1}$를 곱하여 $K=K_{m} Z^{-1}$로서 구해진다.

LQG 제어기는 출력변수에 포함된 모든 상태변수의 피드백을 필수로 한다. 식(8)의 상태변수들은 실제로 센서로써 검출하기 용이하지 않으므로 인가 잡음의 영향을 최소화 할 수 있는 칼만필터가 적용된 전 차원 상태관측기(full-order observer)를 설계한다. 식(21)은 칼만게인 $L$을 구하는 식으로 이때 $S$는 식(22)와 같은 Riccati 방정식의 해로써 구해진다.

시뮬레이션 시에는 식(21), 식(22)의 센서 잡음 $N$(= $\nu (t)$)을 온도 센서인 열전대의 분해능 0.1℃를 고려하여, 프로세스 잡음 $W$(= $w(t)$)의 크기는 16bit D/A 변환기를 고려하여 정하였다.^[10] 따라서 식(21)의 $A$,$C$,$N$,$W$는 이미 주어지거나 정해진 값이므로 이 식에서 $S$가, 그리고 식(20)에서 관측기 게인 $L$이 최종적으로 결정된다.

3.1 상태공간 모델의 타당성 검증

Table 1은 시뮬레이션 및 실험에 사용된 오일쿨러의 주요 구성 요소들의 사양을, Fig. 2는 시뮬레이션 및 실험에 사용된 실제 오일쿨러 제어 장치의 모식도이다.

우선 제안된 상태방정식 모델의 타당성은 시뮬레이션 결과와 선행 연구의 정특성 실험 자료와의 정량적 비교,^[12,13] 그리고 스텝 입력에 따른 상태변수 및 출력변수의 거동의 유사성 분석으로 검증한다.

Fig. 3과 Fig. 4는 제어 입력 $u$($F _{i}$, $A _{v}$)를 단위 스텝 상의 입력인 $[1 \quad 0]^{T}$, $[0 \quad 1]^{T}$로 각각 설정했을 때 상태변수 $x(t)$와 출력변수 $y(t)$의 거동을 각각 나타낸다.

이 결과들을 기존의 연구 결과들과 비교해 보면 입력에 따른 상태변수 및 출력변수의 거동 패턴이 유사하며 합리적임을 알 수 있다.^[12,13] 따라서 구축한 오일쿨러의 상태공간 모델의 타당성이 확인된다.

3.2 LQG 서보 제어기와 칼만필터의 성능 검증

시뮬레이션과 실험에 사용된 LQG 제어기의 상태피드백 게인 $K_ {1}$과 서보 게인 $K_ {2}$는 식(23), 그리고 칼만 게인은 식(24)와 같다. 이때 하중행렬 $Q_ {m}$은 $Q_{m}=C_{m}^{T} C_{m}$으로 구하였고, $R_{m}(2 \times 2)$은 단위행렬로 가정하였다.

Fig. 5는 LQG 제어 시뮬레이션 결과로서, 제어변수인 오일출구온도와 과열도의 인디셜 응답 및 대응하는 조작변수인 인버터 주파수와 EEV 스텝 지령값을 각각 나타낸다.

그림에서 제어량 $T _{o}$, $T _{s}$의 응답은 잡음의 영향이 일부 나타나고 있지만 목표값 -1℃에 정확히 수렴한다.

Fig. 6과 Fig. 7은 식(16)의 하중행렬이 제어 성능에 미치는 영향을 나타낸다. 시뮬레이션에서는 입력 하중 $R _{m}$의 변동에 의한 제어 성능만을 집중 고찰하였다. 즉, 상태 하중 $Q_{m}\left(=C_{m}^{T} C_{m}\right)$의 값은 고정하고, 대각행렬 $R _{m}$($R _{m11}$, $R _{m22}$)을 기준값 1로부터 100배, 1/100배로 증·감시켰다.

시뮬레이션 결과 $R _{m11}$ 변화 시에는 유의할만한 제어 성능의 차이는 나타나지 않았다. 반면에 $R _{m22}$의 변화 시에는 제어 성능의 차이가 매우 크게 나타났다. 특히 이 값이 클수록 조작량의 크기는 작아져 오일출구온도와 과열도의 목표값으로의 수렴 속도가 느려짐을 확인할 수 있었다. 평가함수인 $J _{m}$의 식(16)에 비추어 보았을 때, 이는 입력 조건을 강화한 것이므로 합리적인 결과임을 알 수 있다.

칼만필터는 잡음이 포함된 동적 시스템의 상태변수를 추정하는 상태관측기이다. 식(8)과 식(9)의 네 가지 상태변수들은 게인 $L$의 적절한 설계를 통해 각종 외란이 인가되는 상황 하에서도 정확히 추정될 수 있음을 보인다.

Fig. 8은 칼만게인 $L$에 의한 상태변수들의 추정오차를 나타낸 시뮬레이션 결과이다. 이때 프로세스 잡음 $w(t)$(4×4)와 센서 잡음 $\nu (t)$(2×2)는 대각행렬이며, $w(t)$는 16bit D/A 변환기를 고려하여 대각 요소의 크기를 1.46 × 10^-9, $\nu (t)$는 열전대의 분해능 0.1℃를 고려하여 대각 요소의 크기를 6.25 × 10^-4로 각각 정하였다.

Fig. 8에서 상태 추정오차는 최대 ±0.0007의 크기로서 거의 0에 가까운 값이다. 이를 통해 설계한 칼만필터가 상태변수를 양호하게 추정하고 있음을 알 수 있다.