1. 연구배경 및 목적

열전발전기(thermoelectric generator)는 열을 전기로 직접 변환하는 장치로 고신뢰성, 소형, 저중량, 무진동 등의 장점을 갖고 있으나, 효율이 낮기 때문에 크기가 작고 신뢰성이 높은 발전기가 요구되는 곳에 주로 사용 되어 왔다.^(1-3) 최근에는 공장이나 자동차 엔진 등에서 발생하는 폐열을 활용하여 전기를 생산하는 데 열전 발전기를 적용하려는 노력이 활발하게 진행되고 있는데, 폐열을 활용하는 경우에는 열원의 비용을 고려할 필요가 없기 때문이다.^(4-9)

열전모듈(thermoelectric module)은 열전발전기를 구성하는 기본 요소이다.⁽¹⁰⁾ 열전모듈 설계에 요구되는 주요 요건 중의 하나는 주어진 사용 조건을 만족하는 최적 기하학적 형상을 결정하는 것이다.⁽¹¹⁾ 발전용 열전모듈의 성능은 주로 에너지변환 효율과 단위면적당 동력에 의하여 측정되는데, 이것들은 모두 열전요소의 길이에 크게 영향을 받는다.⁽⁴⁾, ^(9-11) 폐열을 활용하는 경우와 같이 열원의 비용이 저렴하거나 없는 경우에는 효율이 높은 것보다는 단위면적당 동력이 큰 것이 요구된다.⁽¹⁰⁾

발전용 열전모듈의 이상적인 성능은 1차원 열평형방정식들을 기반으로 하는 Ioffe의 단순화된 모델을 이용 하여 구할 수 있다.⁽¹²⁾ 이 모델은 열전모듈에 내재하는 열적, 전기적 접촉저항들을 무시하였기 때문에 열전 소자의 길이가 짧을수록 부정확하므로 열전소자의 길이를 최적화하는 데 사용할 수 없다.⁽¹⁰⁾ Rowe and Min⁽¹¹⁾은 열적, 전기적 접촉저항들을 포함한 1차원 해석모델을 제시하여 열전소자의 길이가 효율과 동력에 미치는 영향을 보였다. 실제적으로 열전발전기는 열전모듈, 고온측 열교환기, 저온측 열교환기로 구성되므로 열전발전기의 효율과 동력은 열교환기의 성능에 의하여 크게 좌우된다.^(13-15) 따라서, 열전모듈의 최적화는 이용할 수 있는 열교환기의 성능을 고려하여 수행되어야 하나, Ioffe의 모델과 Rowe and Min의 해석모델은 모두 열교환기의 영향은 무시하고 모듈 고온부와 저온부의 온도가 각각 고온열원(hot heat source)과 저온열원(cold heat sink)의 온도와 같다고 가정하였다.^{(11, 12)} Lee⁽¹³⁾는 열전모듈의 접촉저항들은 무시하였으나 열교환기를 고려한 1차원 해석모델을 사용하여 열전발전기의 최적설계방법을 제시하였고, 고온측과 저온측 열교환기와 접촉하고 있는 유체의 온도가 주어진 경우 열전모듈의 최적설계조건이 항상 존재한다는 것을 보였다. Astrain et al.⁽¹⁵⁾은 수치해석을 사용하여 열교환기의 열저항이 동력발생에 미치는 영향을 규명하였는데, 동력발생을 증가시키기 위해서는 고온측과 저온측 열교환기의 성능이 모두 향상되어야 한다는 것을 보였다.

본 연구에서는 발전용 열전모듈의 최적화를 위한 새로운 1차원 해석모델을 제시하였다. 열교환기들의 열저항과 열전모듈에 내재하는 열 및 전기적 접촉저항이 모두 고려되었고, 기존의 1차원 해석모델들^(11-13) 에서 일정하다고 가정하였던 열전소자의 열전도도와 비저항의 값들은 온도에 따라 변한다. 본 모델에서 열전쌍의 길이 방향 한 지점을 흐르는 열전달율은, 기존의 1차원 해석모델과 같이 열전소자의 길이와 위치에 따라 정해지지 않고, 그 지점의 온도와 전류 그리고 열전쌍 고온부를 통과하는 열전달율로 표현된다. 또한, 이 해석모델은 고온 열원에서 열전모듈로의 열전달율이 주어졌을 때 동력발생을 최대화하기 위한 열전요소의 최적 길이와 외부 부하의 최적값을 제시한다. 기존의 열교환기를 고려한 1차원 해석모델에서는 열전발전기와 열을 주고받는 고온열원과 저온열원의 온도, 고온측과 저온측 열교환기의 열컨덕턴스(heat conductance)가 주어졌을 때 열전요소의 길이와 외부 부하를 모두 반복하여 변화시키면서 동력 발생이 최대가 되는 조건을 구하여야 하나,⁽¹³⁾ 본 연구에서 제시한 해석모델에서는 변수가 고온열원에서 열전모듈로의 열전달율 하나이므로 반복법을 사용하지 않고 동력 발생이 최대가 되는 열전요소의 최적 길이와 외부 부하의 최적값을 용이하게 구할 수 있다. 열교환기들의 열컨덕턴스와 고온열원의 온도가 최대동력, 효율, 열전요소의 최적 길이, 외부 부하의 최적 전기저항에 미치는 영향을 규명하였다.

2. 이상적인 해석모델

Fig. 1은 발전용 열전모듈의 기본 단위인 열전쌍(thermocouple)을 보여준다. 열전쌍은 고온열원에서 열을 받고 저온열원으로 열을 방출하며 외부 시스템에 전기적 동력을 공급한다.⁽¹⁶⁾ P형 열전요소와 n형 열전요소(thermoelement)의 단면적과 길이는 같다. 이 장에서는 열교환기들의 열저항과 열전요소와 열교환기 사이의 열적, 전기적 접촉저항은 무시할 수 있다고 가정한다. 열전소자의 시벡계수(Seebeck coefficient)는 온도에 따라 변하지 않으나 열전도도와 비저항은 온도의 함수로 가정한다.

열전쌍을 흐르는 열전달율은 다음과 같이 표현할 수 있다.^{(9) (16, 17)}

여기서 $\alpha =\alpha_{p}-\alpha_{n}$, $k=k_{p}+k_{n}$이고 $A$는 열전소자의 단면적이다.

Fig. 1에 보인 열전쌍의 미소길이에 대한 1차원 에너지평형식은 아래와 같다.^(9)(18)

여기서 $\rho =\rho_{p}+\rho_{n}$이다.

식(1)과식(2)에서 다음과 같은 관계를 구할 수 있다.

식(3)을 열전쌍 전체 길이에 대하여 적분하면 다음과 같다.

식(4)에서 열전쌍의 저온부를 흐르는 열전달율을 구하면 다음과 같이 표현된다.

식(5)의 루트(root) 앞의 부호는 ‘+’ 또는 ‘-’가 될 수 있는데, ‘+’일 경우에만 1차원 열평형방정식에서 구한 $q_{h}$와 $q_{c}$가 식(5)를 만족시킨다.

Fig. 1 Schematic diagram of an ideal single thermocouple power generating module.

3. 열교환기와 접촉저항을 고려한 해석모델

Fig. 2는 열전쌍 하나로 구성된 열전발전기의 실제적인 구조를 보여준다. 열전쌍은 고온측과 저온측 열교환기를 통하여 고온열원에서 열을 흡수하고 저온열원으로 열을 방출한다. $T_{hj}$와 $T_{cj}$는 각각 고온측과 저온측의 열전요소-금속스트립(metal strip) 경계면 온도를 나타낸다. 고온열원에서 흡수되는 열전달율과 저온열원으로 방출되는 열전달율은 다음과 같이 표현된다.

여기서 $K_{h}$와 $K_{c}$는 고온측 열교환기와 저온측 열교환기의 열컨덕턴스(thermal conductnace)를 나타내고, $r_{th}$와 $r_{tc}$는 각각 고온측과 저온측의 열적 접촉저항을 나타낸다.

Fig. 2 Schematic diagram of a realisitic single thermocouple power generator.

전기적 접촉저항에 의한 발열 때문에 열전요소의 고온부를 통과하는 열전달율 $q_{hj}$는 고온열원에서 고온측 열교환기로 전달되는 열전달율 $q_{h}$보다 크고, 저온열원으로 방출되는 열전달율 $q_{c}$는 열전요소의 저온부를 통과하는 열전달율 $q_{cj}$보다 크다. $q_{hj}$와 $q_{cj}$는 다음과 같이 표현된다.

여기서 $r_{eh}$와 $r_{ec}$는 고온측과 저온측의 전기적 접촉저항을 각각 나타낸다.

열교환기의 열컨덕턴스와 열적, 전기적 접촉저항을 모두 고려할 경우식(5)는 다음과 같이 표현된다.

식(21)과식(22)를식(23)에 대입하여 다음 식을 얻을 수 있다.

식(24)의 $q_{c}$를 전류 $I$에 관하여 미분하여 0으로 놓으면 다음과 같은 식을 얻는다.

열적, 전기적 접촉저항들이 무시할 수 있을 만큼 작고 또 열교환기들의 열컨덕턴스가 매우 클 경우식(25)는 이상적인 경우의식(7)로 단순화된다.

식(25)의 해는 $q_{c}$를 최소화하는 최적전류이나식(25)의 계수인식(26)에 포함된 $T_{hj}$와 $T_{cj}$도 아직 정해지지 않은 미지변수들이다. 고온열원의 온도 $T_{hs}$, 저온열원의 온도 $T_{cs}$, 고온측 열교환기의 열컨덕턴스 $K_{h}$, 저온측 열교환기의 열컨덕턴스 $K_{c}$, 고온열원에서 열전모듈로의 열전달율 $q_{h}$, 그리고 $r_{eh}$, $r_{ec}$, $r_{th}$, $r_{tc}$가 주어졌을 때 동력과 효율이 최대가 되는 최적전류 $I_{opt}$을 구하는 순서는 다음과 같다.

(1)식(19)를 이용하여 $T_{hj}$를 구한다.

(2) 저온측의 열전요소-금속스트립 경계면의 온도 $T_{cj}$를 가정한다.

(3)식(24)의 $q_{c}$를 최소화하는식(25)의 해 $I_{opt}$을 구한다.

(4)식(20)에서 $q_{c}$를 계산한다.

(5) 단계 (4)에서 얻은 $q_{c}$가 단계 (3)에서 구한 $q_{c}$와 같을 때까지 단계 (2)~단계 (4)를 반복한다.

$I_{opt}$이 정해지면 열전요소의 최적 길이와 외부 부하의 최적저항은 다음 식들에서 구할 수 있다.

Fig. 3 Maximum efficiency of an ideal thermoelectric module vs. hot end temperature($T_{c}$ = 300 K).

4. 결과 및 토론

본 연구의 계산에 사용된 열전요소의 물리적 성질들은 Astrain et al.⁽¹⁵⁾에 주어진 관계식들을 사용하여 구하였다. 열전요소 하나의 단면적 $A$는 1.0×10-6 m2이고, 열전쌍 한 개당의 열적, 전기적 접촉저항은 $r_{th}=r_{tc}=$10 K/W, $r_{eh}=r_{ec}=$2.0x10-4 Ω이다. 저온열원의 온도는 300 K이다.

Fig. 1에 나타낸 이상적인 발전용 열전모듈의 고온부 온도가 최대효율에 미치는 영향을 Fig. 3에 보였다. 실선은식(12)에서 구한 $\left(\eta_{\max}\right)_{ideal}$의 엄밀한 값을 나타내는데,식(8)의 $\overline{\rho k}$를 계산할 때 열전요소의 열전도도와 비저항이 온도에 따라 변하는 것이 반영되었다. 점선은식(10)의 $\overline{\rho k}$ 대신에 $\rho_{m}k_{m}$을 사용하여 얻은 $\left(\eta_{\max}\right)_{ideal}$의 근사값을 나타내는데, $\rho_{m}$과 $k_{m}$은 각각식(11)에 정의된 평균온도에서의 비저항과 열전도도이다. 고온부와 저온부의 온도차가 약 200 K 이하일 때, 즉 고온부의 온도가 500 K보다 낮을 때 $\left(\eta_{\max}\right)_{ideal}$은 고온부 온도가 높아질수록 증가한다. 그러나, 고온부와 저온부의 온도차가 250 K 이상이 되면 $\left(\eta_{\max}\right)_{ideal}$은 고온부 온도가 높아질수록 감소하는 것을 볼 수 있는데, 이것은 비저항이 온도가 높아질수록 증가하기 때문이다. 고온부와 저온부의 온도차가 100 K 이상이 되면 $\left(\eta_{\max}\right)_{ideal}$의 엄밀한 값과 근사값의 차이가 뚜렷해지고, 온도차가 클수록 그 차이가 커지는 것을 알 수 있다. 고온부와 저온부의 온도차가 200 K와 300 K일 때 근사값과 엄밀한 값의 차이는 각각 6.1%와 14.6%이다.

Fig. 4는 Fig. 2에 나타낸 열전발전기가 발생하는 최대동력이 열교환기의 열컨덕턴스 $K_{h}$와 $K_{c}$, 그리고 고온열원에서 열전쌍으로 공급되는 열전달율 $q_{h}$에 크게 의존하는 것을 보여준다. $K_{h}$와 $K_{c}$가 주어진 경우 최대동력 $P_{\max}$는 처음에는 $q_{h}$가 증가할수록 커지다가 최대가 된 이후에는 감소하는데, 이것은 Fig. 5에서 볼 수 있는 것처럼 $q_{h}$가 증가할수록 효율이 낮아지기 때문으로 생각된다. Fig. 4는 $T_{hs}$, $T_{cs}$, $K_{h}$, $K_{c}$가 주어졌을 때 $P_{\max}$가 최대가 되는 $q_{h}$의 최적값이 존재한다는 것을 보여준다. 여기서, 주어진 $T_{hs}$, $T_{cs}$, $K_{h}$, $K_{c}$에 대하여 $P_{\max}$가 최대가 되는 $q_{h}$를 $\left(q_{h}\right)_{opt}$, 또 그 때의 $P_{\max}$를 달성가능 최대동력(attainable maximum power) $\left(P_{\max}\right)_{\max}$으로 정의한다. 열교환기의 열컨덕턴스가 커질수록 $\left(q_{h}\right)_{opt}$과 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$가 모두 증가하는 것을 볼 수 있다.

열교환기들의 열컨덕턴스와 고온열원에서 열전쌍으로 공급되는 열전달율이 최대효율 $\eta_{\max}$에 미치는 영향을 Fig. 5에 나타내었다. $q_{h}$가 매우 작을 때 $\eta_{\max}$는 이상적인 해석모델에서 구한 최대효율(식(12))이나 기존의 1차원 해석모델^(12)(16)에서 구한 최대효율 $\left(\eta_{\max}\right)_{ideal}$로 접근하나, $q_{h}$가 커질수록 급격히 감소한다.식(12)에서 $\eta_{\max}$는 열전요소 고온부와 저온부의 실질적인 온도차 $T_{hj}-T_{cj}$에 크게 영향을 받는다는 것을 알 수 있다. $q_{h}$가 증가할수록 열교환기와 열적 접촉저항에서 발생하는 온도강하가 커지므로 $T_{hj}-T_{cj}$는 감소하고, 따라서 효율은 감소한다. $q_{h}$가 일정할 때 열교환기의 열컨덕턴스가 작을수록 온도강하가 커지므로 $K_{h}$와 $K_{c}$가 감소할수록 $\eta_{\max}$는 더 급격히 낮아진다. Fig. 5의 작은 사각형들은 주어진 $T_{hs}$, $T_{cs}$, $K_{h}$, $K_{c}$에 대하여 $P_{\max}$가 최대가 되는 $q_{h}$, 즉 $\left(q_{h}\right)_{opt}$에서의 $\eta_{\max}$인 $\left(\eta_{\max}\right)_{opt}$이다. 열교환기들의 열컨덕턴스가 크게 변하여도 $\left(\eta_{\max}\right)_{opt}$은 거의 변화가 없다는 것을 볼 수 있다.

Fig. 4 Maximum power vs. heat flow to the hot end of a thermocouple($T_{hs}$ = 500 K).

Fig. 5 Maximum efficiency vs. heat flow to the hot end of a thermocouple($T_{hs}$ = 500 K).

Fig. 6 Attainable maximum power vs. thermal conductances of heat exchangers.

Fig. 7 Attainable efficiency vs. thermal conductances of heat exchangers.

Fig. 6에 열교환기들의 열컨덕턴스와 고온열원의 온도가 달성가능 최대동력 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$에 미치는 영향을 나타내었다. $K_{h}$와 $K_{c}$의 값은 같다고 가정하였고, 저온열원의 온도는 300 K이다. $K_{h}$와 $K_{c}$가 커질수록 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$는 증가하는데, 열컨덕턴스의 값이 커질수록 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$의 증가율은 감소한다. 고온열원과 저온열원의 온도차가 커질수록 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$의 값은 커진다.

열전발전기가 발생하는 동력이 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$일 때의 효율 $\left(\eta_{\max}\right)_{opt}$에 미치는 고온열원의 온도와 열교환기 열컨덕턴스의 영향을 Fig. 7에 나타내었다. Fig. 5에서 볼 수 있는 바와 같이 $\left(\eta_{\max}\right)_{opt}$은 열교환기 열컨덕턴스에는 거의 영향을 받지 않으나, 고온열원의 온도가 높아질수록 증가한다.

Fig. 8 Optimum thermoelement length vs. thermal conductances of heat exchangers.

Fig. 9 Optimum external load resistance vs. thermal conductances of heat exchangers.

Fig. 8은 달성가능 최대동력 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$을 얻기 위한 열전소자의 최적 길이 $\left(L_{opt}\right)_{opt}$에 미치는 고온열원의 온도와 열교환기 열컨덕턴스의 영향을 보여준다. 열교환기 열컨덕턴스가 증가할수록 $\left(L_{opt}\right)_{opt}$은 감소하나, 열컨덕턴스가 클수록 감소율은 작아진다. Fig. 4에서 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$을 얻을 때의 고온열원에서의 열전달율 $\left(q_{h}\right)_{opt}$은 열교환기 열컨덕턴스가 증가할수록 커지는 것을 볼 수 있다.식(9)와식(16)에서 알 수 있는 것처럼 열전소자의 최적 길이는 $q_{h}$에 반비례하므로, $\left(L_{opt}\right)_{opt}$은 열교환기 열컨덕턴스가 증가할수록 감소한다. 고온열원의 온도가 높을수록 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$는 크게 증가하나 고온열원의 온도가 각각 450 K, 500 K, 550 K일 때의 열전소자의 최적 길이는 거의 같은 것을 볼 수 있다.

Fig. 9는 열교환기 열컨덕턴스와 고온열원의 온도가 달성가능 최대동력 $\left(P_{\max}\right)_{\max}$을 얻기 위한 외부 부하의 최적전기저항 $\left(R_{load,\:opt}\right)_{opt}$에 미치는 영향을 보여준다. Rowe는 외부 부하의 전기저항이 열전모듈 내부의 전기저항과 같을 때 동력발생이 최대가 된다는 것을 해석적으로 보였다.^(12)(15) Fig. 8에서 볼 수 있는 것처럼 열교환기의 열컨덕턴스가 증가할수록 $\left(L_{opt}\right)_{opt}$이 감소하므로 내부 전기저항도 감소한다. 따라서, $\left(R_{load,\:opt}\right)_{opt}$은 열교환기 열컨덕턴스가 커질수록 감소한다. 열전요소의 비저항은 온도가 높을수록 증가하고 또 Fig. 8에서 볼 수 있는 것처럼 고온열원의 온도가 높을수록 $\left(L_{opt}\right)_{opt}$이 약간 증가하므로 열전모듈의 내부 전기저항은 고온열원의 온도가 높아지면 증가한다. 그러므로, 고온열원의 온도가 높을수록 $\left(R_{load,\:opt}\right)_{opt}$이 커져야 한다.

5. 결 론

본 연구에서는 발전용 열전모듈에 대한 새로운 1차원 해석모델을 이용하여 동력 발생을 최대화하기 위한 최적화 방법을 제시하였다. 이 해석모델에서는 열전모듈에 내재하는 열적, 전기적 접촉저항뿐만 아니라 열교환기들의 열컨덕턴스도 고려되었다. 이 모델은 고온열원에서 열전모듈 고온부로 전달되는 열전달율이 주어졌을 때 최대동력, 효율, 그리고 동력이 최대가 되기 위한 열전요소의 최적 길이와 외부 부하의 최적저항을 예측할 수 있다. 고온열원과 저온열원의 온도, 고온측과 저온측 열교환기의 열컨덕턴스가 주어진 경우 동력발생이 최대가 되는 최적조건이 항상 존재한다는 것을 보였다. 열교환기의 열컨덕턴스가 증가할수록 달성 가능 최대동력은 증가하나 달성가능 최대동력을 얻을 때의 효율은 열컨덕턴스에 크게 영향을 받지 않는다. 고온열원과 저온열원의 온도차가 커질수록 달성가능 최대동력과 동력이 최대가 될 때의 효율은 모두 증가한다. 동력이 최대가 되기 위한 열전요소의 길이와 외부 부하의 전기저항은 열교환기의 열컨덕턴스가 증가 할수록 상당히 감소하나 고온열원과 저온열원의 온도차에는 크게 영향을 받지 않는다.