3.1 수치해법

본 연구에서는 상용 전산유체역학 소프트웨어인 ANSYS CFX R18.1을 이용하여 정상(steady), 비압축성, 난류, 다상 유동 조건하에서 직각 모서리형 오리피스 내부의 캐비테이션 유동을 해석하였다. 오리피스 입구 부근에서 유동 박리 및 재순환 유동으로 인해 직각 모서리형 오리피스 내부에는 복잡한 난류 유동장이 형성된다. 이러한 유동 조건하에서 운동량 및 난류 수송 방정식의 대류항에 대해 저차 정확도의 차분법을 사용할 경우에 과도한 수치적 확산을 유발할 수 있고 결과적으로 해석 결과의 정확도에 부정적인 영향을 미칠 수 있다.⁽¹⁰⁾ 따라서, 본 연구에서는 2차 정확도에 준하는 고해상도(high resolution) 차분법을 적용하였다. 상간(interphase) 질량 전달율을 얻기 위해 Rayleigh-Plesset 캐비테이션 모델을 사용하였다. 캐비테이션 모델에 사용되는 변수들인 핵적 반경 (nucleation site radius), 핵적 체적분율(volume fraction of the nucleation sites), 응축 및 기화에 대한 경험 인자 (empirical factor)에 대해서는 기본적으로 설정된 값을 그대로 사용하였다. 다음의 조건들을 만족한 경우 수행된 계산이 수렴된 것으로 판정하였다; (1) 변수들의 잔차들이 10-6 이하인 경우, (2) 지배방정식들에 대한 전체적인 불균형이 1% 이하인 경우, (3) 특정 모니터링 지점들에서 목표 변수들의 변화가 적은 경우.

3.2 난류모델

직각 모서리형 오리피스 내부에서 발생한 캐비테이션 유동의 정량적인 예측을 위한 RANS 방정식에 기반한 난류 모델들의 예측 정확도를 평가하기 위해 ANSYS CFX R18.1에서 이용 가능한 5종의 난류 모델들, 예를 들어 표준 $k-\epsilon$ 모델, RNG(ReNormalization Group) $k-\epsilon$ 모델, Shear Stress Transport(SST) $k-\omega$ 모델, Speziale, Sarkar and Gatski(SSG) 레이놀즈 응력 모델 및 Baseline 레이놀즈 응력(BSL-RSM) 모델을 사용하였다. 본 절에서는 ANSYS CFX-Solver Theory Guide⁽¹⁴⁾을 참조해서 본 연구에서 사용한 난류 모델들의 수송방정식 및 모델 상수들을 간략하게 설명하였다. 표준 $k-\epsilon$ 모델은 가장 잘 알려진 난류 모델들 중의 하나로서 대부분의 범용 전산유체역학 코드들에서 구현되어 왔고 산업계 표준 모델로 간주된다. 표준 $k-\epsilon$ 모델은 안정적이고 수치적으로 강건하며, 잘 정립된 예측 기능 체계를 가진다.⁽²⁾ 난류 운동에너지($k$)와 난류 소산율($\epsilon$)에 대한 미분 수송방정식은 다음과 같다.

여기서 $U_{i}$는 평균 속도 성분, $\rho$는 유체 밀도, $\mu$는 분자 점도, $\mu_{t}$는 난류 점도, $C_{\mu}=0.09$, $C_{\epsilon 1}=1.44$, $C_{\epsilon 2}=$ $1.92,\:\sigma_{k}=1.0$ 및 $\sigma_{\epsilon}=1.3$는 모델 상수이다. $P_{k}$는 평균 속도 구배로 인한 난류 운동에너지 생성이다. 참고로 표준 $k-\epsilon$ 모델은 역압력 구배 또는 박리를 수반하는 유동 및 제트 유동을 만족스럽게 예측하지 못하는 것으로 알려져 있다.

RNG $k-\epsilon$ 모델은 표준 $k-\epsilon$ 모델의 대안으로서 Navier-Stokes 방정식의 renormalization group 분석(일종의 통계적 기법)에 근거한다. 난류 운동에너지와 난류 소산율에 대한 수송방정식 형태는 표준 $k-\epsilon$ 모델과 동일 하지만, 모델 상수들이 서로 다르다. 예를 들어, 식(2)의 $C_{\epsilon 1}$은 함수 $C_{\epsilon 1RNG}$로 대체된다. RNG $k-\epsilon$ 모델에서 난류 소산율에 대한 수송방정식은 다음과 같다:

여기서

이며, $C_{\epsilon 2RNG}=1.68,\:C_{\mu RNG}=0.085$ 및 $\beta_{RNG}=0.012$는 모델 상수이다.

식(4)에서 볼 수 있듯이 RNG $k-\epsilon$ 모델은 난류 소산율에 대한 수송방정식에서 곡률 또는 급격하게 변형된 유동에 대한 정확도를 향상시키는 부가적인 항을 가진다. 추가적으로 RNG $k-\epsilon$ 모델에는 선회(swirl)가 난류에 미치는 영향이 포함되어 있어 선회 유동에 대해 정확도가 향상된다. 상기와 같은 특징들은 RNG $k-\epsilon$ 모델이 표준 $k-\epsilon$ 모델에 비해 보다 광범위한 유동 형태에 대해 보다 정확하고 신뢰할 수 있도록 한다.

SST $k-\omega$ 모델은 Baseline $k-\omega$ 모델의 모든 개선점들을 포함하고 난류 점도($\mu_{t}$) 정의에서 난류 전단응력의 수송도 고려한다. 이러한 특성들은 SST $k-\omega$ 모델이 표준 $k-\epsilon$ 모델 및 Baseline $k-\omega$ 모델에 비해 광범위한 유동 형태에 대해서 보다 정확하고 신뢰할 수 있도록 한다. 난류 운동에너지($k$)와 비 소산율($\omega$)에 대한 미분 수송방정식은 다음과 같다.

여기서 $\sigma_{k3}$, $\sigma_{\omega 3}$, $\alpha_{3}$ 및 $\beta_{3}$은 모델 상수이며, Table 2에 나타낸 모델 상수들은 다음과 같은 관계식(10)을 사용해서 계산된다.

혼합 함수들 $F_{1}$ 및 $F_{2}$는 가장 인접한 벽면까지의 거리($y$) 및 유동 변수들에 기초한다.

Baseline $k-\omega$ 모델은 Wilcox $k-\omega$ 모델과 표준 $k-\epsilon$ 모델의 장점들을 결합하고 있으나 매끄러운 표면에서 유동 박리의 개시 및 크기를 적절히 예측하지 못한다. 이러한 결점은 난류 전단 응력의 수송을 고려하지 않는 상기 모델이 와점도를 과도하게 예측하기 때문이다. SST $k-\omega$ 모델에서는 다음과 같이 와점도 공식에 제한자 (limiter)를 적용함으로써 적절한 수송 거동을 얻을 수 있다.

여기서 $a_{1}$ = 0.31은 상수이고, $S$는 변형률의 불변량(invariant)이다.

레이놀즈 응력 모델은 와점도 개념을 사용하는 난류 모델들에 비해 유선 곡률, 급격한 변형률 변화, 회전 및 2차 유동의 영향을 자연스럽게 고려할 수 있는 장점을 가진다. 그러나, 개별 레이놀즈 응력 텐서 성분들에 대한 증가된 수송 방정식 개수는 수치적 강건성 감소와 계산 시간 증가를 유발하여 해당 난류 모델이 복잡한 유동 해석에 사용되지 못하게 하는 경우가 가끔 발생한다.

SSG(Speziale, Sarkar and Gatski) 레이놀즈 응력 모델은 다음과 같은 레이놀즈 응력들의 수송방정식을 계산한다.

여기서 $\overline{u_{i} u_{j}}$는 레이놀즈 응력 텐서, $P_{ij}$는 레이놀즈 응력의 전단 난류 생성항, $\Phi_{ij}$는 압력-변형(strain) 텐서항, 그리고 $C_{s}$는 모델 상수이다. 식(16)에 포함된 난류 소산율($\epsilon$)은 다음과 같은 수송방정식을 사용해서 계산된다.

여기서 $\sigma_{\epsilon RS}$ = 1.36, $C_{\epsilon 1}$ = 1.45 및 $C_{\epsilon 2}$ = 1.83은 모델 상수들이다.

마지막으로 baseline 레이놀즈 응력 모델은 다음과 같은 레이놀즈 응력들의 수송방정식을 계산한다. 식(18)에 포함된 난류 비 소산율($\omega$)은 식(9)를 사용해서 계산된다.

3.3 격자계 및 경계조건

전산유체역학을 활용한 캐비테이션 유동 해석시 정확한 해석 결과를 얻기 위해서는 특히 캐비테이션이 발생하는 위치에서 적절한 격자 형상을 고려하는 것이 필수적이다.⁽⁹⁾ 본 연구에서는 격자생성 프로그램인 ICEM- CFD를 이용해서 생성한 비정렬 육면체 격자를 직각 모서리형 오리피스 내부의 캐비테이션 유동 해석을 위해 사용하였다(Fig. 2참조). Nurick의 시험 장치를 참조해서 오리피스 캐비테이션 유동에서 가장 중요한 기하학적 변수중의 하나인 입구 roundness 공차를 0으로 유지하였다. 또한, 3가지 유형의 격자계에 대해 격자 민감도 평가를 수행하였다. type 1은 가장 성긴 격자이며, type 2 및 3에서는 캐비테이션 유동을 적절하게 예측하기 위해 벽 및 오리피스 입구 영역 부근에 조밀한 격자를 배치하였다. 계산에 사용된 격자계의 상세 정보를 Table 3에서 요약하였다. 전반적으로 격자 크기에 따른 방출 계수(discharge coefficient) 예측 결과의 차이(약 0.4%)가 크지 않았고 과도한 계산 시간을 저감하기 위해 본 논문에서는 가장 성긴 격자(type 1, 총 계산 노드수 2.04´ 106)에 대한 예측 결과를 설명하였다.

입구 조건으로 200 kPa~10 MPa 범위의 일정한 크기의 전압(total pressure)을 사용하였다. 또한, 일정한 크기의 난류 운동에너지 및 난류 소산율을 적용하였다. 액체상(물)의 체적 분율은 1로 가정하였다. 출구 조건으로 95 kPa의 정압(static pressure)을 사용하였다. 벽은 매끄러운 것으로 가정하였고 점착(no-slip) 조건을 적용하였다. 벽 근처의 유동을 계산하기 위해 $\epsilon$-계열 난류 모델에서는 가변 벽함수(scalable wall function)를, $\omega$-계열 난류 모델에서는 자동 벽처리(automatic wall treatment) 기법을 적용하였다.

4.1 해석 결과 검증

오리피스 내부의 캐비테이션 유동에서 주요 관심 변수중의 하나는 캐비테이션 수 $\sigma$에 따른 방출계수 $C_{d}$의 변화이다. 상기 변수들은 다음과 같이 정의될 수 있다.⁽¹¹⁾

여기서 $P_{i}$는 입구 압력, $P_{b}$ = 95,000 Pa은 출구 압력, $P_{v}$ = 3,540 Pa은 증기 압력, 그리고 $C_{c}$는 수축 계수(contraction coefficient)이다.⁽¹¹⁾ 참고로 Table 4에서 해석에 사용된 입구 압력 및 해당 캐비테이션 수를 나타내었다.

Fig. 3에서 예측된 방출계수 $C_{d}$와 Nurick의 상관식(식(20))을 비교하였다. 참고로 캐비테이션(cavitation)과 비-캐비테이션(non-cavitation) 영역의 구분은 Nurick의 실험 결과를 참조하여 결정하였다. 2-방정식 모델의 경우 RNG $k-\epsilon$ 모델과 SST $k-\omega$ 모델을 사용하여 예측한 $C_{d}$ 크기는 cavitation 영역에서 Nurick의 상관식과 잘 일치하였다. 반면에 표준 $k-\epsilon$ 모델은 $\sigma$ = 1 ~ 1.14 범위에서 $C_{d}$ 크기를 크게 평가하였다. 또한, 예측된 $C_{d}$는 다른 2-방정식 모델에 비해 더 작은 캐비테이션 수에서 거의 일정한 크기를 나타내기 시작하였다. 레이놀즈 응력 모델의 경우, 일부 캐비테이션 영역에서 SSG 레이놀즈 응력 모델이 Baseline 레이놀즈 응력 모델(BSL- RSM)에 비해 $C_{d}$ 크기를 작게 평가하였으나, 이들 모델로 예측된 $C_{d}$ 크기에서 큰 차이는 없었다. 더구나, 이들 레이놀즈 응력 모델은 레이놀즈 응력 텐서의 개별 성분에 대한 복잡한 수송방정식을 계산하였음에도 불구하고 2-방정식 모델(RNG $k-\epsilon$ 및 SST $k-\omega$ 모델)과 비교시 예측한 $C_{d}$ 크기에서 뚜렷한 개선을 제공하지 못하였다.

4.2 일반적인 유동 형태

Fig. 4는 입구측 압력 크기에 따른 축방향 속도 및 유선 분포를 나타낸다. 오리피스 입구에서 유동 박리가, 오리피스 벽 부근에서 재순환 영역이 발생하였다. 또한, vena contracta 효과로 인해, 오리피스의 중심부에서 고속(high velocity) 영역이 발달하였다. SST $k-\omega$ 모델이 Baseline 레이놀즈 응력 모델과 비교하여 더 높은 음(-)의 첨두 축방향 속도(역류)를 예측한 것을 제외하고는 이들 난류 모델은 서로 유사한 축방향 속도와 유선 분포를 나타냈다. 한편, 표준 $k-\epsilon$ 모델은 다른 난류 모델과 비교하여 상이한 축방향 속도와 유선 분포를 나타내었다. 표준 $k-\epsilon$ 모델은 역류(재순환) 영역이 감소되고 유동 가속 영역이 축소되는 것으로 예측하였다. 결과적으로 표준 $k-\epsilon$ 모델은 오리피스 내부에서 상대적으로 약한 캐비테이션 효과를 수반하는 유동장을 예측하였다. 참고로 RNG $k-\epsilon$ 모델과 SST $k-\omega$ 모델의 예측 결과는 유사하기 때문에 SST $k-\omega$ 모델로 예측한 결과만 사용하였다.

Fig. 5는 입구측 압력 크기에 따른 증기 체적 분율 분포를 나타낸다. 대략 Pin = 300 kPa의 입구 압력에서 캐비테이션이 오리피스 입구 부근에서 개시되는 것으로 관찰되었다.⁽¹⁵⁾ SST $k-\omega$ 모델과 Baseline 레이놀즈 응력 모델은 유사한 증기 체적 분율 분포를 나타내었다. 입구측 압력이 증가함에 따라, 캐비테이션 구역은 오리피스 내부로 점차 확장하였다. 그러나, 최대 증기 체적 분율(적색) 영역은 크기를 유지하였다.⁽¹⁵⁾ 표준 $k-\epsilon$ 모델은 다른 난류 모델과 비교하여 상이한 증기 체적 분율 분포를 나타내었다. 상기 난류 모델은 Pin = 350 kPa에서 증기 체적 분율의 첨두값이 훨씬 더 낮고, Pin = 5 MPa에서 캐비테이션 구역이 오리피스 벽 근처에서 유지되는 것으로 예측하였다.

Fig. 6은 오리피스 입구로부터 축방향으로 위치한 단면들에서 질량 유량으로 평균된 증기 체적 분율을 나타낸다. Pin = 350 kPa에서, 표준 $k-\epsilon$ 모델은 증기 체적 분율의 크기가 거의 0 인 것으로 예측하였다. SST $k-\omega$ 모델과 Baseline 레이놀즈 응력 모델은 유사한 증기 체적 분율의 최대 크기를 나타내었으나, SST $k-\omega$ 모델은 캐비테이션 영역이 오리피스의 하류 영역으로 더 멀리 유지되는 것으로 예측하였다. Pin = 5 MPa에서는 캐비테이션 영역이 전체 오리피스에 걸쳐 나타났다. SST $k-\omega$ 모델과 Baseline 레이놀즈 응력 모델은 Pin = 350 kPa에서 예측된 결과와 유사하게 증기 체적 분율이 표준 $k-\epsilon$ 모델로 계산한 것보다 큰 것으로 예측하였다.

Fig. 7은 입구측 압력 크기에 따른 정압 분포를 나타낸다. 오리피스 입구 부근에서 상당한 압력 강하가 발생하였다. vena contracta 효과로 인해, 유동은 국부적인 가속을 경험하며, 따라서 정압은 국부 최소값에 도달하였다. Fig. 5의 증기 체적 분율과 유사하게, 입구측 압력이 증가함에 따라 최소 정압 영역은 오리피스의 하류로 점차 확장되었다. 주어진 온도에서 국부 압력이 유체의 증기압 아래로 떨어질 때 캐비테이션이 발생하는 것으로 알려져 있다. 결과적으로, Fig. 5 및 7에 기초하여, 오리피스에서 국부적으로 낮은 정압이 캐비테이션을 유발하는 주요 인자인 것으로 판단된다.

Fig. 8은 오리피스 중심선에서 첨두 축방향 속도에 의해 무차원화된 축방향 속도 형상을 나타낸다. 이러한 축방향 속도 형상은 vena contracta의 위치를 확인하는 데 사용될 수 있다. vena contracta는 상대적으로 작은 단면적 내에서 반경 방향으로 국부 축방향 유동(orifice jet)을 제한하며, 이에 상응해서 축방향 속도가 증가한다.⁽¹⁶⁾ Pin = 350 kPa에서, 정규화된 축방향 속도 형상은 적용된 난류 모델에 따라 다른 형태를 나타내었다. SST $k-\omega$ 모델은 다른 난류 모델과 비교하여 1로 정규화된 축방향 속도가 하류 방향으로 더 유지되는 것으로 예측하였다. 표준 $k-\epsilon$ 모델의 경우, 1로 정규화된 축방향 속도는 유지되지 않았다. Pin = 5 MPa에서, SST $k-\omega$ 모델 및 Baseline 레이놀즈 응력 모델은 거의 동일한 축방향 속도 형상을 나타내었다. 그러나, 표준 $k-\epsilon$ 모델의 경우, 정규화된 축방향 속도가 첨두값에 도달한 후 점차 감소하였다. 이러한 결과는 Fig. 4의 축방향 속도 분포에 의해 확인할 수 있다. 이와 관련하여, 오리피스 내부의 캐비테이션 유동에 대한 정확한 예측이 이루어졌는지 여부를 확인하기 위해서는 방출계수 $C_{d}$와 해당 상관식의 비교 외에도 주요 유동 변수들의 국부 측정값(예: 속도, 압력 등)을 비교할 필요가 있다. 따라서, 전산유체역학 소프트웨어 검증용 데이터를 제공하기 위해 수행되는 오리피스 내부의 캐비테이션 유동 관련 시험 수행시 상기 내용을 고려할 필요가 있다.