2.1 VSRS의 상태 공간 모델링

Fig. 1은 VSRS로 구성된 오일쿨러 장치의 모식도이다. 부분 부하 시 압축기 회전 속도를 가변속함으로써 냉매의 질량유량을 변화시켜 오일출구(혹은 입구)온도를 지령값에 신속히 추종시킨다. 이때 냉매의 급격한 질량 유량 변화로 인한 액백(liquid back) 현상이나 과열 증기 압축으로 인한 COP 저하를 막기 위해 EEV(Electronic Expansion Valve) 개도를 제어함으로써 과열도(superheat)도 동시에 제어한다.

Fig. 2는 VSRS의 압축기와 EEV의 전달함수 모델을 구하기 위한 입․출력 관계를 나타낸 블록도이다. VSRS 제어계의 제어량은 오일출구온도 $T_{o}$와 과열도 $T_{s}$이고, 조작량은 인버터 주파수 $f_{i}$ [Hz]와 EEV 개도 지령인$V_{o}$ [step]이다. 그림에서 $G_{1}(s),\: G_{4}(s)$는 제어대상인 압축기와 EEV의 전달함수이고, $G_{2}(s),\: G_{3}(s)$는 압축기와 EEV 조작량이 상대방의 제어량에 미치는 간섭항의 전달함수를 각각 나타낸다.

Fig. 3은 VSRS의 압축기 조작량 $f_{i}$가 $T_{s}$에 미치는 간섭 영향을 실험으로 구한 결과와, 이 결과로부터 유도한 전달함수 $G_{2}(s)$$(=\dfrac{348.1s-0.467}{885s+1})$의 시뮬레이션 결과를 나타낸다. 시뮬레이션 시에는 실험 결과와의 엄밀한 동특성 비교를 위해 $G_{2}(s)$는 외란의 형태로 반영하였지만, $G_{3}(s)$는 $T_{o}$에 미치는 영향이 극히 미미하였으므로 제외하였다.

전달함수 $G_{1}(s),\: G_{4}(s)$는 동작점 근방에서 조작량의 미소 변동 실험을 통해 얻은 제어량의 동특성을 분석해 구하였다. 또한, $G_{1}(s)$를 구할 때는 EEV의 조작량을 일정(constant; c) 값으로, $G_{4}(s)$의 경우에는 $f_{i}$를 일정 값으로 고정하였다. 식(1)은 압축기의 인버터 지령 주파수 변화량 $\Delta f_{i}$에 따른 $T_{o}$의 변화량 $\Delta T_{o}$ 및 EEV 개도 지령 변화량 $\Delta V_{o}$에 따른 $T_{s}$의 변화량 $\Delta T_{s}$에 대한 전달함수이다. 식(1)에서 $G_{1}(s),\: G_{4}(s)$는 부동작 시간 $d$를 갖는 전형적인 1차계 전달함수 형태인 $\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-ds}$로 비선형임을 알 수 있다. 여기서 $\tau ,\: K$는 1차계 전달함수의 특성 파라미터로 시정수(time constant)와 DC 게인을 각각 나타내며 이를 통해 제어 대상의 동특성을 쉽게 예측할 수 있다.

식(1)의 전달함수는 부동작 시간 항인 $e^{-ds}$항을 Pade 1차 근사법을 적용함으로써 2차계의 선형화된 전달 함수 모델인 식(2)로 유도된다. 여기서 하첨자 ‘$l$’은 선형화 전달함수 모델임을 의미한다.

SMC 설계를 위해서는 상태 공간 모델이 필요하므로 식(2)의 전달함수는 상태방정식 $\dot x = Ax+Bu$와 출력 방정식 $y=Cx$의 형식으로 식(3), 식(4)와 같이 각각 유도된다. 이때 압축기와 EEV의 상태방정식은 $\dot x_{ic}=A_{c}x_{ic}+$ $B_{c}u_{c}$, $\dot x_{ie}=A_{e}x_{ie}+B_{e}u_{e}(i=1,\:2)$, 출력방정식은 $y_{c}=C_{c}x_{ic}$, $y_{e}=C_{e}x_{ie}$의 형식으로 각각 구해졌다. 여기서 상태 변수 $x_{i}$는 상태 공간 모델 변환 과정에서 정의된 식으로 특정 물리량을 의미하지 않는다.

식(3)과 식(4)에서 하첨자 ‘c’와 ‘e’는 압축기(compressor)와 EEV를, 출력변수 $y_{c},\:y_{e}$는 오일출구온도 $T_{o}$와 과열도 $T_{s}$를 각각 의미한다. 또한, $u_{c}$와 $u_{e}$는 압축기의 회전수와 EEV의 개도를 제어하기 위한 조작량인 압축기 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 드라이브 개도 지령 $V_{o}$를 각각 나타낸다. 이들 수식 변환 과정에서 얻어지는 $A(2\times 2),\: B(2\times 1),\:C(1\times 2)$는 계수 행렬이다.

최적 슬라이딩 모드 서보 제어계에 적용하기 위해 식(3)과 식(4)를 가제어 표준형(controllable canonical form) 상태 공간 모델인 식(5)와 식(6)으로 변환한다. 이 모델은 변환 행렬 $T=UH$를 이용, $x=Tz$의 선형 변환을 통해 얻어졌다. 여기서 $U(=[B AB\cdots A^{n-1}B])$는 식(3)과 식(4)의 가제어 행렬, $H$는 행렬 $U$의 특성방정식의 계수로 구성된 정방행렬을 각각 나타낸다.

2.2 최적 절환 초평면을 갖는 슬라이딩 모드 서보 제어기 설계

슬라이딩 모드 제어는 Fig. 4와 같이 피드백 되는 상태변수의 조건에 따라 선형, 비선형 시스템의 구조를 바꾸면서 동적 특성을 변경하는 가변 구조 제어의 대표적인 방법으로 외란, 모델 불확실성 및 파라미터 변동에 강인한 제어 방법으로 널리 알려져 있다.^(13-17) SMC 설계에서는 2.1절에서 구한 상태 공간 모델링 및 Fig. 4와 같은 절환 초평면 $\sigma$를 설계하는 것이 핵심이다. 그리고 설계된 절환 초평면에 상태변수 $x_{i}(i=1,\:2)$를 구속 시키기 위해 불연속 제어 입력 $us$(switching input) 및 연속 제어 입력 $uc$(continuous input)를 설계한다. 제어대상에 인가되는 전체 조작량 $u$는 $u=uc+us$로 구성되며, 슬라이딩 모드에서는 $uc$가, 그리고 초기 상태나 슬라이딩 평면을 벗어날 경우, 스위칭 평면에 재 도달시키는 역할을 $us$가 담당한다. Fig. 5는 SMC 제어계의 개략도이다.

식(5), 식(6)의 표준형 상태 공간 모델을 기반으로 압축기와 EEV 제어용 최적 절환 초평면을 설계한다. 이때 평가함수 $J$는 슬라이딩 평면(절환 초평면)에서의 상태변수 $x$($x\in R^{2}$)의 변동을 최소화 하도록 $J=\int_{t_{s}}^{t}(x^{T}Q x)dt$로 정한다. 여기서 $Q$($Q\in R^{2\times 2}$)는 하중함수로 $Q_{12}=Q_{21}^{T}$이다. 또한, 상첨자 ‘$T$’는 행렬의 전치(transpose)를 나타 낸다. 이 평가함수 $J$를 최소로 하는 최적 절환 초평면 $\sigma =S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}$를 구하기 위해 보조변수 $v$($=x_{2}+Q_{22}^{-1}Q_{12}^{T}x_{1}$) 를 도입하여 기존의 평가함수 $J$를 2차형식의 일반적인 평가함수 $J_{2}(=\int(x_{1}^{T}Q_{11}^{*}x_{1}+v^{T}Q_{22}v)dt)$로 변환한다.⁽¹⁴⁾ 여기서, $S_{1},\: S_{2}$는 최적 절환 초평면의 기울기, $Q_{11}^{*}$는 $Q_{11}^{*}=Q_{11}-Q_{12}Q_{22}^{-1}Q_{12}^{T}$를 나타낸다.

한편, 이 보조변수 $v$를 이용하면, 식(5)와 식(6)의 상태방정식은 최종적으로 $\dot x_{1}=A_{11}^{*}x_{1}+A_{12}v$의 형식으로 정리된다. 여기서 $A_{11}^{*}$는 $A_{11}^{*}=A_{11}-A_{12}Q_{22}^{-1}Q_{12}^{T}$이다. 따라서, 이 상태방정식과 2차형식의 평가함수 $J_{2}$를 최소로 하는 해 $v$는 식(7)의 리카티방정식(Riccati equation)의 해인 행렬 $P$를 통해 $v=-Q_{22}^{-1}A_{12}^{T}P x_{1}$으로 구해진다. 이를 앞서 정의한 $\nu =x_{2}+Q_{22}^{-1}Q_{12}^{T}x_{1}$에 대입하면, 최적 절환 초평면은 식(8)과 같이 유도된다.

서보계로의 확장을 위해 입력 $r$과 출력 $y$의 차를 적분한 변수 $z$(=$\int(r-y)dt$)를 도입하여 식(5)와 식(6)을 식(9)와 같은 확대계로 표현하면, 절환 초평면 역시 서보계로 확대되어 식(10)과 같이 유도된다. 여기서 하첨자 ‘$m$’은 확대계로 표현된 상태변수를 나타낸다.

제어 입력은 식(10)의 $\sigma_{m}$에 관한 Lyapunov 함수를 $V=(\sigma_{m}^{T}\sigma_{m})/2>0$와 같이 정의하고, 그 미분 값인 $\dot V\le 0$를 만족하는 $u$를 구하면 설계된 제어계가 점근 안정하게 된다. 식(11)은 $\dot V =\sigma_{m}^{T}\dot\sigma_{m}=0$를 만족하는 연속 제어 입력을 구하기 위해 슬라이딩 모드의 조건 $\dot\sigma_{m}=S_{m}\dot x_{m}=0$를 대입한 결과이다. 이 식으로부터 연속제어 입력 $uc$가 식(12)와 같이 구해진다. 불연속 제어 입력 $us$는 $\dot\sigma_{m}=-M sgn(\sigma_{m})$를 가정, 전체 제어 입력 $u=uc+us$에 입력한 후, 안정 조건을 만족하도록 식(13)과 같이 유도된다. 시스템의 상태가 슬라이딩 평면상에 있을 때의 연속 제어 입력인 $uc$는 $\sigma_{m}=\dot\sigma_{m}=0$의 조건에서 유도되었으며, 슬라이딩 모드가 아닐 때 스위칭 평면으로의 복귀를 위한 불연속 제어 입력인 $us$는 Lyapunov의 제2법칙인 도달법칙을 사용하여 유도되었다.

여기서 기호 ‘$sgn$’은 부호 함수를 의미하며, $\sigma_{m}SUCC0$이면 ‘+1’, $\sigma_{m}PREC0$이면 ‘$-$1’값을 갖는다. 또한, 불연속 제어 입력의 계수 $Ks$($Ks SUCC 0$)는 스위칭 게인(switching gain)으로 절환 초평면에 도달하는 속도를 결정한다.

3.1 시뮬레이션 결과 및 고찰

Fig. 8은 동작점 근방에서 조작량의 미소 변동 실험을 통해 얻은 압축기와 EEV의 실제 동특성(흑색 실선)과 전달함수로부터 유도한 상태 공간 모델의 시뮬레이션 결과(적색 파선)를 나타낸다. 이 상태 공간 모델은 실험 결과로부터 얻은 전달함수 모델에 2.1절에서 제안한 방법을 적용하여 구하였다. Fig. 8에서 상태 공간 모델의 시뮬레이션 응답은 실제 압축기와 EEV의 동특성 실험 결과와 매우 일치함을 알 수 있다. 따라서, SMC 설계에 사용된 상태 공간 모델의 타당성이 입증된다.

Fig. 9와 Fig. 10은 본 논문에서 설계한 SMC 제어기와 PI 제어기의 시뮬레이션 결과를 각각 보여준다. 각 그림의 (a)는 제어량인 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답을 각각 나타낸다. 그림 (b)와 (c)는 제어량의 응답 (a)를 얻기 위한 압축기와 EEV의 조작량인 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 드라이브 개도 지령 $V_{o}$를 각각 나타낸다. SMC와 PI의 제어량의 응답을 비교해 보면, SMC 제어기가 지령값 변경 및 열부하 변동 하에서도 $T_{o}$와 $T_{s}$ 모두 정상상태오차 없이 엄밀하게, 그리고 목표값에 신속하게 추종함으로써 강인한 외란 억제 성능을 갖고 있음을 보여준다. 특히 $T_{s}$는 SMC가 PI 제어의 경우보다 정상상태오차가 2.8% 작았고, 지령값 변동과 같이 냉매의 질량유량이 급격히 변동되는 시점에서의 간섭 영향도 PI 제어기보다 35% 줄어드는 결과를 보였다.

3.2 실험 결과 및 고찰

실험은 Fig. 6의 장치와 Table 3의 설계 파라미터들을 이용하여 시뮬레이션과 동일한 조건으로 수행하였다. Fig. 11과 Fig. 12는 SMC와 PI 제어기에 의한 지령값 및 열부하 변동 시의 실험 결과로서, 제어량인 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답, 그리고 이때의 압축기와 EEV 조작량인 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 드라이브 개도 지령 $V_{o}$를 각각 나타낸다. 정착시간은 오차 범위 $+-$0.1℃($+-$2%) 이내로 수렴하는 시간을 기준으로 하였다.

지령값 변경 시 SMC에 의한 $T_{o}$의 정착시간은 2,091 초였으며, PI 제어기의 경우는 2,410 초였다. 최대 언더 슈트는 두 제어기 모두 0.5℃(10%) 이내를 만족하도록 설계하였으나 SMC는 설정값보다 소폭 감소한 0.39℃, PI 제어기는 소폭 증가한 0.6℃로 확인되었다. 정상상태오차는 두 제어기 모두 발생하지 않았다.

열부하 감소 시 SMC에 의한 $T_{o}$의 정착시간은 909 초였으며, PI 제어기의 경우는 1,006 초였다. 최대 언더 슈트는 SMC가 0.27℃였으며, PI 제어기는 SMC보다 소폭 증가한 0.3℃로 확인되었다. 정상상태오차는 두 제어기 모두 발생하지 않았다.

열부하 증가 시 SMC에 의한 $T_{o}$의 정착시간은 1,162 초였으며, PI 제어기의 경우는 1,990 초였다. 최대 오버 슈트는 SMC가 0.6℃였으며, PI 제어기는 SMC보다 소폭 증가한 0.75℃로 나타났다. 정상상태오차는 두 제어기 모두 발생하지 않았다.

이 결과들을 통해 열부하 변동 하에서도 $T_{o}$와 $T_{s}$는 두 제어기 모두 지령값에 엄밀히 추종함으로써 정상 특성 지표인 정상상태오차는 발생하지 않는 것으로 나타났다. 하지만, 과도 특성 지표인 정착시간과 최대 언더슈트, 최대 오버슈트는 SMC가 PI 제어기보다 현저히 작게 나타나 제어의 강인성이 우수함을 알 수 있다.

Fig. 13은 실험 장치의 주변 온도(ambient temperature)가 변동되는 상태 하에서 Fig. 11(a)와 동일한 조건으로 SMC를 적용한 실험 결과이다. 장치의 주변 온도가 최저 21℃에서 최고 29℃까지(38%) 불규칙적으로 변동하는 상태에서 지령값을 변경한 경우, $T_{o}$의 정착시간은 1,909 초, 최대 언더슈트는 장치 주변 온도가 일정한 경우보다 0.19℃ 줄어들었다. 열부하 감소 및 증가 시 정착시간은 각각 870 초와 1,050 초로 나타났다. 최대 언더슈트 및 오버슈트는 열부하 감소 및 증가 시 각각 0.25℃, 0.5℃로 나타났다. 정상상태오차는 지령값 변경과 열부하가 감소하거나 증가한 경우에도 발생하지 않았다. 이 결과들을 통해, 장치의 주변 온도가 변동하는 경우에도 지령값 변경 시의 정착시간과 최대 언더슈트는 거의 변동하지 않았다. 열부하 변경 시의 최대 언더슈트와 최대 오버슈트도 모두 작게 나타났다. 이는 모델의 불확실성이 증가하더라도 $T_{o}$와 $T_{s}$는 모두 지령값에 엄밀히 추종함을 알 수 있고, 과도 특성 및 외란 제거 성능이 우수하여 설계한 제어기의 제어 성능이 강인함을 알 수 있다.

특히, SMC 제어기는 PI 제어기와는 달리 지령값 및 열부하 변동 시에 조작량이 안정됨을 확인할 수 있다. 이로 인해 지령값 변동 시, 최대 언더슈트가 비슷하더라도 안정된 제어량으로 인해 $T_{o}$의 정착시간은 SMC가 PI 제어기보다 단축되는 것으로 나타났다. 열부하 변경 시, 최대 언더슈트 및 최대 오버슈트는 SMC가 PI 제어기보다 감소하였다. 이는 압축기 인버터 주파수 조작량이 불연속 제어 입력 $us$로 인해 PI 제어기보다 빠르게 증․감하기 때문인 것으로 사료된다. 이들 실험 결과는 모델의 불확실성이 다수 포함된 식(1)의 공칭 모델을 기반으로 설계된 제어기의 응답이므로, 설계된 SMC 제어기가 모델의 불확실성에 강인함을 알 수 있다. 본 논문에서 행한 SMC와 PI 제어기 성능에 대한 엄밀한 정량적 비교 평가는 SMC의 강인 제어 성능을 보다 명확히 나타내기 위해서이다. 즉, 동일한 공칭 모델을 대상으로 동일한 설계사양을 갖도록 설계된 SMC와 PI 제어기가 파라미터의 불확실성과 각종 외란의 변동 하에서는 제어 성능이 어떻게 달라지는지를 비교 평가하고자 한 것임에 주목할 필요가 있다.