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Korean Journal of Air-Conditioning and Refrigeration Engineering

Korean Journal of Air-Conditioning and Refrigeration Engineering

ISO Journal TitleKorean J. Air-Cond. Refrig. Eng.
  • Open Access, Monthly
Open Access Monthly
  • ISSN : 1229-6422 (Print)
  • ISSN : 2465-7611 (Online)

  1. 한국교통대학교 기계자동차항공공학부 교수 ( Professor, Korea National University of Transportation, Chungju-si, 27469, Korea )



Periodic boundary condition(주기경계조건), Rotary wheel(로터리휠), Parallel flow(평행류), Cross flow(직교류), Analytical model(해석모델), Heat exchanger(열교환기)

기호설명

C*: 유체-고체 열용량비 [-]
Cp: 비열 [kJ/kgK]
Cr: 열용량율비, Cmin/Cmax [-]
h: 대류열전달계수 [kW/m2K]
L: 유로길이 [m]
$\dot m$: 질량유량 [kg/s]
T: 온도 [K]
t: 시간 [s]
Ntu: NTU [-]
U: 총괄열전달계수 [kW/m2K]
$u$: 평균속도 [m/s]
$v$: 전면속도 [m/s]
x: 유동방향 거리 [m]
ε: 유용도 [-]
ρ: 밀도 [kg/m3]
μ: 분할비 [-]
τ: 주기 [s]
σ: 공극률 [-]
ξ: 무차원 거리, x/L [-]
t*: 무차원 시간, t/(L/u) [-]

1. 서 론

일반적인 열교환기는 분리된 복수의 유로에 각기 다른 온도의 유체를 동시에 통과시키면서 전열벽을 통해 고온유체에서 저온유체로 열을 전달하는 직접전달방식(direct-transfer type)으로 작동한다. 이에 반해 주기적으로 작동하는 열교환기는 축열체(matrix)를 포함한 단일 유로에 고온유체와 저온유체를 순차적으로 통과시킴으로써 고온유체가 통과하는 동안 축열체가 저장한 열을 저온유체가 통과할 때 방열하는 간접전달방식(indirect-transfer type)으로 작동하며 작동원리상 유로의 완전한 밀폐가 불가능하고 유동 절환시 고온과 저온유체가 혼합되는 단점이 있지만 단위부피당 전열면적이 매우 크고 저렴한 장점 덕분에 다양한 산업분야에서 사용되고 있다.(1) 주기적 열교환기는 유동절환 방식을 기준으로 고온과 저온유로 사이에 원통 또는 바퀴모양의 축열체가 회전하는 회전형(rotary type)과 유로의 입출구에 설치한 복수의 밸브 또는 댐퍼를 선택적으로 여닫아 고온유체와 저온유체를 순차적으로 흘려보내는 밸브형(valve type)으로 구분하고 축열체에 대한 유동의 상대적인 방향을 기준으로 고온과 저온유동이 반대 방향인 대향류(counter-flow)와 같은 방향인 평행류(parallel-flow)로 구분할 수 있다. 밸브형과 회전형은 성능에는 큰 차이가 없지만 밸브형의 경우 연속운전을 위해 두 개의 동일한 열교환기가 필요한 단점이 있기 때문에 작은 설치공간이 중요한 경우에는 회전형인 로터리휠 열교환기(rotary wheel heat exchanger)가 주로 사용된다. 반면 유동방향은 주기적 열교환기의 성능에 큰 영향을 미쳐서 일반적인 열교환기에서와 마찬가지로 대향류가 평행류에 비해 열전달 성능이 뛰어나기 때문에 대부분의 주기적 열교환기는 대향류 형태를 고려한다. 그러나 일반적으로 그 비용 또한 평행류에 비해 높으므로 그 성능우위 효과가 초과비용을 상쇄하지 못하면 평행류 열교환기가 대안이 될 수 있는데 Fig. 1에 그 몇 가지 예를 제시하였다.

Fig. 1 Examples of periodic parallel-flow heat exchangers.
../../Resources/sarek/KJACR.2021.33.7.320/fig1.png

Fig. 1(a)는 국소 데시컨트 제습기(zonal desiccant dryer)의 개략도로 입구에 공급되는 공기의 일부를 히터에서 가열하여 제습로터(desiccant rotor)을 재생한 후 다습한 공기로 배출(1 → 2 → 3)하고 입구에서 분리된 다른 일부는 반대편에서 제습한 후 건조한 공기(1 → 4)로 배출한다. 고온과 저온공기가 일정속도로 회전하는 제습 로터의 한쪽 면으로만 유입하기 때문에 제습로터 내부에는 일정한 방향과 주기로 고․저온유동이 교대로 흐르게 된다. Fig. 1(a)의 평행류 시스템은 제습부하가 다른 복수의 구획(zone)에 공급하는 공기의 습도를 제어 하기 위한 덕트와 송풍기의 수를 최소화할 수 있어 시스템의 소형화가 중요한 항공기용 국소제습기로 사용 되고 있다.(2)

Fig. 1(b)는 흡착식 열펌프에 사용하는 흡착열교환기(adsorbent-bed heat exchanger)의 개략도이다. 흡착열교환기는 내부에 냉각수와 열수를 순차적으로 흘려보내는데 냉각수가 흐르는 동안에는 외부에 고정된 흡착제를 냉각 하여 냉매증기를 흡착하고 열수가 흐르는 동안에는 냉매로 포화된 흡착제를 가열하여 재생하는 역할을 한다. 열교환기의 두 연결관은 각각 3방 밸브를 통해 열수 또는 냉각수배관에 연결되어 있어 두 3방 밸브의 선택적 절환에 따라 열수 또는 냉각수를 열교환기로 공급할 수 있다. 열수의 흐름은 1 → 2 → 3 → 4, 냉각수의 흐름은 1´ → 2 → 3 → 4´로 표시하였고 그림에서 볼 수 있듯이 냉각수와 열수는 동일한 방향으로 흐른다. 많은 수의 흡착식 열펌프가 평행류 열교환기를 채용(3)하고 있다는 사실로 미루어 볼 때 대향류 열교환기와의 성능차가 크지 않을 것으로 기대된다.

Fig. 1(c)에는 현열축열조의 일종인 자갈축열조(rock-bed heat storage)를 온실난방에 적용한 예를 도시하였다. 그림은 주간에 태양복사에 의해 더워진 따뜻한 공기를 지하에 매립한 자갈축열조를 통과시켜 축열하고 야간에 방열하는 시스템이며 공기의 입구(1)와 출구(2)가 주․야간에 동일한 평행류 축열시스템(4)으로서 댐퍼와 송풍기 등을 추가한 대향류 시스템의 경쟁력이 높지 않을 때 사용한다.

Fig. 1의 열교환기들은 그 작동원리와 목적에는 차이가 있지만 열매체의 입출구가 동일하여 유로 내부에서는 고온과 저온유동이 같은 방향으로 흐르기 때문에 모두 평행류 열교환기로 분류할 수 있다. 이들 시스템들의 해석 모델을 개발하기 위해서는 우선 주기적으로 작동하는 평행류 열교환기에 대한 연구가 선행되어야 한다. 주기적 열교환기는 대향류 시스템에 대해서는 많은 해석적 연구(5)를 찾아볼 수 있지만 평행류 시스템에 대한 연구는 상대적으로 적다. 평행류 시스템에 대해 수행된 주요한 해석 연구의 내용을 아래에 간략히 정리하였다.

Schumann(6)은 초기에 균일한 온도였던 반무한 충전층(semi-infinite packed bed)의 입구공기 온도가 계단함수로 주어지는 문제에 대한 1차원 과도열전달 방정식을 풀어 Bessel 함수의 무한급수 형태인 엄밀해를 제시하였다. 그의 연구는 축열시스템의 동적거동에 관한 원천적 연구로서 이후 많은 후속 연구의 기초가 되어왔다.

Stang and Busch(7)는 Schumann(6)의 방정식에서 유체 열용량의 효과를 무시하고 고체 내부의 유동방향 열확산과 주기적 입구공기 온도조건을 고려한 엄밀해를 유도하고 입구공기 온도가 시간에 대한 삼각함수로 주어지는 조건에서 열교환기를 통과한 출구공기의 시간-온도 데이터로부터 대류열전달계수를 추정하는 주기적 시험법 (periodic method)을 제안하였다. 이들은 시험결과의 분석을 통해 주기적 시험법이 Schumann(6)의 엄밀해에 기초한 싱글 블로우 시험법(single-blow method)(8)에 비해 더 넓은 영역에서 정확한 결과를 얻을 수 있고 고체 내부의 유동방향 열확산 효과는 유속이 매우 작은 경우가 아니면 무시할 수 있다고 하였다.

Hausen(9)은 평행류 로터리휠 열교환기를 두 개의 직교류(cross-flow) 열교환기로 근사하고 두 열교환기의 2차원 정상상태 연립방정식을 풀어 그 유용도를 NTU와 무차원 회전속도의 함수로 제시하였다. 그의 연구는 평행류 로터리휠 열교환기에 대한 최초의 엄밀해를 제공했다는 점에서 의미 있지만 유량비가 1이고 분할비가 1:1인 경우에만 적용 가능하다.

Romie(10)는 평행류 로터리휠 열교환기의 엄밀해를 구하기 위해 특수함수(11)를 도입하여 Hausen(9)과 동일한 방정식을 풀었다. 그의 엄밀해는 분할비가 1:1이 아닌 비대칭 휠에도 적용 가능하지만 유량비가 1인 경우에만 유효하다.

Stang and Busch(7)이 고려한 유동방향 열확산항 효과를 무시하면 전술한 연구들의 지배방정식은 모두 동일한 형태로 표현되며 경계조건만 상이하다. 따라서 이들의 연구결과는 모두 평행류 로터리휠 열교환기에 적용할 수 있으나 작동유체가 기체, 유량비가 1 또는 분할비가 1:1로 제한되는 등 적용범위가 제한적이다. 따라서 본 연구는 다양한 작동유체와 넓은 운전영역에서 유효한 해를 구하는 것을 목표로 하였다. 이를 위해 Schumann(6)과 동일한 방정식의 입구온도조건을 임의의 주기함수로 확장하여 일반해를 구하였으며 평행류 로터리휠 열교환기와 직교류 열교환기에 적용하여 검증하였다. 아래에서는 제 2장에 지배방정식과 풀이과정을 정리하였고 제 3장에서 로터리휠 열교환기, 제 4장에서 직교류 열교환기를 논의하였다.

2. 지배방정식과 일반해

Fig. 2(a)에 이상적인 열교환기의 전면과 내부 유로 단면을 개략적으로 도시하였다. 열교환기는 공극률(porosity)이 $\sigma$, 비표면적(specific surface area)이 $a$인 다공성구조(porous medium)이고 유체가 전면에서 일정 전면유속($v$)과 온도($T_{ai}$)로 유입하여 모든 유로에 균일하게 분배된다고 가정한다. 본 연구에서는 Schumann(6)과 동일한 아래의 가정을 도입하였다.

Fig. 2 Control volume and boundary condition in an ideal heat exchanger.
../../Resources/sarek/KJACR.2021.33.7.320/fig2.png

- 유동방향의 수직 단면에서 고체온도는 균일하다.

- 유동방향 열확산효과는 무시할 수 있다.

- 대류 열전달률은 유체와 고체의 평균온도차에 정비례한다.

- 모든 열물성은 온도와 무관하게 일정하다.

첫 번째 가정으로 인한 오차는 고체벽의 두께가 얇고 내부 열확산속도가 큰 경우 즉, Bi수 < 0.1인 경우에 충분히 작고 두 번째 가정의 오차는 유속이 충분히 큰 경우(Re > 70)(7)에 무시할 수 있으며 세 번째 가정은 일정 대류열전달계수($h$)를 가정함을 의미하고 네 번째는 선형지배방정식을 위한 필수적 가정으로 시스템 내부의 온도차가 크지 않은 경우에 적절한 평균온도에서 정의한 열물성을 사용하여 그 오차를 최소화할 수 있다.

Fig. 2(a)에서 유체($\sigma$)와 고체($1-\sigma$)의 공간을 포함하는 미소체적 dx에 대한 열평형방정식(12)은 전술한 가정에 따라 다음과 같이 단순화할 수 있다.

(1)
$\dfrac{\partial T_{a}}{\partial t^{*}}+\dfrac{\partial T_{a}}{\partial\xi}=Ntu\left(T_{s}-T_{a}\right)$

(2)
$\dfrac{\partial T_{s}}{\partial t^{*}}=-Ntu C^{*}\left(T_{s}-T_{a}\right)$

여기서 체류시간(residence time)을 $\Delta t=L/u(=L\sigma /v)$로 약속하면 무차원시간은 $t^{*}=t/\Delta t$, 무차원거리는 $\xi =$ $x/L$로 정의되고 $Ntu$와 $C^{*}$는 다음과 같이 정의된다.

(3)
$Ntu=\dfrac{ha\Delta t}{\left(\rho C_{p}\right)_{a}\sigma}$

(4)
$C^{*}=\dfrac{\left(\rho C_{p}\right)_{a}}{\left(\rho C_{p}\right)_{s}}\left(\dfrac{\sigma}{1-\sigma}\right)$

본 연구의 목표는 입구($\xi$ = 0)에서 $T_{a}$가 Fig. 2(b)와 같이 임의의 주기함수 $f(t)$로 주어지는 주기적 경계 조건에서 식(1), 식(2)의 해를 구하는 것이다. 서론에서 언급한 연구들 중에서 Schumann(6)은 동일한 지배방정식을 다른 경계조건($\xi$ = 0에서 $T_{a}$가 계단함수)에서 풀었고 기타 연구들(7,9,10)식(1)의 과도항($\partial T_{a}/\partial t^{*}$)을 무시하였음을 참고하기 바란다. 아래에 풀이과정을 정리하였다.

식(1)-식(2)의 연립방정식은 $T_{a}$와 $T_{s}$, 두 개의 미지수를 가진다. 두 방정식을 연립하여 $T_{s}$를 소거하면 다음과 같이 $T_{a}$만의 방정식을 얻을 수 있다.

(5)
$\dfrac{\partial^{2}T_{a}}{\partial t^{*2}}+\dfrac{\partial^{2}T_{a}}{\partial t^{*}\partial\xi}+Ntu\left(1+C^{*}\right)\dfrac{\partial T_{a}}{\partial t^{*}}+Ntu C^{*}\dfrac{\partial T_{a}}{\partial\xi}=0$

변수분리가능한 해를 찾기 위해 $T_{a}$를 다음의 형태로 가정하였다.

(6)
$T_{a}=const\times\exp[\left(a_{n}+ib_{n}\right)t^{*}+\left(\alpha_{n}+i\beta_{n}\right)\xi]$

식(6)식(5)에 대입하고 정리하면 상수 $a_{n},\:b_{n},\:\alpha_{n},\:\beta_{n}$는 다음의 두 방정식을 만족해야 한다.

(7)
$a_{n}^{2}+a_{n}\left[\alpha_{n}+Ntu\left(1+C^{*}\right)\right]-b_{n}\left(b_{n}+\beta_{n}\right)+Ntu C^{*}\alpha_{n}=0$

(8)
$b_{n}\left[2a_{n}+\alpha_{n}+Ntu\left(1+C^{*}\right)\right]+\left(Ntu C^{*}+a_{n}\right)\beta_{n}=0$

$\xi$ = 0에서 $T_{a}$는 주기가 $\tau$인 주기함수이므로 식(7-8)에서 $a_{n}=0$, $b_{n}=2n\pi(\Delta t/\tau)$를 고려하면 $T_{a}$의 일반해는 다음과 같이 주어진다.

(9)
$T_{a}=\dfrac{B_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\exp\left(\alpha_{n}\xi\right)\left[A_{n}\sin\left(b_{n}t^{*}+\beta_{n}\xi\right)+B_{n}\cos\left(b_{n}t^{*}+\beta_{n}\xi\right)\right]$

여기서 $b_{n}$, $\alpha_{n}$, $\beta_{n}$은 다음과 같이 정의된다.

(10)
$b_{n}=\dfrac{2n\pi\Delta t}{\tau}$

(11)
$\alpha_{n}=-Ntu /\left[1+\left(\dfrac{Ntu C^{*}}{b_{n}}\right)^{2}\right]$

(12)
$\beta_{n}=\alpha_{n}\left(\dfrac{Ntu C^{*}}{b_{n}}\right)-b_{n}$

식(9)의 $A_{n}$과 $B_{n}$은 $\xi$ = 0에서 주어지는 $T_{a}$의 주기함수 $f(t)$에 의해 다음과 같이 결정된다.

(13)
$A_{n}=\dfrac{2}{\tau}\int_{0}^{\tau}f(t)\sin\left(2n\pi\dfrac{t}{\tau}\right)dt$

(14)
$B_{n}=\dfrac{2}{\tau}\int_{0}^{\tau}f(t)\cos\left(2n\pi\dfrac{t}{\tau}\right)dt$

식(10)~식(14)의 상수가 결정되면 식(9)로 임의의 시간(t)과 위치(x)에서 $T_{a}$를 계산할 수 있다. $T_{a}$가 주어지면 $T_{s}$는 아래와 같이 계산할 수 있다. 우선 고체-유체 온도차 $\Delta T_{s-a}$는 식(1)에서 다음과 같이 정의된다.

(15)
$\Delta T_{s-a}\left(=T_{s}-T_{a}\right)=\dfrac{1}{Ntu}\left(\dfrac{\partial T_{a}}{\partial t^{*}}+\dfrac{\partial T_{a}}{\partial\xi}\right)$

식(15)의 우측에 식(9)를 대입하여 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(16)
$\Delta T_{s-a}=\dfrac{1}{Ntu}\sum_{n=0}^{\infty}\exp\left(\alpha_{n}\xi\right)\left\{\begin{aligned}\left[A_{n}\alpha_{n}-B_{n}\left(b_{n}+\beta_{n}\right)\right]\sin\left(b_{n}t^{*}+\beta_{n}\xi\right)\\ \\ +\left[A_{n}\left(b_{n}+\beta_{n}\right)+B_{n}\alpha_{n}\right]\cos\left(b_{n}t^{*}+\beta_{n}\xi\right)\end{aligned}\right\}$

대류열전달계수는 일정하므로 식(16)은 열유속의 표현으로도 볼 수 있다. $T_{s}$는 식(16)식(9)을 더하여 다음과 구한다.

(17)
$T_{s}=\dfrac{B_{0}}{2}+\dfrac{1}{Ntu}\sum_{n=0}^{\infty}\exp\left(\alpha_{n}\xi\right)\left\{\begin{aligned}\left[A_{n}\left(Ntu+\alpha_{n}\right)-B_{n}\left(b_{n}+\beta_{n}\right)\right]\sin\left(b_{n}t^{*}+\beta_{n}\xi\right)\\ \\ +\left[A_{n}\left(b_{n}+\beta_{n}\right)+B_{n}\left(Ntu+\alpha_{n}\right)\right]\cos\left(b_{n}t^{*}+\beta_{n}\xi\right)\end{aligned}\right\}$

이상으로 문제의 일반해를 유도하였다. 다음 장에서는 이상의 결과를 몇 가지 문제에 적용하여 논의를 계속하겠다.

3. 평행류 로터리휠 열교환기

Fig. 3(a)에 평행류 로터리휠 열교환기의 개략도를 도시하였다. 휠 전면면적 $A_{c}$에 대한 면적비가 $\mu$인 고온 영역에 $v_{h}$의 전면속도로 온도 $T_{h}$의 공기가 유입하고 면적비 $1-\mu$의 저온영역에 $v_{c}$의 전면속도로 온도 $T_{c}$의 공기가 유입한다. 편의상 고온영역의 면적이 더 작은($\mu$ ≤ 0.5) 것으로 가정하겠다. 이 경우 입구온도조건은 Fig. 3(b)와 같이 $T_{h}$와 $T_{c}$ 사이의 비대칭 사각파(square wave)로 근사할 수 있다. 고온영역의 $Ntu_{h}$와 저온영역의 $Ntu_{c}$는 일반적으로 다르며 아래에서는 $Ntu$가 일정한 경우($Ntu$ = $Ntu_{h}$ = $Ntu_{c}$)와 그렇지 않은 경우($Ntu_{h}$ ≠ $Ntu_{c}$)를 분리하여 논의하겠다.

Fig. 3 Asymmetric rotary wheel heat exchanger.
../../Resources/sarek/KJACR.2021.33.7.320/fig3.png

3.1 $Ntu$가 일정한 경우($Ntu$ = $Ntu_{h}$ = $Ntu_{c}$)

$Ntu$는 고온과 저온영역에서 식(3)의 정의에 따라 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

(18)
$Ntu_{h}=\dfrac{a L}{\left(\rho C_{p}\right)_{a}}\left(\dfrac{h}{v}\right)_{h}$

(19)
$Ntu_{c}=\dfrac{a L}{\left(\rho C_{p}\right)_{a}}\left(\dfrac{h}{v}\right)_{c}$

식(18), 식(19)로부터 $Ntu_{h}$=$Ntu_{c}$를 만족하려면 대류열전달계수와 전면속도는 다음의 관계를 만족해야 한다.

(20)
$\left(\dfrac{h}{v}\right)_{h}=\left(\dfrac{h}{v}\right)_{c}$

따라서 대류열전달계수가 일정($h_{h}=h_{c}$)한 경우에는 전면유속이 균일($v_{h}=v_{c}$)해야 함에 유의하기 바란다. $Ntu$가 일정한 경우에 $T_{a}$는 식(9)Fig. 3(b)의 입구온도조건에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다.

(21)
$\dfrac{T_{a}-T_{m}}{\Delta T_{\max}}=\sum_{n=1}^{\infty}\exp\left(\alpha_{n}\xi\right)\left[A_{n}\sin\left(2n\pi\dfrac{t}{\tau}+\beta_{n}\xi\right)+B_{n}\cos\left(2n\pi\dfrac{t}{\tau}+\beta_{n}\xi\right)\right]$

여기서 $\Delta T_{\max}$는 최대온도차(= $T_{h}-T_{c}$), $T_{m}$은 평균온도[= $T_{h}\mu -T_{c}(1-\mu)$]이고 $A_{n}$과 $B_{n}$은 다음과 같이 주어진다.

(22)
$A_{n}=\dfrac{1-\cos(2n\pi\mu)}{n\pi}$

(23)
$B_{n}=\dfrac{\sin(2n\pi\mu)}{n\pi}$

여기서 $\mu$는 일반적으로 임의의 값이지만 대류열전달계수가 같은 경우($h_{h}=h_{c}$) 즉, 균일유속($v_{h}=v_{c}$)일 때에는 다음과 같이 $C_{r}$(=$C_{\min}/C_{\max}$)의 함수로 주어진다.

(24)
$\mu =\dfrac{C_{r}}{1+C_{r}}$

한편 로터리휠 열교환기의 회전속도는 흔히 다음의 무차원수를 정의하여 고려하는데

(25)
$C_{r}^{*}=\dfrac{M_{s}C_{ps}}{C_{\min}\tau}$

여기서 $M_{s}$[= $\rho_{s}(1-\sigma)A_{c}L$]는 휠 전체의 질량을 나타낸다. $\alpha_{n}$, $\beta_{n}$는 $C_{r}^{*}$을 도입하고 공기의 열용량을 무시($C^{*}$ → 0)하여 다시 쓰면 다음과 같이 주어진다.

(26)
$\alpha_{n}=-Ntu /\left[1+\left(\dfrac{Ntu}{2n\pi\mu C_{r}^{*}}\right)^{2}\right]$

(27)
$\beta_{n}=\dfrac{\alpha_{n}Ntu}{2n\pi\mu C_{r}^{*}}$

로터리 휠의 성능을 평가하기 위해 일반열교환기와 마찬가지로 유용도를 고려한다. 여기서는 고온유체가 $C_{\min}$ 유체이므로 유용도는 다음과 같이 정의된다.

(28)
$\varepsilon =\dfrac{T_{h}-\widetilde T_{ho}}{\Delta T_{\max}}$

$\widetilde T_{ho}$는 Fig. 3(b)의 시간영역 0 < $t/\tau$ < $\mu$에서 출구온도 $T_{a}(t,\:L)$의 평균값으로 다음과 같이 계산한다.

(29)
$\widetilde T_{ho}=\dfrac{1}{\mu}\int_{0}^{\mu}T_{a}(t,\:L)d\left(\dfrac{t}{\tau}\right)$

식(21)식(29)에 대입하고 식(28)을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(30)
$\varepsilon =1-\mu -\dfrac{2}{\mu}\sum_{n=1}^{\infty}\exp\left(\alpha_{n}\right)\cos\left(\beta_{n}\right)\left[\dfrac{\sin(n\pi\mu)}{n\pi}\right]^{2}$

3.2 $Ntu$가 일정하지 않은 경우($Ntu_{h}$ ≠ $Ntu_{c}$)

$Ntu$가 고온과 저온영역에서 다른 경우($Ntu_{h}$≠$Ntu_{c}$)에 식(1), 식(2)는 비선형방정식이며 이 경우의 해는 알려져 있지 않다. 이 문제를 풀기 위해 Hausen(9)과 Romie(10)에서와 같이 고온과 저온영역을 두 개의 직교류 열교환기로 근사하여 해를 구하는 방법을 시도해 볼 수도 있겠으나 이는 본 연구의 범위를 벗어난다. 대신 본 연구에서는 아래에 정리한 방법으로 근사해를 구하였다.

로터리휠 열교환기의 유용도는 $C^{*}$ = 0이고 $C_{r}^{*}$ → ∞일 때 정상상태 열교환기의 유용도에 접근하는 사실이 잘 알려져 있다.(1) 이 조건에서는 식(26)~식(27)로부터 $\alpha_{n}$ = $-Ntu$, $\beta_{n}$ = 0이고 식(30)은 다음과 같이 단순해짐을 보일 수 있다.

(31)
$\varepsilon =\dfrac{1-\exp(-Ntu)}{1+C_{r}}$

한편 정상상태 평행류 열교환기의 유용도(13)는 다음과 같이 주어진다.

(32)
$\varepsilon =\dfrac{1-\exp\left[-\dfrac{UA}{C_{\min}}\left(1+C_{r}\right)\right]}{1+C_{r}}$

식(31)식(32)를 비교하면 식(31)의 $Ntu$가 다음과 같이 정의되어야 함을 안다.

(33)
$Ntu=\left(\dfrac{1}{C_{\min}}+\dfrac{1}{C_{\max}}\right)/\left[\dfrac{1}{(h A)_{C_{\min}}}+\dfrac{1}{(h A)_{C_{\max}}}\right]$

식(33)으로 $Ntu$를 정의하면 $Ntu$가 일정하지 않은 경우에도 식(30)으로부터 근사적인 유용도 값을 얻을 수 있다. 단, 이 경우 $\mu$는 실제 면적비가 아닌 식(24)로 계산한 값을 사용해야 함에 주의하기 바란다.

3.3 유용도와 해의 정확성

Fig. 4에 Romie(10)가 $C_{r}$ = 1, $Ntu_{h}=Ntu_{c}$ 조건에서 계산한 유용도(―)와 식(30)으로 계산한 결과(○)를 함께 제시하였다. Fig. 4(a)는 균일유속($v_{h}$ = $v_{c}$), Fig. 4(b)는 비균일유속($v_{h}$≠$v_{c}$)의 결과이다. 그림에서 Romie(10)는 $C_{r}^{*}$의 역수를 $C_{rr}^{*}$로 정의하고 일정 $Ntu$ 조건에서 $C_{rr}^{*}$이 유용도에 미치는 영향을 보였다. 그림에서 볼 수 있듯이 유용도는 0 < $C_{rr}^{*}$< 1 구간에서는 $C_{rr}^{*}$값에 비례한 진폭으로 진동하다가 $C_{rr}^{*}$= 1에서 최대값에 도달한 이후에 단조롭게 감소하는데 이러한 경향은 $Ntu$가 클수록 두드러진다. Hausen(9)도 동일한 결과를 보고하였으며 식(30)은 Romie(10)의 결과와 정확히 일치한다. 그림에서 $C_{rr}^{*}$→ 0($C_{r}^{*}$→ ∞)일 때 유용도가 일정한 값에 접근하는 것을 볼 수 있으며 이 값들은 식(32)의 정상상태 유용도와 동일하다. 그림에서 볼 수 있듯이 평행류 로터리휠 열교환기의 유용도는 $C_{r}^{*}$ = 1에서 최대가 된다. 이는 $C_{r}^{*}$→ ∞일 때 유용도가 최대가 되는 대향류 로터리휠 열교환기와는 크게 다르다. 즉, 대향류 로터리휠 열교환기는 최대한 빨리 회전시키는 것이 좋지만 평행류 로터리휠 열교환기는 회전속도 즉, $\tau$를 조절하여 $C_{r}^{*}$가 1에 가깝도록 운전하는 것이 좋다는 것을 알 수 있다.

Fig. 4 Comparison of Romie(10)and this study($C_{r}$ = 1, $Ntu_{h}=Ntu_{c}$).
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$Ntu_{h}=Ntu_{c}$ 조건에서 식(30)의 정확성은 Fig. 4로 검증할 수 있으나 $Ntu_{h}$≠$Ntu_{c}$ 조건에서는 선행 연구가 부재하여 같은 방법으로 검증할 수 없다. 따라서 본 연구에서는 Bahnke and Howard(14)와 동일한 방법으로 수치모델을 작성하여 일반적인 조건에서 식(30)을 검증하였다.

Fig. 5에는 Fig. 3(a)의 $r$이 일정한 면을 2차원 평면에 도시하고 입구온도에 따라 저온영역 $(h A)_{c}$와 고온영역 $(h A)_{h}$로 나누어 표시하였다. 휠의 열용량율을 $C_{s}$($=M_{s}C_{ps}/\tau$, matrix capacity rate), 저온공기의 열용량율을 $C_{c}$, 고온공기의 열용량율을 $C_{h}$로 약속하면 저온영역은 $C_{s}$와 $C_{c}$의 유체가 통과하는 크기가 $(h A)_{c}$인 직교류 열교환기, 고온영역은 $C_{s}$와 $C_{h}$의 유체가 통과하는 크기가 $(h A)_{h}$인 직교류 열교환기로 볼 수 있다. 공기온도 $T_{a}(\xi ,\:\eta)$와 휠온도 $T_{s}(\xi ,\:\eta)$를 계산하기 위해 $\xi(=x/L)$와 $\eta(=t/\tau)$ 평면의 균일격자시스템에 대해 공기측 과도항($\partial T_{a}/\partial t^{*}$)을 무시한 식(1)식(2)를 차분화하고 다음의 경계조건을 도입하여 작성한 행렬방정식을 풀었다.

(34)
$T_{a}(0,\:\eta)=T_{c}$ for $0<\eta <1-\mu$0

(35)
$T_{a}(0,\:\eta)=T_{h}$ for $1-\mu <\eta <1$

(36)
$T_{s}(\xi ,\:0)=T_{s}(\xi ,\:1)$ for $0<\xi <1$

Fig. 5 Computation domain for the numerical model.
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편의상 고온공기를 $C_{\min}$ 유체로 설정하고 우선 일정 대류열전달계수($h_{h}=h_{c}$) 즉, $\mu$가 식(24)로 주어지는 경우에 대해 계산을 수행하여 식(30)과 비교하여 수치모델의 오차를 확인하고 계산시간을 고려해 격자수를 조정하였다. 최종버전의 수치모델은 0.5 < $C_{r}$ < 1, 1 < $Ntu$ < 32, 0.5 < $C_{r}^{*}$ < 5의 작동영역에서 식(30)과의 최대오차가 0.01보다 작음을 확인하였다. 이후 0.2 < $\mu$ < 0.8의 범위에서 $\mu$를 변화시켜가며 동일한 계산을 반복하여 식(30)과의 오차를 확인하였으며 그 결과를 Fig. 6에 정리하였다.

Fig. 6에 0.2 < $\mu$ < 0.8의 범위에서 수치모델과 식(30)의 최대 절대오차를 도시하였다. $\mu$에 대한 오차의 민감도는 $C_{r}$에 따라 다르게 나타나는데 $C_{r}$이 작을수록 $\mu$의 변화에 대한 오차가 커짐을 확인했다. 예를 들어 그림에서 $C_{r}$ = 0.5(●)의 경우에는 대략 0.3 < $\mu$ < 0.4 구간에서만 최대오차가 0.02 미만으로 나타나지만 $C_{r}$ = 1(△)의 경우에는 계산을 수행한 전체 0.2 < $\mu$ < 0.8 구간에서 최대오차가 0.02보다 작은 것을 볼 수 있다. 한편 고온영역($C_{\min}$영역)과 저온영역($C_{\max}$영역)의 NTU의 비를 $R_{NTU}$로 정의하면 $R_{NTU}$는 $\mu$의 함수로 다음과 같이 주어진다.

(37)
$R_{NTU}=\dfrac{Ntu_{C_{\min}}}{Ntu_{C_{\max}}}=\dfrac{\mu}{C_{r}(1-\mu)}$

Fig. 6 Maximum absolute error withEq.(30)against $\mu$(0.5 < $C_{r}$ < 1, 1 < $Ntu$ < 32, 0.5 < $C_{r}^{*}$ < 5).
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Table 1. Ranges of $\mu$ and $R_{NTU}$ for Eq.(30) with maximum 0.02 in absolute error

$C_{r}$

$\mu$ $R_{NTU}$

0.5

0.3~0.4

0.8~1.5

0.6

0.3~0.5

0.8~2

0.7

0.3~0.6

0.6~2.1

0.8

0.2~0.7

0.3~2.9

0.9

0.2~0.8

0.3~4.4

1.0

0.2~0.8

0.25~4

식(30)의 오차는 $R_{NTU}$가 1에서 멀어질수록 커지므로 $R_{NTU}$ 구간에 따른 최대오차를 제시하는 것이 더 직관 적일 수 있다. Fig. 6의 결과로부터 최대오차가 0.02 미만인 $\mu$와 $R_{NTU}$ 구간을 찾아 Table 1에 정리하였다. Table 1에 정리한 $R_{NTU}$ 구간은 대부분의 로터리휠 열교환기의 설계범위를 만족하므로 식(30)은 초기설계를 위한 도구로 사용이 가능하다고 판단된다.

4. 직교류 열교환기의 유용도

직교류 열교환기에 대해서는 Baclic(15)이 정리한 바와 같이 1911년 Nusselt의 연구 이후 많은 해석적 연구가 수행되어 엄밀해가 알려져 있고 그 유용도는 다음과 같이 제1종 변형 베셀함수($I_{n}$)의 급수 형태로 주어진다.

(38)
$\varepsilon =1-\exp\left[-\left(1+C_{r}\right)Ntu\right]\left\{I_{0}\left(2Ntu\sqrt{C_{r}}\right)+\sqrt{C_{r}}I_{1}\left(2Ntu\sqrt{C_{r}}\right)-\dfrac{1-C_{r}}{C_{r}}\sum_{n=2}^{\infty}C_{r}^{\dfrac{n}{2}}I_{n}\left(2Ntu\sqrt{C_{r}}\right)\right\}$

여기서는 식(30)식(38)과 동일한 결과를 예측할 수 있음을 보이겠다. Fig. 5의 고온영역 $(h A)_{h}$의 직교류 열교환기에서 $C_{h}$ 유체의 온도 $T_{a}$는 입구($\xi =0$)에서 $T_{h}$로 일정하고 $\mu$ → 0일 때 $C_{s}$ 유체의 온도 $T_{s}$도 그 입구($\eta =1-\mu$)에서 $T_{c}$에 접근한다. 따라서 이때 식(30)은 직교류 열교환기의 유용도를 예측할 수 있다. 식(30)에 lim$\mu$ → 0를 취하고 정리하면 다음과 같이 적분의 형태로 쓸 수 있다.

(39)
$\varepsilon =1-\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\exp(\alpha)\cos(\beta)\left[\dfrac{\sin(x)}{x}\right]^{2}dx$

여기서 $\alpha$, $\beta$는 $Ntu$와 $C_{r}$의 함수로 다음과 같이 정의된다.

(40)
$\alpha =-Ntu /\left[1+\left(\dfrac{Ntu C_{r}}{2x}\right)^{2}\right]$

(41)
$\beta =\dfrac{\alpha_{n}Ntu C_{r}}{2x}$

Fig. 7에 0 < $C_{r}$ < 1, 0.25 < $Ntu$ < 7의 범위에서 식(38)식(39)를 비교하였다. 식(38)의 급수는 Baclic(15)이 제시한 바에 따라 $n$=13항까지 고려하였으며 식(39)의 적분항은 0 < $x$ < $6\pi$의 범위에서 기본적인 수치적분법 (trapezoidal rule)을 사용하여 구하였다. 그림에서 볼 수 있듯이 식(39)식(38)과 동일한 결과를 예측한다. 그러나 식(38)이 정확하고 수렴속도도 빠르기 때문에 수치적분을 사용해야하는 식(39)의 실용적 가치는 낮다. Fig. 7의 결과는 본 연구에서 개발한 모델이 직교류 형태의 열교환기에도 적용 가능함을 보여주는 한 예로 이해하길 바란다.

Fig. 7 Effectiveness of cross-flow heat exchanger.
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5. 결 론

주기적 입구온도 조건에서 작동하는 이상적인 평행류 열교환기에 대한 1차원 과도 지배방정식의 일반해를 유도하여 평행류 로터리휠 열교환기의 해석모델을 개발하였다. 공기와 휠메트릭스의 온도분포를 지수함수가 곱해진 삼각함수의 급수로 표현하였고 유용도를 세 개의 무차원수(NTU, Cr, $C_{r}^{*}$)의 함수로 제시하였다. 선행 연구와 수치모델을 사용하여 해석모델의 정확성을 검증하였다. 해석모델은 고온과 저온영역 NTU의 비가 1일 때 정확하고 1에서 멀어질수록 열용량율비(Cr)에 반비례하여 오차가 증가함을 확인하였고 운전영역에 따른 최대오차의 분포를 제시하였다. 분할비(μ)가 0에 접근할 때 직교류 열교환기의 유용도를 예측할 수 있음을 보여 본 해석모델이 직교류 열교환기에도 적용 가능함을 확인하였다.

후 기

본 연구는 2020년 한국교통대학교 지원을 받아 수행하였음.

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