2.1 VSRS 기반 오일쿨러 시스템의 수학적 모델링

본 논문에서는 VSRS 기반의 오일쿨러 시스템(Oil Cooler System; OCS)을 제어대상으로 $H_{\infty}$제어기를 설계하고 그 타당성을 검증한다. VSRS는 부분 부하 대응 능력과 에너지 절약 성능이 뛰어나 정밀공작기계, 반도체 제조 공정 분야의 고정밀 온도 제어 등에 널리 사용되고 있다.^(1-3) Fig. 1은 OCS의 제어 원리를 설명하기 위한 개념도이고 Table 1은 실제 실험 장치의 냉동사이클 및 부속기기의 주요 사양을 나타낸다. 이 시스템의 주 제어량인 오일 출구 온도 $T_{o}$는 인버터로 가변속 압축기의 냉매 질량유량을 조절함으로써 제어된다. 이때 액백 현상이나 과열 증기 압축 등의 부작용을 줄이고, COP가 최대인 상태로 시스템을 운전하기 위해 EEV 드라이브로 EEV의 개도를 조절하여 과열도 $T_{s}$도 동시에 제어한다.^(1-3) 과열도 $T_{s}$는 증발기 내의 압력 강하가 미소함을 고려하여 증발기 입구와 출구의 온도 차이로 정의하였다. 실제 시스템에서의 외란인 열 부하는 냉동 사이클에 부가적으로 장착된 전기히터를 통해 인가된다.

Fig. 1의 OCS를 모델 기반으로 제어하기 위해서는 우선 이 시스템의 동특성을 표현하는 수학적 모델이 필요하다. Fig. 2는 오일 출구 온도 $T_{o}$와 과열도 $T_{s}$를 각각 독립적으로 제어하기 위한 Dual SISO(Single Input Single Output) 형태의 전달함수 기반의 피드백 제어계이다. 그림에서 $P(s)$와 $K(s)$는 제어대상의 전달함수와 제어기, $d(s)$와 $n(s)$는 외란과 잡음을 각각 나타낸다. 또한 $\widetilde G_{d}(s),\:\widetilde G_{i}(s)$는 열부하와 간섭항의 전달함수, 그리고 상첨자 ‘*’는 설정값, $e(s)$와 $u(s)$는 제어오차와 제어입력을 각각 나타낸다. 특히 제어입력 $u_{c}(s)$는 인버터 주파수 $f$이고 $u_{e}(s)$는 EEV 개도(opening angle) $v$이다.

Fig. 2에서 적색 상자 속의 전달함수 $P(s)$는 Table 1의 사양을 갖는 Fig. 1의 OCS를 대상으로 동작점 근방에서 동특성 실험을 통해 구하였다.⁽²⁾ 전달함수 $P_{c}(s)$는 인버터 주파수 $f$에 따른 $T_{o}$의 변화량 $\delta T_{o}/\delta f$, $P_{e}(s)$는 EEV 개도 $v$에 따른 $T_{s}$의 변화량 $\delta T_{s}/\delta v$를 나타낸다. 복소 전달함수를 나타내는 변수 ‘s’는 표기의 편의상 이후부터 생략한다. 전달함수 $\widetilde G_{d}$와 $\widetilde G_{i}$는 열부하 $d$ 변화에 따른 $T_{o}$ 변화와 인버터 주파수 $f$ 변동이 과열도 $T_{s}$에 미치는 간섭 영향을 나타내며 동특성 실험을 통해 구하였다. EEV의 개도 $v$의 변화가 $T_{o}$에 미치는 영향은 극히 미미하였으므로 무시하였다. 이들 $\widetilde G_{d}$와 $\widetilde G_{i}$는 시뮬레이션 시에 실제 제어대상의 동특성을 정확히 확인하기 위한 용도일 뿐 제어계 설계 시에는 제외된다. 전달함수 $P_{c},\: P_{e}$는 식(1)과 같이 부동작 시간 $\widetilde d$를 포함한 비선형 식으로 나타나지만 $\widetilde d$가 시정수 $\tau$에 비해 무시할 정도로 짧았기 때문에 1차계로 간단히 모델링하였다. 식(2)는 $f$가 $T_{s}$에 미치는 영향을 나타낸다. Table 2는 동특성 실험을 통해 구한 각 전달함수들의 특성 파라미터 시정수 $\tau$와 DC 게인 $k$의 값들을 나타낸다.

제어대상의 1차계 전달함수 식(1)은 특정 동작점에서 얻은 선형 근사 모델이므로 고차 항들이 무시된 까닭에 모델의 불확실성이 포함되어 있다. 또한, Table 2의 특성 파라미터들도 동작점 또는 주변 환경이 변함에 따라 그 값들이 변하므로 모델의 불확실성을 포함한다. 뿐만 아니라 OCS는 열 부하가 상시 변동하므로 이들 열부하 변동과 모델 불확실성에 강인한 제어 성능을 갖는 제어기 설계가 필수적으로 요구된다.

2.2 OCS의 강인한 온도 제어를 위한 $H_{\infty}$제어기 설계

Fig. 3은 $H_{\infty}$제어 개념 설명을 위한 입․출력 블록도이다. 그림에서 $G$는 일반화 제어대상, ${w}$와 $u$는 입력벡터로서 각각 외란을 포함한 외부 입력과 제어입력이다. ${z}$와 ${y}$는 출력벡터로서 목표로 하는 제어량과 관측출력, $K$는 피드백 제어기를 나타낸다. $H_{\infty}$제어는 외란을 포함한 외부 입력 ${w}$로부터 제어량 ${z}$까지의 주파수 전달함수 $G_{{zw}}(j\omega)$의 무한대 놈 $\left\|G_{z \mathrm{~W}}\right\|_{\infty}$를 최소화시키는 제어기 $K$를 구하는 문제로 귀착된다.

외란과 모델의 불확실성에 대한 강인성을 갖는 $H_{\infty}$제어기를 설계하기 위해서는 우선 이들의 영향을 나타내는 전달함수를 도출할 필요가 있다. Fig. 4는 이들의 전달함수를 도출하기 위한 블록도이다. Fig. 4(a)는 외란 $d$가 인가되고 모델의 불확실성을 나타내는 덧셈형 모델링 오차 $\triangle_{a}$를 갖는 피드백 제어계이며, Fig. 4(b)는 $\triangle_{a}$를 갖는 모델의 안정성 확보를 위해 소이득 정리를 설명하고자 Fig. 4(a)를 간략화 한 그림이다. Fig. 4(a)에서 외란 $d$가 출력 ${y}$에 미치는 영향인 감도함수 $S$는 식(3)과 같이 유도된다. Fig. 4(b)에서 점 $a$부터 점 $b$까지의 전달함수 $KS$는 Fig. 4(a)로부터 식(4)와 같이 유도된다. 단 식(4)의 유도 과정에서는 모델링 오차 $\triangle_{a}$의 영향에만 주목하므로 Fig. 4(a)의 지령값 $r$과 외란 $d$는 제외되었다.

$H_{\infty}$제어기는 적절한 가중함수 ${w}_{i}$의 선정을 통해 외란과 모델의 불확실성에 대한 강인성을 갖도록 설계된다. 먼저 외란은 식(3)의 감도함수의 크기를 최소화시키는 가중함수 ${w}_{1}$을 선정, 식(5)가 만족되도록 설계하면 그 영향을 감소시킬 수 있다. 이때 $\gamma$는 반복계수(iteration coefficient)이며 이 값이 작을수록 외란에 대해 큰 강인성을 갖게 된다.

다음으로 모델링 오차(모델 불확실성) $\triangle_{a}$에 대한 강인성은 Fig. 4(b)에서 소이득 정리를 적용하여, 식(6)의 견실 안정화 조건을 만족시킴으로써 확보된다.

그런데, 모델링 오차 $\triangle_{a}$를 정확히 계산하는 것은 불가능하므로 식(6)은 설계에 직접 반영되기 어렵다. 따라서 제어기 설계 시에는 $\triangle_{a}$의 최대 변동 범위를 고려, 최대 특이값 $\bar{\sigma}\left\{\triangle_{a}(j\omega)\right\}$를 계산한다. 모델링 오차 $\triangle_{a}$에 대한 견실 안정성은 식(7)과 같이 $\triangle_{a}$의 최대 특이값보다 큰 가중함수 ${w}_{2}$를 선정하여, 식(8)이 성립하도록 설계함으로써 확보된다. 본 논문에서 모델링 오차 $\triangle_{a}$는 제어대상의 특성 파라미터인 $\tau$와 $k$를 각각 최대 30% 범위에서 변동하는 것으로 가정하여 최대 특이값을 구하고 이를 식(8)에 반영하였다.⁽¹⁾

한편, 외란 인가 시 OCS의 정밀한 제어를 위해 식(5)에 가중함수 ${w}_{3}$를 추가하고, 이 ${w}_{3}$의 시정수가 전달함수 $\widetilde G_{d}$의 시정수와 유사하도록 선정하였다. 이로 인해 식(8)도 ${w}_{3}$를 포함하는 식으로 변환되므로 이들을 혼합감도 문제로 정식화하면 식(9)와 같이 된다. 결국, $H_{\infty}$제어기는 식(9)를 만족하도록 설계함으로써 외란과 모델의 불확실성에 대한 강인성을 가질 수 있게 된다.

Fig. 5는 가중함수 ${w}_{i}$를 포함한 혼합감도 문제를 도식화 한 것이다. Fig. 5(a)는 식(9)의 혼합감도 문제를 도식화 한 것이고, Fig. 5(b)는 Fig. 5(a)에서 발생하는 정상상태오차 제거를 위해 ${w}_{1}$을 적분기 전달함수 $M$과 $\widetilde{w}_{1}$로 분해하여 나타낸 그림이다. 식(9)를 만족하도록 설계된 Fig. 5(a)의 제어기 $K$는 ${w}$로부터 ${z}_{1}$과 ${z}_{2}$까지의 주파수 전달함수 $G_{{zw}}(j\omega)$의 무한대 놈 $\left\|G_{z \mathrm{~W}}\right\|_{\infty}$를 최소화시켜 외란과 모델의 불확실성에 대한 강인성을 갖게 된다.

Fig. 5(a)의 일반화 제어대상 $G$를 통해 제어기 $K$를 설계하면, 제어 응답에 미소한 정상상태오차가 발생한다. 이를 해결하기 위해, ${w}_{1}$을 불안정한 극점(pole)을 갖는 적분기 형태로 설계하면 이는 표준 $H_{\infty}$제어 문제의 가정 중 가관측(detectable)과 풀 랭크(full rank)의 조건을 위배하게 된다. 따라서 일반화 제어대상 $G$는 식(10)과 같이 ${w}_{1}$을 전달함수 $M$과 $\widetilde{w}_{1}$로 분해시켜 Fig. 5(b)와 같이 구성하였다. 우선, $M$을 식(11)과 같이 불안정한 극점을 가지는 바이프로퍼(biproper) 전달함수로 선정하면, 이 $M$이 ${w}_{1}$의 불안정한 극점을 가지므로 $\widetilde{w}_{1}$는 불안정한 극점을 갖지 않게 된다. 여기서 $\alpha$는 임의의 실수이다. 그러므로 $M$과 $\widetilde{w}_{1}$를 통해 제어기를 설계하면, 표준 $H_{\infty}$제어 문제의 가정을 충족시킨다. 식(12)는 Fig. 5(b)를 혼합감도 문제로 나타낸 것이다.

여기서, 제어기 $\widetilde K$는 식(12)의 혼합감도 문제를 만족시키는 해이다. 최종적인 제어기 $K$는 이 $\widetilde K$를 사용하여 식(13)과 같이 불안정한 극점을 포함하도록 설계된다.

식(12)는 식(10)과 식(13)을 통해 식(14)와 같이 유도되므로 이는 Fig. 5(a)의 혼합감도 문제인 식(9)와 동일함을 알 수 있다. 따라서 Fig. 5(b)는 Fig. 5(a)와 동일한 $H_{\infty}$제어 문제로 귀착되므로 이를 통해 제어기 $K$는 적분기를 갖는 형태로 설계가 가능하다.⁽⁹⁾

압축기의 제어기 $K_{c}$의 설계를 위한 가중함수는 식(14)의 혼합감도 문제를 만족하도록 반복 시행을 통해 식(15)와 같이 선정되었다.

식(16)은 압축기의 전달함수 $P_{c}$를 전달행렬로 나타낸 것이며, 식(17)은 식(15)의 가중함수와 식(16)의 전달행렬 $P_{c}$로부터 구한 일반화 제어대상 $G_{c}$를 나타낸 것이다.

최종적으로 압축기의 제어기 $K_{c}$는 식(17)을 통해 MATLAB의 $\gamma$-iteration을 사용하여 식(18)로 설계되었다.

이때 $\gamma$는 0.9766이었다.

Fig. 6은 ${w}_{2}$ 설계를 위한 조건인 식(7)이 만족하는지의 여부와 설계된 제어기 $K_{c}$가 혼합감도 문제 식(14)를 만족하는지를 확인하기 위한 주파수 응답 선도이다. Fig. 6(a)를 통해 가중함수 ${w}_{2}$는 $\triangle_{a}$의 최대 특이값 $\bar{\sigma}\left\{\triangle_{a}(j\omega)\right\}$보다 전 주파수 영역에서 큰 값을 갖도록 설계되었음을 알 수 있다. Fig. 6(b)를 통해 제어기 $K_{c}$가 혼합감도 문제 식(14)를 만족하도록 설계되었음을 확인할 수 있다.

Fig. 6으로부터 가중함수 ${w}_{2}$와 설계된 제어기 $K_{c}$는 식(7)과 식(14)를 각각 만족하므로, $H_{\infty}$제어기 $K_{c}$는 타당하게 설계되었음을 알 수 있다. EEV 제어기 $K_{e}$도 $K_{c}$와 동일한 방법으로 설계하였다. 식(19)는 최종적으로 설계된 EEV 제어기 $K_{e}$를 나타낸다. 이때 $\gamma$는 0.9766이었다.

설계된 $H_{\infty}$제어기는 지령값이 크게 변동될 경우, 적분 누적으로 인한 언더슈트가 발생하므로 이를 방지하기 위해 안티와인드업(anti-windup) 제어기를 추가로 설계하였다.

3.1 시뮬레이션 결과

시뮬레이션에서는 Table 1의 사양을 갖는 Fig. 1의 OCS를 대상으로 설계한 $H_{\infty}$제어기 식(18)과 식(19)의 제어 성능을 검토한다. 특히, 지령값 및 열부하 변동 하에서 지령값 추종 성능과 열부하 외란 억압 성능, 그리고 과열도의 간섭 영향을 중점적으로 분석한다. 초기 조건은 $T_{o}=$ 30℃(정격 열부하 1.68 kW), $T_{s}=$ 7℃로 설정하였다. 지령값 변동은 1,000 sec에서 $T_{o}=$ 25℃로 변경하였고, 열부하 변동은 4,000 sec 시점에 정격 열부하의 약 10%를 증가시킨 1.84 kW를 인가하였고, 6,000 sec 시점에 기존 열부하의 약 20%를 감소시킨 1.51 kW를 인가하였다. 과열도는 전 제어 구간에 걸쳐 $T_{s}=7^{\circ}{C}$를 유지하도록 하였다.

또한, 설계한 $H_{\infty}$제어기의 성능을 확인하기 위해 비교 대상으로 PI 제어기를 설계하였다. PI 제어기의 게인은 지령값 변경 시의 성능이 $H_{\infty}$제어기와 유사하도록 MATLAB tuner를 이용해 설계되었다. 압축기의 P, I 게인은 -16과 -0.05, EEV의 P, I 게인은 -20과 -0.05였다. 또한 안티와인드업 제어기는 압축기의 경우, -8, EEV는 -10으로 설계하였다. 시뮬레이션과 실험의 제어 주기(sampling time)는 1 sec로 하였다.

Fig. 8과 Fig. 9는 설계한 $H_{\infty}$ 제어기와 PI 제어기의 지령값 및 열부하 변동 시의 시뮬레이션 결과이다.

Fig. 8(a)는 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답, Fig. 8(b)는 $T_{o}$의 조작량인 $f$, Fig. 8(c)는 $T_{s}$의 조작량인 $v$를 각각 나타낸다. 시뮬레이션 결과로부터 지령값 변동 시, $H_{\infty}$제어기와 PI 제어기의 주된 제어량인 $T_{o}$의 응답은 당초 설계 의도대로 거의 일치함을 확인할 수 있다. 제어 강인성은 열부하 증가와 감소 시의 응답 비교로 확인하였다. 열부하 증가와 감소 시, $H_{\infty}$제어기의 $T_{o}$의 최대 온도 변동량은 각각 약 0.2℃와 0.4℃, 지령값 수렴 시간은 약 820 sec와 1,010 sec였다. 반면에 PI 제어기의 $T_{o}$의 최대 온도 변동량은 각각 약 0.25℃와 0.5℃이고, 지령값 수렴 시간은 약 950 sec와 1,030 sec였다. 지령값 수렴 시간은 정상상태오차 범위 $\pm$0.05℃ 이내에 도달하는 시간을 기준으로 측정하였다. 이 결과들을 통해 $H_{\infty}$제어기가 PI 제어기보다 외란에 더 강인함을 확인할 수 있다.

3.2 실험 결과

Fig. 10과 Fig. 11은 시뮬레이션과 동일한 제어기와 실험 조건 하에서 Table 1의 사양을 갖는 실제 OCS로 실험한 결과이다. Fig. 10(a)는 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답, Fig. 10(b)는 $T_{o}$의 조작량인 $f$, Fig. 10(c)는 $T_{s}$의 조작량인 $v$를 나타낸다.

우선 이들 실험 결과들은 대응하는 Fig. 8, Fig. 9의 시뮬레이션 결과와 거의 일치한다. 다만, (c)의 6,000~8,000 sec 구간에서 실험 결과와 다른 조작량을 보이는 이유는 시뮬레이션에 사용된 $\widetilde G_{d}(s)$와 $\widetilde G_{i}(s)$의 파라미터 불확실성의 영향으로 추정된다. 제어기가 비선형 모델에 대한 선형 근사화를 거친 1차계 모델을 기반으로 설계되었음에도 실험 결과에서 제어 응답이 지령값에 정상상태오차 없이 엄밀히 추종하기 때문에 설계한 제어기의 타당성을 확인할 수 있다.

Fig. 10과 Fig. 11의 결과를 비교하면, 우선 지령값 변동 시 두 제어기는 $T_{o}$와 $T_{s}$ 모두 정상상태오차 없이 지령값에 엄밀히 추종하였다. 외란인 열부하 증가 시, $H_{\infty}$제어기의 $T_{o}$의 최대 온도 변동량은 약 0.2℃였고, 약 800 sec 후에 지령값에 수렴하였다. 반면에 PI 제어기는 $T_{o}$의 최대 온도 변동량이 약 0.3℃였고, 약 1,000 sec 후에 지령값에 수렴하였다. 열부하 감소 시, $H_{\infty}$제어기의 $T_{o}$ 최대 온도 변동량은 약 0.5℃였고, 1,200 sec 후에 지령값에 수렴하였다. 반면에 PI 제어기는 $T_{o}$의 최대 온도 변동량이 약 0.6℃였고, 1,200 sec 후에 지령값에 수렴하였다. 결과적으로 설계한 $H_{\infty}$제어기는 외란 및 모델의 불확실성 하에서도 온도 변동량이 작고, 응답이 빠르게 나타나므로 강인한 제어 성능을 보임을 확인하였다.

한편, 실험에서는 시뮬레이션과 달리 Fig. 10과 Fig. 11의 (b)에서와 같이 압축기 주파수의 조작량에 미소한 변동이 나타났다. 두 결과를 비교해 보면, $H_{\infty}$제어기가 PI 제어기보다 조작량 변동이 현저히 작음을 확인할 수 있다. 이는 잡음에 대한 FFT 분석 선행 연구 결과, 열전대 온도센서를 통해 유입되는 저주파수(0.04 Hz 이하)의 영향으로 확인되었다.⁽¹³⁾ $H_{\infty}$제어기와 PI 제어기의 조작량 변동이 각기 다른 원인을 추정하기 위해 잡음이 제어입력에 미치는 영향을 분석하였다. 식(20)은 제어입력과 잡음의 관계를 나타낸다.

식(20)을 통해 잡음이 제어입력에 미치는 영향은 전달함수 $KS$임을 알 수 있다. 따라서 $H_{\infty}$제어기와 PI 제어기의 $KS$에 대한 주파수 특성을 비교하기 위해 주파수 응답 $KS(j\omega)$를 Fig. 12에 나타내었다.

Fig. 12에서 $H_{\infty}$와 PI 제어기의 주파수 응답은 그 크기에 따라 세 구간으로 구분된다. 즉, $KS(j\omega)\le{a}$, ${a}<KS(j\omega)\le{c}$, ${c}<KS(j\omega)$로 나뉘며, 그림에서 각 주파수는 a점이 0.0035 rad/s, b가 0.015 rad/s, c가 0.06 rad/s, d가 0.25 rad/s였다. Fig. 13은 점 b와 점 d의 주파수를 갖는 잡음이 인가될 시의 조작량을 상호 비교한 시뮬레이션 결과이다. 시뮬레이션 시에 인가한 잡음 신호는 점 b와 점 d의 주파수를 갖고, 진폭 0.1로 동일한 두 정현파($0.1\sin 0.015t,\:0.1\sin 0.25t$)를 각각 입력하였다. 위쪽 그림이 0.015 rad/s, 아래쪽 그림이 0.25 rad/s 인가 시의 응답이다. 결국 조작량의 변동량은 Fig. 12에서 주파수 응답의 크기가 상대적으로 더 작은 제어기 쪽이 더 작게 나타남을 알 수 있다. 두 제어기의 주파수 응답 크기가 비슷한 점 a와 점 c 사이의 구간에서는 Fig. 13(top)에서와 같이 조작량의 변동량 차이가 상대적으로 미미한 것을 볼 수 있다. 특히 센서 잡음의 주파수를 고려하면, 점 c와 점 d 사이의 주파수 영역에서는 $H_{\infty}$제어기의 주파수 응답의 크기가 PI 제어기보다 작으므로 잡음을 현저히 억압하고 있음을 실험 결과와 시뮬레이션을 통해 알 수 있다. 따라서 본 논문에서 설계한 $H_{\infty}$제어기는 PI 제어기보다 제어입력이 잡음의 영향을 더 작게 받으므로 압축기의 빈번한 기기 조작 변동을 최소화함으로써 안정적인 운전과 내구성 확보에도 기여할 수 있을 것으로 생각된다.