2.1 입자 증발 모델

해석 공간 내 공기는 건공기와 수증기의 혼합물로 이루어져있다. 기침 시 토출되는 공기 또한 수증기(5% mass concentration)가 포함되어 있다. 기침 입자의 구성 성분은 98.2%의 물과 1.8%와 NaCl로 설정하였다. 기침입자의 성분 중 물은 수증기압 차에 의해 증발하며, 물이 모두 증발하면 최종적으로 NaCl만 남게 된다.

물의 증발은 주변 공기에 대한 입자 표면의 평형증기압(equilibrium vapor pressure)에 따라 이루어진다. 입자 표면의 평형증기압은 Antoine equation에 의해 결정된다.

P = 1.0 bar 일 때, A = 12.439, B = 4233.7, C = -31.737이다. 증기압이 주변 기체 압력보다 높으면 입자는 증발한다. 입자의 온도가 비점보다 높으면 다음 식에 의해 물질이동이 일어난다.

입자의 온도가 비점보다 낮으면 다음 식에 의해 물질이동이 일어난다.

2.2 경계조건

코로나 19 환자로부터 토출된 기침입자의 증발과 확산 해석을 위한 도메인의 크기는 10 m × 7 m × 5 m이다. 두 사람이 2 m 간격을 두고 서있다고 가정하였으며, 왼쪽에 위치한 사람을 전파자(emitter), 오른쪽에 위치한 사람을 피감염자(receiver)로 설정하였다. 기침 시 수력학적 직경 10 mm 크기로 입이 열리는 것으로 하였다. 입자와 유동 해석을 위해 ANSYS CFX 2020 R2를 사용하였으며, 난류모델은 shear stress transport (SST) 난류모델을 사용하였다. SST 난류모델은 k-ε과 k-ω 난류모델의 장점을 결합한 난류모델로, 벽면 부근의 유동을 잘 모사하고 해석 결과가 격자의 밀도변화에 많은 영향을 받지 않는다고 알려져 있다. Mesh는 tetrahedron으로 구성하였고, 1,759,285개의 elements와 385,252개의 nodes로 이루어져있다. 벽 주위의 유동 예측을 위해 벽 주변에 boundary layer를 적용하였다. 두 사람의 표면온도는 얼굴과 몸으로 나누어 설정하였으며, 여름의 경우 각각 33.2℃, 30.1℃, 겨울의 경우 28.1℃, 19.2℃이다. 해석 안정성을 위해 steady state 해석을 먼저 진행한 후 기침 입자 확산에 대한 transient 해석을 진행하였다.

기침 입자에 대한 다상유동 계산을 위해 Lagrangian particle tracking을 사용하였다. 이 모델은 Navier-Stokes 방식에 의해 유체 유동을 계산하고, Eulerian-Lagrangian 방법을 기반으로 입자의 확산을 계산한다. Table 1에 해석에 사용된 입자의 물성치와 경계조건을 나타내었다. 유체와 입자 간의 상호작용을 고려하는 two-way coupling 방법을 사용하였으며, 토출된 모든 입자는 벽면에 부딪히면 침적되는 것으로 하였다. 기침은 해석시작 후 0.5초 동안 Fig. 1(a)와 같은 파형(waveform)으로 한번 이루어지며, 0.08초에 13 m/s로 기침 최대 속도를 가진다. 기침 시 토출되는 입자의 크기와 개수는 Table 1에 나타내었고, 분포는 Fig. 1(b)와 같다. 총 4,897개의 입자가 토출되며, 주된 토출입자의 크기는 8 μm, 16 μm, 24 μm로 각각 966개, 1592개, 865개가 토출된다.

3.1 입자 증발 모델 검증

정지상태의 기류에서 자유 낙하하는 Li et al.의 모델을 기준으로 입자 증발 모델 검증을 실시하였다. 25℃의 온도조건에서 습도가 0%와 90% 일 때 10 μm와 100 μm의 입자가 각각 하나씩 토출된다. Fig. 2는 습도별 시간에 따른 입경의 변화에 대해 실시한 해석결과와 Li et al.의 결과를 비교한 것이다. 10 μm와 100 μm의 입경 변화 해석결과를 습도가 90% 일 때 실선, 습도가 0% 일 때 점선으로 나타내었다. Li et al.의 결과는 습도가 90% 일 때 세모, 0% 일 때 네모로 표시하였다. 해석 결과 시간에 따른 입경의 감소 경향과 최종 입자의 크기가 비슷한 것을 확인하였고, 같은 시간에 비교한 입자 크기의 오차 값은 최소 0.5%, 최대 20%로 나타났다.

3.2 날씨에 따른 입자의 확산과 침적

한국의 날씨에 따라 입자의 증발과 확산을 알아보았다. 지난 10년간 여름과 겨울의 날씨를 경계조건으로 설정하였다. 여름의 경우 평균 기온은 25.4 ℃, 습도는 69.2%, 풍속은 2.3 m/s이며, 겨울의 경우 평균 기온은 -0.7℃, 습도는 53.5%, 풍속은 2.4 m/s로 두 계절 모두 풍속은 보퍼트 풍력계급의 남실바람(light breeze)에 해당한다. 바람에 따른 입자의 이동양상을 알아보기 위해 바람이 불지 않는 정상상태일 때와 바람이 기침한 사람의 뒤에서 불 때로 나누어 해석을 진행하였다. 바람의 속도와 방향은 일정하다고 가정하였다. Fig. 3(a)에 해석을 위한 geometry와 전파자 주변 mesh를 나타내었고, Fig. 3(b)에 바람이 부는 여름일 때 YZ 평면에서의 streamline과 속도를 나타내었다. 전파자의 뒤에서 바람이 불어 전파자의 앞과 피감염자의 뒤에 후류가 발생하는 것을 확인하였다.

Fig. 4는 바람이 불지 않는 정지 상태에서 여름과 겨울의 시간에 따른 입자의 확산을 나타낸 것이다. 기침 시 토출되는 공기는 대기 중 보다 수분을 많이 함유하고 있는 공기로, 토출 직후 습도가 높은 vapor plume을 생성한다. Vapor plume은 입에서부터 Z축을 기준으로 절반각(half angle)이 약 17°인 원뿔 모양으로 분포한다. Vapor plume의 영향으로 입자는 토출된 후 흩어지지 않고 turbulent gas cloud 내에 모여 있는 형태로 존재하며, 이러한 gas cloud 내에 입자들이 부유하여 더 멀리 이동할 수 있게 된다. 크기가 큰 입자는 vapor plume을 빠져나와 시간에 따라 중력에 의해 하강한다. 크기가 작은 입자는 vapor plume에 갇혀 오랜 시간 동안 공기 중에 부유하게 된다. Fig. 4(a)와 (b)에서 확인할 수 있듯이 500 μm와 1000 μm와 같이 큰 입자들은 토출 직후 초기 모멘텀을 유지하여 멀리 이동하였다. 최대 이동거리는 500 μm의 경우 여름에 1.77 m, 겨울에 1.69 m, 1000 μm의 경우 여름에 2.5 m, 겨울에 2.49 m이며, 모두 1초 이내에 바닥에 침적되었다. 이것은 큰 입자들은 상대적으로 높은 스토크스 수(stokes number)를 가져 점성소산(viscous dissipation)의 영향이 덜 미치기 때문이다. 반대로 작은 입자는 항력(drag force)에 의한 점성소산의 영향으로 인해 초기 모멘텀과 운동 에너지를 빠르게 잃게 된다.

해석 시작 10초 후 125 μm 이상의 입자는 땅에 침적되었고, 일부 1000 μm 입자는 0.6초 이내에 피감염자에게 침적되는 것으로 나타났다. 50 μm와 75 μm, 100 μm 입자는 vapor plume에서 벗어나 하강하고 있고, 50 μm 미만의 입자는 vapor plume 내에서 부유하고 있다. 50 μm 미만의 입자는 토출 5초 후 vapor plume에 따라 z축 방향으로 약 1.02 m를 이동하였고, 10초 후 약 1.2 m를 이동하였다.

Fig. 4(f)와 (h)에서 알 수 있듯이 겨울의 경우 따뜻한 기침 공기가 차가운 주변 공기와 만나면서 기침 공기 내의 수증기량이 증가하게 되어 입자의 증발이 여름보다 느리게 일어났다. 또한 밀도 차에 의해 토출 공기가 상승함에 따라 작은 입자들도 따라서 상승하였다.

Fig. 5는 바람이 불지 않는 정지 상태에서 시간에 따른 입자의 크기 변화를 나타낸 것이다. Fig. 5에서 알 수 있듯이 작은 입자들은 빠르게 증발되고, 입자의 크기가 클수록 증발되는데 더 많은 시간이 소요된다. 100 μm 이상의 입자들은 증발이 다 이루어지기 전에 땅에 떨어지거나 피감염자에게 침적된다. 겨울에 입자가 느리게 증발되는 것을 알 수 있는데, 5 μm 이하의 입자는 여름의 경우 0.22초, 겨울의 경우 1.31초 이내에 비말핵으로 증발된다. 입자의 증발이 다 이루어진 후 비말핵의 크기는 초기 입자 크기의 약 31%이다. 16 μm 입자가 다 증발되어 약 5 μm 입자가 될 때까지 소요되는 시간은 여름의 경우 약 0.78초, 겨울의 경우 1.95초이다. 토출된 입자의 약 59%가 5 μm 이내로 증발하며, 이러한 입자들이 gas cloud 내에 농도가 높은 상태로 장시간 공기 중에 부유할 수 있는 것으로 나타났다.

Fig. 6은 바람이 부는 경우 여름과 겨울의 입자 확산을 나타낸 것이다. 1,000 μm 입자는 토출 후 빠르게 하강하여 피감염자와 땅에 침적되었다. 125 μm 이상의 입자는 5초 이내에 피감염자에게 향하는 기류를 벗어나 하강하여 땅과 피감염자의 다리에 침적되었다. 100 μm 이하의 입자는 기류에 따라 피감염자 쪽으로 빠르게 확산되며, 기침한 사람으로부터 2 m 떨어진 피감염자 부근에 10 μm 미만의 입자가 도달하는데 걸린 시간은 여름의 경우 1.5초이고, 겨울의 경우 1.46초이다. 75 μm 이하 입자의 경우 1.8초 이내에 2 m를 이동하였으며, 100 μm 입자의 경우 2.3초 이내에 피감염자에게 도달하나 중력에 의해 입자가 얼굴 아래쪽으로 이동하는 것으로 나타났다.

Fig. 7(a)에 전파자와 피감염자에게 침적된 입경별 입자의 개수를 나타내었고, Fig. 7(b)와 (c)에 입자가 침적된 위치를 나타내었다. 전파자에게 침적된 입자의 총 개수는 여름의 경우 235개, 겨울의 경우 202개이고, 피감염자에게 침적된 입자의 총 개수는 여름의 경우 146개, 겨울의 경우 143개이다. 피감염자에게 침적되는 입자는 주로 24 μm 이하의 입자이나 100 μm 입자도 피감염자에게 침적될 수 있는 것으로 나타났다. 피감염자의 경우 얼굴과 몸, 팔, 다리 그리고 피감염자의 등 뒤에도 입자가 침적되는 것으로 나타났다. 특히 피감염자의 얼굴에 침적되는 입자는 75 μm 이하의 입자로 여름의 경우 80개, 겨울의 경우 97개가 침적되었다. 전파자의 경우 등 뒤에서 바람이 불기 때문에 몸의 앞쪽에 발생하는 후류에 의해 얼굴, 상체의 상부, 팔에 입자가 주로 침적되었다. 피감염자와 비교하였을 때 75 μm 이상의 입자가 전파자에게 더 많이 침적되었다.

3.3 상대습도에 따른 입자의 확산

상대습도는 공기 중의 수증기압과 포화수증기압의 비율로 나타난다. 습도가 낮을 경우 공기는 낮은 수증기분압을 갖게 되고, 이것은 입자의 표면에서 큰 압력차로 이어지므로 빠르게 증발이 발생한다. 증발률은 관성(competing inertia), 중력, 항력 등에 영향을 받으며 입자의 궤적뿐만 아니라 바이러스의 생존력에도 중요한 역할을 한다. 한국의 여름은 고온다습한 날씨로 2020년 여름의 일일 평균 상대습도는 50%와 96% 범위였다. 해석을 위해 상대습도 52.8%, 기온 26.9℃였던 날과 상대습도 90%, 기온 26.8℃였던 날을 선정하였으며, 해석 편의상 기온은 26.9℃로 통일하였다. 상대습도가 입자의 확산에 미치는 영향을 명확하게 알아보기 위해 상대습도가 0%인 경우를 추가적으로 해석하였다. 바람이 불지 않는 정지 상태에서 해석을 진행하였다.

Fig. 8에 습도가 0%, 52.8%, 90%일 때 해석 시간 2초와 5초에서의 입자의 확산과 이동거리를 나타내었다. 습도가 0%일 때와 90%일 때 입자 확산 차이는 2초에 0.05 m, 5초에 0.026 m로 습도가 입자의 확산에 큰 영향은 미치지 않는 것으로 나타났다. 습도가 높을수록 입자의 증발이 느리게 이루어지고 중력침강(gravitational settling)이 많이 작용한다. 해석 시작 5초 후 부유하고 있는 입자의 개수는 습도가 0%일 때 4,758개, 52.8%일 때 4,710개, 90%일 때 4,710개이다. 10초 후 부유하고 있는 입자의 개수는 습도가 0%일 때 4,710개, 52.8%일 때 4,629개, 90%일 때 4,526개로 습도가 낮을수록 공기 중에 부유하고 있는 입자가 더 많았다. 해석 5초 시점에 상대습도 0%와 52.8%에서 50 μm 이하의 입자가 vapor plume 내에 남아있는 것으로 나타났고, 상대습도 90%의 경우 50 μm 입자가 하강하는 양상을 보였다.

Fig. 9는 시간에 따른 16 μm 입자의 크기 변화를 나타낸 것으로, 입자가 5 μm까지 증발되는데 걸리는 시간은 상대습도가 0%일 때 약 0.24초, 52.8%일 때 0.49초, 90%일 때 2.48초이다. 습도가 낮은 경우 입자의 증발이 가속화되기 때문에 공기 중에 더 오랫동안 부유할 수 있을 것으로 예상된다.