2.1 VSRS의 상태 공간 모델링

Fig. 1은 VSRS 기반 오일쿨러 시스템의 개략도이다. VSRS의 압축기는 유도전동기가 내장된 가변속형으로 인버터를 통해 회전 속도를 제어함으로써 냉매의 질량유량을 가변시켜 제어량인 피냉각유체의 목표 온도를 제어한다. 압축기의 급격한 가변속 제어는 냉매 질량유량과 증발 압력의 급격한 변동을 유발하므로 이로 인한 부작용을 방지하기 위해 EEV 드라이브를 통해 EEV 개도(opening angle)를 제어하여 과열도(superheat)도 동시에 제어한다.

Fig. 2는 VSRS 기반 오일쿨러 시스템의 입 · 출력 관계를 나타내는 전달함수의 블록선도이다. $G_{1}(s)$, $G_{4}(s)$는 각각 압축기 인버터 주파수 지령 $f_{i}$와 EEV 개도 지령 $V_{o}$의 입력에 따른 출력 오일출구온도 $T_{o}$와 과열도 $T_{s}$의 전달함수이다. $G_{2}(s)$, $G_{3}(s)$는 각각 $f_{i}$와 $V_{o}$가 $T_{s}$와 $T_{o}$에 미치는 간섭항 전달함수이다. 본 논문은 스텝 외란과 모델의 불확실성 하에서도 강인한 제어 성능을 갖는 최적 서보 제어기의 설계에 초점을 둔다. 또한, $G_{3}(s)\approx 0$이므로 제어기 설계 시에는 이들 간섭항 전달함수들을 배제하여 각기 독립된 Dual SISO(Single Input Single Output) 형태로 가정한다. 다만, 제어기 성능 검증 과정에서 제어계의 거동을 엄밀히 비교하기 위해 $G_{2}(s)$는 Fig. 3과 같이 $G_{2}(s)=\dfrac{348.1s-0.467}{885s+1}$로 모델링하여 시뮬레이션에만 반영하였다.

제어대상의 전달함수 공칭 모델은 동작점 근방에서 동특성 실험을 통해 구하였다. 주 제어량인 $T_{o}$의 목표값은 공작기계용 오일쿨러의 특성을 고려해 25℃로, $T_{s}$는 최대 COP를 유지할 수 있는 7℃로 설정하였다. $G_{1}(s)$와 $G_{4}(s)$는 부동작 시간 $\widetilde d$를 가지며 시정수 $\tau$와 DC 게인 $k$를 특성값으로 하는 1차계 전달함수 $\dfrac{k}{\tau s+1}e^{-\widetilde d s}$로 모델링 된다. 이를 통해 $G_{1}(s)$의 특성값 $\tau ,k,\widetilde d$는 각각 1680, -0.43, 51, $G_{2}(s)$의 $\tau ,k,\widetilde d$는 각각 67, -0.045, 5로 나타났다. 부동작 시간 $\widetilde d$가 $\tau$에 비해 무시할 수 있을 정도로 작으므로 이 모델을 단순 1차계로 취급하여 역라플라스 변환을 통해 식(1)의 상태 공간 모델을 도출한다.

식(1)에서 상태변수 $x(t)=[T_{o}T_{s}]^{T}$, 제어입력 $u(t)=[f_{i}V_{o}]^{T}$, 출력변수 $y(t)=[T_{o}T_{s}]^{T}$이며, $d$는 스텝 외란을 나타낸다. 또한, 계수행렬은 $A_{e}=\left[\begin{array}{c}A & 0 \\ C 0 & \end{array}\right], B_{e}=\left[\begin{array}{c}B \\ 0\end{array}\right], C_{e}=\left[\begin{array}{ll}0 & I\end{array}\right]$이다.

2.2 최적 서보 제어기 설계

Takeda-Kitamori의 방법을 이용한 VSRS의 최적 서보 제어기 설계를 통해 스텝 외란에 대한 강인성이 증명되었다. 그러나 수식 전개가 복잡하여 제어기의 이해와 설계에 어려움을 초래하였다. 본 논문에서는 Smith-Davison의 최적 제어기 설계법을 참고하여 상태방정식의 미분을 통해 스텝 외란 $d$를 소거하여 서보계로 확대 구성함으로써 제어기 설계가 한층 간결하고, 설계 과정이 직관적으로 이해되도록 관련 식들을 유도한다. 최적 제어는 식(1)의 $A$, $B$가 가제어인 경우 식(2)의 평가함수 $J$를 최소화하는 제어입력 $u(t)$를 $u(t)=-Kx(t)$, $K=R^{-1}B^{T}P$와 같이 구한다.

식(2)의 $Q, R$은 각각 상태변수와 제어입력에 대한 하중 행렬이다. $J$의 최소화는 시스템의 속응성 향상과 동시에 입력 에너지를 적게 함을 뜻한다. 하지만 이 두 조건은 상충하므로 설계 요구에 따라 $Q$와 $R$ 간의 적절한 절충이 요구된다. 제어기인 피드백 게인 $K$의 미지항 $P$는 식(3)의 리카티 방정식을 통해 구해진다.

서보계에서는 $t\to\infty$에서 $y(t)=r$인 경우에도 $u(t)\ne 0$이므로 식(2)의 값이 발산하여 최소화할 수 없게 된다. 하지만, 정상상태에서는 $u(t)$가 일정하게 되므로 $\lim_{t\to\infty}\dot u(t)=0$이다. 따라서 식(1)을 미분하고 새로운 제어입력으로 $\dot u(t)$를 도입하여 행렬로 나타내면 식(4)가 되고, 출력 $y(t)$는 식(5)로 표현할 수 있다. 이 과정에서 스텝 외란 $d$는 $\dot d =0$이므로 외란 항이 소거된다.

서보계임을 고려하여 제어 오차 $e(t)$를 $e(t)=y(t)-r$로 정의하고, 양변을 미분하면 $\dot y(t)=\dot e(t)$가 된다. 이들을 식(4), (5)에 대입하면 식(6), (7)이 얻어진다.

새로운 상태변수를 $x_{e}(t)=\left[\dot{x}(t)^{T} e(t)^{T}\right]^{T}$, 새로운 제어입력을 $u_{e}(t)=\dot u(t)$로 두면 서보계로 확대한 상태 공간 모델은 식(8)로 나타낼 수 있다.

여기서 확대계의 계수행렬은 $A_{e}=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ C & 0\end{array}\right], B_{e}=\left[\begin{array}{c}B \\ 0\end{array}\right], C_{e}=\left[\begin{array}{ll}0 & I\end{array}\right]$이다. 이 시스템의 제어를 위해서는 $(A, B)$는 가제어이며, $rank\begin{bmatrix}A&B\\C& 0\end{bmatrix}=n+m$을 만족하여야 한다.

식(8)에서 $x_{e}(t) \rightarrow 0$으로 하는 제어를 행하면, $y(t)=r$이 달성됨을 알 수 있다. 한편, 상태변수 $x_{e}(t)$와 제어입력 $u_{e}(t)$를 이용하면 식(2)는 하중 행렬 $Q_{e}$와 $R_{e}$를 갖는 확대계의 평가함수 식(9)로 표현된다. 또한 이 식에 식(8)의 $x_{e}(t)= C_{e}^{-1}\{y(t)-r\}$을 대입하고 하중 행렬 $Q_{e}=C_{e}^{T}C_{e}$로 두면, 평가함수 $J_{e}$는 하중 $R_{e}$만을 미지의 파라미터로 갖는 식으로 재정리된다. 식(9)로부터 정상상태일 경우, $x_{e}(t)=0$, $u_{e}(t)=0$이 되므로 $J_{e}$를 최소로 하는 제어입력 $u_{e}(t)$는 $u_{e}(t)=-K_{e}x_{e}(t)$로 되고, $x_{e}(t)=\left[\dot{x}(t)^{T} e(t)^{T}\right]^{T}$를 대입하면 최종적으로 식(10)과 같이 구할 수 있게 된다. (단, $K_{e}=\begin{bmatrix}K_{1}& K_{2}\end{bmatrix}$이다.)

식(10)의 제어 게인 $K_{e}$는 설계자가 식(9)의 하중 행렬 $R_{e}$를 결정하면, 식(3)을 확대계 변수로 구성한 확대계 리카티 방정식의 해 $P_{e}$를 통해 $K_{e}=R_{e}^{-1}B_{e}^{T}P_{e}$와 같이 결정된다. 또한 $u_{e}(t)=\dot u(t)$이므로 실제 제어입력 $u(t)$는 식(10)을 적분함으로써 식(11)과 같이 도출된다. 따라서, 초기값이 $x(0)=0$일 때, 최적 서보 제어계는 최종적으로 Fig. 4와 같이 구성된다. 여기서 게인 $K_{1}$, $K_{2}$는 각각 상태 피드백 게인과 서보(servo) 게인이다.

2.3 GA를 이용한 VSRS의 최적 서보 제어기 설계

최적 서보 제어기의 게인 $K_{1}$과 $K_{2}$는 결국 하중 행렬 $R_{e}$의 설계 문제로 귀착되므로 제어기의 설계 과정이 매우 간단해진다. 그러나 제어기의 설계 사양을 만족하는 하중 행렬은 지금까지 시행착오(trial and error)로 설계되어 번거롭고 최적의 성능을 보장하기도 어려웠다. 본 논문에서는 이 하중 행렬 $R_{e}$를 시행착오 없이 확정적으로 설계할 수 있도록 광대역 최적해 탐색 알고리즘인 유전 알고리즘을 적용한다. GA는 주어진 문제에 대한 해집단을 형성하고 일련의 유전 연산을 통해 진화를 거듭하면서 최적해를 도출한다. GA는 해를 표현하는 염색체(chromosome), 염색체 집단인 해집단(population), 유전 현상을 모사한 선택(selection), 교배(crossover), 변이(mutation) 등의 유전 연산자(genetic operator)로 구성된다. 또한 목적함수(objective function)와 제약 조건(constraints)을 탐색과 진화의 기준으로 적합도 평가(fitness evaluation)를 통해 목적함수의 최소화 또는 최대화 방향으로 진화가 일어난다. 목적함수로는 ISE(Integral Square Error), IAE(Integral Absolute Error), ITAE(Integral Time Absolute Error) 등이 자주 활용된다. Fig. 5는 GA의 흐름도이다.

GA의 최적화 대상 $R_{e}$는 압축기의 인버터 주파수 하중 $r_{11}$과 EEV 개도 지령 하중 $r_{22}$를 대각 요소로 갖는 대각행렬이다. $R_{e}$의 각 요소와 GA에서 염색체의 유전자가 일대일 대응하여 크기 표현이 쉽고 제약 조건을 갖는 최적화 문제 해결에 적합한 실수 코딩 유전 알고리즘을 이용한다. GA를 통해 도출하고자 하는 최적해인 $R_{e}$의 대각 요소 $r_{11}, r_{22}$를 유전자로 두고 이를 염색체로 나타내면 염색체 $X=[r_{11}r_{22}]$로 간단히 표현될 수 있다. 목적함수로는 긴 시간 동안 지속되는 오차를 억제하기에 적합한 ITAE로 식(12)를 선정하였다.

GA 적용 시, 주 제어량인 오일출구온도 $T_{o}$는 정착시간($t_{s}$, $+- 2%$)을 1,600 초 이내, 퍼센트 언더슈트($P.U$)를 5% 이하로 하며, 과열도 $T_{s}$는 7℃를 유지하도록 설계 사양을 정하였다. 또한, $T_{o}$ 제어 시 적분 누적 포화 방지를 위해 Anti-windup 게인도 설계하였다. 이를 바탕으로 GA의 제약 조건은 $X>0$, $1590<t_{s}<1600$, $P.U<5$로 설정하였다. GA의 실행은 MATLAB의 ‘GA solver’를 이용하였고, 해집단의 크기는 ‘50’, $X$는 $1\le X\le 1,000$ 범위에서 균등 분포를 이용하여 무작위로 초기 해집단이 형성되도록 하였고, 적합도 스케일링 연산은 ‘순위’, 선택 연산은 ‘룰렛 휠’, 교차 연산은 ‘산술적, 비율 0.8’, 변이 연산은 ‘적응적 가능’으로 각각 설정하였다. GA의 중지 기준은 세대수가 50이 되거나 목적함수 값의 평균 변화가 1e-6 이하인 경우로 하였다. GA를 통해 $R_{e}$의 요소 $r_{11}, r_{22}$는 각각 267.86, 11.62로 선정되었다.

설계된 최적 서보 제어기의 타당성을 확인하기 위해 시뮬레이션 및 실험을 행하고, 성능 비교 평가를 위해 산업 현장에서 널리 사용되는 PI 제어기의 실험 결과와 비교한다. 성능 비교를 위한 PI 제어기는 최적 서보 제어기와 지령값 추종 성능이 동일하도록 MATLAB/Simulink에서 PID 조정기(tuner)를 이용하여 설계하였다. Table 1은 본 논문에서 설계된 최적 서보 제어기와 PI 제어기, 그리고 Anti-windup 게인들을 각각 나타낸다.

3.1 시뮬레이션 및 실험 방법

본 논문에서 설계한 최적 서보 제어기의 타당성을 검증하기 위해 VSRS 기반 오일쿨러의 지령값 변경과 외란 인가에 대한 각각의 시뮬레이션 및 실험을 구성한다. 첫 번째로 지령값 변경은 제어기의 목표값 추종 성능을 확인하기 위함이며, 두 번째로 외란 인가는 열부하 변동이 발생하는 상황에서도 제어기가 목표 온도를 엄밀히 추종하는가에 대한 제어 강인성을 확인하기 위함이다.

먼저, 시뮬레이션은 Fig. 6과 같은 최적 서보 제어기의 블록선도를 이용하여 MATLAB/Simulink를 통해 진행되었다. 시뮬레이션에서 초기 조건으로 $T_{o}$는 30℃, $T_{s}$는 7℃로 유지하였으며, 이때 열부하는 이 시스템의 정격 열부하인 1.68 kW를 기준으로 하였다. 이후, 지령값 변경은 1,000 초에 $T_{o}$의 지령값만을 30℃에서 25℃로 변경함으로써 실행하였다. 외란은 4,000 초에 정격 열부하의 10%를 증가시킨 1.84 kW, 6,000 초에 정격 열부하의 10%를 감소시킨 1.51 kW로 인가되었다. 각 시뮬레이션 조건은 Table 2에 정리하여 나타내었다.

실험에서는 VSRS 기반 오일쿨러를 대상으로 설계한 최적 서보 제어기의 타당성과 지령값 변경 및 외란 인가에 대한 실제 제어 성능을 확인한다. 실험은 데이터 수집 및 실시간 제어 장치를 통해 진행하였으며, 지령값 변경은 제어장치를 통해 실행하였다. 외란 인가는 전기히터로 인가되는 열부하를 조절함으로써 실행하였다. 각 실험의 조건은 위에서 제시한 Table 2의 시뮬레이션 조건과 동일하다.

Fig. 7은 실험을 위한 VSRS 기반 오일쿨러와 데이터 수집 및 실시간 제어 장치의 개략도를 나타낸다. 오일쿨러는 로터리 타입 압축기와 공랭식 핀-튜브 응축기, 최대 냉각 능력이 2.1 kW인 나관 코일 증발기와 EEV 등으로 구성되었다. 이때 증발기는 오일 냉각을 위해 오일탱크에 담겨 있으며, 전기히터로 공작기계에서 발생하는 열부하를 대신하도록 하였다. 제어입력 연산을 위한 온도 정보는 K-type 열전대를 통해 측정되고, DAQ 시스템을 거쳐 CPU에 전달된다. CPU는 제어 로직을 통해 제어입력을 연산하고, 인버터 주파수와 EEV 개도를 실시간 제어할 수 있도록 I/O 모듈을 통해 아날로그 전압(0~10 V)을 출력한다. 주요 장치의 사양은 Table 3, Table 4와 같다.

3.2 시뮬레이션 및 실험 결과 고찰

3.3 최적 서보 제어기의 모델 불확실성에 대한 강인성 검토

본 절에서는 최적 서보 제어기의 모델 불확실성에 대한 제어 강인성을 확인하기 위해 인위적인 모델 변동을 통한 제어 시뮬레이션을 진행한다. 동특성 실험으로 구한 전달함수 공칭 모델은 제어기 설계에 매우 실용적이지만 모델 불확실성을 포함한다. 모델 불확실성은 공칭 전달함수의 시정수 $\tau$와 DC 게인 $k$에 내포된다. VSRS 기반 오일쿨러 모델의 경우, 선행 연구에서 동작점 변경 시에 이들 특성 파라미터가 ±23%로 가장 크게 변동하였다. 이를 반영하여 시뮬레이션에서는 $G_{1}(s)$의 $\tau$와 $k$를 동시에 최대 ±25% 변동시켜 모델 불확실성에 대한 최적 서보 제어기의 강인성을 확인한다.

Fig. 10은 모델 불확실성에 대한 제어 시뮬레이션 결과로 (a)에는 지령값 변경 및 외란 인가 시 $T_{o}$의 응답을 확대하여 나타내었다. 확대된 그림의 과도 구간에서 $T_{o}$는 공칭 모델과 변동 모델 간의 미소한 응답 차이를 보이지만, 정상 구간에서는 지령값을 추종하며 외란에 대해서도 목표 온도로 제어됨을 알 수 있다. (b)는 (a)에 대응되는 제어입력 $f_{i}$로, 모델 변동에 따라 그 크기와 거동이 달라진다. 최적 서보 제어기의 제어입력은 (c)의 상태 피드백 게인에 의한 입력과 (d)의 서보 게인에 의한 입력의 합으로 나타난다. (c)의 입력은 과도 구간에서 미소한 차이가 있을 뿐, 정상 구간에서는 모델 변동과 상관없이 동일하다. 반면 (d)의 입력은 지령값 변경 및 외란 인가 시뮬레이션 전 구간에 걸쳐 모델 변동에 따라 다르게 나타난다. 이를 통해 최적 서보 제어기는 서보 게인이 모델의 변동에 대응함으로써 모델 불확실성에 대한 강인성을 확보한다. 또한 3.2절의 실험 결과들은 장치의 주변 온도가 24~26℃ 범위로 변동하는 상황에서 얻었으므로, 이를 통해 모델 불확실성에 대한 제어 성능 또한 실험에서 검증되었다고 볼 수 있다.