2.1 VSRS의 전달함수 모델링과 모델 불확실성

Fig. 1은 VSRS 기반의 오일쿨러 시스템(Oil Cooler System; OCS)의 장치 모식도이다. VSRS는 압축기의 회전속도를 인버터(inverter)로 가변시켜 냉매의 질량유량을 조절함으로써 목표 온도 $T_{o}$를 제어한다. 압축기의 급격한 가변속은 액백(liquid back)이나 과열증기 압축으로 인한 COP 저하를 초래한다. 이를 방지하기 위해 전자팽창밸브(Electronic Expansion Valve; EEV)의 개도(opening angle)를 EEV 드라이브로 조절함으로써 과열도도 동시에 제어한다. 과열도 $T_{s}$는 증발기 내의 압력 강하가 미소함을 고려하여 증발기 입구와 출구의 온도 차이로 정의하였다. 실제 시스템에서의 외란(disturbance)인 열 부하는 냉동 사이클에 부가적으로 장착된 전기히터를 통해 인가된다. Table 1은 실제 실험 장치의 냉동사이클 및 부속기기의 주요 사양을 나타낸다.

Fig. 2는 OCS의 모델링 및 제어 개념을 설명하기 위한 전달함수의 블록도이다. OCS의 제어량은 오일출구온도 $T_{o}$와 과열도 $T_{s}$이고, 이들에 대응하는 조작량은 압축기 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 개도 지령 $V_{o}$이다. 제어대상인 압축기와 EEV의 전달함수는 $P_{c}(s)$와 $P_{e}(s)$이다. 전달함수 $P_{ic}(s)$는 압축기 조작량이 $T_{s}$에 미치는 간섭 영향, $P_{ie}(s)$는 열부하 외란이 $T_{o}$에 미치는 영향을 각각 나타낸다. 이들 $P_{ic}(s)$, $P_{ie}(s)$ 두 전달함수는 시뮬레이션 시, 실제 제어대상의 동특성을 정확하게 모사하기 위한 용도로 쓰일 뿐, 제어기 설계에는 반영되지 않는다. 또한, EEV의 개도 변화가 $T_{o}$에 미치는 간섭 영향은 선행 연구 결과 극히 미미하였으므로 고려하지 않았다.⁽⁵⁾

OCS의 전달함수 공칭모델은 동작점(25$^{\circ} {C}$) 근방에서 동특성 실험을 통해 $f_{i}$와 $V_{o}$변화에 따른 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답 즉, $\delta T_{o}/\delta f_{i},\:\delta T_{s}/\delta V_{o}$로부터 식(1)과 같이 구하였다.⁽⁵⁾ 여기서 기호 ‘$\delta$’는 미소 변동량을 나타낸다. 공칭모델의 불확실성 크기는 동특성 실험 시의 장치 주변 외기 온도, 동작점, 조작량의 변동량 등을 달리해 전달함수를 구한 결과, 그 최대 변동 범위가 약 $\pm$30%로 나타났다.⁽⁶⁾ 이를 고려한 압축기와 EEV의 공칭모델의 불확실성은 식(2)와 같다.

식(2)에서 전달함수 공칭모델의 각 특성값은 압축기의 경우 $ \overline{\tau_{c}}= 1,\:680$, $ \overline{k_{c}}= -0.43$이고, EEV의 경우 $ \overline{\tau_{e}}= 67$, $ \overline{k_{e}}= -0.045$였다. 이때 상첨자 기호 ‘―’는 공칭값을 의미한다. 이들 파라미터의 섭동 $\Delta_{p}$의 범위는 각 파라미터의 최대 변동 범위가 $\pm$30%임을 고려하여, $-1\le\delta_{\tau c},\:\delta_{\tau e},\:\delta_{kc},\:\delta_{ke}\le 1$, 그 비율은 $p_{\tau c},\: p_{\tau e},\: p_{kc},\: p_{ke}= 0.3$으로 하였다. 제어대상에 대한 식(1)의 전달함수 모델은 상태공간 모델보다 제어량의 거동을 직관적으로 파악할 수 있고, 각 특성 파라미터가 지닌 불확실성 요소를 비교적 쉽게 표현할 수 있을 뿐만 아니라 주파수 공간에서의 $\mu$-제어기 설계에도 용이하다. 이하에서는 전달함수의 복소 변수 ‘$s$’를 표기의 편의상 생략한다.

Fig. 3은 압축기와 EEV의 공칭모델인 식(1)의 각 특성값 $\tau$와 $k$가 식(2)와 같이 최대 $\pm$30%까지 변동할 때 압축기와 EEV의 전달함수의 개루프 주파수 응답을 나타낸 보드선도이다. 각 보드선도로부터 제어대상 $P_{c}$, $P_{e}$의 모델 불확실성이 위상에 미치는 영향은 미미하지만 이득에 미치는 영향은 크다는 것을 알 수 있다. 그러므로 제어기 설계 시에는 모델 불확실성에 대한 영향을 고려해야 함을 알 수 있다.

2.2 구조화 특이치를 이용한 $\mu$-synthesis 제어

Fig. 4는 $\mu$-제어기 설계를 위한 일반화 제어대상 모델 및 선형 분수 변환(Linear Fractional Transformation; LFT)을 통해 간략화된 등가 변환 블록도를 나타낸다. (a)는 구조화 불확실성 $\Delta$를 갖는 일반적인 견실 제어기 설계에 대한 구조이고, (b)는 (a)의 하측(lower) 선형 분수 변환을 통해 얻은 표준 $M$-$\Delta$구조도이다. (a)에서 $G$는 일반화 제어대상, $\Delta$는 섭동, $K$는 제어기를 각각 나타낸다. 또한, $w$, $d$, $u$는 일반화 제어대상 $G$의 섭동입력, 외란, 그리고 제어입력을 각각 나타낸다. 출력인 $ {z}$, $e$, $y$는 일반화 제어대상 $G$의 섭동출력, 오차, 그리고 측정출력이다. (b)의 $M$은 입력 변수 $d$와 $u$, 출력 변수를 $e$와 $y$로 하여 식(3)과 같이 유도되며, 식(4)는 (b)의 상측(upper) 선형 분수 변환을 통해 도출된다.^(9-13)

여기서, 대각 행렬 구조를 갖는 $\Delta$를 식(5)와 같이 정의한다. $\Delta_{p}$는 놈(norm)이 한정된 불확실성(norm-bounded uncertainties)의 구조화된 집합으로서 공칭 전달함수에 포함된 모델 불확실성을 의미한다. $\Delta_{f}$는 $\mu$-제어에서의 견실 성능 조건을 나타내기 위해 도입한 가상의 불확실성이다.^(12-16)

$\mu$-제어기 설계는 식(5)의 구조화 불확실성 $\Delta$를 갖는 Fig. 4(a)의 폐루프 시스템이 견실 안정성과 견실 성능을 만족하도록 하는 제어기 $K$를 구하는 문제이다. 견실 안정의 필요충분조건은 식(6)으로 정의된 구조화 특이치를 이용하면 $\mu_{\Delta}\{M(j\omega)\}\le 1(\forall\omega)$이다. 이때, $\Delta$의 최대 특이치는 1 이하, $M$은 안정이며 프로퍼(proper)한 전달함수이다.^(9-15) 이 조건은 주요 루프 정리(Main Loop Theorem)에 의해 견실 성능도 동시에 보장한다.⁽¹⁴⁾

구조화 특이치를 이용한 $\mu$-제어기 설계는 식(3)에서 정의한 폐루프 전달함수 $M = F_{l}(G,\:K)$, $M\in C^{n\times n}$을 전 주파수 대역에서 구조화 특이치 $\mu_{\Delta}(M)$의 최댓값을 최소화하는 안정한 제어기 $K$를 설계하는 문제로 정식화 된다.^(9-13)

실제로 식(7)의 해를 직접 구하기는 어렵기 때문에 제어기 설계 시는 식(8)과 같이 구조화 특이치 $\mu_{\Delta}(M)$보다 같거나 큰 최대 특이치 $ \overline{\sigma}(M)$을 이용한다. 그러나 최대 특이치는 $\Delta$의 불확실성 구조가 반영되어 있지 않아서 대각 비례 행렬(diagonal scaling matrices) 집합인 식(9)의 $D$를 도입하여 식(10)을 푸는 문제로 대체된다.^(9-13)최종적으로 $\mu$-제어기 설계는 식(11)의 $D$를 최소화하는 안정한 제어기 $K$를 설계하는 문제로 귀착되며, 식(7)을 푸는 문제와 동일한 결과로 된다. 식(9)의 상첨자 기호 ‘*’는 복소 공액 전치를 나타낸다.

결국, $\mu$-제어기 설계는 식(11)을 최소화하는 제어기 $K$를 찾는 문제로서, scale factor인 $D$값을 수정해 가면서 $\mu$값이 최소화되는 제어기를 반복 계산으로 찾는 방법이다.^(9-13) 이와 같이 최적의 제어기를 찾는 방법은 D-K iteration으로 알려져 있으며, 견실 안정성과 견실 성능 문제를 해결하기 위한 $\mu$-제어기의 설계법으로 가장 널리 사용되고 있다.

2.3 VSRS의 $\mu$-synthesis 제어기 설계

Fig. 5는 압축기와 EEV의 $\mu$-제어기 설계를 위한 구조화 불확실성과 가중함수를 갖는 피드백 제어계를 나타낸다. 그림에서 $K_{c}$, $K_{e}$는 압축기와 EEV용 제어기이며, $W_{i}$($i$=1, 2), $W_{j}$($j$=3, 4)는 가중함수이다. 가중함수는 폐루프 성능 조건의 상대적인 중요성을 반영시키기 위한 설계 인자로서 $W_{i}$는 $T_{o}$, $W_{j}$는 $T_{s}$의 성능을 각각 조절하는 하중함수이다. $Z_{i}$($i$ = 1, 2), $Z_{j}$($j$ = 3, 4)는 가중치가 부가된 제어출력을 나타낸다. 한편, 모델 불확실성의 집합 $\Delta_{p}$는 $\Delta_{c}$, $\Delta_{e}$로 구성되며, $\Delta_{c}=diag[\delta_{\tau c},\:\delta_{kc}]$, $\Delta_{e}=diag[\delta_{\tau e},\:\delta_{ke}]$로 정의되는 대각행렬로서 $P_{c}$와 $P_{e}$의 구조화 불확실성을 반영한다. 또한, $w_{c}$와 $w_{e}$는 제어대상에 대한 섭동입력이고 $ {z}_{ {c}}$와 $ {z}_{ {e}}$는 각 제어대상의 덧셈형 불확실성 식(2)에 해당되는 섭동출력이다. $d_{c}$와 $d_{e}$는 외란입력으로서 $d_{c}$는 $T_{o}$에 미치는 열부하 외란, $d_{e}$는 $u_{c}$가 $T_{s}$에 미치는 간섭 영향을 각각 나타낸다. $u_{c}$와 $u_{e}$는 제어입력(조작량)으로서 $f_{i}$와 $V_{o}$이고, $y_{c}$와 $y_{e}$는 압축기와 EEV의 측정출력을 각각 나타낸다.

우선 모델의 불확실성을 설계에 반영하기 위해, Fig. 5의 압축기와 EEV의 공칭모델 $P_{c}$와 $P_{e}$는 식(12)의 LFT를 통해 모델 불확실성 $\Delta_{p}$를 갖는 제어대상 $\widetilde P$로 표현된다. 여기서 상첨자 기호 ‘~’는 불확실성이 포함된 제어대상을 의미한다.

외란 $d_{c}$, $d_{e}$가 제어출력 $Z_{i}$, $Z_{j}$에 미치는 영향은 식(13)과 같다. 이때 가중함수 $W_{i}$, $W_{j}$는 주파수 정형(loop shaping)을 통해 외란과 모델 불확실성에 대한 성능 조건을 동시에 만족시키기 위해 사용된다.

외란 $d_{c}$, $d_{e}$의 영향을 감소시키기 위해서는 식(14)로 정의되는 감도함수 $|\widetilde S |$가 작게, 즉 제어기 $K$($K_{c},\: K_{e}$)를 증가시키고, 모델 불확실성 $\Delta_{p}$가 출력에 미치는 영향을 감소시키기 위해서는 식(14)의 상보감도함수 $|\widetilde C |$를 감소, 즉 $K$를 감소시켜야 한다. 식(14)로부터 $\widetilde S +\widetilde C =1$이므로 감도함수와 상보감도함수는 상호 절충(trade-off) 관계임을 알 수 있다. 이로 인해 가중함수 선정에도 절충 조건이 존재하므로 가중함수를 동시에 최적화하는 것이 중요하다.

외란과 모델 불확실성에 대해 견실 안정성과 견실 성능을 동시에 만족시키는 압축기와 EEV의 $\mu$-제어기 설계는 식(13)에 식(14)의 감도함수와 상보감도함수를 적용하여 식(15), 식(16)과 같이 혼합감도문제로 정식화 된다.

제어기 $K$($K_{c},\: K_{e}$)를 설계하기 위해서는 먼저 가중함수 $W_{i}$, $W_{j}$의 초기값을 적절히 선정해야 한다. $\mu$-제어기는 이 가중함수들의 초기값을 이용하여 일차적으로 설계되며, 설계사양이 만족될 때까지 Fig. 6과 같이 가중함수의 반복적인 수정 과정을 거쳐 최종적으로 설계된다.

가중함수 $W_{i}$, $W_{j}$의 초기값들은 각 가중함수들의 역할을 고려하여 선정된다. Fig. 5에서 $W_{1}$과 $W_{3}$는 외란이 제어출력에 미치는 영향을 최소화시키는 역할, $W_{2}$와 $W_{4}$는 모델 불확실성에 대한 제어계의 견실 안정성을 확보하기 위한 역할을 한다. 즉, 저주파수에서는 외란의 영향이 크므로 이를 억제할 수 있도록 $W_{1}$과 $W_{3}$를 설계하고, 고주파수에서는 모델 불확실성의 영향이 상대적으로 크므로 이를 고려하여 $W_{2}$와 $W_{4}$를 적절한 초기값으로 선정한다. 따라서 가중함수 $W_{i}$, $W_{j}$는 식(15)와 (16)으로부터 식(17)과 같이 설계된다.

Table 2는 Fig. 6의 반복 과정을 거쳐 최종적으로 설계된 압축기와 EEV 제어용 가중함수이다. Fig. 7과 Fig. 8은 Fig. 5의 압축기 및 EEV 측 폐루프 시스템의 감도함수와 상보감도함수를 계산하고, 식(17)의 조건이 충족되었는지를 확인하기 위한 주파수 응답 선도이다.

Fig. 7(a)에서, 감도함수 응답은 모든 주파수 범위에서 가중함수 $W_{1}^{-1}$의 아래쪽에 있음을 확인할 수 있다. 특히, 외란의 영향을 최소화하기 위해 저주파수 대역에서 감도함수의 게인이 작게 설계되었음을 알 수 있다.

Fig. 7(b)에서도 상보감도함수의 응답이 가중함수 $W_{2}^{-1}$의 아래쪽에 위치해 있음을 볼 수 있다. 또한, 고주파수 영역에서 상보감도함수의 게인이 상대적으로 더 작으므로 잡음을 포함한 모델 불확실성의 영향을 최소화하여 견실 안정성을 극대화 하도록 설계되었음을 의미한다.

Fig. 8의 EEV 제어용 가중함수들도 압축기 제어용 가중함수들과 동일한 원리로 설계되었음을 확인할 수 있다. 이를 통해 최종적으로 설계된 각 가중함수들은 식(17)의 조건을 만족시킴을 알 수 있다.

다음으로 압축기와 EEV의 일반화 제어대상을 구성한다. 각 제어대상의 입력은 $w$,$u$,$d$이고, 출력은 $ {z}_{i}$, $ {z}_{j}$, $y$이므로 입출력 간의 전달함수를 구하여 Doyle의 기호법을 사용하여 나타내면, 식(18), 식(19)와 같다.^(9-13)

$\mu$-제어기가 견실 안정성과 견실 성능을 만족하기 위해서는 구조화 특이치 $\mu$의 값이 1 이하여야 한다.^(9-13) 이 조건이 만족되도록 Table 2의 가중함수들을 이용하여 식(11)의 D-K iteration으로 구한 최종적인 $\mu$의 값은 압축기 측이 $\mu_{c}=0.986$, EEV 측이 $\mu_{e}=0.405$였다. 이 $\mu$의 값이 작을수록 $\mu$-제어기는 더 큰 섭동에 대한 견실 안정성을 보장한다. 이 값들을 바탕으로 설계된 압축기와 EEV 측의 $\mu$-제어기 $K_{c}$, $K_{e}$는 상태공간 모델을 전달함수 모델로 변환하여 식(20)과 같이 나타내어진다.

3.1 $\mu$-제어기와 PI 제어기 시뮬레이션 결과 및 고찰

설계한 $\mu$-제어기의 타당성을 확인하기 위해 MATLAB 기반의 컴퓨터 시뮬레이션을 진행하였다. 또한 $\mu$-제어기의 견실성을 확인하기 위해 PI 제어기와의 비교 시뮬레이션을 행하였다. PI 제어기는 지령값 변동 시, $\mu$-제어기와 동일한 설계 사양인 정착시간 1,600 초($\pm 2 \%$)와 최대 언더슈트 0.5$^{\circ} {C}$($\pm 10 \%$) 이내를 만족하도록 설계하였다. 최종적으로 설계된 PI 제어기는 압축기의 P 게인과 I 게인이 각각 $-$20, $-$0.005, EEV의 P 게인과 I 게인이 각각 $-$9, $-$0.15였다. 한편, 샘플링 주파수는 오일쿨러 장치의 동특성을 고려하여 1 초로 정하였다.

Fig. 11과 Fig. 12는 본 논문에서 설계한 $\mu$-제어기와 PI 제어기의 시뮬레이션 결과를 각각 보여준다. 각 그림의 (a)는 제어량 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답, (b)와 (c)는 제어량의 응답 (a)에 대응한 압축기와 EEV의 조작량인 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 드라이브 개도 지령 $V_{o}$를 각각 나타낸다. (a)로부터 지령값 변경 시의 두 제어량의 응답은 설계한 의도대로 거의 동일함을 알 수 있다. 제어기의 견실성은 열부하 변동 시의 두 제어기 응답을 비교하여 확인한다.

열부하 변동 시 두 제어기의 응답은 모두 오버슈트와 언더슈트가 존재하지만 $\mu$-제어기가 PI 제어기의 경우보다 정상상태오차 없이 목표값에 엄밀히 추종함을 보였다. 이로써 $\mu$-제어기의 견실성이 확인되었다.

3.2 $\mu$-제어기와 PI 제어기 실험 결과 및 고찰

실험은 Fig. 10의 장치를 이용하여 시뮬레이션과 동일한 조건 하에서 수행하였다. Fig. 13과 Fig. 14는 $\mu$-제어기와 PI 제어기에 의한 지령값 및 열부하 변동 시의 실험 결과로서, (a)는 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답, (b)와 (c)는 (a)에 대응한 압축기와 EEV의 조작량인 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 드라이브 개도 지령 $V_{o}$를 각각 나타낸다.

우선 실험결과들은 시뮬레이션 결과들과 거의 일치함을 알 수 있으며 이를 통해 설계한 제어기들의 타당성을 확인할 수 있다. 또한, (a)로부터 지령값 변경 시의 두 제어량의 응답은 설계한 의도대로 거의 동일하며 정상상태오차가 없음을 알 수 있다. 두 제어기의 견실성에 대한 비교는 열부하 변동 시 주된 제어량인 $T_{o}$의 응답을 통해 확인한다. 열부하 증가(10%) 시, $\mu$-제어기에 의한 $T_{o}$의 최대 오버슈트는 0.2$^{\circ} {C}$, PI 제어기는 0.4$^{\circ} {C}$ 발생함을 확인할 수 있었고, 정상상태오차는 두 제어기 모두 허용오차 범위인 0.1$^{\circ} {C}$ 이내로 나타났다. 열부하 감소(20%) 시에는 $\mu$-제어기에 의한 최대 언더슈트는 0.2$^{\circ} {C}$, PI 제어기는 약 0.5$^{\circ} {C}$ 발생하였고, 특히 $\mu$-제어기는 정상상태오차가 발생하지 않은 반면에 PI 제어기는 최대 과도 오차가 약 0.3$^{\circ} {C}$ 발생하였다. 이를 통해 결과적으로 본 논문에서 설계한 $\mu$-제어기가 외란과 모델불확실성에 더 견실함을 알 수 있다.

Fig. 15는 열부하 감소 시 두 제어기의 $T_{o}$ 응답을 확대한 그림이다. 그림에서 PI 제어기는 최대 과도 오차가 약 0.3$^{\circ} {C}$ 발생한 반면에 $\mu$-제어기는 정상상태오차가 발생하지 않고 목표치에 엄밀히 추종함을 알 수 있다.

이 결과들을 통해 열부하 변동 하에서도 $\mu$-제어기는 $T_{o}$와 $T_{s}$ 모두 지령값에 엄밀히 추종함을 확인할 수 있다. 또한 과도 특성 지표인 최대 오버슈트와 최대 언더슈트도 $\mu$-제어기가 PI 제어기보다 현저히 작게 나타나 더 견실함을 알 수 있다. 특히, Fig. 13과 Fig. 14의 (b)를 보면 $\mu$-제어기는 PI 제어기와는 달리 지령값 및 열부하 변동 시에도 조작량이 매우 안정됨을 확인할 수 있다. 이는 $\mu$-제어기가 주파수 정형을 통해 잡음을 포함한 모델 불확실성과 외란에 대한 영향을 최소화 하도록 설계되었기 때문이다. 본 논문에서의 $\mu$-제어기와 PI 제어기 실험 결과들에 대한 정량적 비교는 상대적 우수성 평가보다는 제안한 $\mu$-제어기의 견실 제어 성능을 보다 명확히 나타내기 위한 것임에 주목할 필요가 있다. 제안한 $\mu$-제어기는 식(20)에서와 같이 차수가 높아 마이크로프로세서에 구현이 어렵고, 핵심 설계 파라미터인 가중함수의 최적 설계가 용이하지 않다. 그러나 최근 마이크로프로세서의 고성능 저가격 추세와 더불어, MATLAB/Simulink와 같은 CAD를 통한 제어기 설계가 보편화 되고 있어 향후 $\mu$-제어기의 다양한 산업 분야로의 적용이 한층 증가할 것으로 예상된다. 특히, 핵심 설계 파라미터인 가중함수 설계에 AI 기법을 적용함으로써 설계 시간 단축과 최적성 확보가 용이할 것으로 생각된다.