기호설명

상․하첨자

1. 서 론

흡착식 냉동기는 태양열, 엔진 폐열 등의 저온 열원으로 구동할 수 있는 장점이 있지만, 기존 냉동기에 비해 낮은 효율과 큰 부피가 보급에 걸림돌로 작용하고 있어 많은 연구자가 흡착식 냉동기의 고효율, 소형화를 위해 노력하고 있다.⁽¹⁾ 흡착식 냉동기는 일정 주기에 따라 흡착제를 냉각, 가열하여 증발기에서 저압 냉매 증기를 제거(흡착)하고 응축기로 고압 냉매 증기를 토출(탈착)하는 원리로 작동하므로 흡착제뿐 아니라 그 흡착제와 결합된 열교환기의 동특성도 냉동기의 성능에 큰 영향을 미친다. 따라서 연구자들은 다양한 방법으로 흡착열교환기의 성능을 예측하려 노력해왔다. Sah et al.⁽²⁾은 과거의 흡착식 냉동기에 대한 모델링 연구를 열역학(thermodynamic), 집중요소(lumped-parameter), 열․물질전달(heat and mass transfer)의 3개 그룹으로 나누어 정리하였다. 열역학모델은 흡착제의 평형상태를 가정하고 집중요소모델은 상태량의 공간분포를 무시하므로 흡착열교환기의 특성은 비평형상태와 공간분포의 영향을 모두 고려하는 열․물질전달모델에서 가장 잘 고려될 수 있다. 아래에 열․물질전달모델에 속하는 대표적인 연구 몇 편을 논의하였다.

Hajji and Worek⁽³⁾은 zeolite-water 흡착기의 1차원 모델을 사용하여 흡착식 냉난방 시스템의 성능을 예측하였다. 흡착열교환기는 열매체가 흐르는 원관의 외부에 실린더형 흡착제 블록이 고정된 구조이며 저자들은 문제를 단순화하기 위해 길이 방향 열확산을 무시하였고 물성, 유량과 열 및 물질 전달계수가 일정하며 흡착제 영역에서 압력이 균일하다고 가정하였다. 동적 정상상태로의 수렴을 촉진하기 위해 지배방정식은 Wendroff’s scheme을 사용하여 이산화하였고 정적(constant-volume)과 정압(constant-pressure) 과정에 각각 다르게 최적화된 공간 및 시간 간격을 사용하였다. 시뮬레이션을 통해 열교환기의 질량보다는 열매체와 흡착제 사이의 열전달계수가 시스템 성능에 미치는 영향이 크다고 판단하였으나 물질전달계수의 영향은 고려하지 않았다.

Zhang⁽⁴⁾은 엔진 배열로 구동되는 zeolite-water 흡착기의 3차원 모델을 개발하고 실험 결과와 비교하여 검증하였다. 흡착기는 길이 0.8 m의 이중관 구조로 내관의 바깥벽 원주방향($\phi$)에 등간격으로 배열하여 길이방향($z$)으로 용접한 12개의 사각휜과 그 외곽을 금속망으로 둘러싸 만들어진 공간에 zeolite 입자를 충진한 형태이다. 내관의 안쪽을 흐르는 물과 전열관을 1차원($z$), 사각휜은 2차원($r$,$z$), 흡착제는 3차원($r$,$\phi$,$z$)으로 모델링하였고 다공층 내부의 증기 질량보존과 Darcy’s law를 고려하여 비균일 압력분포를 고려하였다. 이산화한 지배방정식에서 확산항에는 central difference, 대류항에는 quadratic upstream, 시간항에는 ADI(alternating direction implicit) scheme을 적용하였고 비선형 방정식들은 반복 계산으로 수렴해를 찾았다. 저자는 시뮬레이션 결과와 실험에서 얻은 순환수의 출구온도, 흡착제 온도를 비교하여 전반적으로 잘 일치하였다고 보고하였다.

Alam et al.⁽⁵⁾은 흡착열교환기 모델을 개발하여 설계 인자가 silica gel-water 냉동기의 성능에 미치는 영향을 예측하였다. 균일압력, 흡착제의 포화상태, 일정 물성, 이상기체 등의 가정하에 물과 흡착제의 2개 영역 각각에서 유도한 2차원($x$,$y$) 에너지 방정식을 Zhang⁽⁴⁾과 유사한 방법으로 풀었다. 시뮬레이션을 통해 $\omega$(무차원 주기), $NTU$, $Bi$수, $Ar$(세장비) 등의 무차원 인자가 성능에 미치는 영향을 분석한 결과 냉동기의 성능이 사이클 주기에 민감하며 최적 주기는 흡착열교환기의 구조에 크게 의존한다고 보고하였다.

Chua et al.⁽⁶⁾은 silica gel-water 흡착기의 2차원 모델을 개발하여 상용 칠러의 성능을 예측하였다. 흡착기는 원관의 길이방향($z$)을 따라 등간격으로 배치한 원형휜의 사이에 silica gel을 충진한 형태로서 관 내부를 흐르는 물과 전열관은 길이방향으로 1차원($z$), 휜과 흡착제는 반경방향 1차원($r$)으로 모델링하였다. 1차원($z$) 응축기 및 증발기 모델과 증기측 질량, 에너지 보존을 고려하여 시간에 따른 작동압력의 변화를 고려하였으나 흡착층 내부 압력은 균일하다고 가정하였다. 지배방정식의 풀이를 위해 central difference, upstream, BDF(backward differentiation formula) method을 사용하였으며 예측 결과와 상용 칠러의 실험결과(순환수의 출구온도)를 비교하여 이전의 집중요소모델에 비해 정확성이 개선되었다고 보고하였다.

열․물질전달모델에서는 흡착열교환기를 열매체, 열교환기, 흡착제 영역으로 나누고 각 영역에서 유도한 1~3차원의 연립방정식을 풀어 해를 구한다. 이를 위해 전술한 연구들은 유한차분법으로 이산화한 지배방정식을 일정 시간 간격으로 반복 계산하여 주기적 경계조건을 만족하는 수렴값을 찾는 수치적 방법으로 해를 구하였다. 주지하다시피 수치모델은 각 계산영역에서 시간에 따른 물성과 상태의 분포를 자세히 예측할 수 있는 장점이 있지만, 계산영역이 크면 계산시간이 과도하게 길어지는 단점이 있다. 해석모델을 사용하면 수치모델의 단점을 피할 수는 있으나 열교환기의 복잡한 구조나 물성의 비선형적 특성을 고려하기 어렵다. 따라서 목적에 따라 두 모델을 선택적으로 사용하여 두 모델의 장점을 활용하는 것이 바람직하다. 예를 들어 Hajji and Worek⁽³⁾과 같이 단순한 흡착열교환기의 성능을 예측하기 위해서는 해석모델을, Zhang⁽⁴⁾과 같이 복잡한 흡착열교환기 내부의 비균일 압력분포를 고려하기 위해서는 수치모델을 사용할 수 있다. 본 연구에서는 단순한 흡착열교환기의 1차원 해석모델을 개발하였다. Kim et al.⁽⁷⁾은 평판형 흡착열교환기의 2차원 수치모델과 집중요소모델을 비교하여 집중요소모델이 짧은 주기(<8min)에서 8~13%의 오차를 가진다고 보고한 바 있다. 본 연구의 1차원 모델은 Kim et al.⁽⁷⁾의 집중요소모델이 고려하지 않았던 전열관 길이방향의 온도 및 농도분포의 영향을 고려하므로 짧은 주기에서 발생하는 오차가 작기 때문에 silica gel-water 시스템을 포함해 짧은 주기로 운전하는 흡착식 냉동기의 성능을 잘 예측할 수 있다. 본 연구에서 고려한 흡착열교환기는 Hajji and Worek⁽³⁾과 동등한 수준으로 단순화하였고 지배방정식과 풀이는 선행연구^(7-8)의 결과를 확장하여 적용하였다. 아래 2장에 지배방정식과 일반해를 정리하였고 3장에서는 일반해를 이용해 silica gel-water 시스템의 성능을 예측하였다.

2. 지배방정식과 일반해

Fig. 1에 흡착기의 개략도를 도시하였다. 흡착기는 압력용기에 fin-tube 타입 흡착열교환기를 장착한 형태로 열교환기 내부를 흐르는 순환수와 흡․탈착되는 냉매 증기의 출입을 위한 입․출구를 가지고 물과 증기 배관에 설치된 절환시스템이 운전모드에 따라 순환수의 온도($T_{w1i}$)와 작동압력($p_{\infty}$)을 제어한다. 본 연구에서는 문제를 단순화하기 위해 다음의 주요 가정을 도입하였다.

- 모든 물성은 일정하다.

- 증기 영역에서 압력은 균일하다.

- 전열관의 길이 방향 열확산은 무시할 수 있다.

- 열 및 물질전달계수는 일정하다.

- 압력용기 내벽의 온도($T_{\infty}$)는 균일하다.

Fig. 1 Schematic diagram of an adsorber.

2.1 지배방정식

Fig. 2(a)에 열교환기의 상세 구조를 도시하였다. 그림은 납작한 전열관 내부에 높이 2$\delta_{w}$의 채널을 통해 물이 흐르고 두께 $\delta_{t}$의 관벽 외부에 두께 $\delta_{f}$, 높이 $L_{f}$의 평판휜이 $f_{p}$의 간격으로 부착되어 있으며 외부 전체 표면에 흡착제가 $\delta_{s}$의 두께로 고정되어 있음을 나타낸다.

Fig. 2(b)에 본 연구에서 고려한 1차원 열교환기의 개략도를 도시하였다. 본 연구에서 열교환기는 물(Water), 전열벽(Metal), 흡착제(Ads)의 3개 영역으로 구성하였고 길이 방향 임의의 위치($x$)의 단면에서 각 영역의 상태와 전달현상은 평균온도($T_{w}$,$T_{m}$,$T_{s}$)와 농도($c_{s}$)차로 기술하였다. Fig. 2(b)의 표시한 각 영역 사이의 열유속($\dot{q}$)과 물질유속($\dot{n}$)은 다음과 같이 정의하였다.

Fig. 2 Geometry and control volumes of adsorbent heat exchanger.

(1)

Water-Metal: $\dot{q}_{w_{-}m}=U_{w_{-}m}\left(T_{w}-T_{m}\right)$

(2)

Metal-Ads: $\dot{q}_{m_{-}s}=U_{m_{-}s}\left(T_{m}-T_{s}\right)$

(3)

Ads-Interface: $\dot{q}_{i}=h_{ti}\left(T_{s}-T_{i}\right)$

(4)

Ads-Interface: $\dot{n}_{i}=h_{mi}\left(c_{s}-c_{i}\right)$

(5)

Ads-Ambient: $\dot{q}_{\infty}=h_{t\infty}\left(T_{s}-T_{\infty}\right)$

식(1)~식(5)의 정의에 따라 각 영역에 대해 다음과 같이 1차원 보존방정식을 쓸 수 있다.

(6)

$\dfrac{\partial T_{w}}{\partial t}+u\dfrac{\partial T_{w}}{\partial x}=-\dfrac{(\dot{q}A)_{w_{-}m}}{\left(m C_{p}\right)_{w}}$

(7)

$\dfrac{\partial T_{m}}{\partial t}=\dfrac{(\dot{q}A)_{w_{-}m}-(\dot{q}A)_{m_{-}s}}{\left(m C_{p}\right)_{m}}$

(8)

$\dfrac{\partial T_{s}}{\partial t}=\dfrac{(\dot{q}A)_{m_{-}s}-(\dot{q}A)_{i}-(\dot{q}A)_{\infty}}{\left(m C_{p}\right)_{s}}$

(9)

$\dfrac{\partial c_{s}}{\partial t}=-\dfrac{(\dot{n}A)_{i}}{V_{s}}$

한편 식(3)~식(4)에서 계면 상태량 $T_{i}$, $c_{i}$는 아래의 평형상태 방정식과 열평형 방정식을 만족해야 한다.

(10)

$f_{eq}\left(p_{i},\: T_{i},\: c_{i}\right)=0$

(11)

$\dot{q}_{i}=i_{ads}\dot{n}_{i}$

흡착열교환기에 공급되는 물의 입구($x$=0)온도 $T_{w1i}$와 주변온도 $T_{\infty}$, 그리고 흡착제 경계면의 증기압 $p_{i}$는 경계조건으로서 다음과 같이 주어진다고 가정하였다.

(12)

$T_{w1i}=f_{bc1}(t)$

(13)

$p_{i}=f_{bc2}(t)$

(14)

$T_{\infty}=f_{bc3}(t)$

식(6)~식(11)의 연립방정식을 풀면 $T_{w}$, $T_{m}$, $T_{s}$, $c_{s}$, $T_{i}$, $c_{i}$의 6개의 미지수를 구할 수 있고 따라서 식(1~5)의 열과 물질유속을 계산하여 흡착열교환기의 성능을 평가할 수 있다. 이 문제는 수치적 방법으로 해를 구하는 것이 보통이지만 본 연구에서는 아래에 정리한 방법으로 해석해를 구하였다.

미지수 중 $T_{i}$와 $c_{i}$는 흡착 경계면의 상태량으로 흡착제의 평균 상태량인 $T_{s}$와 $c_{s}$ 그리고 식(10), 식(11)에 의해 결정된다. 따라서 식(10), 식(11)을 이용하여 $T_{i}$와 $c_{i}$를 $T_{s}$와 $c_{s}$의 함수로 표현할 수 있다면 문제가 크게 단순화된다. 흡착제의 평형증기압 $p_{s}$는 $T_{s}$, $c_{s}$에 의해 결정되는데 좁은 영역에서 평형방정식을 선형으로 근사하면 $p_{s}$에 상당하는 이슬점온도 $T_{s}^{*}$는 $T_{s}$와 $c_{s}$의 함수로 다음과 같이 쓸 수 있다(부록 A 참고).

(15)

$T_{s}^{*}-T_{0}^{*}=\alpha\left(T_{s}-T_{0}\right)+\beta\left(c_{s}-c_{0}\right)$

식(15)는 흡착제의 평균 상태량$\left(T_{s}^{*},\: T_{s},\: c_{s}\right)$ 사이의 관계를 정의하지만 흡착제의 계면 상태량$\left(T_{i}^{*},\: T_{i},\: c_{i}\right)$에 대해서도 유효함을 기억하기 바란다. 식(11)과 식(15)를 고려하면 식(3,4)의 $\dot{q}_{i}$와 $\dot{n}_{i}$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(16)

$\dot{q}_{i}=i_{ads}\dot{n}_{i}=U_{i}\left(T_{s}^{*}-T_{i}^{*}\right)$

여기서 $U_{i}$는 $T_{s}^{*}$와 $T_{i}^{*}$ 사이에서 정의되는 총괄열전달계수로서 다음과 같이 주어진다.

(17)

$U_{i}=\left[\dfrac{\alpha}{h_{ti}}+\dfrac{\beta}{h_{mi}i_{ads}}\right]^{-1}$

한편 시간에 대해 미분한 식(15)에 식(8)과 식(9)를 대입한 후 정리하면 다음 식을 얻는다.

(18)

$\dfrac{\partial T_{s}^{*}}{\partial t}=\dfrac{\alpha}{\left(m C_{p}\right)_{s}}\left\{(\dot{q}A)_{m_{-}s}-(\dot{q}A)_{\infty}-\left[1+\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)\dfrac{\left(\rho C_{p}\right)_{s}}{i_{ads}}\right](\dot{q}A)_{i}\right\}$

이제 문제는 식(6~8), 식(18)의 4개 연립방정식을 풀어 $T_{w}$, $T_{m}$, $T_{s}$, $T_{s}^{*}$의 4개 미지수를 구하는 것으로 단순화되었다.

2.3 경계조건

2.3.1 흡착열교환기 입구온도, $T_{w1i}$: 식(12), 식(26)

Fig. 3(a)에 $T_{w1i}$ 즉, 식(12)의 $f_{bc1}(t)$의 한 예를 도시하였다. 전체 주기에서 탈착구간의 비율을 $\mu$(=$\tau_{h}/\tau$, 그림에서는 0.5), 탈착구간($0<t/\tau\le\mu$)의 평균 온도를 $T_{h}$, 흡착구간($\mu <t/\tau\le 1$)의 평균 온도를 $T_{c}$로 약속하면 전체평균 $T_{0}$는 다음과 같이 주어진다.

(41)

$T_{0}=\mu T_{h}+(1-\mu)T_{c}$

식(23)의 무차원온도에 사용된 $T_{0}$와 $\Delta T_{0}$는 각각 식(41)과 $\Delta T_{0}=T_{h}-T_{c}$로 정의된다. 한편 $T_{0}$의 정의에 따라 식(26)의 $\theta_{w1i}$는 다음과 같이 단순하게 다시 쓸 수 있다.

(42)

$\theta_{w1i}=2\sum_{n=1}^{+\infty}Real\left(A_{n_{-}w1i}e^{i\phi_{n}t^{*}}\right)$

여기서 $A_{n_{-}w1i}$는 다음과 같이 정의된다.

(43)

$A_{n_{-}w1i}=\dfrac{1}{T_{h}-T_{c}}\int_{0}^{1}\left[f_{bc1}(t)-T_{0}\right]e^{-i\phi_{n}t^{*}}d\left(\dfrac{t}{\tau}\right)$

Fig. 3 Illustration of boundary conditions.

2.3.2 압력용기 온도, $T_{\infty}$: 식(14), 식(28)

$T_{w1i}$가 Fig. 3(a)에서와 같이 $T_{0}$를 중심으로 진동하므로 식(14)의 $T_{\infty}$도 $T_{0}$를 중심으로 진동하는 주기함수일 것으로 기대할 수 있고 따라서 Fig. 3(a)의 $T_{w1i}$와 마찬가지로 $T_{\infty}$가 주어지면 식(28)의 $A_{n_{-}\infty}$를 구할 수 있으나 $T_{\infty}$의 진폭이 작은 경우에는 단순히 $T_{\infty}$를 상수로 가정할 수 있다. 본 연구에서는 $T_{\infty}$=$T_{0}$즉, $\theta_{\infty}$=0을 가정하여 $A_{n_{-}\infty}$=0으로 두었다. 이로 인해 문제는 매우 단순해지는 반면 그 오차는 무시할 수 있을 정도로 작음을 확인하였다.

2.3.3 흡착계면 증기압, $T_{i}^{*}$: 식(13), 식(27)

$A_{n_{-}\infty}$=0을 고려하면 $\theta_{w}$, $\theta_{m}$, $\theta_{s}$, $\theta_{s}^{*}$, $\omega_{s}$는 부록 B에 정리한 바와 같이 주어진다. 여기서 $\omega_{s}$는 $c_{s}$의 무차원수로서 무차원화한 식(15)에 $\theta_{s}^{*}$, $\theta_{s}$를 대입하여 다음과 같이 구할 수 있다.

(44)

$\omega_{s}=\dfrac{\beta\left(c_{s}-c_{0}\right)}{\Delta T_{0}}=\theta_{s}^{*}-\alpha\theta_{s}$

부록 B의 결과를 계산하기 위해서는 마지막 경계조건인 식(27)의 $A_{n_{-}p}$가 주어져야 한다. Fig. 3(b)에 식(13)의 $f_{bc2}(t)$의 한 예를 제시하였으며 탈착구간($0<t/\tau\le\mu$)의 평균온도 $T_{h}^{*}$, 흡착구간($\mu <t/\tau\le 1$)의 평균온도 $T_{c}^{*}$, $T_{0}^{*}$(=$\mu T_{h}^{*}+(1-\mu)T_{c}^{*}$)를 정의하였다. $A_{n_{-}p}$는 $f_{bc2}(t)$가 주어지면 아래의 식으로 구할 수 있다.

(45)

$A_{n_{-}p}=\dfrac{1}{T_{h}-T_{c}}\int_{0}^{1}\left[f_{bc2}(t)-T_{0}^{*}\right]e^{-i\phi_{n}t^{*}}d\left(\dfrac{t}{\tau}\right)$

그러나 $f_{bc2}(t)$를 구하는 것이 항상 가능하지는 않으므로 이런 경우에는 아래에 정리한 압력 모델을 사용하였다. 작동압력 $p_{\infty}$는 탈착운전 중에는 응축기, 흡착운전 중에는 증발기의 압력과 같다. 한 쌍의 압력용기 중 하나에는 냉매열교환기(RHX), 다른 하나에는 흡착열교환기(AHX)가 있고 두 압력용기는 증기관으로 연결되어 있으며 냉매열교환기는 작동조건에 따라 응축기 또는 증발기의 역할을 한다고 가정하겠다. 우선 냉매측 압력용기를 채운 증기를 포화상태의 이상기체로 가정하면 그 질량은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(46)

$m_{v}=\left(\dfrac{p_{\infty}}{T_{\infty}^{*}}\right)\dfrac{V_{v}}{R}=f_{p}\dfrac{V_{v}}{R}$

여기서 $T_{\infty}^{*}$는 $p_{\infty}$에 해당하는 이슬점온도, $V_{v}$는 냉매측 압력용기의 증기 영역 부피이고 $f_{p}$(=$p_{\infty}/T_{\infty}^{*}$)는 $T_{\infty}^{*}$의 함수이다. 식(46)을 시간에 대해 미분하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(47)

$\dot{m}_{AHX}-\dot{m}_{RHX}=f_{p}'\dfrac{V_{v}}{R}\dfrac{d T_{\infty}^{*}}{dt}$

여기서 $\dot{m}_{AHX}$는 흡착열교환기의 냉매 탈착율, $\dot{m}_{RHX}$는 냉매열교환기의 응축율을 의미하고 $f_{p}'$은 $f_{p}$의 $T_{\infty}^{*}$에 대한 기울기이다. 우선 $\dot{m}_{AHX}$는 $c_{s}$의 함수로 다음과 같이 쓸 수 있다.

(48)

$\dot{m}_{AHX}=-V_{s}\dfrac{d}{dt}\int_{0}^{1}c_{s}d\xi$

여기서 $V_{s}$(=$m_{s}/\rho_{s}$)는 흡착열교환기에 고정된 흡착제의 부피이다. 한편 $\dot{m}_{RHX}$는 준 정상상태를 가정하여 다음과 같이 근사하였다.

(49)

$\dot{m}_{RHX}=\dfrac{\varepsilon_{RHX}}{i_{fg}}\left(\dot{m}C_{p}\right)_{w2}\left(T_{\infty}^{*}-T_{w2i}\right)$

여기서 $\varepsilon_{RHX}$은 냉매열교환기의 유용도, $\dot{m}_{w2}$와 $T_{w2i}$는 냉매열교환기에 공급되는 순환수의 질량유량과 입구온도를 의미한다. 한편 냉매열교환기의 압력($T_{\infty}^{*}$)과 흡착열교환기 압력($T_{i}^{*}$) 사이의 압력손실($\Delta T_{i_{-}\infty}^{*}$)를 고려하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

(50)

$T_{\infty}^{*}=T_{i}^{*}-\Delta T_{i_{-}\infty}^{*}$

여기서 $\Delta T_{i_{-}\infty}^{*}$는 증기 유량과 상태의 함수이지만 본 연구에서는 아래와 같이 상수로 가정하였다.

(51)

$\Delta T_{i_{-}\infty}^{*}=\begin{cases} +\Delta T_{i_{-}con}^{*},\: 0<t/\tau\le\mu \\ -\Delta T_{i_{-}eva}^{*},\: \mu <t/\tau\le 1 \end{cases}$

식(48)~식(51)을 고려하면 식(47)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(52)

$-\dfrac{V_{s}}{\beta}\int_{0}^{1}\dfrac{\partial\omega_{s}}{\partial t^{*}}d\xi -\dfrac{\varepsilon_{RHX}\Delta t}{i_{fg}}\left(\dot{m}C_{p}\right)_{w2}\left(\theta_{i}^{*}-\theta_{w2i}\right)=f_{p}'\dfrac{V_{v}}{R}\dfrac{d\theta_{i}^{*}}{dt^{*}}$

여기서 $\theta_{w2i}$는 다음과 같이 정의된다.

(53)

$\theta_{w2i}=\dfrac{\left(T_{w2i}+\Delta T_{i_{-}\infty}^{*}\right)-T_{0}^{*}}{\Delta T_{0}}=2\sum_{n=0}^{+\infty}Real\left(A_{n_{-}w2i}e^{i\phi_{n}t^{*}}\right)$

식(53)에서 $T_{w2i}$에 $\Delta T_{i_{-}\infty}^{*}$가 더해짐에 주목하기 바란다. 압력손실이 크면 식(53)에서 $\theta_{w2i}$의 진폭이 커지고 식(52)에서 $\theta_{i}^{*}$의 진폭도 따라서 커지므로 결과적으로 시스템의 성능이 낮아질 것을 예상할 수 있다. Fig. 3(c)는 $T_{w2i}$의 한 예로 응축기 냉각수 입구온도($0<t/\tau\le\mu$)의 평균을 $T_{wci}$, 증발기 냉수 입구온도($\mu <t/\tau\le 1$)의 평균을 $T_{wei}$로 표시하였고 압력손실을 고려하여 $T_{h}^{*}$($=T_{wci}+\Delta T_{i_{-}con}^{*}$)와 $T_{c}^{*}$($=T_{wei}-\Delta T_{i_{-}eva}^{*}$)를 정의하였다. $T_{h}^{*}$와 $T_{c}^{*}$의 정의에 따라 식(53)에서 $T_{0}^{*}$는 다음과 같이 정의됨에 유의하기 바란다.

(54)

$T_{0}^{*}=\mu\left(T_{wci}+\Delta T_{i_{-}con}^{*}\right)+(1-\mu)\left(T_{wei}-\Delta T_{i_{-}eva}^{*}\right)$

Fig. 3(c)와 같이 $T_{w2i}$와 $\Delta T_{i_{-}\infty}^{*}$가 주어지면 $A_{n_{-}w2i}$는 식(43)의 $A_{n_{-}w1i}$와 같은 방법으로 구할 수 있다. 마지막으로 식(52)에 식(B9)의 $\omega_{s}$, 식(27)의 $\theta_{i}^{*}$, 식(53)의 $\theta_{w2i}$을 대입하고 정리하면 $A_{n_{-}p}$가 다음과 같이 주어짐을 보일 수 있다.

(55)

$A_{n_{-}p}=\dfrac{i\phi_{n}\dfrac{V_{s}}{\beta}\dfrac{a_{3}}{a_{1}}C_{5}A_{n_{-}w1i}+\dfrac{\varepsilon_{RHX}\Delta t}{i_{fg}}\left(\dot{m}C_{p}\right)_{w2}A_{n_{-}w2i}}{i\phi_{n}\left[f_{p}'\dfrac{V_{v}}{R}+\dfrac{V_{s}}{\beta}\left(a_{3}C_{5}+a_{4}\right)\right]+\dfrac{\varepsilon_{RHX}\Delta t}{i_{fg}}\left(\dot{m}C_{p}\right)_{w2}}$

식(55)의 분모에 $f_{p}'$는 $T_{i}^{*}$의 비선형 함수이기 때문에 오차를 줄이기 위해서 $T_{i}^{*}$의 변화 영역에서 적절한 평균값을 구해 사용해야 하는 번거로움이 있다(부록 A 참고). 그러나 대부분의 경우 $f_{p}'$를 포함하는 항의 값이 매우 작아 $f_{p}'$로 인한 오차는 무시할 수 있을 정도로 작음을 확인하였다. 이상으로 모든 경계조건이 결정되었다. $A_{n_{-}w1i}$와 $A_{n_{-}w2i}$(또는 $A_{n_{-}p}$)가 주어지면 부록 B에 정리한 바와 같이 미지수를 계산할 수 있다.

3. 해의 응용

적절한 경계조건을 사용하면 2장의 일반해로 흡착식 냉동기의 성능을 예측할 수 있다. Verde et al.⁽⁹⁾은 자동차 엔진의 냉각수로 구동되는 two-bed silica gel-water 흡착식 냉동기를 개발하고 그 실험 결과를 보고하였다. 흡착열교환기는 자동차용 에어컨의 증발기로 사용되는 알루미늄 fin-tube 열교환기 3개에 각 1 kg씩, 총 3 kg의 silica gel 입자를 충진하여 제작한 것으로 열교환기의 상세는 Table 2를, 이 흡착열교환기의 성능을 예측하기 위해 사용한 열․물질전달계수는 부록 C를 참고하기 바란다.

Fig. 4에 Verde et al.⁽⁹⁾의 실험 결과와 본 연구의 예측 결과를 비교하였다. 본 연구에서 고온수 입구온도는 90℃(=$T_{h}$), 냉각수 입구온도는 36℃(=$T_{c}$)이고 유량은 모두 12 kg/min(=$\dot{m}_{w1}$)으로 동일하게 가정하였다. 주기는 6분($\tau =2\tau_{h}$=6 min)이고 응축기 냉각수의 입구온도 33℃(=$T_{wci}$), 증발기 냉수의 입구온도 13℃(=$T_{wei}$)이고 유량과 유용도는 응축기와 증발기 모두 12 kg/min(=$\dot{m}_{w2}$), 0.9(=$\varepsilon_{RHX}$)이며 증기측 압력손실을 고려하기 위해 식(51)에서 $\Delta T_{i_{-}con}^{*}$=0 K, $\Delta T_{i_{-}eva}^{*}$= 5 K를 가정하였다. 이상의 조건 중에서 증발기 냉수 온도와 유량은 Verde et al.⁽⁹⁾가 밝힌 값(14℃, 6 kg/min)과는 다른데 이에 관해서는 아래에 다시 논의하도록 하겠다.

Fig. 4(a)에 본 연구에서 가정한 흡착열교환기 순환수 입구온도($\theta_{w1i}$)와 냉매열교환기(응축기/증발기) 순환수의 입구온도($\theta_{w2i}$)를 제시하였다. Verde et al.⁽⁹⁾의 시스템에서 운전모드의 전환시 소요되는 약 20초의 스위칭 구간을 그림에 음영으로 표시하였다. 스위칭 구간에서 2개의 흡착열교환기는 응축기 및 증발기와 격리되어 가열(pre-heating) 또는 냉각(pre-cooling)되는데 이 구간에서 $\theta_{w1i}$와 $\theta_{w2i}$에 대한 정보가 부족하다. 이 때문에 여기서는 이 구간의 $\theta_{w1i}$와 $\theta_{w2i}$를 Fig. 4(a)에 보인 바와 같이 모두 직선으로 가정하였다. Fig. 4(b)에 이렇게 예측한 이슬점 온도($\theta_{i}^{*}$)와 순환수 출구온도($\theta_{w1o}^{*}$)를 Verde et al.⁽⁹⁾의 결과(●,■)와 비교하였다. 압력과 출구온도 모두 스위칭 구간을 제외하면 전반적으로 잘 일치하는 것을 볼 수 있다. 평균 오차는 이슬점온도가 탈착구간에서 1.2 K, 흡착구간에서 0.8 K이고 순환수 출구온도는 두 구간에서 모두 약 2 K이다.

Fig. 4(c)에 Verde et al.⁽⁹⁾이 자체 모델로 예측한 함수율(●)을 본 연구의 예측값과 비교하였다. 스위칭 구간에서 Verde et al.⁽⁹⁾의 함수율은 거의 변하지 않지만 본 연구의 함수율은 약간 변화하는 것을 볼 수 있다. 이는 2.3.3절의 압력 모델이 이 구간에서 0이 아닌 $\dot{m}_{RHX}$(즉, 응축기 또는 증발기와 차단되어 있지 않음)를 예측하기 때문인데 이 오차를 줄이기 위해서는 압력모델과 또는 Fig. 4(a)의 경계조건을 수정해야 하지만 여기서는 그 크기가 작아 오차를 용인하였다. 그림에서 본 연구가 예측한 최대함수율차(탈착운전 최초함수율과 최종함수율의 차이)는 0.044(= 0.089-0.045)이고 Verde et al.⁽⁹⁾의 최대함수율차는 0.052(=0.088-0.037)로서 본 연구가 Verde et al.⁽⁹⁾에 비해 약 14% 작게 예측하는데 이는 Verde et al.⁽⁹⁾이 예측한 평균 증발열량(2.1kW)과 본 연구가 Fig. 4(d)에서 예측한 평균 증발열량(1.8 kW)의 차이와 일치한다.

Fig. 4(d)에 Verde et al.⁽⁹⁾의 응축(●)과 증발열량(■)을 아래에 정의한 예측값($\dot{Q}_{RHX}$)과 비교하였다.

Fig. 4(d)에서 $\dot{Q}_{RHX}$는 응축열량(●)과는 비교적 잘 일치하나 증발열량(■)과는 오차가 큰데 이는 일반해가 액냉매 유량과 전열면의 젖음특성 등이 증발열량에 미치는 영향을 예측하지 못하기 때문이다. 순간값의 오차에 비해 평균값의 오차는 작다. 그림에서 Verde et al.⁽⁹⁾ 시스템의 평균 냉동능력은 1.9kW이고 본 연구가 예측한 냉동능력은 1.8kW로서 오차는 0.1kW에 불과하다.

식(56)의 $\dot{Q}_{RHX}$는 식(49)의 $\dot{m}_{RHX}$에 증발잠열 $i_{fg}$를 곱한 값으로서 우항의 $\varepsilon_{RHX}$ 와 $\left(\dot{m}C_{p}\right)_{w2}$가 상수이므로 원칙적으로 응축기와 증발기의 유용도와 유량(또는 그 곱)이 같은 경우에만 유효하다. 이 때문에 Fig. 4의 결과에서는 증발기 냉수 입구온도를 Verde et al.⁽⁹⁾와 다르게 가정하였으며 그 근거는 다음과 같다.

증발기의 냉수 유량을 실제와 다르게 가정해도 증발기의 포화온도는 변하지 않아야 하므로 냉수의 입구온도 $T_{wei}$는 다음 식을 만족해야 한다.

여기서 $T_{ads}^{*}$는 $T_{i}^{*}$의 흡착구간($\mu <t/\tau\le 1$) 평균, $T_{wei,\: real}$은 실제 냉수 온도를 의미한다. $\varepsilon_{eva}\left(\dot{m}C_{p}\right)_{w,\: eva}$≠ $\varepsilon_{RHX}\left(\dot{m}C_{p}\right)_{w2}$의 경우는 반복 계산을 통해 식(57)을 만족하는 $T_{wei}$를 찾아야 한다. Fig. 4에서 가정한 냉수 입구온도 13℃는 이렇게 찾은 값으로서 보통 2~3회의 반복 계산으로 수렴값을 얻을 수 있다.

Fig. 5에 주기에 따른 Verde et al.⁽⁹⁾ 시스템의 냉동능력과 $COP$ 변화를 예측하였다. 냉동능력 $\dot{Q}_{eva}$는 $\left |\dot{Q_{RHX}}\right |$의 흡착구간($0.5 <t/\tau\le 1$) 평균값이며 $COP$는 다음과 같이 정의하였다.

여기서 분모의 $\dot{Q_{des}}$는 고온수 입․출구의 온도차로 계산한 탈착구간($0<t/\tau\le 0.5$)의 평균 가열량을 의미한다. 그림에서 $\dot{Q}_{eva}$는 그 값이 최대가 되는 주기(4.5 min)가 존재하지만 $COP$는 주기에 따라 증가하면서 최댓값(0.39)에 느리게 접근하는 경향을 보인다. 6분 주기에서 $\dot{Q}_{eva}$는 약 1.8 kW, $COP$는 약 0.35로 예측되었는데 이 결과는 Verde et al.⁽⁹⁾이 밝힌 $\dot{Q}_{eva}$ = 1.9 kW, $COP$ = 0.31에 가깝다.

이상의 논의를 통해 본 연구의 일반해가 흡착식 냉동기의 성능을 꽤 정확히 예측할 수 있음을 확인하였다. 물론 이는 Fig. 4(a)의 스위칭 구간에서 임의로 가정한 경계조건이 시스템 성능에 큰 영향을 미치지 않았기 때문에 가능한 결과이다. 추후에는 스위칭 구간에서의 경계조건에 관한 추가적인 연구를 통해 정확성을 개선할 수 있을 것이다.

Fig. 4 Boundary conditions and predicted results for Verde et al.(9)system.

Fig. 5 Predicted $\dot{Q}_{eva}$ and $COP$ for Verde et al.(9)system.

4. 결 론

흡착열교환기의 1차원 과도 해석모델을 개발하였다. 흡착열교환기는 물, 열교환기, 흡착제의 세 영역으로 나누어 열교환기의 길이 방향 1차원으로 단순화하였고 순환수 입구온도, 압력용기 내벽온도, 작동압력을 주기적 경계조건으로 고려하여 연립방정식의 일반해를 구하였다. 경계조건 중에서 압력용기 내벽온도는 시간에 따른 변화의 영향이 미미하여 상수로 가정하였으며 작동압력은 증기측 질량변화와 압력손실을 고려한 압력모델을 제시하여 압력 데이터의 부재 시 대안으로 선택할 수 있도록 하였다. 본 연구의 모델을 사용하여 공개된 문헌의 차량용 silica gel-water 흡착식 냉동기의 성능을 예측하였다. 해석모델은 전반적으로 실험 결과를 잘 예측하였다. 해석모델의 평균 오차는 작동압력의 경우 이슬점 온도로 환산하여 0.8~1.2 K, 순환수 출구온도는 2 K, 증발열량은 0.1 kW, $COP$는 0.04를 확인하였다. 해석모델의 오차는 주로 스위칭 구간에서 경계조건의 불확실성으로부터 발생하였으며 이를 개선하여 해석모델의 정확성을 높일 수 있을 것으로 판단하였다.