2.1 VSRS 기반 OCS의 PID 피드백 제어

Fig. 1은 본 논문의 제어대상인 VSRS 기반 OCS의 구성도이다. OCS는 주로 정밀 공작기계의 공작물 가공 과정에서 발생하는 불필요한 열을 신속히 제거함으로써 공작물의 열 변형으로 인한 가공 정밀도 저하를 방지하는 용도로 쓰인다.⁽⁸⁾ 이 장치는 가변속 냉동사이클, 공작기계를 대신한 열부하, 제어부의 세 요소로 구성된다. 가변속 냉동사이클은 압축기, 응축기, 전자팽창밸브(Electronic Expansion Valve; EEV), 증발기로 구성되고, 열부하는 전기히터를 사용하였다. 압축기는 가변속형으로 인버터를 통해 회전 속도를 제어함으로써 냉매의 질량유량을 가변시켜 제어량인 오일출구온도 $T_{o}$를 일정하게 제어한다. 압축기의 급격한 회전 속도 변화는 액백(liquid back)이나 과열 증기 압축으로 인한 COP(Coefficient Of Performance) 저하를 초래하므로 이를 방지하기 위해 EEV의 개도(opening angle)를 EEV 드라이브로 제어함으로써 과열도 $T_{s}$도 동시에 제어한다. 따라서 OCS는 입․출력이 각각 2개인 MIMO 시스템에 속한다. 제어부는 Matlab 기반의 실시간 제어 장치로, $T_{o}$와 $T_{s}$의 제어 입력 연산을 위해 온도 정보를 열전대로 받아 CPU(Central Processing Unit)에 전달한다. CPU는 설계된 제어 로직을 통해 제어 입력인 압축기 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 개도 지령 $V_{o}$를 연산하여 I/O 모듈을 통해 D/A변환된 아날로그 전압들을 인버터와 EEV 드라이브로 각각 출력한다. 장치의 주요 사양은 Table 1, Table 2와 같다.

Fig. 2는 MIMO 시스템인 OCS의 제어량 $T_{o}$와 $T_{s}$를 PID로 제어하기 위해 Dual-SISO(Single Input Single Output) 형태로 구성한 PID 피드백 제어 블록선도이다. 여기서 $C(s)$는 PID 제어기, $G(s)$는 제어대상의 전달함수로서 압축기와 EEV의 전달함수이다. 제어량 $T_{o}$와 $T_{s}$를 제어하기 위한 조작량은 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 개도 지령 $V_{o}$이다. 실제로 두 제어량 사이에는 조작량 변동 시 상호 간섭(interference)이 존재한다. 하지만 본 연구에서는 비간섭 제어가 아닌 PID 게인의 자동 튜닝에 초점을 두었으므로 간섭 영향은 무시하였다.

Fig. 2의 PID 제어기 $C(s)$는 OCS의 전달함수 $G(s)$를 구하면 다양한 방법으로 쉽게 설계할 수 있다. 그러나 OCS의 경우 이 $G(s)$를 구하는 것 자체가 매우 번거로우므로 $G(s)$를 구하지 않고 PID 제어기의 게인을 자동 튜닝하여 제어하는 것이 가장 바람직하다. 본 논문에서는 PID 제어기 $C(s)$의 게인을 ON/OFF 운전으로 자동 튜닝하고 튜닝 후 PID 제어로 자동 절환되는 시스템을 설계한다. 또한, 자동 튜닝 과정을 이론적으로 설명하고 실험 결과의 타당성을 확인하기 위해 OCS의 압축기 측 전달함수 $G(s)$를 동특성 실험으로 구하였다. 이 식을 이용한 Matlab 기반의 시뮬레이션과 실제 실험을 통해 제안된 튜닝법의 이론적 타당성을 확인한다.

식(1)은 ON/OFF 운전에 의한 $T_{o}$ 제어용 PID 게인 자동 튜닝⁽¹³⁾ 과정을 설명하고, PID 제어성능을 확인하기 위한 시뮬레이션용 압축기 측 전달함수이다. 이 식은 $T_{o}$의 설정값 부근에서 조작량 $f_{i}$ 변화에 따른 제어량 $T_{o}$의 변화량을 동특성 실험 데이터로부터 구하였다. 실험 결과는 부동작 시간을 갖는 전형적인 1차계 전달함수 모델 $\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-\overline{d}s}$의 형태로 나타났다. 시정수 $\tau$는 $T_{o}$가 최종값의 63.2%에 도달하는 시간, 이득 상수 $K$는 제어량의 변화랑을 조작량의 변화량으로 나눈 값, 부동작 시간 $\overline{d}$는 조작량 변동 직후부터 제어량의 변동이 나타나기까지의 시간으로부터 각각 구하였다. 식에서 이득 상수가 ‘$-$’ 부호인 것은 조작량 증가 시 제어량이 감소하는 냉각 과정을 의미한다. 이 실험에서 또 다른 제어량인 과열도 $T_{s}$는 7℃로 일정하게 제어되었다. 식(1)의 전달함수는 본 논문에서 제안한 튜닝 과정을 시뮬레이션을 통해 이론적으로 설명하고 최종적으로 튜닝 방법의 타당성을 입증하기 위한 용도일 뿐, 실제로 PID 게인의 자동 튜닝과 제어를 위해 필요한 식은 아니다.

Fig. 1 Schematic diagram of OCS based on VSRS.

Fig. 2 Dual-SISO PID feedback control system for controlling $T_{o}$ and $T_{s}$ of OCS.

2.2 OCS의 ON/OFF 운전을 통한 PID 게인 자동 튜닝

Fig. 3은 PID 제어기의 기본 구성을 나타낸다. PID 제어기 설계는 제어대상의 전달함수를 이용해 주어진 설계 사양을 만족하도록 PID 게인 $K_{p},\: K_{i},\: K_{d}$의 값을 구하는 것이다. 하지만 OCS는 비선형성이 크고 고차의 동특성을 갖는 시스템이어서 전달함수 $G(s)$를 얻는 것이 매우 어렵다. 따라서 PID 게인을 자동 튜닝하는 것이 가장 이상적이다. 본 논문에서는 OCS의 제어량인 $T_{o}$와 $T_{s}$를 제어하기 위한 PID 게인의 자동 튜닝과 PID 제어 실험을 진행한다. 우선 압축기 측 $T_{o}$ 제어를 위한 튜닝 과정을 상세히 설명한다. 과열도 $T_{s}$ 제어기의 자동 튜닝은 $T_{o}$ 제어기의 튜닝 방법과 원리적으로 동일하므로 그 과정은 3.3절에 축약하여 기술한다.

Fig. 4는 Pandey 등이 제안한 PID 게인 자동 튜닝법의 개념도이다. 이 튜닝법은 ON/OFF 운전을 통해 PID 게인이 쉽게 자동 튜닝되고, 튜닝 완료와 동시에 PID 제어로 자동 절환된다. 다만 이 방법은 ON/OFF 운전 시 동작점 부근의 진동 파형이 정현파일 경우에 적용 가능하며 이론적으로는 우수한 제어성능을 보증한다. 실제 OCS에서는 $T_{o}$를 측정하는 온도 센서를 통해 열잡음이 혼입되고 열부하의 영향으로 인해 동작점 부근의 진동 파형이 왜파로 나타나므로 이 방법을 적용하기 어렵다.

Fig. 5는 압축기 측 전달함수 식(1)의 부동작 시간을 Pade 1차 근사한 식(2)와 Pandey 등이 제안한 튜닝법을 이용해 OCS의 $T_{o}$를 제어하기 위한 PID 자동 튜닝 과정을 컴퓨터로 시뮬레이션한 결과이다. 이때 압축기는 제어량 $T_{o}$의 설정값(25℃) 부근에서 제어 오차 $e(r-y)$에 의해 식(3)과 같이 운전된다. PID 게인은 (a)의 점선 내부에 확대된 그림에서와 같이 동작점 부근의 진동 파형으로부터 피크 대 피크(peak to peak value) 값인 $Y_{d{if}}$와 주기 $T_{osc}$ 정보를 이용하여 식(4)와 같이 구한다. (b)의 ON/OFF 운전 시 압축기 주파수는 인버터 사용을 전제로 하므로 ON 시 70 Hz, OFF 시 0 Hz를 인가하였다. 식(2)를 이용한 시뮬레이션에서는 센서의 열잡음과 열부하 영향이 없는 것으로 가정하였다. 또한, 시뮬레이션과 실험에서 제어 주기는 1 초로 설정하였다.

여기서 $T_{i}$와 $T_{d}$는 적분과 미분 시간이며, 이로부터 Fig. 3의 적분과 미분 게인 $K_{i}$$(=K_{p}/ T_{i})$, $K_{d}$$(=K_{p}\times T_{d})$가 각각 계산된다. (a)에서 두 주기의 진동 파형을 얻는 것은 지속 진동임을 확인하기 위한 용도이며 실제 식(4)의 계산에는 두 번째 주기의 $Y_{d{if}}$와 $T_{osc}$를 이용한다. 파형 분석 결과 $Y_{d{if}}=0.2063$℃, $T_{osc}=156.26$ 초였다. 이로부터 PID의 게인은 $K_{p}=-2.161,\: K_{i}=-0.0277,\: K_{d}=-42.2$로 각각 튜닝되었다.

제어대상에 인가되는 최종적인 제어 입력 $u(t)$는 식(5)와 같다. PID 제어기의 게인은 자동 튜닝된 값을 이용한다. 또한 미분 제어기에는 설정값이 계단 형태로 변경될 때 민감하게 작동하는 것을 방지하기 위해 PI-D 형태로 설계되었으며, 잡음 영향을 줄이기 위해 저역 통과 필터(Low Pass Filter; LPF)가 추가되었다. LPF의 차단 주파수 $N$은 일반적으로 $0<N<1$ 범위에서 사용되며 본 연구에서는 0.01로 설정하였다. 또한 적분 제어기에는 조작량의 포화(saturation)를 막기 위해 안티와인드업 게인 $K_{aw}$$(= 1/\sqrt{T_{d}})$가 추가되었다. 식(5)에서 $u_{sat}$는 $u(t)\ge u_{\max}$이면 $u_{sat}=u_{\max}$, $u(t)\le u_{\min}$이면 $u_{sat}=u_{\min}$, $u_{\min}<u(t)<u_{\max}$이면 $u_{sat}=u(t)$를 각각 출력한다. 여기서 $u_{\max}$는 70 Hz, $u_{\min}$은 30 Hz이다. Fig. 6은 OCS의 $T_{o}$와 $T_{s}$ 제어를 위한 최종적인 제어입력 식(5)의 모식도이다.

Fig. 3 Basic composition of PID controller.

Fig. 4 Auto-tuning of PID gain suggested by Pandey.

Fig. 5 Compressor ON/OFF operation for auto-tuning of PID gain to control $T_{o}$.

Fig. 6 Schematic diagram of final control input for OCS to control $T_{o}$ and $T_{s}$.

2.3 센서 열잡음과 열부하 영향을 고려한 OCS의 PID 게인 자동 튜닝

Fig. 5(a)는 온도 센서로 검출한 제어대상의 출력 $T_{o}$에 열잡음이 혼입하지 않는 이상적인 시뮬레이션 결과이다. 그러나 열전대(K-type)로 온도를 검출하면 온도 정보에 필연적으로 열잡음이 혼입한다.⁽¹⁴⁾ Fig. 7은 온도 센서를 통한 열잡음 파형을 보여준다. 이 파형은 OCS의 동작부 전원을 모두 차단한 상태에서 장치 외기 온도를 열전대로 실시간 제어 장치(PXIe)를 통해 측정한 것이다. 잡음 파형은 FFT(Fast Fourier Transformation) 분석 결과 크기와 주파수가 불규칙적인 백색잡음(white noise) 형태로 밝혀졌고, 정밀 온도 계측기로 측정된 외기의 실제 온도는 26.59℃, 잡음 강도인 열잡음의 최대 진폭은 $\pm 0.33$℃로 나타났다.

열잡음은 $T_{o}$의 실제 값에 중첩되어 ON/OFF 운전 시 출력값 $T_{o}$가 동작점 $r$에 도달했는지($r-y=0$) 판단하기 어렵게 만든다. 또한 제어 시에는 제어량 $T_{o}$가 목푯값에 수렴했음에도 잡음으로 인해 목푯값 부근에서 계속 진동하므로 정상상태오차를 발생시키고, 이로 인해 조작량인 압축기 인버터 주파수도 불필요하게 계속 변동하게 된다. 또한, 잡음 영향으로 인한 온도 변동임에도 제어기가 불필요하게 대응함으로써 제어량의 오버슈트 및 언더슈트를 유발하게 되어 이로 인해 제어량 $T_{o}$의 정착시간도 길어진다.

Fig. 8은 $T_{o}$ 제어기의 실제 자동 튜닝 실험 결과의 일부분으로 ON/OFF 운전 시 동작점 부근에서 진동하는 $T_{o}$의 응답 파형을 확대한 것이다. $T_{o}$의 시뮬레이션 응답인 Fig. 5(a)와 달리 열잡음과 열부하의 영향으로 인해 설정값 25℃ 근방에서 상․하 진폭이 상이한 왜파가 나타난다. 이는 OCS의 PID 게인이 실제 운전 조건과 동일한 상황에서 튜닝되어야 하므로 압축기 OFF 시에도 정격 열부하(1.6 kW)가 지속적으로 인가되었고, 여기에 열잡음의 영향이 중첩되었기 때문이다. 자동 튜닝 실험 시에는 시뮬레이션과 달리 압축기를 OFF 한 경우에도 열부하가 지속적으로 인가되므로 이로 인해 $Y_{\max}$가 크게 발생한다.

이러한 $T_{o}$ 응답에 근거하여 식(4)를 적용한 기존의 PID 튜닝과 식(5)에 의한 PID 제어는 $T_{o}$의 제어성능을 현저히 저하시킨다. 이 문제를 해결하기 위해 본 연구에서는 수정된 게인 튜닝 방법을 제안한다. 이 방법은 $Y_{d{if}}$를 ON 동작 시의 응답 $Y_{\min}$을 기준으로 $Y_{d{if}}=2\times Y_{\min}$으로 계산한다. 이는 $Y_{\max}$가 제어대상의 동특성이 아닌 외란의 영향을 받은 값이므로 제어대상의 동특성이 반영된 $Y_{\min}$을 기준으로 PID 게인을 튜닝하기 위함이다. 이를 식(4)에 대입하면 비례 게인 $K_{p}$는 식(6)과 같이 얻어진다. 이때 $K_{i}$와 $K_{d}$ 값도 $K_{p}$ 값에 연동하여 바뀌게 된다. 진동 주기 $T_{osc}$은 시뮬레이션과 실험의 결과가 156 초와 262 초로 나타났다. 하지만 $T_{i},\: T_{d}$ 계산 시 계수값에 의해 그 영향이 축소되며, 파라미터 영향 분석 결과 제어성능에 미치는 영향이 $Y_{d{if}}$에 비해 미미하였으므로 식(4)의 $T_{i},\: T_{d}$ 연산식은 그대로 사용하였다. 식(6)은 진동 파형이 왜파나 정현파에 무관하게 모두 적용이 가능하다.

Fig. 7 Thermal noise from temperature sensor of thermocouple(K-type).

Fig. 8 Distortion wave caused by thermal noise and heat load in ON/OFF auto-tuning experiment.

3.1 열잡음과 열부하가 없는 시스템의 PID 제어 시뮬레이션 및 실험 결과

Fig. 9는 OCS의 $T_{o}$를 제어하기 위해 Matlab/Simulink 기반에서 PID 게인 자동 튜닝과 제어를 동시에 수행한 시뮬레이션 결과이다. 시뮬레이션이므로 전달함수는 식(2), ON/OFF 운전 조건은 식(3), 그리고 게인 튜닝에는 기존의 식(4)를 각각 이용하였다. 최종적인 조작량은 식(5)를 제어대상에 인가하였다. PID 게인은 $T_{o}$를 초기 온도(30℃)로부터 설정값 25℃로의 ON/OFF 운전을 통해 튜닝하였다. 또한, 튜닝 종료와 동시에 튜닝된 게인이 PID 제어기로 자동 입력되도록 프로그램을 작성하였다. 시뮬레이션의 6,000 초 시점에서는 설정값을 23℃로 변경하였다. 열잡음과 열부하의 영향이 없는 상태에서는 기존의 식(4)로도 양호한 제어성능이 얻어짐을 (a)를 통해 알 수 있다.

시뮬레이션 결과 1,362초 시점까지 ON/OFF 운전이 시행되며, 그 이후 PID 제어로 자동 절환됨을 확인할 수 있다. 이때 $Y_{d{if}}$와 $T_{osc}$은 Fig. 5(a)의 결과와 같고 이로부터 자동 튜닝된 PID 게인은 설정값이 변경되더라도 양호한 제어가 가능함을 확인하였다. 또한, 피드백 제어 시에는 전 구간에 걸쳐 정상상태오차가 없는 양호한 제어성능을 보였고, 설정값을 23℃로 변경했을 시의 최대 퍼센트 언더슈트(%US)는 4.5%, 정착시간은 525 초로 나타났다.

Fig. 10은 Fig. 9와 동일한 조건으로 OCS의 $T_{o}$를 제어하기 위해 PID 게인 튜닝과 동시에 제어를 수행한 실험 결과이다. 실험 조건은 Table 3과 같고, Fig. 11의 실험 조건도 이와 동일하게 설정하였다. 실험 시 초기 온도를 대략 30℃에 맞춘 후 동작점인 25℃까지 ON/OFF 운전을 시행하였고, 튜닝이 완료된 후 PID 제어로 절환하였다. 또한 $T_{o}$에 혼입하는 열잡음 영향을 줄이기 위해 이동평균필터(moving average filter)를 추가하였다. 다변수 시스템이므로 $T_{o}$ 제어용 PID 게인 튜닝 시, $T_{s}$ 제어를 위한 EEV 개도 지령값은 $T_{s}$가 설정값 7℃를 유지하도록 1,100 step을 인가하였다. 식(3)의 ON/OFF 운전 시 OFF 동작점은 동일하지만 ON 동작점은 잡음의 영향을 피하기 위해 간극(differential) 0.1℃를 추가하여 25.1℃로 설정하였다.

Fig. 10에서 기존의 튜닝법인 식(4)로부터 얻은 PID 게인$\left(K_{p}= -0.596,\: K_{i}= -0.0061,\: K_{d}= -14.5\right)$에 의한 제어는 오버슈트와 언더슈트를 크게 유발시키는 것으로 나타났다. 또한 $T_{o}$의 제어 응답은 설정값 변경 시점인 6,000초 이내에 정상상태에 도달하지 못함을 확인할 수 있다. 설정값 변경 후의 최대 언더슈트는 40.8%, 정착시간은 589초로 시뮬레이션에 비해 크게 나타났다. 이러한 차이의 가장 주된 요인은 시뮬레이션과 달리 실제 실험 시에는 열잡음과 열부하의 영향이 있기 때문이다.

실험에서는 자동 튜닝 시 열잡음과 열부하의 영향으로 동작점 부근에서 정현파가 아닌 왜파가 나타나며 이로 인해 $Y_{d{if}}$ 값이 크게 증가해 식(4)의 $K_{p}$가 작아지므로 $T_{o}$의 제어오차에 대한 대응이 느려지게 된다. 또한 온도 센서를 통한 $T_{o}$의 피드백 정보에 시뮬레이션과는 달리 열잡음이 다수 혼입되어 $T_{o}$가 미세 진동하게 되며 이로 인해 정착시간이 길어진다. 이 결과로부터 열잡음과 열부하의 영향을 고려하지 않은 기존의 PID 게인 자동 튜닝에 의한 PID 제어는⁽¹³⁾ 실제 실험에서 양호한 제어성능을 얻기가 어렵다.

Fig. 9 Simulation results of PID gain auto-tuning for $T_{o}$ control.

Fig. 10 Experimental results of PID gain auto-tuning for $T_{o}$ control.

3.2 열잡음과 열부하 영향을 고려한 PID 게인 튜닝과 제어의 실험 결과 및 고찰

Fig. 11은 Fig. 10과 동일한 실험 조건 하에서 열잡음과 열부하 영향을 고려하여 본 논문에서 제안한 식(6)으로 PID 게인을 튜닝한 후 $T_{o}$를 제어한 실험 결과이다.

실험 결과 언더슈트와 오버슈트, 그리고 정착시간이 Fig. 10의 결과에 비해 현저히 줄어들었음을 확인할 수 있다. 설정값 변경 후의 최대 언더슈트는 16.8%, 정착시간은 416 초로 Fig. 10의 결과에 비해 최대 언더슈트는 24% 감소하고, 정착시간은 173초 단축되었음을 확인할 수 있다. 또한 정상상태오차(±2%)는 잡음의 최대 진폭인 $\pm 0.33$℃ 이내로 나타남을 확인할 수 있다. 이 실험에서 튜닝된 PID 게인은 $K_{p}= -3.332,\:$ $K_{i}= -0.0268,\:$ $K_{d}= -103.7$였다.

Fig. 11 Experimental results by modified auto-tuning and $T_{o}$ control considering thermal noise and thermal load.

3.3 OCS의 과열도 $T_{s}$ 제어를 위한 PID 게인 자동 튜닝 및 제어

Fig. 12는 OCS의 두 제어량인 $T_{o}$와 $T_{s}$를 제어하기 위해 PID 게인을 ON/OFF 운전으로 튜닝하고 제어한 실험 결과이며 외기 온도는 23℃였고, 열부하는 1.6 kW를 인가하였다. (a)가 $T_{o}$와 $T_{s}$의 게인 튜닝 및 제어 시의 응답, (b)는 $T_{o}$ 응답에 대응하는 압축기 제어 입력, (c)는 $T_{s}$ 응답에 대응하는 EEV의 제어 입력을 나타낸다. 또한 그림에서 표시한 영역 ①은 $T_{o}$ 제어기 튜닝 구간, ②는 $T_{s}$ 제어기 튜닝을 위한 과열도 상승 구간, ③은 $T_{s}$ 제어기 튜닝 구간을 각각 의미한다. $T_{s}$ 제어를 위한 PID 게인 튜닝 시점은 $T_{o}$가 설정값의 정상상태에 도달했을 때이다. 또한 EEV ON/OFF 운전 시 개도 지령은 ON 동작 시 최대 개도인 2,000 step, OFF 시는 $T_{o}$의 설정값 25℃ 유지를 위한 800 step으로 하였다. 게인 튜닝에는 식(6)을 이용하였다.

실험 결과로부터 $T_{o}$와 $T_{s}$가 자동 튜닝된 PID 게인에 의해 설정값 25℃와 7℃로 각각 제어되며, 8,000초에 $T_{o}$의 설정값이 23℃로 변경된 후에도 $T_{o}$는 변경된 지령값을 엄밀하게 추종함을 확인할 수 있다.

Fig. 12 Experimental results of $T_{o}$ and $T_{s}$ control by modified auto-tuning.

3.4 극점 위치 및 보드선도를 통한 PID 게인의 타당성 확인

Table 4는 $T_{o}$ 제어를 위해 자동 튜닝 및 PID 제어 실험을 반복해 얻은 PID 게인 값들의 일부와 이들로부터 구한 폐루프계의 특성값 그리고 극점을 나타낸다. 특성값과 극점은 제어대상의 전달함수 식(1)의 부동작 시간 $\overline{d}$가 시정수 $\tau$에 비해 매우 작으므로 이를 무시하여 선형 1차계로 간주하여 계산하였다. 또한 선형 1차계의 이득 상수 $K$는 압축기 주파수의 최대 조작량이 70 Hz임을 고려하여 기존의 이득 값에 70을 곱한 값을 적용하였다. 이때 LPF를 포함한 PID 제어기와 제어대상의 선형 1차 근사식으로 구성된 폐루프계의 특성방정식의 근은 식(7)과 같이 구해졌다. 특성방정식이 3차이므로 극점은 세 개이지만 주극점으로부터 멀리 떨어진 한 극점은 그 영향이 미미하므로 제외하였다. 여기서 $\sigma_{d}$는 극점의 $x$축 상의 거리, $\omega_{d}$는 $y$축 상의 거리를 각각 나타내며 식에서 $j$는 허수축 단위이다.

극점 정보로부터 제어계의 감쇄비 $\zeta$($\cos\theta$)는 $0.72<\zeta <0.86$, 고유진동수 $w_{n}$은 $0.006<\omega_{n}<0.011$ rad/sec로 나타났다. 한편, Fig. 13은 튜닝 실험 시 얻은 PID 게인들의 재현성과 이 제어기로 인한 제어계의 안정성을 확인하기 위해 Table 4의 극점 데이터를 복소평면에 표시한 극점 위치도와 개루프계의 보드선도이다. (a)에서 빗금 친 부분은 $T_{o}$의 정착시간 $t_{s}$가 1,200초 이내($\sigma\ge 4/ t_{s}$), %US가 10% 이내인 조건을 동시에 만족하는 영역이다. 폐루프계의 극점들이 모두 복소 좌반면에 존재하므로 제어계는 안정하고, 또한 원하는 제어성능을 만족하는 빗금친 영역 내에 모두 존재하므로 이 튜닝법은 재현성이 있다. (b)는 Table 4의 게인 자료(No. 4)와 전달함수를 이용해 작성한 보드선도이다. 보드선도로부터 게인여유는 무한대, 위상여유는 87.7°였다. 이들 결과로부터 튜닝된 제어기를 포함한 제어계는 바람직한 여유를 갖는 안정한 시스템으로 나타났다. 한편, No. 4의 PID 게인은 Fig. 11에서 튜닝된 값들이다.

Fig. 13 Position of poles and Bode diagram to confirm reproducibility and safety of control system.