2.1 VSRS 기반 OCS의 상태 공간 모델링

Fig. 1은 VSRS 기반 OCS의 개략도이다. OCS는 공작기계의 공작물 가공 과정에서 발생하는 불필요한 열을 빠르게 제거하여 공작물의 열 변형으로 인한 가공 정밀도 저하를 방지한다. OCS의 오일은 공작기계와 오일 탱크 사이를 순환하면서 공작물로부터 열을 회수하고 이 열을 오일 탱크 내부의 증발기로 전달한다. 냉매를 순환시키는 가변속 냉동사이클에서는 가변속 압축기와 전자팽창밸브(EEV)를 통해 용량 제어를 함으로써 부분 부하에 대응한다. 오일출구온도 $T_{o}$는 인버터(inverter) 주파수 제어를 통해 압축기의 회전수를 가변하여 냉매의 질량 유량을 조절함으로써 제어된다. 이때 냉매 질량 유량의 급격한 증가 또는 감소로 인한 과열 증기 압축이나 액압축 등의 부작용을 최소화하고, COP가 최대인 운전점에서 장치를 작동시키기 위해 과열도(superheat) $T_{s}$도 동시에 제어한다. $T_{s}$는 증발기 입․출구의 압력차가 작을 경우, 증발기 출구와 입구 측 온도 차로 구해지며 EEV 드라이브로 EEV의 개도를 조절함으로써 제어된다.

Fig. 1 Schemetic diagram of the OCS based on VSRS.

Fig. 2 Transfer functions of compressor, EEV, and interference term in OCS.

Fig. 2는 OCS의 $T_{o}$와 $T_{s}$를 제어하기 위한 압축기 및 EEV의 입․출력 관계를 나타낸 전달함수 블록선도이다. $T_{o}$와 $T_{s}$는 제어입력인 압축기 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 개도 지령 $v_{o}$를 통해 각각 제어된다. 특히 이 시스템은 각 제어입력이 다른 제어량에 상호 간섭을 미치는 간섭계이며, 입력과 출력이 각각 두 개인 MIMO 시스템이다. VSRS 기반의 OCS는 고유의 큰 비선형성과 고차의 동특성을 갖는 관계로 제어를 위한 실용적인 선형 근사 모델을 얻기가 매우 어렵다. 따라서 본 연구에서는 동특성 실험을 통해 구한 압축기 및 EEV의 전달함수 모델로부터 MPC 설계를 위한 연속계 상태 공간 모델을 유도한다. 여기서 $P_{c}(s)$와 $P_{e}(s)$는 입력 $f_{i}$와 $v_{o}$에 대한 출력 $T_{o}$와 $T_{s}$의 전달함수이고, $G_{i1}(s)$와 $G_{i2}(s)$는 각 입력이 타 제어량에 미치는 간섭 영향의 전달함수이다. 각 전달함수는 동작점 근방에서 입력 $f_{i}$와 $v_{o}$를 미소 변동시킨 실험 결과로부터 직접 도출하였다. MIMO 시스템이므로 한 전달함수를 구할 때 다른 한 제어입력은 동작점을 유지하는 값으로 일정하게 고정하였다. 실험 결과 동특성 모델은 부동작 시간 $\theta$를 갖는 전형적인 1차계 전달함수 $\dfrac{K}{\tau s +1}e^{-\theta s}$ 형태로 나타났다.⁽¹⁾ 1차계의 특성 파라미터인 DC 게인(이득상수) $K$와 시정수 $\tau$, 그리고 부동작 시간(dead time) $\theta$는 실험 결과를 분석해 얻었다.

먼저 실험을 통해 얻은 압축기 및 EEV 측 전달함수 $P_{c}(s)$와 $P_{e}(s)$는 식(1), 식(2)와 같다. $P_{c}(s)$를 구할 때, $v_{o}$는 $T_{s}$를 7℃로 제어하기 위한 1,100 step, 반대로 $P_{e}(s)$를 구할 때, $f_{i}$는 $T_{o}$를 30℃로 제어하기 위한 45 Hz로 각각 설정하였다. 식에서 기호 ‘$\Delta$’는 변동량, ‘$c$’는 일정(constant)한 값을 각각 나타낸다. 전달함수에서 이득상수의 ‘$-$’ 부호는 냉각 과정임을 나타낸다.

간섭항의 전달함수 $G_{i1}(s)$는 식(3)과 같다. 한편, 전달함수 $G_{i2}(s)$는 제어입력 $v_{o}$의 변동 시 출력 $T_{o}$에 미치는 영향이 극히 미미하게 나타났으므로 모델링에서 제외하였다.

Fig. 2의 전달함수 모델은 SISO 시스템의 PID 제어기 설계에 가장 널리 사용된다. 그러나 제어대상이 MIMO 시스템일 경우, Dual SISO 기반으로 설계된 제어기는 간섭 영향을 고려하기 어렵다. 반면, MPC는 MIMO 기반 상태 공간 모델로 설계되므로 변수 간의 상호 간섭 영향에 대응이 가능하다. 따라서 동특성 실험을 통해 도출한 식(1)~(3)의 비선형 모델을 선형화한 후 연속계 상태 공간 모델로 변환하였다. 이때 전달함수 식(1)~(3)의 부동작 시간 $\theta$가 시정수 $\tau$에 비해 매우 작으므로 $\theta$를 무시하여 단순 1차계로 취급하여 적용하였다. 식(1)~(3)으로부터 도출한 OCS의 연속계 상태 공간 모델은 식(4)와 같다.

식에서 $x$는 특정 물리량이 아닌 미지의 상태변수 $\left[x_{1}x_{2}\right]^{T}$이고, $y$는 출력변수 $\left[y_{1}y_{2}\right]^{T}$로 $T_{o}$와 $T_{s}$를 각각 나타낸다. $u$는 입력변수 $\left[u_{1}u_{2}\right]^{T}$이고 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 개도 지령 $v_{o}$를 각각 나타낸다.

2.2 MPC 설계

Fig. 3은 MPC의 원리를 나타낸 개념도이다. MPC는 상태 피드백을 갖는 상태 공간 모델에 기반하여, 매 샘플링마다 주어진 제약조건(constraints) 하에서 특정 목적함수(cost function)를 최소화하는 입력을 도출하는 최적제어의 한 형태이다. 특히 MPC는 입력 예측 구간(control horizon, $N_{c}$)을 설정하고 이 구간의 예측 입력 $\hat{MV}$에 의한 출력 예측 구간(prediction horizon, $N_{p}$)의 예측 출력 $\hat{PV}$을 평가해 매 샘플링마다 가장 최적의 제어입력 $MV$를 출력한다. 그림에서 상첨자 기호 ‘*’는 지령값, ‘$\hat{}$’은 추정값을 의미한다.

Fig. 3 Conceptual diagram of model predictive control.

Fig. 4 Tracking of changing periodic trajectories of MPC.

Fig. 4는 이동 구간(receding horizon)에서 각 샘플링 시점마다 최적의 제어입력을 도출하는 MPC의 제어 원리를 나타낸 것으로 (a)는 임의의 $k$ 시점, (b)는 $k+2$ 시점에서의 $\hat{MV}$과 $\hat{PV}$의 거동을 나타낸다. MPC는 매 샘플링 시점마다 $N_{c}$(=4)만큼의 $\hat{MV}$을 계획해 이에 따른 $N_{p}$(=6)만큼의 $\hat{PV}$을 예측한 후, 이들로 구성된 목적함수의 값이 최소화되도록 한다. 여기서 계획된 $\hat{MV}$의 첫 번째 성분 $MV$는 제어대상에 인가된다. MPC 설계의 핵심은 $\hat{PV}$이 지령값 $SV$에 수렴하도록 최적의 $\hat{MV}$을 설계하는 것이다. 일반적으로 제어량의 속응성을 높이기 위해서는 많은 에너지 투입이 요구되므로 속응성과 에너지 절약 성능은 절충(trade off) 관계에 있다.

식(5)는 이러한 절충 문제를 해결하기 위한 예측 오차 $\hat{E}$(=$R_{s}-\hat{Y}$)와 투입 에너지 변화량 $\Delta\hat{U}$(=$\hat{MV}$)에 관한 2차 형식의 목적함수 $J$이며, 결국 이 $J$를 최소화하는 예측 입력 변화량 $\Delta\hat{U}$를 구하는 QP(Quadratic Programming) 문제로 정식화된다. 여기서 $\hat{U}$가 아닌 $\Delta\hat{U}$를 사용하는 이유는, MPC가 설정된 예측 구간 내에서 제어입력의 변동량에 대응하는 제어량의 변동량을 예측하는 제어 원리이기 때문이다.

식(5)에서 $R_{s}$(=$SV$)는 지령값, $\hat{Y}$는 예측 출력, $\Delta\hat{U}$는 예측 입력 변화량, 그리고 $Q$와 $R$은 하중 행렬(weight matrix)이다. 설계자는 하중 행렬 $Q$와 $R$을 적절하게 설정하고, 이를 반영한 QP 문제를 해결하여 $\Delta\hat{U}$의 크기를 최적화한다. 결과적으로 $\Delta\hat{U}$은 최적화 결정 변수(decision variable)로서 도출된다. MPC 이론에서 시스템 동작 및 향후 결정에 관한 중요한 정보를 담고 있는 핵심 변수 $\hat{Y}$는 MPC 확대계 모델과 예측 방정식을 통해 도출된다.

MPC의 확대계 모델은 연속계 상태 공간 모델 식(4)로부터 이산계 모델 식(6)을 얻은 후 이를 차분 방정식으로 변환한 식(7)을 이용해 최종적으로 식(8)과 같이 도출된다. 이산계 모델은 식(4)의 미분의 해를 이용한 엄밀한 근사와 영차홀드법(zero order hold)을 적용해 $x(k+1)=A_{p}x(k)+B_{p}u(k)$, $y(k)=C_{p}x(k)+D_{p}u(k)$의 형태로 상태방정식과 출력방정식을 각각 구하였다.

식(6)의 이산계 상태 공간 모델은 상태변수와 입력변수를 한 샘플링 시간 동안의 변화량 $x(k+1)-x(k)=$ $\Delta x(k)$, $u(k+1)-u(k)=\Delta u(k)$로 정의하여 식(7)의 차분형 상태 공간 모델로 변환된다. 여기서 MPC가 현 시점의 $\Delta x(k)$와 $\Delta u(k)$ 정보만을 이용해 제어량의 미래 거동을 예측하므로, 식(6)의 출력 방정식에서 $\Delta u(k+1)$이 출력에 영향을 미치지 않도록 전달행렬 $D_{p}=0$으로 하여 식(7)을 유도하였다.(7)

MPC 설계를 위한 최종 확대계 모델은 확대계 상태변수 $x_{a}=[\Delta x y]^{T}$를 새롭게 정의하여 식(8)과 같이 도출된다. 이 모델을 통해 $k$ 시점에서의 $x_{a}(k)$, 즉 $\Delta x(k)$와 $y(k)$를 안다면, 제어입력 변화량 $\Delta u(k)$에 따른 한 샘플링 뒤 $k+1$ 시점의 제어량 $y_{a}(k+1)$을 예측할 수 있다. 여기서 하첨자 $a$는 확대계를 뜻한다.

예측 방정식(prediction equation)은 $\hat{Y}=Fx_{a}(k)+\Phi\Delta\hat{U}$의 형태로 식(9)와 같이 도출된다. 여기서 $N_{c}$ 개의 $\Delta u$가 적절히 설계되면 이에 대응하는 $N_{p}$ 개의 $y_{a}$를 예측할 수 있다. 이를 위한 식(9) 우변의 MPC 예측 행렬 $F$와 $\Phi$는 확대계 모델의 계수 행렬($A_{a},\: B_{a},\: C_{a}$)로 구성된다.

여기서 $x_{a}(k)$에 주목할 필요가 있다. 일반적으로 온도 센서를 통한 온도 정보는 불가피하게 열잡음이 혼입된다. 이는 상태변수 변화량 $\Delta x$의 진치(true value)를 왜곡시켜 MPC의 예측 성능을 열화시킨다. 이러한 열잡음의 영향을 줄이기 위해 예측 오차 $\hat{E}$의 크기를 일정 비율 감소시키는 감쇠(lessening) 행렬 $L$을 적용하여, 식(5)의 목적함수를 식(10)과 같이 재정의한다. 식(10)에서 $L$$(N_{p}\times N_{p})$은 대각행렬로서 주 대각 원소가 $L(n,\: n)=l^{(n-1)}$인 행렬이며, 여기서 $l$은 감쇠 계수이다.

최종적으로 $J$는 식(10)에 식(9)의 $\hat{Y}$($=Fx_{a}(k)+\Phi\Delta\hat{U}$)을 대입하여 $\Delta\hat{U}$에 대한 2차 형식의 식(11)로 유도된다. 따라서 MPC 설계는 이 $J$를 최소화하는 제어입력 변화량 $\Delta\hat{U}$를 도출하는 것으로 귀결된다.

이 과정에서 MPC는 조작기의 제약조건을 동시에 반영한다. 이는 식(12)와 같이 최적화 결정 변수인 $\Delta\hat{U}$에 대한 $C_{1}\Delta\hat{U}\le C_{2}$의 형태로 나타나며, $f_{\max}$, $v_{\max}$는 실제 조작기의 물리적 허용 한계이다. 여기서 계수 행렬 $C_{1}$은 각 제어입력의 변동량 합을 표현하기 위한 퇴플리츠(Toeplitz) 행렬이며(8), $C_{2}$는 해당 시점에서의 제어입력의 최대 허용 변동량을 나타낸다. 이를 통해 제어입력 $U$는 조작기의 물리적 제약조건인 $f_{\max}$, $v_{\max}$를 상회하지 않는 값으로 출력된다. 본 연구에서의 인버터와 EEV의 물리적 제약조건은 70 Hz와 2,000 step이다.

위의 제약조건을 반영한 QP 문제를 해결하기 위해 IPM(Interior Point Method)을 이용하였다.(9) IPM은 일반적으로 계산량이 많은 문제에서 높은 정확도와 안정성을 보장하여 최적값을 빠르고 정밀하게 도출한다. 식(11)로부터 도출된 $\Delta\hat{U}$의 첫 번째 성분인 $\Delta\hat{u}(k)$은 이전 시점의 제어입력과 더해 식(13)과 같이 MPC의 최종 출력이 결정된다.

$J$는 $\Delta\hat{U}$에 대한 2차 형식으로 볼록(convex) 또는 안장(saddle) 형태를 가진다. $J$가 최소 지점을 갖고 최적화가 가능하기 위해서는 반드시 아래로 볼록한 형태여야 한다. 이 경우, 해당 함수의 임계점은 극소점이 되며, 해당 지점의 $\Delta\hat{U}$은 $J$를 최소화하는 최적의 $\Delta\hat{U}$가 되기 때문이다. 따라서 설계된 $J$가 아래로 볼록 형태인지 여부를 판별할 필요가 있으며, 이를 위해 다변수 함수의 2계 도함수를 행렬로 표현한 헤시안 행렬(Hessian matrix) $H(J)$를 통해 극값의 형태를 판정한다. 우선 식(11)의 $\Delta\hat{U}$으로 구성된 다변수 함수 $J$($\Delta\hat{u_{1}},\: \Delta\hat{u_{2}},\: \cdots ,\: \Delta\hat{u_{n}}$)를 $\Delta\hat{U}$에 대해 2계 편미분하여 $H(J)$를 도출한다. 이후 이 $H(J)$ 행렬의 고윳값(eigenvalue) $\lambda_{nm}$의 부호가 모두 양수인 경우, $J$는 극소점을 갖는 볼록 형태로 판별할 수 있다.(10) 식(11)에서 $\Phi$의 성분들은 모두 0보다 작거나 같고, 설계 파라미터 $L,\: Q,\: R$은 모두 0보다 큰 범위에서 설정되므로, 식(11)에서 2차 형식의 계수 행렬 $\Phi^{T}Q\Phi +R$은 양의 행렬이 된다. 따라서 $H(J)$의 임의의 $\Delta\hat{U}$에 대한 고윳값 $\lambda_{nm}$은 양의 값을 갖는다. 이를 통해 OCS의 목적함수 $J$는 아래로 볼록한 형태임을 알 수 있으며, 최적화를 통한 결정 변수 $\Delta\hat{U}$의 도출이 가능하다.

3.1 시뮬레이션 및 실험 방법

Fig. 4는 설계한 제어기의 타당성 검증에 사용된 VSRS로 구성된 OCS 실험 장치의 개략도이다. 제어량은 오일출구온도인 $T_{o}$와 과열도 $T_{s}$이며, 조작기기는 가변속 압축기와 EEV이다. 실험에서는 공작기계를 대신하여 전기 히터를 통해 열부하를 인가하였다.

Table 1과 Table 2는 OCS의 주요 구성 요소에 대한 사양을 나타낸다. 가변속 압축기는 3상 농형 유도전동기에 의해 구동되는 로터리식 압축기로서 ‘$V/f=cons\tan t$’ 타입의 인버터를 이용해 $f_{i}$를 30 ~ 70 Hz 범위로 변화시켜 회전수를 제어한다. EEV는 Matlab/Simulink 기반 실시간 제어장치(real time controller)로부터 아날로그 전압 지령을 받아 전용 드라이브를 통해 내부의 스텝 모터를 400 ~ 2,000 step 범위에서 조절하여 $v_{o}$를 제어한다. 실시간 제어장치에서는 K-타입 열전대(thermocouple)로부터 측정된 $T_{o}$와 $T_{s}$를 이용하여 설계된 MPC 로직에 따라 연산을 수행한 후 제어입력을 출력한다. 시뮬레이션과 실험의 제어주기는 1초로 설정하였다.

Fig. 5 Diagram of experimental system based on VSRS.

3.2 MPC 설계 파라미터에 따른 제어량 응답 특성 분석

MPC 설계 파라미터로는 출력 예측 구간 $N_{p}$, 입력 예측 구간 $N_{c}$, 하중 행렬 $Q$와 $R$이 존재한다. 가장 먼저 시스템의 특성에 맞는 적절한 $N_{p}$와 $N_{c}$의 선정이 요구되며, 이들이 응답에 미치는 영향을 분석해 적절한 값을 선정한다. Fig. 6과 Fig. 7은 각각 $N_{p}$와 $N_{c}$가 $T_{o}$에 미치는 영향을 분석한 시뮬레이션 결과이다. (a)는 $T_{o}$의 응답, (b)는 (a)에 대응하는 제어입력 $f_{i}$를 나타낸다. (a)에서 시뮬레이션 시간은 2,500 초이며, 500 초와 1,500 초에 각각 정격 열부하의 10%를 증․감하였다. 이때 $T_{o}$의 과도 특성을 비교하여 외란에 대한 제어 강인성을 분석하였다.

Fig. 6 $T_{o}$ response according to change of prediction horizon $N_{p}$.

Fig. 6은 $N_{p}$의 변경에 따른 $T_{o}$의 응답이다. $N_{p}$는 50, 100, 200인 세 경우를 시뮬레이션하였다. Fig. 6(a)에서 $N_{p}$가 많을수록 제어 강인성이 더 우수하며, 제어입력의 거동도 (b)에서 보듯이 더 안정적이다. $N_{p}$는 출력을 현재 샘플링 시점부터 어느 구간까지 예측할 것인지를 결정하는 파라미터이다.

따라서 $N_{p}$가 많을수록 목적함수의 예측 오차 $\hat{E}$와 관련한 제1항의 값을 증가시켜 제2항의 큰 제어입력 변화량 $\Delta\hat{U}$을 허용함으로 제어기가 오차에 더 민감하게 반응하도록 한다. 결과적으로 제어 강인성은 $N_{p}$가 많을수록 우수하게 나타난다. 그러나 열잡음이 있는 경우에는 $N_{p}$가 많을수록 오히려 제어성능을 악화시킬 수 있으므로 $N_{p}$의 크기와 열잡음과의 상관성을 분석할 필요가 있다.

Fig. 7은 $N_{c}$의 변경에 따른 $T_{o}$의 응답이다. $N_{c}$는 2, 20, 50인 세 경우를 시뮬레이션하였다. 세 경우의 $T_{o}$ 응답에서 과도 오차의 차이는 최대 0.01℃로 매우 작게 나타났다. $N_{c}$는 제어입력을 현재 샘플링 시점부터 어느 구간 동안 조절할 것인지를 결정하는 파라미터이다.

Fig. 7 $T_{o}$ response according to change of control horizon $N_{c}$.

따라서 $N_{c}$가 적게 설정될수록 목적함수의 제어입력 변화량 $\Delta\hat{U}$와 관련한 제2항의 값을 감소시켜 큰 $\Delta\hat{U}$을 허용함으로 신속한 응답을 얻을 수 있게 한다. $N_{c}$가 적을수록 빠른 응답을 얻을 수 있지만, 다변수 제어에서는 변수 간의 예측 성능을 감소시켜 안정성이 저하될 수 있다. 또한 $N_{c}$가 지나치게 많을 경우, 결정 변수의 증가로 인해 MPC의 매 샘플링 주기당 CPU의 계산 부담을 증대시켜 제어장치의 과부하를 유발할 수 있다. 따라서 제어 변수 간의 상호 간섭에 충분히 대응하고, CPU 계산량의 과도한 증가를 방지하기 위해 $N_{c}$를 20으로 선정하였다.

3.3 열잡음이 MPC 제어성능에 미치는 영향 분석

온도 센서를 통해 혼입하는 열잡음의 크기를 측정하고, 이들이 MPC의 예측 성능에 미치는 영향을 분석한다. Fig. 8(a)는 열전대로부터 측정된 열잡음 파형의 일부이다. 최대 열잡음은 약 ±0.6℃로 측정되었다. 이 열잡음은 상태변수 변화량 $\Delta x$를 기반으로 하여 미래 출력을 계산하는 MPC의 특성으로 인해 결과적으로 예측 출력에 영향을 미치게 된다. 따라서 열잡음의 영향을 줄이기 위해서는 이 잡음 영향을 감소시킬 필요가 있다. 본 연구에서는 목적함수의 예측 오차 항에 감쇠 행렬 $L$을 설계하여 이 문제를 해결한다. Fig. 8(b)는 열잡음(+0.6℃)의 유무에 따라 예측된 $\hat{T}_{o}$의 응답을 나타낸다.

Fig. 8 Thermal noise measured by thermocouple and predicted output $T_{o}$ of OCS.

열잡음이 없는 이상적인 경우(일점쇄선)는 급격한 예측 결과를 보이지 않았다. 그러나 열잡음이 인가된 $N_{p}$가 52인 경우(점선)는 최대 61℃의 출력이 예측되었다. 이와 같은 과도한 예측 출력은 매 샘플링 시점마다 제어입력의 큰 변동을 유발함으로써 제어성능을 악화시킨다. 충분히 큰 $N_{p}$를 선정하여 시스템의 미래 상태를 적절히 예측하면서도 열잡음에 의한 제어기의 성능 저하를 방지하기 위해 감쇠 행렬 $L$($l=0.9$)을 적용하였다. 이 경우(실선)는 열잡음이 인가되었음에도 예측값의 폭증을 효과적으로 방지할 수 있었다.

3.4 시뮬레이션 및 실험 결과

OCS의 $T_{o}$와 $T_{s}$ 제어를 위해 설계된 MPC의 제어성능은 시뮬레이션과 실험을 통해 분석된다. 우선 지령값 추종 성능을 분석하기 위해 $T_{o}$의 지령은 1,000 초에 초기 온도 30℃에서 설정값 25℃로 계단상으로 변경되었으며, $T_{s}$의 지령값은 최대 COP가 유지되는 7℃로 설정하였다.⁽¹⁾ 또한 외란에 대한 제어 강인 성능을 분석하기 위해 오일에 인가되는 열부하는 4,000 초에 정격 열부하(1.6 kW)의 10%를 증가시켰으며, 6,000 초에 다시 정격 열부하의 10%를 감소시켰다. 주요 설계 사양은 $T_{o}$의 정착시간(settling time, ±4%)을 1,400 초 이내, $T_{s}$는 7℃를 제어하는 것으로 설정하였다.

Fig. 9 Simulation results applied MPC.

Fig. 10 Experimental results applied MPC.

Table 3은 본 연구에서 선정한 MPC 제어기의 설계 파라미터이다. $N_{p}$는 시스템의 미래 상태 예측을 위해 충분히 큰 100개로 선정하였으며, 열잡음을 고려하여 과도한 예측 출력을 방지하기 위해 $l$은 0.9로 선정하였다. CPU의 과도한 계산 부담을 줄이기 위해 $N_{c}$는 20으로 선정하였으며, $R$은 입력변수 간 적절한 스케일 조정을 위해 압축기 측 하중이 50배가 되도록 선정하였다. $Q$는 우선적인 $T_{o}$의 속응성 확보를 위해 850, 10으로 압축기 측 하중을 상대적으로 크게 선정하였다.

Fig. 9와 Fig. 10은 각각 MPC의 시뮬레이션과 실험 결과이다. 그림의 (a)는 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답이며, (b)와 (c)는 $T_{o}$와 $T_{s}$ 제어를 위한 제어입력인 $f_{i}$와 $v_{o}$의 지령값이다.

우선 시뮬레이션과 실험 결과는 매우 유사하게 나타났다. Fig. 9에서 $T_{o}$는 지령값 변경 및 열부하 증․감시에도 정상상태오차 없이 목푯값에 엄밀히 수렴하였다. 반면 $T_{s}$는 $T_{o}$의 지령값 변경 시, 최대 12℃ 그리고 열부하 증․감 시에 각각 1℃, -2℃의 과도 오차를 각각 보였다. 이는 $T_{o}$의 속응성 확보를 위해 EEV 측의 $Q_{e}$보다 압축기 측의 하중 행렬 $Q_{c}$를 더 큰 값으로 선정하였기 때문이다. Fig. 10의 실험 결과에서는 센서 열잡음으로 인해 $T_{o}$와 $T_{s}$가 미소하게 진동하며, 이로 인해 제어입력인 $f_{i}$와 $v_{o}$가 민감하게 동작한다.

설계한 MPC는 열잡음이 없는 이상적인 시뮬레이션의 경우, 시스템 모델을 통해 미래의 출력을 정확히 예측한다. 그러나 실제 실험에서는 열잡음의 영향으로 인해 미래 출력이 매우 큰 값으로 예측된다. 이로 인해 본 연구에서는 감쇠 행렬 $L$을 도입하여 과도한 출력 예측을 방지함으로써 안정한 제어입력을 인가하도록 하였다. 시뮬레이션과 실험 결과로부터 본 연구에서 설계한 제어기의 타당성을 확인할 수 있다.

실험에서 지령값 변동 시의 $T_{o}$의 정착 시간 $t_{s}$는 1,073 초, 최대 언더슈트(undershoot)는 0.19℃로 나타났다. 또한 열부하 증․감 시의 $T_{o}$의 최대 과도 오차는 0.22℃와 0.39℃로 각각 나타났다. 한편, $T_{s}$는 $T_{o}$의 지령값 변동 시에 최대 오버슈트 7.81℃가 발생하였으며, 정착 시간은 1,157 초였다. 열부하 증․감시에도 $T_{s}$는 설정값 7℃ 근방에서 일정하게 제어되었다. 이를 통해 제안한 MPC가 설계 사양을 만족함을 확인하였다.

3.5 PI 제어기와의 제어성능 비교 실험

제안한 MPC의 유효성은 동일한 조건에서 진행한 범용의 PI 제어기에 대한 시뮬레이션과 실험 결과의 제어성능 비교를 통해 확인한다. PI 제어기는 Matlab/Simulink의 PID 튜너를 사용하여 설계 사양을 만족하도록 게인을 미세 조정하였다. 제어성능 비교의 타당성 확보를 위해 PID 제어기는 지령값 변경 시의 하강시간(falling time)을 MPC의 740 초와 유사하도록 설계하여 두 제어기의 지령값 추종 과도 성능이 일치하도록 하였다. 미분항 D 제어기는 열잡음이 인가되는 VSRS 특성상 불안정성과 진동 발생의 우려가 있고, 시정수가 매우 큰 시스템이므로 배제하였다. 또한 PI 제어기의 적분항 I 제어기로 인한 제어입력의 포화가 언더슈트를 증가시키는 것을 방지하기 위해 안티-와인드업(anti-windup) 게인을 비례 게인 $K_{p}$의 1/2로 설계하여 PI 제어기에 추가하였다. Table 4는 설계 사양을 만족하도록 설계된 PI 제어기와 안티-와인드업의 게인을 나타낸다.

Fig. 11과 Fig. 12는 각각 PI 제어기의 시뮬레이션과 실험 결과이며, 시뮬레이션과 실험 결과는 매우 유사하게 나타났다. $T_{o}$는 지령값 변경 및 열부하 증․감 시에도 정상상태오차 없이 목푯값에 엄밀히 추종하였으며, $T_{s}$는 $T_{o}$의 지령값 변경 시 큰 과도 오차를 보인 후, 목푯값에 추종하였다. D 제어기를 배제하였으므로 제어입력의 진동은 MPC보다 작게 나타났고, $T_{o}$와 $T_{s}$도 작은 진동을 보였다.

Fig. 9와 Fig. 11의 MPC와 PI 제어기의 시뮬레이션 결과를 비교한 결과 $T_{o}$의 응답은 두 제어기 모두 정상상태오차 없이 지령값에 엄밀히 추종하였다. 지령값 변경 시의 하강시간은 MPC와 PI 두 제어기 모두 796 초로 동일하게 나타났다. 정착시간은 958 초와 1,369 초로 MPC가 PI보다 30.0% 더 신속하게 수렴하였다. 이는 PI 제어기가 안티-와인드업 제어기 추가에도 불구하고 최대 언더슈트가 0.22℃로 크게 발생했기 때문이다. 또한, $T_{o}$의 최대 과도오차는 열부하 증가 시 MPC와 PI 제어기가 각각 0.02℃, 0.19℃ 열부하 감소 시 0.04℃, 0.37℃로 나타났다. 이들 비교를 통해, 열부하 외란이 인가되는 상황에서는 MPC가 PI 제어기보다 $T_{o}$를 더 정밀하게 제어함을 확인하였다. $T_{s}$의 응답은 두 제어기 모두 $T_{o}$의 지령값 변경 시, 간섭 영향으로 인해 오버슈트가 발생하였다. $T_{s}$의 최대 오버슈트 발생 후 정착시간은 MPC와 PI 제어기가 각각 53 초와 168 초로 나타났다. 이를 통해 MPC가 PI 제어기보다 $T_{s}$의 오버슈트를 68.45% 빠르게 제어함을 확인하였다.

Fig. 11 Simulation results applied PI controller.

Fig. 12 Experimental results applied PI controller.

Fig. 10과 Fig. 12의 MPC와 PI 제어기 $T_{o}$ 응답을 Table 5에 정리하였다. $T_{o}$의 응답은 두 제어기 모두 정상상태오차 없이 지령값에 엄밀히 수렴하였다. 지령값 변경 시 하강시간은 MPC와 PI 제어기가 각각 813 초와 839 초로 유사하게 나타났다. 정착시간은 각각 1,073 초와 1,362 초로 두 제어기 모두 설계 사양을 만족하였으며, MPC가 PI보다 21.2% 더 빠르게 수렴하였다. 이는 MPC의 최대 언더슈트가 0.19℃로 PI의 0.36℃ 대비 약 47% 작게 발생했기 때문이다. $T_{o}$의 최대 과도오차는 열부하 증가 시 MPC와 PI 제어기가 각각 0.22℃, 0.30℃ 열부하 감소 시 0.39℃, 0.46℃로 각각 나타났다.

$T_{s}$의 응답은 두 제어기 모두 압축기의 급격한 회전수 변화로 인한 간섭 영향으로 큰 오버슈트를 보였다. 최대 오버슈트 발생 후 $T_{s}$의 정착시간은 MPC와 PI 제어기가 각각 157 초와 170 초로 나타났다. 이를 통해 MPC가 PI 제어기보다 $T_{s}$의 간섭 영향에 의한 오버슈트를 7.64% 더 빠르게 제어함을 확인하였다.

시뮬레이션과 실험 결과 분석을 통해 MPC가 PI 제어기보다 $T_{o}$를 언더슈트 없이 지령값에 더 신속히 수렴시킴을 알 수 있다. 이때 발생하는 간섭 영향에 의한 $T_{s}$의 오버슈트에 대해서도 MPC가 더욱 신속하게 대응하였다. 그러나 제안된 MPC는 다변수 제어기로 설계되었음에도 $T_{s}$의 급격한 오버슈트를 발생시켰다. 이는 $T_{o}$와 $T_{s}$의 속응성 확보가 서로 절충 관계에 있으며, 본 연구에서는 $T_{o}$의 정밀한 온도 제어를 더 우선시하였기 때문이다. 또한 열부하 증감 시에도 MPC가 PI 제어기보다 더 강인한 제어성능을 보였다. 결과적으로 MPC는 시뮬레이션과 실험 결과 모두 기존의 PI 제어기에 비해 더 정밀하고 빠른 속응성을 보였다.