기호설명

상·하첨자

1. 서 론

재생열교환기(regenerative heat exchanger) 또는 간단히 재생기(regenerator)는 축열체(matrix)에 고온과 저온 유체를 순차적으로 통과시켜 열을 전달하는 주기 유동(periodic-flow) 열교환기를 일컫는 일반적인 이름으로 이 타입의 열교환기는 산업혁명 시기에 고안된 이후 현재까지 다양한 산업 분야의 초고온부터 극저온까지의 광범위한 온도 영역에서 사용되고 있다. 재생열교환기에 관한 이론적 연구는 현대적 컴퓨터의 등장하기 전인 20세기 초를 제외하면 대부분 수치적인 방법으로 진행되었다.⁽¹⁾ 그러나 적은 수지만 해석적 연구 노력도 계속되었는데 대표적인 예로 Romie⁽²⁾는 대향류 로터리 열교환기를 두 개의 병렬 직교류 열교환기로 근사하여 경계조건을 만족시키는 다차 방정식의 계수를 찾는 방법으로 해를 구하였고 이후 Romie and Baclic⁽³⁾에서는 특수함수를 사용하여 계수를 찾는 새로운 방법과 계산과정이 단순해진 형태의 해를 제시하였는데 비슷한 시기에 Skiepko⁽⁴⁾도 두 개의 직교류 열교환기를 풀어 대향류 로터리 열교환기의 해를 특별한 멱급수의 형태로 제시하였다. 그러나 이들의 연구를 포함해 현재까지 알려진 엄밀한 해법은 계산이 복잡하여 실용적이지 못하고 다른 문제에 응용하기도 어려워 빠르고 쉽게 사용할 수 있는 근사해를 구하기 위한 노력이 이어지고 있다.^(5-9) Monte⁽⁵⁾는 Lagrange 좌표계를 사용하여 재생 열교환기 내부의 유체 온도 프로필을 구하였는데 그의 연구는 스털링 엔진과 가스터빈 시스템에서와 같이 운전 주기가 짧은(회전속도가 큰) 경우를 고려하여 축열체의 온도가 일정하다고 가정하였기 때문에 운전 주기가 긴 경우에는 유효하지 않다. Klein and Eigenberger⁽⁶⁾는 축열체의 열용량이 큰 경우에 준 정상상태를 가정하고 축열체 내부의 유동 방향 열확산의 영향을 고려하여 대향류 로터리 열교환기의 근사해를 유도하였는데 이 근사해는 유량비가 1인 경우($C_{r}=1$)에만 유효하고 열교환기의 회전속도가 큰 경우에 정확하다. Buyukalaca and Yilmaz⁽⁷⁾는 넓은 범위에서 회전속도를 변화시켜가며 로터리 열교환기의 유용도를 측정하고 그 결과를 수치 및 해석모델과 비교하였는데 넓은 범위의 실험 및 수치 결과는 유용하지만 해석모델은 회전속도가 작은 경우에 축열체 내부에서 유체 온도가 일정함을 가정하였기 때문에 적용 범위가 매우 제한적이다. Abe et al.⁽⁸⁾은 로터리 열교환기의 지배방정식으로부터 평행류 로터리 열교환기의 해를 유도하고 평행류 열교환기를 대향류로 전환하여 운전할 때 유용도를 예측할 수 있는 모델을 개발하였는데 이 모델은 유량비가 1이고 무차원 회전수가 5보다 큰 영역($C_{r}^{*}\ge 5$)에서 유효하다. Son et al.⁽⁹⁾은 유량비가 1인 대향류 로터리 열교환기에 대해 선형 온도분포와 정현파 유속을 가정하고 유체와 채널벽의 열확산 방정식을 풀어 해를 구하였다. 열교환기의 유용도를 유체 온도 진폭의 함수로 표현하고 Buyukalaca and Yilmaz⁽⁷⁾의 수치해석 결과와 비교, 검증하였으며 금속 소재를 플라스틱으로 대체하는 예를 들어 소재의 열확산 계수가 성능에 미치는 영향을 논의하였다. 위에서 언급한 연구들은 재생열교환기에 대한 이해를 높이고 편리한 툴을 제공한 점에서 높이 평가받아야 하지만 특정한 범위의 회전수($C_{r}^{*}$)나 유량비($C_{r}$)에서만 유효하므로 일반적으로 적용할 수 없는 공통적 약점이 있다. 예를 들어 Baek et al.⁽¹⁰⁾에서와 같이 넓은 범위에서 열교환기의 회전수를 조절하며 운전할 필요가 있는 경우에는 위에서 언급한 연구 중 Son et al.⁽⁹⁾의 모델이 적합하지만, 이 모델도 유량비가 1보다 작은 경우에는 적용할 수 없다. 본 연구에서는 넓은 회전수와 유량비 범위에서 적용할 수 있도록 Son et al.⁽⁹⁾의 모델을 확장하여 임의의 유량비에 적용 가능한 일반 모델을 개발하였다. 일반 모델의 기초로 Son et al.⁽⁹⁾의 모델을 선택한 이유는 그 구조가 단순하면서도 정확하여 실용성이 높고 미래에 제습 로터를 포함한 전열교환기 문제로의 확장도 쉬울 것으로 판단하였기 때문이다. 아래에서는 제2장에 지배방정식과 근사해의 유도과정을 기술하였고 제3장에서는 근사해의 정확성과 실용성에 대해 논의하였으며 제4장에 결론을 정리하였다.

2. 지배방정식과 근사해

Fig. 1에 로터리 열교환기의 전면과 내부 유로의 단면을 개략적으로 도시하였다. Fig. 1(b)는 회전주기가 $\tau$인 Fig. 1(a)의 대향류 로터리 열교환기에서 고온구간($0<t/\tau\le 0.5$) 에서는 유로의 왼쪽 끝($x=0$)으로 고온($T_{hi}$) 유체가 $u_{h}$의 속도로 유입하고 저온구간($0.5<t/\tau\le 1$)에서는 오른쪽 끝($x=L$)에서 저온($T_{ci}$) 유체가 $u_{c}$의 속도로 유입하는 것을 나타낸다. 본 연구에서는 문제를 단순화하기 위해 아래와 같이 가정하였다.

- 모든 물성값은 일정하다.

- 유체 열용량은 축열체 열용량에 비해 무시할 수 있다.

- 대류 열전달계수는 일정하다.

- 유동 방향 열확산 효과는 무시할 수 있다.

Fig. 1(b)에서 유체($\delta_{a}$)와 고체($\delta_{s}$)의 공간을 포함하는 미소 체적 dx에 대한 열평형 방정식은 전술한 가정에 따라 다음과 같이 단순화하였다.

여기서 무차원수들은 다음과 같이 정의하였다.

식(1)에서 무차원속도 $U(t)$는 $u_{h}$를 $u_{\min}$으로 약속하고 평균유속을 $u_{\min}$으로 나눈 값으로 다음과 같이 정의하였다.

한편 식(1), 식(2)의 해는 다음의 경계조건을 만족해야 한다.

우선 로터리 열교환기의 유로의 임의의 수직 단면에서 채널벽 온도($T_{s}$)가 열교환기의 회전주기($\tau$)와 같은 주기로 진동함을 고려하면 식(2)를 만족하는 $T_{s}$로 Son et al.⁽⁹⁾에서와 같이 다음의 함수를 고려해볼 수 있다.

식(9)에서 $T_{0}$는 $T_{s}$의 시간 평균이고 $g_{n}$은 진폭으로 볼 수 있다. 식(9)를 식(2)에 대입하고 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있는데

여기서 $C_{1}$과 $C_{2}$는 미지수이고 $\mu_{n}$은 $Fo$수(=$\alpha_{s}\tau /\delta_{s}^{2}$)의 함수로 다음과 같이 주어진다.

한편 식(10)과 함께 식(7)의 경계조건을 만족하는 $T_{a}$로는 다음의 함수를 고려해볼 수 있다.

식(10)과 식(12)를 식(7, 8)에 대입하고 정리하면 $T_{s}$와 $T_{a}$ 사이에 다음의 관계가 성립함을 보일 수 있다.

식(13)은 $T_{s}$와 $T_{a}$의 진폭비가 $Fo$(=$\alpha_{s}\tau /\delta_{s}^{2}$)와 $Bi$(=$h\delta_{s}/k_{s}$)의 2개 무차원수에 의해 결정됨을 의미하는데 이는 Son et al.⁽⁹⁾에서 진폭비가 3개의 무차원수($\mu$, $\beta$, $\sigma$)에 의해 결정된 것과 차이가 있다. 이는 Son et al.⁽⁹⁾이 유체영역에서 열확산계수의 영향을 고려하였지만 본 연구에서는 대류 열전달계수를 일정하게 가정하여 문제를 단순화하였기 때문에 생겨난 차이점이다. 이제 $T_{a}$와 $T_{0}$가 주어지면 식(13)에 의해 $T_{s}$가 결정된다. 우선 식(13)으로부터 식(1) 우항의 온도차를 다음과 같이 쓸 수 있는데

여기서 $\psi_{n}$은 식(13)의 $\psi_{n}(\eta)$에 따라 다음과 같이 주어진다.

식(14)를 고려하면 식(1)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

식(16)을 고온구간($0<t^{*}\le 0.5$)과 저온구간($0.5<t^{*}\le 1$)에서 평균하면 각각의 평균온도에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

식(17)과 식(18)의 온도구배는 에너지보존을 고려하면 다음의 관계를 만족해야 한다.

식(19)는 일반적인(stationary) 열교환기에서의 에너지 보존식과 같고 식(16)을 한 주기에 대해 적분하면 얻을 수 있다. 한편 단면의 평균온도 $T_{0}$[=$(\widetilde{T_{h}}+\widetilde{T_{c}})/2$]는 식(17)과 식(18)을 고려하여 $\widetilde{T}_{h}$ 또는 $\widetilde{T}_{c}$의 함수로 표현할 수 있는데 예를 들어, $\widetilde{T}_{h}$의 함수로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

식(17)에서 식(20)을 빼고 정리하면 다음과 같이 $\widetilde{T}_{h}$에 대한 상미분방정식을 얻는데

여기서 $\lambda_{n}$은 다음과 같이 주어진다($\widetilde{T}_{c}$에 대해서도 같은 결과를 얻는다).

식(21)에 식(12)를 대입하고 정리하면 $f_{n}(\xi)=\exp\left(-\lambda_{n}\xi\right)$를 얻고 이상의 결과는 0이 아닌 임의의 정수 $n$에 대해 유효하므로 식(12)는 다음과 같이 일반적으로 쓸 수 있다.

여기서 $A_{n}$은 Fig. 2에 도시한 식(5)와 식(6)의 경계조건에 의해 결정되는 상수이다. Fig. 2에는 $\xi$=0과 1에서 $T_{a}$가 $T_{0}$를 중심으로 진동하는 모습을 보였는데, 식(5)에 따라 $\xi$=0에서 $T_{a}$의 고온구간($0<t^{*}\le 0.5$) 평균값은 $T_{hi}$와 같고, 식(6)에 따라 $\xi$=1에서 $T_{a}$의 저온구간($0.5<t^{*}\le 1$) 평균값은 $T_{ci}$와 같아야 한다.

우선 $\xi$=0에서 식(23)을 고온구간($0<t^{*}\le 0.5$)에서 평균하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

마찬가지로, $\xi$=1에서 식(23)을 저온구간($0.5<t^{*}\le 1$)에서 평균하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

식(24)에서 식(25)를 빼고 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

한편 식(20)을 $\xi$ 영역에서 적분하면 $T_{0}(\xi)$는 아래와 같이 쓸 수 있다.

식(27)에서 $T_{0}(1)$을 구해 식(26)에 대입하고 정리하면 $A_{n}$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있으며

이를 만족하는 $A_{n}$은 다음과 같이 주어짐을 보일 수 있다($\sum 1/n^{2}=\pi^{2}/8$, n=1, 3, ... ∞).

마지막으로 식(27)에서 식(24)를 빼서 $T_{0}(0)$를 제거하면 다음과 같이 $T_{0}(\xi)$의 함수를 얻을 수 있다.

식(29)의 $A_{n}$과 식(30)의 $T_{0}(\xi)$를 사용하여 식(23)으로부터 $T_{a}$를 구하고 식(13)으로부터 $T_{s}$를 구할 수 있으며 그 결과는 다음과 같이 무차원온도로 표현할 수 있다.

3. 결과

4. 결 론

단순화한 로터리 열교환기의 지배방정식으로부터 유체와 채널벽 온도의 1차원 과도해를 유도하였다. 로터리 열교환기 유로의 임의의 수직 단면에서 채널벽의 온도가 열교환기의 회전주기와 같은 주기로 진동함을 고려하여 복소지수 형태의 시간함수를 가정하였고 이와 함께 평균 에너지 방정식을 만족하는 공간함수를 찾아 근사해를 완성하였다. 근사해를 이용하여 유용도의 해석적 표현을 쓰고 문헌의 유용도 테이블 및 수치모델 결과와 비교하여 정확성을 검증하였다. 근사해는 $Ntu_{0}$가 작을수록 정확하여 $0.1\le C_{r}^{*}\le 10$, $0.5\le C_{r}\le 1$의 영역에서 최대오차는 $Ntu_{0}= 5$일 때 4~9%, $Ntu_{0}= 3$일 때 3~7% 수준임을 확인하였다. 근사해의 오차는 $Ntu_{0}$에 비례하여 커지는데 이는 $Ntu_{0}$에 비례하여 비선형적으로 변하는 유동 방향 온도분포를 정확히 예측하지 못하기 때문이다. 열교환기의 금속 소재를 플라스틱으로 대체하는 문제에 근사해를 적용하였고 플라스틱 열교환기의 회전속도를 높여 금속 열교환기와 동일한 성능을 얻을 수 있음을 예측하였다.