2.1 실험 장치

Fig. 1은 본 논문에서 MPC를 적용할 제어대상인 VSRS 기반 OCS의 구성도이다. OCS는 공작기계의 공작물 가공 과정에서 발생하는 불필요한 열을 일정 온도로 냉각된 오일을 통해 신속히 제거함으로써 공작물의 열 변형으로 인한 가공 정밀도 저하를 방지하는 장치이다. 이 장치는 VSRS, 공작기계를 대신한 열부하용 전기히터, 제어부로 구성된다. VSRS는 압축기, 응축기, EEV, 증발기로 구성되고, 제어량인 오일출구온도 $T_{o}$와 과열도 $T_{s}$는 각각 압축기의 회전 속도와 EEV의 개도 제어를 통해 지령값으로 동시에 제어된다. 제어부는 Matlab 기반의 실시간 제어장치(Real Time Controller; RTC)와 조작기(actuator)로 구성된다. 제어입력인 압축기 인버터 주파수 $f_{i}$와 EEV 개도 지령 $v_{o}$는 RTC의 CPU에서 설정된 지령값과 온도 센서를 통해 얻은 $T_{o}$와 $T_{s}$의 정보로부터 설계된 제어 로직에 따라 연산된다. CPU에서 연산된 디지털 제어입력은 I/O 모듈의 D/A 변환기를 거쳐 아날로그 전압 형태로 조작기인 인버터와 EEV 드라이브에 각각 입력된다. Table 1과 Table 2는 장치의 주요 사양을 나타내었다.

Fig. 1 Experimental system of OCS based on VSRS.

Fig. 2 Input and output variables of transfer functions for compressor and EEV.

Fig. 2는 OCS의 제어량인 $T_{o}$와 $T_{s}$, 그리고 제어입력인 $f_{i}$와 $v_{o}$의 입출력 관계를 나타낸 블록선도이다. 출력인 $T_{o}$와 $T_{s}$는 입력인 $f_{i}$와 $v_{o}$를 통해 각각 제어된다. 이때 $G_{i}(s)$는 타 제어량에 미치는 간섭항 전달함수이다.

여기서 $G_{cp}(s)$와 $G_{ev}(s)$는 압축기와 EEV의 제어입력 $f_{i}$와 $v_{o}$에 대한 제어량 $T_{o}$와 $T_{s}$의 전달함수이고, $G_{i1}(s)$와 $G_{i2}(s)$는 각 제어입력이 타 제어량에 미치는 간섭항의 전달함수이다. 선행 연구들에서는 $G_{i}(s)$를 고려하지 않고 SISO계로 간주하여 제어기를 설계하였다. 그 결과 $f_{i}$의 급격한 변동 시 $G_{i1}(s)$의 영향으로 과열도의 과도현상이 발생하였다.^(4-8) 따라서 본 논문에서는 이들 간섭항이 고려된 MIMO 기반의 예측 모델로 MPC를 설계한다.

2.2 MIMO 기반 가변속 냉동시스템의 모델링

MPC 설계를 위해서는 예측 모델의 최종 형태인 확대계 상태공간모델을 필요로 한다. 본 연구에서는 Fig. 1의 OCS에 대한 동특성 실험을 통해 구한 전달함수 모델로부터 확대계 상태공간모델을 유도한다. 각 전달함수 모델은 동작점 근방에서 제어입력 $f_{i}$와 $v_{o}$를 계단상으로 변동시킨 실험 결과로부터 도출하였다. 동특성 실험 시, 주 제어량을 제어할 때 간섭항의 제어입력은 일정(constant) 값으로 고정하였다. 한편, Fig. 2에서 제어입력 $v_{o}$ 변동이 제어량 $T_{o}$에 미치는 영향은 극히 미미하였으므로 $G_{i2}(s)$는 모델링에서 제외하였다.⁽¹⁰⁾

Fig. 3 Experimental results for obtaining transfer functions of $G_{cp}(s)$ and $G_{ev}(s)$.

Fig. 3은 압축기 및 EEV 측 전달함수 $G_{cp}(s)$와 $G_{ev}(s)$의 동특성 실험 결과이다. 동특성은 부동작 시간 $\theta$를 가지며 특성값인 시정수 $\tau$와 DC 게인 $K$를 갖는 전형적인 1차계 전달함수 $\{K/(\tau s+1)\}\times e^{-\theta s}$**** 형태로 식(1), 식(2)와 같이 구해졌다. 상태공간모델 변환 시, 식(1)과 식(2)의 $\theta$는 $\tau$에 비해 매우 작으므로 $\theta$를 무시하여 단순 1차계로 취급하였다.

Fig. 4는 Fig. 2의 제어입력 $f_{i}$가 제어량 $T_{s}$에 미치는 간섭항의 전달함수 $G_{i1}(s)$의 동특성 실험 결과이다.

Fig. 4 Experimental result for obtaining transfer function of $G_{i1}(s)$.

선행 연구들에서는 구간 ①의 $T_{s}$의 응답을 $f_{i}$의 변동에 따른 스텝 응답 형태로 구하였다.^(4-8) 그러나 $T_{s}$의 응답은 Fig. 4에서와 같이 엄밀히 분석해 보면 스텝 응답이 아닌 1차계 전달함수 형태이다. 따라서 본 연구에서는 $G_{i1}(s)$를 구간 ①과 ②의 각 전달함수 $\{0.32/(70s+1)\}$와 $\{-0.58/(460s+1)\}\times e^{-117s}$의 합으로 식(3)과 같이 도출하였다. 이때 부동작 시간 $\theta$는 Pade 1차 근사를 통해 선형화하였다.

VSRS의 연속계 상태공간모델은 식(1)~(3)의 전달함수를 역라플라스 변환을 통해 구하였다. 그 결과 연속계 상태방정식은 $\dot{x}(t)=A_{c}x(t)+B_{c}u(t)$의 형식으로 식(4), 출력방정식은 $y(t)=C_{c}x(t)$의 형식으로 식(5)와 같이 각각 유도된다. 이후부터는 표현상의 편의를 위해 시간 함수 ‘$t$’를 생략해 표기한다. 식(5)에서 $x_{ij(j=1～3)}$는 식(3)에서 얻어진 간섭항의 상태변수로서 출력 $y_{ev}$에 영향을 미치고 있음을 알 수 있다.

MPC는 매 샘플링 시간마다 최적의 제어입력을 도출하므로, 식(4)와 식(5)의 연속계 상태공간모델을 식(6)의 이산계 상태공간모델로 변환한다.⁽¹¹⁾ 식(6)의 계수 행렬 $A_{d},\: B_{d},\: C_{d}$는 식(4)와 식(5)의 계수 행렬 $A_{c},\: B_{c},\: C_{c}$로부터 영차 홀드법(zero order hold)을 적용해 구해진다. 이때 식(6)의 상태변수 $x$는 측정 가능한 물리량이 아닌 가상의 물리량으로 $[x_{cp}x_{ev}x_{"i"1}x_{"i"2}x_{"i"3}]^{T}$이고, 출력 $y$는 $[T_{o}T_{s}]^{T}$이다. 제어입력 $u$는 $[f_{i}v_{o}]^{T}$를 나타낸다. 여기서 상첨자 ‘$T$’는 행렬의 전치(transpose)를 의미한다.

최종적으로 MPC 설계를 위한 VSRS의 확대계 상태공간모델은 한 샘플링 시간$(k\sim k+1)$ 동안 식(6)의 상태방정식에 대해 $x(k+1)-x(k)$, 출력방정식에 대해 $y(k+1)-y(k)$를 구한 후, $x(k+1)-x(k)=\Delta x(k)$, $u(k+1)-u(k)=\Delta u(k)$로 정의하고, 새로운 상태변수 $x_{a}(k)=[\Delta x(k)y(k)]^{T}$를 도입하여 정리하면 식(7)이 유도된다. 여기서 하첨자 ‘$a$’는 확대계를 뜻한다.

2.3 칼만 필터를 적용한 모델 예측 제어기 설계

Fig. 5는 MPC의 제어 개념도이다. 그림에서 상첨자 기호 ‘^’은 추정값을 의미한다. MPC는 Fig. 5(a)에서와 같이 임의의 $k$ 시점에서 $N_{c}$ 개의 입력 예측 구간(control horizon)을 설정하고 이를 통해 $N_{p}$ 개의 출력 예측 구간(prediction horizon)에서 예측 출력을 평가한다. 이를 기반으로 $k$ 시점의 최적 제어입력을 연산해 출력한다. Fig. 5(b)는 칼만 필터를 적용한 MPC의 제어 원리를 나타낸 구성도이다. 지령값 $R_{s}$와 칼만 필터로 추정한 상태변수 $\hat{x}$와 출력 $\hat{y}$을 입력으로 받아, MPC는 예측 모델을 기반으로 매 샘플링 시간마다 주어진 제약 조건(constraints) 하에서 특정 목적함수(cost function)를 최소화하는 제어입력 $u$를 출력한다.

Fig. 5 Schematic of MPC.

MPC의 예측 출력은 $N_{p}$ 개$\left(k+1\sim k+N_{p}\right)$의 상태변수와 $N_{c}$ 개$\left(k\sim k+N_{c}-1\right)$의 제어입력으로 구성된 상태변수를 식(7)의 출력방정식에 대입하면 $\hat{Y}=Fx_{a}(k)+\Phi\Delta\hat{U}$의 형태로 식(8)과 같이 유도된다. 식(8) 우변의 MPC 예측 행렬 $F$와 $\Phi$는 식(7)의 계수 행렬 $A_{a},\: B_{a},\: C_{a}$의 요소들로 구성된다. 만일 $k$ 시점의 상태변수 $x_{a}(k)$를 안다면 $N_{c}$ 개의 $\triangle\hat{u}$를 설계해서 이에 대응하는 $N_{p}$ 개의 예측 출력 $\hat{y_{a}}$를 추정할 수 있다.

식(8)의 $x_{a}(k)$는 $[\Delta x(k)y(k)]^{T}$이므로 상태변수 $x$와 출력 $y$의 정보를 필요로 한다. 상태변수 $x$는 식(6)에서 언급한 바와 같이 가상의 물리량이므로 측정이 불가능해 제어 시에는 이 값들을 추정해야 한다. 또한, 온도 센서를 통해 얻은 출력 $y$는 열잡음이 다수 혼입되어 조작량의 진동을 발생시키므로 이를 필터링한 $y$의 값을 필요로 한다.(10) 따라서 본 연구에서는 외란과 열잡음에 강인한 칼만 필터를 설계하여 상태변수 $x$를 추정함과 동시에 필터링된 출력 $y$를 구한다. 칼만 필터는 백색잡음(white noise)으로 가정된 시스템 잡음 $w$와 관측 잡음 $v$를 갖는 식(9)의 선형 시스템을 대상으로 제어입력 $u$와 출력 $y$로부터 오차 공분산 $P$가 최소로 되는 상태 추정값 $\hat{x}$을 찾는다.⁽⁶⁾ $P$는 $P=E\left[\{x(k)-\hat{x}(k)\}\{x(k)-\hat{x}(k)\}^{T}\right]$로서 상태변수 $x$와 추정값 $\hat{x}$의 평균 제곱 오차의 기댓값을 나타낸다.

칼만 필터는 상태 추정값 $\hat{x}(k)$를 구하기 위해 예측 단계(prediction step)와 갱신 단계(correcting step)를 매 샘플링 시간마다 반복적으로 수행한다.

먼저, 예측 단계에서는 이전 시점의 상태 추정값 $\hat{x}(k-1)$과 제어입력 $u(k)$를 식(10)의 상태방정식에 대입하여 예측 단계의 상태 추정값 $\hat{\widetilde{x}}(k)$를 계산한다. 여기서 상첨자 기호 ‘$\sim$’는 예측 단계의 값을 뜻한다. 식(10)에서 계산된 $\hat{\widetilde{x}}(k)$의 오차 공분산 $\widetilde{P}(k)$는 식(11)을 통해 구한다. 이때 $Q_{km}$은 시스템 잡음인 $w$의 파워 스펙트럼 밀도이다.

다음으로, 갱신 단계에서는 식(10)에서 구한 $\hat{\widetilde{x}}(k)$, 온도 센서로부터 측정된 $y(k)$, 그리고 식(12)로부터 구한 칼만 게인 $L_{km}$을 반영해 식(13)을 통해 $\hat{x}(k)$와 $\hat{y}(k)$를 계산한다. 이때 $R_{km}$은 관측 잡음인 $v$의 파워 스펙트럼 밀도이다. 식(13)에서 계산된 $\hat{x}(k)$의 오차 공분산 $P(k)$는 식(14)를 통해 구한다. 이와 같은 예측과 갱신 단계가 매 샘플링 시간마다 반복된다.

결국 칼만 필터의 설계는 계수 행렬 $A_{d},\: B_{d},\: C_{d}$와 $Q_{km},\: R_{km}$을 결정하는 문제이다. $A_{d},\: B_{d},\: C_{d}$는 상태공간모델인 식(6)에서 정의된 행렬이다. $Q_{km}$과 $R_{km}$은 각각 예측 단계의 상태 추정값 $\hat{\widetilde{x}}$와 출력 $y$의 잡음 공분산으로 이들 설정에 따라 식(12)의 $L_{km}$이 결정되어 식(13)의 $\hat{x}(k)$가 계산된다. 먼저 관측 잡음 $v$에 관련된 $R_{km}$은 출력 측정에 사용된 온도 센서의 분해능 0.1℃를 고려하여 평균이 0이고 분산이 $6.25\times 10^{-4}$인 백색 잡음으로 간주하여 선정하였다.⁽⁶⁾ 다음으로 시스템 잡음 $w$에 관련된 $Q_{km}$은 식(10)의 계수 행렬 $A_{d},\: B_{d}$로부터 발생하는 잡음 공분산을 의미하므로 해석적으로 결정하기는 어렵다. 따라서 본 연구에서는 실험 데이터를 기반으로 온도 센서의 열잡음이 적게 반영되며 출력 추정 오차($=y-\hat{y}$)가 최소화되도록 $Q_{km}$을 다음과 같이 결정하였다.

한편, MPC에서 최적 제어입력은 식(15)의 목적함수 $J$를 최소화하는 제어입력 변화량 $\Delta\hat{U}$를 구하는 문제이다. 이 $J$는 제어 오차($=R_{s}-\hat{Y}$)와 제어입력 변화량 $\Delta\hat{U}$으로 구성되어, 제어량의 속응성과 에너지 절약 성능이 상호 절충(trade off) 관계에 있음을 알 수 있다. 따라서 $\Delta\hat{U}$는 설계자가 설계 사양을 고려하여 적절한 하중행렬 $R$을 선정한 후, 제어 오차와 제어입력 변화량이 최소화되도록 $J$를 구한다.

최종적으로 식(15)에 식(8)의 $\hat{Y}$를 대입하여 $\Delta\hat{U}$ 변수로만 구성된 2차 형식의 QP(Quadratic Programming) 문제로 식(16)을 유도한다. MPC는 식(16)의 $\Delta\hat{U}$ 도출 시 제약 조건을 동시에 반영해야 한다. 이는 식(17)과 같이 $\Delta\hat{U}$에 대한 $C_{1}\Delta\hat{U}\le C_{2}$의 형태로 나타나며, $C_{2}$는 제어입력 $f_{i}$, $v_{o}$의 실제 조작기의 물리적 허용 한계이다. 이를 통해 $\Delta\hat{U}$는 조작기의 물리적 제약 조건인 $f_{\min}\le f_{i}\le f_{\max}$, $v_{\min}\le v_{o}\le v_{\max}$ 범위의 값으로 출력된다. 본 연구에서의 조작기인 인버터와 EEV의 물리적 제약조건은 허용 가능한 운전 범위를 고려해 각각 30~70 Hz와 400~2,000 step이다.

식(17)의 제약 조건을 반영한 식(16)의 QP 문제의 해는 IPM(Interior Point Method)을 이용해 구한다.⁽¹²⁾ MPC의 최종 제어입력은 식(16)으로부터 도출한 $\Delta\hat{U}$의 첫 번째 성분인 $\Delta\hat{u}(k)$와 이전 시점의 제어입력을 더해 식(18)과 같이 구해진다.

2.4 MPC 설계 파라미터의 최적화

MPC의 설계 파라미터로는 출력 예측 구간 $N_{p}$, 입력 예측 구간 $N_{c}$, 그리고 압축기와 EEV 측의 하중행렬 $R_{cp}$, $R_{ev}$가 있다. 이제까지 이들 파라미터의 설정은 시행착오로 설계되어 번거로울뿐만 아니라 최적의 성능을 보장하기도 어려웠다.⁽¹³⁾ 본 논문에서는 이를 해결하기 위해 BO를 통해 이들 설계 파라미터를 최적값으로 결정한다. BO는 설계 파라미터들과 설계자가 설정한 성능 지표값의 관계를 확률적으로 추정하는 대체 모델(surrogate model)과 최적 파라미터 후보군을 추천하는 획득 함수(acquisition function)로 구성되어 파라미터들의 최적값을 찾는 우수한 탐색 능력을 가진다.⁽¹⁴⁾

Fig. 6은 BO의 적용 흐름도이다. 먼저 대체 모델은 주어진 설계 파라미터들과 이에 대응하는 성능 지표값의 관계를 확률적으로 추정한다. 추정된 결과로부터 획득함수는 설계 파라미터들의 최적값 후보군을 선정한다. 다음으로 이렇게 선정된 최적값 후보군은 MPC 시뮬레이션에 적용되어 성능 지표값을 계산하게 되며, 이 정보를 바탕으로 대체 모델이 갱신된다. 이러한 과정은 종료 조건을 만족할 때까지 반복된다.

Fig. 6 Flow chart of Bayesian optimization.

본 연구에서 대체 모델은 가우시안 프로세스(Gaussian process), 획득함수는 EI(Expected Improvement) 함수로 설정하였다.⁽¹⁴⁾ 성능 지표값 계산을 위한 시뮬레이션은 Matlab/Simulink를 이용하였고, 성능 지표는 식(19)의 절대 오차 적분 $IAE$(Integral Absolute Error)로 설정하였다. $T_{o}$와 $T_{s}$의 지령값 $R_{s}$는 각각 25℃와 7℃로 정하였다. 제약 조건은 $T_{o}$ 제어 시 정착 시간 $t_{s}(\pm 0.5℃)$는 1,900초 이내, $T_{o}$와 $T_{s}$의 최대 과도오차인 언더슈트(Undershoot; $U.S$)와 오버슈트(Overshoot; $O.S$)는 각각 0.5℃와 15℃로 설정하였다. 제약 조건 위반 시 성능 지표값에 벌점을 부여하였고, 반복 횟수는 총 500회로 설정하였다. 또한, BO의 종료 조건은 성능 지표값이 4,000 이하인 경우로 하였다. BO를 통해 선정된 설계 파라미터들의 최적값은 $N_{p}=51,\: N_{c}=2,\: R_{cp}=0.95,\:$ $R_{ev}=0.002$로 구해졌다.

2.5 시뮬레이션 및 실험 방법

설계한 MPC의 제어성능을 검증하기 위해 지령값 변경과 외란 인가에 대한 시뮬레이션 및 실험을 진행하였다. 먼저 지령값 추종 성능을 분석하기 위해 $T_{o}$의 지령은 1,000초 시점에 초기 온도 30℃에서 25℃로 계단상으로 변경하였으며, $T_{s}$의 지령값은 최대 COP가 유지되는 7℃로 일정하게 설정하였다.⁽⁶⁾ 또한, 외란에 대한 제어 강인 성능을 분석하기 위해 열부하는 4,000초와 6,000초에 각각 정격값(1.6 kW)의 10%를 증감하였다. 이때 외기 온도는 $23℃\pm 1℃$로 유지하였다. 온도 센서는 K-타입 열전대(thermocouple)를 사용하였고 시뮬레이션과 실험의 제어 주기는 1초로 설정하였다. 시뮬레이션은 MATLAB/Simulink를 통해 진행하였다. VSRS의 전달함수 모델은 식(1)~(3)을 이용하였고, 실험 결과와의 엄밀한 제어성능 비교를 위해 외란인 열부하 전달함수는 동특성 모델링을 통해 $G_{db}(s)=\{-20.19/(1,\: 685s+1)\}$를 사용하였다. 또한, 온도 센서의 열잡음을 시뮬레이션에서 구현하기 위해 실험 데이터의 FFT(Fast Fourier Transform) 분석을 통해 $T_{o}$와 $T_{s}$에 각각 강도 0.17, 11.11을 갖는 백색 잡음을 인가하였다.

3.1 가변속 냉동시스템의 모델 검증

Fig. 7은 VSRS의 모델로 사용된 전달함수 식(1)~(3)의 타당성을 평가하기 위해 시뮬레이션 값과 실험값을 비교한 결과이다. 평가 지표로는 결정 계수 $R^{2}$과 평균 제곱근 편차(Root Mean Square Error; RMSE)를 이용하였다.⁽¹⁵⁾ Fig. 7(a)는 $G_{cp}(s)$의 검증 결과로서 $R^{2}$이 0.99로 매우 높은 상관관계를 나타내었고 RMSE는 0.22℃로 시뮬레이션 값과 실험값 사이의 오차가 매우 작음을 확인하였다. Fig. 7(b)는 $G_{ev}(s)$의 검증 결과로서 $R^{2}$이 0.87로 높은 상관관계를 보이나 RMSE는 1.29℃로 $G_{cp}(s)$보다는 오차가 다소 크게 나타났다. 이는 온도 센서로부터 $T_{s}$에 혼입된 열잡음이 $T_{o}$의 잡음보다 약 1℃ 더 크기 때문으로 분석되었다. Fig. 7(c)는 $G_{i1}(s)$의 검증 결과로서 $R^{2}$이 0.95로 매우 높은 상관관계를 나타내었고 RMSE는 1.11℃로 두 값 사이의 오차가 작음을 확인하였다. Fig. 7(d)는 기존의 선행 연구들에서 사용된 $G_{i1}(s)$^(4-8)와 본 논문에서 제안한 식(3)의 $G_{i1}(s)$를 비교한 결과이다. $R^{2}$과 RMSE는 기존 모델보다 각각 12.4%, 37.6% 개선되었음이 확인되었다. 이때 비교를 위한 기존의 간섭항 전달함수는 $\{(148.36s-0.26)/(460s+1)\}$를 이용하였다. 식(1)~(3)의 시뮬레이션 값은 열잡음이 인가된 실험값과의 비교에서도 높은 상관관계와 작은 오차를 보이므로 본 연구에서 사용한 VSRS의 전달함수 모델의 타당성을 확인할 수 있다.

Fig. 7 Validation of VSRS model.

3.2 MPC 설계 파라미터가 제어성능에 미치는 영향 분석

BO를 통해 최적화된 MPC 설계 파라미터 값들의 타당성은 Matlab/Simulink 기반의 시뮬레이션을 통해 검증되었다. 식(15)의 목적함수 $J$의 최적화는 MPC 설계 파라미터 값들의 설정에 따라 제어량의 속응성과 에너지 절약 성능이 달라진다. 이러한 파라미터 값들의 설정에 따른 제어성능을 평가하기 위해, BO를 통해 최적화된 MPC 설계 파라미터 값들을 기준으로 각 파라미터 값들을 임의로 변동시켰다. 변동된 파라미터 값들의 영향은 $T_{o}$의 지령값 변경 시 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답을 통해 정량적으로 분석되었다. 이때 평가 지표로는 $T_{o}$와 $T_{s}$의 $IAE$, 과도오차인 $U.S$와 $O.S$, 그리고 평가 구간의 제어입력 변화량 $\triangle f_{i}$와 $\triangle v_{o}$의 평균값을 사용하였다.

Table 3은 MPC 설계 파라미터 값들의 변동이 제어성능에 미치는 영향을 분석한 결과이다. Table 3의 Case 2와 3은 Case 1의 $N_{p}$를 각각 40씩 증․감시킨 결과이다. $N_{p}$의 증가는 Case 2와 같이 $\triangle f_{i}$를 Case 1보다 더 큰 값으로 도출한다.

그 결과 $T_{o}$의 $IAE$와 $U.S$는 미소하게 개선되었으나 $f_{i}$가 $T_{s}$에 미치는 간섭 영향은 커져 $T_{s}$의 $IAE$와 $O.S$는 더 악화되었다.

Case 4, 5는 Case 1의 $N_{c}$를 각각 20, 40씩 증가시킨 결과이다. $N_{c}$의 증가는 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답에 큰 영향을 미치지 않았다. 다만, $N_{c}$가 클수록 제어장치인 RTC의 계산 부담을 증대시켜 CPU에 과부하를 유발할 수 있다. 따라서 $N_{c}$는 제어성능이 열화하지 않는 범위에서 CPU 계산량의 과도한 증가를 유발하지 않는 값으로 선정한다.

Case 6, 7은 Case 1의 $R_{cp}$를 각각 900%, 90%씩 증감시킨 결과이다. Case 6은 Case 1에 비해 $\triangle f_{i}$가 63.6% 감소하였다. 그 결과 $f_{i}$의 간섭 영향이 줄어들어 $T_{s}$의 $IAE$와 $O.S$는 개선되지만 $T_{o}$의 $IAE$와 $U.S$는 악화되었다.

Case 8, 9는 Case 1의 $R_{ev}$를 각각 900%, 90%씩 증감시킨 결과이다. Case 8은 Case 1에 비해 $\triangle v_{o}$가 53% 감소하였다. MPC는 $\triangle v_{o}$의 과도한 감소로 인한 $T_{s}$의 제어 성능 저하를 방지하기 위해 $f_{i}$를 조정하여 간섭 영향을 줄였다. 그 결과 $T_{s}$의 $IAE$와 $O.S$는 개선되지만 $T_{o}$의 $IAE$와 $U.S$는 악화되었다.

3.3 시뮬레이션 및 실험 결과 고찰

본 연구에서는 설계한 MPC의 유효성을 확인하기 위해 범용의 PI 제어기에 대한 시뮬레이션과 실험 결과를 통해 제어성능을 비교하였다. PI 제어기는 MPC의 설계 사양과 동일한 조건에서 BO를 적용하여 게인 값들을 정하였다. 그 결과 압축기와 EEV의 비례 게인 $K_{p}$는 각각 14.15와 12.29로, 적분 게인 $K_{i}$는 각각 0.1과 0.12로 설계되었다. 또한, 제어입력의 포화로 인한 과도오차를 줄이기 위해 안티-와인드업(anti-windup) 게인은 $K_{p}/2$로 설계하여 PI 제어기에 추가하였다. Fig. 8과 Fig. 9는 각각 PI 제어기와 MPC의 시뮬레이션 결과이다. (a)는 제어량인 $T_{o}$와 $T_{s}$, (b)는 $T_{o}$의 제어입력 $f_{i}$, (c)는 $T_{s}$의 제어입력 $v_{o}$를 각각 나타낸다.

Fig. 8 Simulation results of PI controller with noise.

Fig. 9 Simulation results of MPC with noise.

시뮬레이션 결과로부터 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답은 두 제어기 모두 정상상태오차 없이 지령값에 엄밀히 추종하였다. PI 제어기와 MPC는 $T_{o}$의 지령값 변경 시 정착 시간 $t_{s}$(± 0.5℃)가 각각 721초와 720초, 언더슈트 $U.S$는 0.44℃와 0.37℃로 모두 설계 사양을 만족하였으며, MPC가 PI 제어기보다 과도오차를 약 15.9% 더 감소시켰다. 또한, $T_{o}$의 최대 과도오차는 PI 제어기와 MPC가 열부하 증가 시 0.37℃와 0.36℃, 열부하 감소 시 0.66℃와 0.57℃로 각각 나타났다. 이들 비교를 통해, MPC는 지령값 변경과 열부하 외란 인가 시 PI 제어기보다 $T_{o}$를 더 정밀하게 제어함을 확인하였다. 특히, PI 제어기는 $T_{o}$의 지령값 변경 시 압축기의 급격한 회전 속도 변동으로 인해 $T_{s}$의 최대 과도오차가 6.25℃ 발생하며 이후 $U.S$가 나타났다. 반면에 MPC는 최대 과도오차가 2.98℃ 발생하였으며 $U.S$ 없이 $T_{s}$의 지령값으로 수렴하였다. 또한, MPC는 PI 제어기와 달리 열부하 증감시에도 지령값 7℃ 근방에서 일정하게 제어되었다. 이를 통해 본 논문에서 제안한 MPC가 PI 제어기보다 $T_{s}$의 과도오차를 52.3% 더 개선하였음을 확인하였다.

Fig. 10과 Fig. 11은 각각 PI 제어기와 MPC 제어기의 실험 결과이다. (a)는 제어량인 $T_{o}$와 $T_{s}$, (b)는 $T_{o}$의 제어입력 $f_{i}$, (c)는 $T_{s}$의 제어입력 $v_{o}$를 각각 나타낸다.

Fig. 10 Experimental results of PI controller.

Fig. 11 Experimental results of MPC.

실험 결과는 Fig. 8과 Fig. 9의 시뮬레이션 결과와 매우 유사하게 나타나 설계한 제어기의 타당성이 확인되었다. 실험 결과로부터 $T_{o}$와 $T_{s}$의 응답은 두 제어기 모두 정상상태오차 없이 지령값에 엄밀히 추종하였다. PI 제어기와 MPC는 $T_{o}$의 지령값 변경 시 $t_{s}$(± 0.5℃)는 각각 884초와 868초, $U.S$는 0.47℃와 0.22℃로 모두 설계 사양을 만족하였으며 MPC는 PI 제어기보다 과도오차를 약 53.2% 더 작게 발생시켰다. 또한, $T_{o}$의 최대 과도오차는 PI 제어기와 MPC가 열부하 증가 시 0.45℃와 0.6℃, 열부하 감소 시 0.54℃와 0.88℃로 각각 나타났다. 이들 비교를 통해, MPC는 지령값 변경과 열부하 외란 인가 시 PI 제어기보다 $T_{o}$를 더 정밀하게 제어함을 확인하였다. 특히, PI 제어기는 $T_{o}$의 지령값 변경 시 압축기의 급격한 회전 속도 변동으로 인해 $T_{s}$의 최대 과도오차가 7.5℃로 크게 발생하였으며 이후 $U.S$가 나타났다. 반면에 MPC는 최대 과도오차가 3.76℃ 발생하며 $U.S$ 없이 $T_{s}$의 지령값으로 수렴하였다. 또한, MPC는 PI 제어기와 달리 외란인 열부하 증감시에도 지령값 7℃ 근방에서 일정하게 제어되었다. 이를 통해 간섭을 고려한 MIMO 기반 MPC가 PI 제어기보다 $T_{s}$의 과도오차를 49.9% 더 개선하였음을 확인하였다.

Fig. 12는 Fig. 10과 Fig. 11의 500~1,500초 사이의 $T_{o}$ 지령값 변동 시 PI 제어기와 MPC의 $f_{i}$와 $v_{o}$의 거동에 따른 $T_{s}$의 상관관계이다. MPC는 Fig. 12(a)와 같이 $f_{i}$를 상한값 70 Hz까지 점진적으로 증가시키며 EEV 개도 또한 그에 비례해 동시에 증가시킨다. 하지만 PI 제어기는 $f_{i}$를 급격히 증가시키며 Fig. 12(b)에서와 같이 $T_{s}$가 증가한 이후 피드백을 받아 $v_{o}$를 제어하고 있다. 이와 같은 PI 제어기의 제어입력 $f_{i}$의 급격한 변동과 $T_{s}$의 큰 과도오차 발생 후의 EEV 개도 제어로 인해 $T_{s}$에 더 큰 간섭이 유발됨을 Fig. 10(a)에서 확인할 수 있다.

Fig. 12 Experimental results by PI controller and MPC under setpoint changes.

이를 통해 제안한 MPC는 지령값 변경 시와 외란인 열부하 변동에도 기존의 PI 제어기보다 주 제어량인 $T_{o}$를 정밀하게 제어함을 확인하였다. 또한, 간섭을 고려한 다변수 제어를 통해 압축기 회전속도의 급격한 변동 시에도 기존 PI 제어기에서 발생하는 $T_{s}$의 과도현상을 현저히 개선시켜 안전성 확보와 더불어 늘 최대 COP로 운전함으로써 시스템의 고효율 운전이 가능함을 확인하였다.