2.1 단일 존 건물 냉방 시스템 구성

대상 시스템은 단일 존 건물 냉방 시스템으로, 히트펌프와 열에너지저장시스템(Thermal Energy Storage, TES)이 결합된 구조를 가정한다. 실내 공간은 외기 온도와 냉방 출력에 의해 온도가 변화하는 1차 RC 열 모델로 표현되며⁽⁹⁾, 이는 건물의 열용량과 외기와의 열교환 특성을 집약적으로 나타내는 대표적인 물리 모델이다. 본 연구에서 RC 모델은 건물 열거동을 정밀하게 재현하기 위한 목적이 아니라, 제어 입력에 따른 상태 변화와 시간적 연계성을 유지한 상태에서 이산 스케줄링 최적화 알고리즘의 탐색 특성을 분석하기 위한 기준 모델로 사용된다.

히트펌프는 실내 냉방을 담당하는 주 제어 장치로서 시간대별 ON/OFF 상태를 갖는 이산 제어 변수로 모델링 되었다. 제어 입력은 1시간 단위로 결정되며, 시스템의 열 거동은 15분 단위로 시뮬레이션되어 제어 결정과 열 응답 간의 시간 해상도 차이를 반영한다. 열에너지저장시스템(TES)은 Arteconi et al.⁽¹⁰⁾에서 제안한 수요관리 기반 운전 개념에 따라, 저요금 시간대에 히트펌프 출력의 일부를 저장하고 이후 시간대에 이를 방출하는 보조 열 저장 장치로 모델링 되었다.

전력 요금은 한국전력에서 제공하는 시간대별 요금제(Time-of-Use, TOU)를 기반으로 설정하였다. 본 연구에서는 일반용 전력(갑) 요금제 중 고압 A, 선택 II의 여름철(6–8월) 시간대별 요금 구조를 적용하여 냉방 부하 집중 시간대의 비용 특성을 반영하였다. 이에 따라 심야 및 이른 오전 시간대는 경부하 시간대로 분류되어 약 84.1원/kWh, 주간 일부 시간대는 중간 부하로 약 135.3원/kWh, 그리고 냉방 수요가 집중되는 주간 피크 시간대에는 최대부하 요금인 약 157.8원/kWh가 적용되는 경부하–중간 부하–최대부하의 3단계 요금 구조를 사용하였다. 이러한 요금 설정은 여름철 고온 시간대의 전력 사용 억제 효과와 함께, 사전 냉방 및 열에너지 저장 전략이 전력 비용 절감에 미치는 영향을 평가하기 위한 대표적인 TOU 시나리오를 구성하기 위함이다.

이로 인해 냉방 제어 문제는 단일 시간대의 결정이 이후 시간대의 상태와 비용에 영향을 미치는 시간 결합 이산 의사결정 문제(Time-coupled decision-making)로 확장된다. Fig. 1은 본 연구에서 고려한 단일 존 건물 냉방 시스템의 구성과 RC 열 모델, 히트펌프 및 열에너지저장시스템 간의 시간 결합 구조를 개략적으로 나타낸 것이다.

Fig. 1 Overview of the single-zone building cooling system with a first-order RC thermal model, heat pump, and thermal energy storage.

2.2 시간대별 요금제를 고려한 이산 냉방 스케줄링 문제 정의

본 연구에서 고려하는 냉방 제어 문제는 시간대별 히트펌프 운전 여부를 결정하는 이산 스케줄링 문제로 정의된다. 각 시간대의 제어 입력은 이산 변수로 표현되며, 전력 요금의 시간대별 변동과 실내 온도 제약, 그리고 열에너지저장시스템의 에너지 상태가 상호 연계된 형태로 작용한다. 이로 인해 특정 시간대의 운전 결정은 이후 시간대의 제어 가능 영역을 제한하거나 확장하게 되며, 문제는 시간 간 독립적인 최적화 문제가 아닌 시간 결합적 의사결정 문제로 구성된다.

본 연구에서는 이러한 냉방 제어 문제의 구조적 특성과 알고리즘 적용 가능성을 단계적으로 분석하기 위해, 문제의 복잡도에 따라 기준 냉방 제어 문제(Baseline Problem)와 시간 결합 제약을 고려한 확장 냉방 제어 문제(Extended Problem) 두 개로 구분하여 정의한다. 각 단계는 동일한 물리적 모델을 기반으로 하되, 제어 차원 및 탐색 공간의 크기를 달리하여 구성된다.

본 연구는 에너지 시스템 최적화 문제를 대상으로 MILP, PSO, QAOA 기반 접근법을 동일한 문제 환경에서 비교․분석하는 것을 목표로 한다.

3.1 기존 최적화 알고리즘 개요(Grid Search 및 PSO)

QAOA의 성능을 평가하기 위해 본 연구에서는 Grid Search와 입자 군집 최적화인 PSO 알고리즘을 비교 알고리즘으로 적용하였다. 이 두 방법은 각각 완전 탐색 기반 접근법과 휴리스틱 기반 접근법을 대표하며, 건물 에너지 운영 문제에서 최적화 성능을 평가하기 위한 기준선과 실용적 비교군으로 활용하기에 적절한 특성을 가진다.

그리드 서치는 가능한 모든 이산 스케줄 조합을 전수 탐색하는 완전 탐색 방법으로, 이론적으로 전역 최적해(Global optimum)를 보장할 수 있다는 장점을 가진다. 반면, 제어 변수의 개수나 시간 구간이 증가할수록 탐색해야 할 조합 수가 기하급수적으로 증가하여 계산 비용이 급격히 증가하는 한계를 가진다⁽¹¹⁾. 이러한 특성으로 인해 그리드 서치는 대규모 문제에는 적용이 어렵지만, 소규모 문제에서는 최적해의 존재를 명확히 검증할 수 있는 기준으로서 유용하다. 이에 본 연구에서는 Baseline problem에 한해 그리드 서치를 적용하여, 각 알고리즘이 도출한 해의 최적성을 비교․검증하는 데 활용하였다.

PSO는 다수의 입자가 탐색 공간 내에서 자신의 경험과 군집의 정보를 공유하며 해를 점진적으로 개선해 나가는 휴리스틱 기반 최적화 기법이다. 계산 효율이 높고 구현이 비교적 간단하다는 장점으로 인해, 기존 연구에서 건물 에너지 시스템의 운전 스케줄링, 설비 용량 최적화, 설정온도 최적화 등 다양한 문제에 적용되어 왔다. 특히 비선형성이나 이산적 제약을 포함하는 문제에서도 비교적 안정적인 해를 도출할 수 있어, 건물에너지 문제를 해결하는 최적화 기법의 대표 사례로 널리 활용되고 있다^{(12, 13)}.

이러한 특성을 고려할 때, 그리드 서치는 이론적 최적해를 검증하기 위한 기준선으로, PSO는 기존 건물 에너지 분야에서 실무적․연구적으로 활용되어 온 휴리스틱 최적화 기법의 대표 사례로서, QAOA의 성능을 평가하기 위한 비교 알고리즘으로 판단된다.

3.2 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA) 기반 스케줄링 방법

양자 근사 최적화 알고리즘(Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA)은 이산 조합 최적화 문제를 양자 상태 공간에서 근사적으로 해결하기 위해 제안된 하이브리드 양자–고전 알고리즘이다⁽⁷⁾. QAOA는 조합 최적화 문제를 Ising 모델 또는 QUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization) 형태로 표현한 뒤, 이를 비용 해밀토니언(Cost Hamiltonian)으로 변환하여 파라미터화된 양자 회로를 구성하고 해를 탐색한다.

Ising 모델은 자성체 내에서 원자의 스핀 상호작용을 설명하기 위해 제안된 물리 모델로, 각 스핀은 두 가지 상태를 갖는 이산 변수로 표현된다. 시스템 전체의 에너지는 개별 스핀 항과 스핀 간 상호작용 항의 조합으로 정의되며, 이러한 구조는 다수의 이산 변수와 변수 간 의존 관계를 포함하는 조합 최적화 문제를 표현하는 데 적합하다. QUBO는 Ising 모델과 수학적으로 동등한 이진 최적화 표현 방식으로, 모든 의사결정 변수를 이진 변수로 정의하고 목적함수를 선형 및 이차 항으로 구성한다⁽¹⁴⁾. QAOA는 이러한 Ising 또는 QUBO 형태로 표현된 목적함수를 비용 해밀토니언으로 변환하여 양자 계산에 활용한다.

QAOA의 계산 구조는 양자 중첩(Quantum superposition)과 양자 간섭(Quantum interference)이라는 두 가지 핵심 원리에 기반한다. 알고리즘은 가능한 모든 이산 해가 동일한 확률로 포함된 초기 중첩 상태에서 계산을 시작하며, 이는 특정 초기 해에 의존하지 않고 전체 해 공간을 동시에 고려할 수 있도록 한다. 이러한 초기화 방식은 전역적인 탐색을 가능하게 하는 QAOA의 핵심적인 특징 중 하나이다.

이후 QAOA는 비용 해밀토니언과 혼합 해밀토니언(Mixing Hamiltonian)을 교대로 적용하는 파라미터화된 양자 회로를 구성한다. 비용 해밀토니언은 목적함수 값을 위상 정보로 인코딩하여 각 이산 해에 서로 다른 위상 변화를 부여하며, 목적함수 값이 낮은 해일수록 상대적으로 유리한 위상을 갖게 된다. 혼합 해밀토니언은 상태 간 전이를 허용함으로써 특정 상태에 확률이 고정되는 것을 방지하고, 상태 공간 전반에 걸친 탐색을 가능하게 한다⁽¹⁵⁾. 이 두 연산의 반복적 결합을 통해 양자 간섭 효과가 발생하며, 그 결과 낮은 비용을 갖는 해의 선택 확률은 점진적으로 강화되고 높은 비용을 갖는 해의 확률은 감소하는 경향을 보인다. 이러한 계산 구조는 개별 해를 점(Point) 단위로 갱신하는 방식과 달리, 해 공간 전체를 확률 분포 형태로 유지하면서 탐색을 수행한다는 점에서 구조적 차이를 가진다. 특히 비용 해밀토니언과 혼합 해밀토니언의 반복 적용은 특정 해 주변으로의 조기 수렴을 완화하고 상태 공간 전반에 대한 진폭 혼합을 유도함으로써, 시간적으로 결합된 이산 문제에서 탐색 다양성을 유지하는 데 기여할 수 있다.

QAOA의 전체적인 계산 흐름은 Fig. 2에 개략적으로 나타내었다.

Fig. 2 Hybrid QAOA-based optimization framework with a classical parameter update loop.

그림에서 볼 수 있듯이, QAOA는 초기 중첩 상태에서 출발하여 비용 해밀토니언과 혼합 해밀토니언으로 구성된 레이어 구조의 양자 회로를 순차적으로 적용하고, 생성된 양자 상태로부터 비용 함수의 기댓값을 계산한다. 이후 해당 기댓값을 최소화하도록 회로 파라미터를 갱신하는 고전적 최적화 단계가 결합되어 전체 알고리즘이 구성된다. 이러한 반복 구조는 QAOA가 양자 계산과 고전적 계산을 결합한 하이브리드 알고리즘임을 보여준다.

이러한 계산 과정을 수학적으로 표현하면, QAOA에서 생성되는 파라미터화된 양자 상태는 식(3)과 같이 정의된다.

해당 수식은 초기 상태로부터 시작하여, 비용 해밀토니언과 혼합 해밀토니언을 교대로 적용함으로써 최종 양자 상태를 구성하는 과정을 수학적으로 표현한 것이다. 여기서 $|+\rangle^{\otimes n}$은 모든 큐비트가 동일한 중첩 상태에 있는 초기 상태를 의미하며, 가능한 모든 이산 해가 동일한 확률로 포함된 상태로 해석할 수 있다. 즉, QAOA는 특정 초기 해를 선택하는 대신, 전체 해 공간을 동시에 고려하는 상태에서 계산을 시작한다. 연산자 $exp(-i\gamma_l H_C)$는 비용 해밀토니언에 의해 정의되는 유니터리 연산으로, 각 이산 해에 대응되는 목적함수 값에 따라 서로 다른 위상 변화를 부여한다. 이 연산은 확률을 직접적으로 변경하지는 않지만, 목적함수 구조를 양자 상태의 위상 정보로 인코딩하는 역할을 수행한다. 다시 말해, 비용이 큰 해일수록 불리한 위상 변화를 갖게 되며, 이는 이후 연산에서 간섭 효과를 통해 반영된다.

반면, $exp(-i\beta_l H_M)$는 혼합 해밀토니언에 의해 정의되는 유니터리 연산으로, 서로 다른 이산 해들 간의 전이를 허용한다. 이 연산은 상태 공간 내에서 확률 진폭을 혼합함으로써, 특정 상태에 확률이 고정되는 것을 방지하고 전역적인 탐색을 가능하게 한다. 비용 해밀토니언에 의해 부여된 위상 차이는 혼합 해밀토니언과 결합되면서 확률 분포의 재구성으로 전환된다.

수식에서의 곱 연산은 이러한 비용 해밀토니언과 혼합 해밀토니언의 적용을 총 p회 반복함을 의미하며, 여기서 p는 QAOA의 레이어(Depth)를 나타낸다. 레이어 수가 증가할수록 상태 공간에 대한 표현력과 근사 성능은 향상될 수 있으나, 동시에 계산 복잡도 또한 증가한다. 각 레이어마다 사용되는 파라미터 $\gamma_l$과 $\beta_l$는 고전적 최적화 과정을 통해 조정되며, 최종적으로 낮은 비용을 갖는 해가 높은 확률로 관측되도록 상태 분포를 유도한다.

여기서 $H_C$는 비용 해밀토니언(Cost Hamiltonian)으로 목적함수를 표현하며, $H_M$는 혼합 해밀토니언(Mixing Hamiltonian)으로 상태 공간 탐색을 유도한다. p는 QAOA의 레이어(Depth)를 의미하며, $\gamma, \beta$는 최적화 대상 파라미터이다. 본 연구에서는 비용 해밀토니언을 식(4)과 같이 정의한다.

이 식에서 $|x\rangle$는 하나의 이산 해(스케줄)를 나타내는 계산 기저 상태이며, $J(x)$는 해당 해에 대한 목적함수 값이다. 즉, 비용 해밀토니언은 각 이산 해를 대각 성분으로 갖는 연산자로 구성되며, 비용이 클수록 높은 에너지를 갖도록 정의된다. 이를 통해 최적화 문제는 최소 비용 해를 찾는 문제가 아니라, 최소 에너지 상태를 갖는 양자 상태를 찾는 문제로 재해석된다.

혼합 해밀토니언 $H_M$은 상태 공간 내에서 서로 다른 이산 해들 간의 전이를 허용하기 위해 도입되며 식(5)과 같이 정의된다.

여기서 $\sigma_i^x$는 i번째 큐비트에 대한 Pauli-X 연산자로, 해당 큐비트의 상태를 전환시키는 역할을 수행한다. 혼합 해밀토니언은 특정 상태에 확률이 고정되는 것을 방지하고, 상태 공간 전반에 걸친 탐색을 가능하게 한다. 비용 해밀토니언에 의해 부여된 위상 정보는 혼합 해밀토니언과의 결합을 통해 확률 분포의 변화로 전환된다.

이러한 계산 구조를 기반으로 QAOA의 계산 절차는 크게 두 단계로 구성된다. 먼저 주어진 파라미터($\gamma, \beta$)에 대해 양자 상태를 생성하고, 해당 상태에서 비용 해밀토니언의 기댓값을 최종적으로 식(6)으로 계산한다.

이 기댓값은 주어진 파라미터 하에서 생성된 양자 상태가 평균적으로 갖는 비용을 의미하며, QAOA에서는 이를 최소화하는 것이 최적화의 목표가 된다. 이후 고전적 최적화 알고리즘을 이용하여 해당 기댓값을 최소화하도록 파라미터를 반복적으로 갱신한다.

요약하면, QAOA는 이산 조합 최적화 문제를 Ising 또는 QUBO 형태로 표현한 후, 비용 해밀토니언과 혼합 해밀토니언으로 구성된 파라미터화된 양자 회로를 통해 해결하는 하이브리드 알고리즘이다. 초기 중첩 상태에서 출발하여 목적함수 정보를 위상으로 인코딩하고, 상태 간 간섭을 반복적으로 유도함으로써 낮은 비용을 갖는 해의 선택 확률을 점진적으로 강화한다. 이러한 전역 탐색 기반 계산 구조는 시간적으로 강하게 결합된 이산 의사결정 문제에서 효과적인 근사 해 탐색을 가능하게 한다.

특히 건물 에너지 시스템의 운전 문제는 설비 운전 여부, 저장 장치 활용 전략 등 이산적 의사결정이 시간적으로 연속적으로 연결되는 특성을 가지며, 문제 규모가 증가할수록 조합적 복잡도가 급격히 증가한다. QAOA의 계산 구조는 이러한 시간 결합 이산 스케줄링 문제를 단일 최적화 문제로 다룰 수 있는 잠재적 대안을 제공한다.

본 연구에서는 실제 양자 하드웨어를 사용하는 대신, Farhi 등이 제안한 표준 QAOA 프레임워크를 기반으로 한 양자 시뮬레이터 기반의 QAOA-inspired 샘플링 방식을 적용하였다^{(7, 16)}. 이를 통해 하드웨어 제약으로부터 독립적으로 QAOA의 계산 구조와 조합 탐색 특성을 분석하고, 건물 에너지 운영 스케줄링 문제에 대한 적용 가능성과 성능 특성을 평가하고자 한다.

4.1 기준 문제(Baseline Case) 시뮬레이션 결과

Fig. 3은 Grid Search, PSO, QAOA 방법을 통해 도출된 일일 최적 냉방 운전 스케줄의 시간별 거동을 비교하여 나타낸 결과이다. 첫 번째 패널은 하루 동안의 실내 온도 변화를 나타내며, 붉은 점선은 설정된 쾌적 온도 범위(24 ± 1℃)를 의미한다. 세 가지 제어 알고리즘 모두에서 실내 온도는 거주 시간인 9 - 18시 동안 쾌적 범위 내에서 안정적으로 유지됨을 확인할 수 있다. 특히 오전 시간대에는 야간 또는 이른 아침 시간에 확보된 냉방 효과로 인해 실내 온도가 비교적 낮은 수준에서 시작하며, 외기 온도 상승에 따라 점진적으로 증가하는 전형적인 여름철 열 거동 특성을 보인다. 이는 제어 스케줄이 단순히 순간적인 온도 제어가 아니라, 사전 냉방(Pre-cooling)과 열 관성 효과를 함께 활용하고 있음을 의미한다. 특히 사전 냉방은 재실 직전 요금이 싼 새벽 시간에 히트펌프를 운전하여 TES를 충전하고, 재실 이후 이를 활용하는 유사한 패턴을 보였다. 일부 시간대에서 히트펌프 운전 시점이나 지속 시간에는 차이가 존재하나, 세 모델 모두 저요금 시간대 중심의 운전과 주간 운전 최소화라는 공통된 전략을 유지하면서 실내 온도를 설정된 데드밴드 내에서 만족시키고 전력 비용을 효과적으로 억제하는 결과를 도출하였다. 시간대별 비용 분포나 세부 운전 패턴에서는 차이가 관찰되지만, 하루 총 전력 비용 수준은 2519.4원으로 세 알고리즘 모두 완벽히 동일한 결과를 보였다. 이는 본 단계의 최적화 문제가 비교적 제한된 탐색 공간과 완만한 제약 구조를 갖는 문제로 구성되어, 서로 다른 최적화 기법들이 모두 안정적으로 양질의 해를 도출할 수 있음을 보여주는 결과로 해석할 수 있다.

Fig. 3 Comparison of optimal cooling operation results for the baseline problem using grid search, PSO, and QAOA.

Fig. 4는 Grid search, PSO, QAOA 알고리즘을 적용하여 도출된 비용–쾌적도 공간의 탐색 결과를 비교하여 나타낸 것이다. 각 점은 하나의 일일 운전 스케줄에 해당하며, 가로축은 전력 비용(KRW), 세로축은 근무 시간대의 실내 온도 편차에 따른 쾌적도 패널티를 의미한다. 색상은 탐색 과정에서 생성된 샘플의 상대적인 생성 순서를 나타내도록 설정하였다. 동일하거나 인접한 탐색 단계에서 생성된 샘플들은 유사한 색상으로 표현되며, 이를 통해 탐색이 진행됨에 따라 샘플 분포가 비용–쾌적도 공간 내에서 특정 영역으로 집중되는지 또는 넓게 분산되는지를 정성적으로 파악할 수 있다. 빨간색 점과 선으로 표시된 구간은 파레토 최적해 집합을 의미한다.

Fig. 4 Comparison of Pareto fronts obtained by grid search, PSO, and QAOA for the baseline problem in the cost–comfort space (colors indicate sampling order).

Grid search의 색상 분포를 보면, 초기 탐색 단계부터 후기 단계까지 비용–패널티 공간 전반에 고르게 샘플이 분포하고 있으며, 이는 완전 탐색 방식의 특성을 잘 반영한다. 즉, 특정 해 영역으로의 수렴 없이 전체 해 공간을 균등하게 탐색함으로써 파레토 경계를 명확하게 식별할 수 있음을 보여준다.

PSO의 탐색 결과는 Grid search와 비교하여 점 분포가 상대적으로 희소하며, 탐색이 특정 영역에 집중되는 경향을 보인다. 특히 저비용–저패널티 영역을 중심으로 점들이 밀집되어 있으며, 고비용 영역으로 갈수록 샘플 수가 급격히 감소한다. 이는 PSO가 입자들의 집단적 이동을 통해 목적함수 개선 방향으로 빠르게 수렴하는 특성을 가지기 때문이다.

색상 분포를 보면, 초기 단계의 샘플은 비용–패널티 공간 전반에 흩어져 있으나, 반복이 진행됨에 따라 점들이 파레토 경계 인근으로 점차 집중되는 양상이 뚜렷하게 관찰된다. 이는 PSO가 탐색 초기에는 전역 탐색을 수행하지만, 이후에는 국소 최적 영역을 중심으로 탐색을 강화하는 전형적인 수렴 패턴을 보인다는 것을 의미한다.

파레토 최적해는 Grid search에서 도출된 파레토 경계와 유사한 위치에 형성되며, 이는 최종적인 최적 성능 측면에서 PSO가 Grid search와 동등한 해를 도출할 수 있음을 보여준다. 다만, 파레토 경계 외 영역에 대한 샘플 다양성은 제한적이며, 이는 탐색 범위 측면에서 PSO의 한계를 시사한다.

QAOA 기반 탐색 결과는 PSO와 유사한 최적 성능을 유지하면서도, 점 분포의 형태에서는 뚜렷한 차이를 보인다. QAOA의 샘플은 비용 축 전반에 걸쳐 비교적 넓게 분포하며, 특히 중․고비용 영역에서도 지속적으로 샘플이 생성되는 특징을 가진다. 이는 QAOA의 확률적 샘플링 구조가 특정 영역으로의 과도한 수렴을 방지하고, 탐색 다양성을 유지하는 데 기여함을 의미한다.

색상 변화 양상을 보면, 초기부터 후기까지의 샘플이 특정 영역에 고정되지 않고 비용–패널티 공간 전반에 분산되어 나타난다. 그럼에도 불구하고 파레토 경계 인근에서는 반복적으로 샘플이 생성되며, 결과적으로 PSO 및 Grid search와 동일한 파레토 최적해 집합을 형성한다. 이는 QAOA가 상대적으로 적은 구조적 정보와 단순한 확률 규칙만으로도 최적 경계를 효과적으로 포착할 수 있음을 시사한다.

특히 저비용–저패널티 영역에서의 파레토 점 분포는 PSO와 거의 겹치며, 이는 QAOA가 국소 최적 성능을 희생하지 않으면서도 탐색 범위를 확장할 수 있음을 의미한다.

세 알고리즘은 모두 동일한 파레토 최적 경계를 도출하였으나, 해 공간을 탐색하는 과정에서는 뚜렷한 차이를 보였다. Grid search는 구조적이고 완전한 탐색을 통해 기준선 역할을 수행하였으며, PSO는 빠른 수렴을 통해 효율적인 탐색을 보여주었다. 반면 QAOA는 Grid search 및 PSO와 동등한 최적 성능을 유지하면서도, 비용–패널티 공간 전반에 걸친 탐색 다양성을 확보함으로써 계산 효율성과 탐색 범위 간의 균형 측면에서 경쟁력 있는 특성을 나타냈다.

이러한 결과는 QAOA 기반 접근법이 기존 휴리스틱 최적화 기법을 대체하거나 보완할 수 있는 실질적인 가능성을 가지며, 특히 계산 자원이 제한된 에너지 운영 최적화 문제에서 유의미한 대안이 될 수 있음을 보여준다.

Table 2는 기준 문제를 대상으로 각 최적화 알고리즘의 최적화 결과와 계산 성능을 비교한 것이다. 먼저 최적 전력 요금 결과를 살펴보면, 세 알고리즘 모두 재실 시간(09:00–18:00) 동안의 실내 열쾌적 제약을 만족하는 해를 도출하였으며, 최적 전력 요금 수준에서도 차이를 보이지 않았다. 이는 기준 문제의 경우 탐색 공간이 제한적이기 때문에, 서로 다른 탐색 전략을 사용하는 알고리즘이라 하더라도 동일하거나 유사한 파레토 최적해에 도달할 수 있음을 의미한다.

반면, 계산 효율성 측면에서는 알고리즘 간 뚜렷한 차이가 나타났다. Grid search는 가능한 모든 제어 조합 131,072개를 전수 탐색함으로써 기준 해를 확보하였으며, 이에 따라 계산 시간은 25초로 가장 길게 나타났다. 이는 기준 문제에서는 허용 가능한 수준이지만, 문제 규모가 증가할 경우 계산 비용이 급격히 증가할 가능성을 시사한다. PSO는 전체 탐색 사례 수를 3,200개로 크게 줄이면서도 동일한 수준의 최적해를 도출하였고, 계산 시간 역시 11초로 Grid search 대비 크게 감소하였다.

QAOA의 경우, 탐색한 사례 수는 20,000개로 PSO보다 많았으나, 계산 시간은 0.1초로 가장 짧게 나타났다. 이는 QAOA 기반 접근법이 상대적으로 단순한 확률적 샘플링 구조를 사용함에도 불구하고, 계산 단계가 매우 경량화되어 있어 반복적인 평가를 빠르게 수행할 수 있음을 의미한다. 즉, 기준 문제에서는 탐색 효율성의 차이가 최적 성능 차이로 이어지지는 않지만, 계산 자원 측면에서는 알고리즘 간 구조적 차이가 명확히 드러난다.

종합하면, 기준 문제에서는 세 알고리즘 모두 재실 시간 열쾌적 제약을 만족하는 동일한 최적해를 도출함으로써 최적 성능 측면에서는 차이가 없음을 확인하였다. 그러나 탐색 사례 수와 계산 시간 측면에서는 Grid search 대비 PSO와 QAOA가 현저한 계산 효율을 보였으며, 특히 QAOA는 매우 짧은 계산 시간에도 불구하고 최적해를 안정적으로 도출하였다. 이러한 결과는 기준 문제 수준에서는 QAOA의 성능 우수성이 두드러지지 않지만, 문제 복잡도가 증가하는 경우 계산 효율 측면에서 QAOA가 유의미한 대안이 될 가능성을 시사한다. 따라서 다음 절에서는 제어 차원과 시스템 복잡도를 확장한 확장 문제(Extended problem)를 대상으로, 각 알고리즘의 최적화 성능 차이를 보다 심층적으로 분석한다.

4.2 확장 문제(Extended Case) 시뮬레이션 결과

Fig. 5는 기준 문제에서 세 알고리즘이 동일한 최적 해에 도달할 수 있음을 확인한 이후, 문제 복잡도를 단계적으로 증가시킨 확장 문제(Stage A–F)에 대해 PSO와 QAOA의 비용–쾌적도 탐색 결과를 비교하여 나타낸 것이다. 각 점은 하나의 일일 히트펌프 운전 스케줄에 해당하며, ‘×’ 표식은 각 알고리즘이 도출한 Pareto-optimal 해를 의미한다. 본 분석에서는 Grid search를 비교 대상에서 제외하였다. 이는 확장 문제에서 탐색 공간이 급격히 증가함에 따라 Grid search의 계산 시간이 실질적으로 수렴하지 않으며, 계산 자원 사용량이 과도하게 증가하여 현실적인 시간 내 탐색이 불가능하다고 판단하였기 때문이다. 따라서 확장 문제에서는 제한된 탐색 예산 하에서 적용 가능한 PSO와 QAOA의 탐색 특성 및 성능을 중심으로 분석을 수행하였다.

Fig. 5 Comparison of Pareto fronts across extended problem stages (Stage A–F) using PSO and QAOA (‘×’ denotes Pareto-optimal solutions).

Stage A에서는 시스템 규모가 가장 작은 조건임에도 불구하고, PSO와 QAOA의 탐색 양상은 명확한 차이를 보인다. PSO의 탐색 샘플은 주로 저비용 영역에 밀집되어 분포하며, 비용 축 전반에 걸친 탐색은 제한적으로 이루어진다. 반면 QAOA는 상대적으로 높은 비용 영역까지 포함하는 폭넓은 분포를 형성하며, 비용–쾌적도 공간 전반을 가로지르는 탐색 특성을 보인다. 이는 PSO가 초기 탐색 이후 특정 영역으로 빠르게 수렴하는 반면, QAOA는 탐색 과정 전반에서 다양한 해를 지속적으로 생성함을 시사한다.

Stage B와 Stage C로 진행되면서 이러한 차이는 더욱 뚜렷해진다. 존 수 증가와 TES 용량 확대로 인해 열적 응답의 분산이 커지면서 비용–쾌적도 공간의 구조가 복잡해지지만, PSO의 탐색 샘플은 여전히 그래프의 좌측, 즉 저비용 영역에 집중되어 나타난다. 이로 인해 PSO가 생성한 Pareto 해 또한 제한된 비용 범위 내에서 국소적으로 형성되는 경향을 보인다. 이는 PSO가 확장된 상태 공간에서 전역적인 Pareto 전면을 충분히 탐색하지 못하고, 일부 영역에 갇혀 탐색을 수행하고 있음을 의미한다.

반면 QAOA는 Stage B–C 구간에서도 비용 축 전반에 걸쳐 비교적 균일한 샘플 분포를 유지하며, 낮은 비용–높은 쾌적도 패널티 영역부터 높은 비용–낮은 패널티 영역까지 연속적인 Pareto 해를 형성한다. 특히 QAOA의 Pareto-optimal 해는 비용–쾌적도 공간의 경계를 따라 비교적 안정적인 전면 형태를 유지하며, 문제 복잡도가 증가함에도 불구하고 전역적인 탐색 특성이 유지됨을 확인할 수 있다.

Stage D 이후에는 다존 환경에서의 열적 상호작용과 TES에 의한 시간적 결합 효과가 더욱 강화되며, 동일한 제어 입력에 대해서도 시스템 응답의 분산이 크게 증가한다. 이 조건에서 PSO는 탐색 초기 이후 특정 비용 영역에 수렴하여 샘플 분포가 좁아지고, 일부 Pareto 영역이 충분히 탐색되지 않는 양상을 보인다. 특히 중․고비용 영역에서는 PSO 기반 Pareto 해의 밀도가 급격히 감소하며, 전면의 연속성이 저하된다.

반면 QAOA는 Stage D–F 전 구간에 걸쳐 비용–쾌적도 공간 전반에 걸친 탐색을 유지하며, 고비용 영역에서도 의미 있는 Pareto 해를 지속적으로 생성한다. 이는 QAOA가 탐색 과정에서 특정 영역으로 조기 수렴하지 않고, 상태 공간 전반을 가로지르는 탐색 경로를 유지하고 있음을 시각적으로 보여준다. 이러한 특성은 시스템 상태 차원이 증가하고 시간적 결합 효과가 강화될수록 전역 탐색 능력이 중요한 요소로 작용함을 시사한다.

종합하면, 기준 문제에서는 세 알고리즘이 동일한 최적 해에 도달할 수 있었으나, 확장 문제에서는 PSO가 탐색 과정에서 저비용 영역에 국소적으로 집중되는 반면, QAOA는 비용–쾌적도 공간 전반을 대상으로 보다 전역적인 탐색을 수행함으로써 연속적이고 안정적인 Pareto 전면을 형성하는 것이 확인되었다. 이는 문제 복잡도가 증가한 건물 에너지 이산 스케줄링 문제에서 QAOA가 전역 탐색 관점에서 보다 강건한 특성을 가질 수 있음을 시사한다.

Table 3은 Stage A부터 Stage F까지 문제 복잡도를 단계적으로 증가시킨 확장 문제에 대해 PSO와 QAOA의 최적화 성능을 정량적으로 비교한 결과를 나타낸다.

Pareto count는 각 알고리즘이 비용–쾌적도 공간에서 도출한 Pareto-optimal 해의 개수를 의미한다. Pareto count가 크다는 것은 알고리즘이 다양한 비용–쾌적도 절충 해를 제시할 수 있음을 의미하지만, 반드시 탐색 범위가 넓거나 전역 탐색 성능이 우수함을 의미하지는 않는다. 반면 Coverage[%]는 Pareto-optimal 해들이 비용 축 방향에서 차지하는 범위를 나타내는 지표로, 탐색 결과가 특정 비용 영역에 국한되지 않고 얼마나 넓게 분포되어 있는지를 정량적으로 평가한다. 따라서 Coverage는 알고리즘의 전역 탐색 성능을 판단하는 데 핵심적인 지표로 해석할 수 있다.

Stage A에서는 PSO가 23개의 Pareto 해를 도출하며 QAOA(17개)보다 더 많은 Pareto count를 기록하였다. 그러나 Coverage 측면에서는 QAOA가 33.3%로 PSO(26.7%)보다 넓은 비용 영역을 포괄하였다. 이는 PSO가 상대적으로 많은 해를 생성하였음에도 불구하고, 탐색 결과가 특정 비용 구간에 집중되어 있음을 시사한다. 반면 QAOA는 적은 수의 Pareto 해를 도출하였으나, 이들이 보다 넓은 비용 범위에 분포함으로써 전역 탐색 특성이 유지되고 있음을 확인할 수 있다.

Stage B에서는 PSO의 Pareto count가 38로 증가하고 Coverage 역시 73.3%로 크게 향상되었다. Stage C에서 PSO는 Pareto count가 17로 감소하고, 계산 시간은 16.1분으로 급격히 증가하였다. 특히 Stage D 이후에는 PSO가 설정된 최대 계산 시간(30분)에 도달하면서도 Coverage가 60% 이하로 제한되는 경향을 보인다. 이는 문제 복잡도가 증가함에 따라 PSO가 탐색 초반의 저비용 영역에 수렴하고, 전역적인 비용–쾌적도 공간을 충분히 탐색하지 못하고 있음을 의미한다.

반면 QAOA는 Stage A부터 Stage F까지 모든 단계에서 계산 시간이 약 0.16–0.18분 수준으로 거의 일정하게 유지되었다. 또한 Pareto count는 Stage가 증가함에 따라 전반적으로 증가하거나 유지되는 경향을 보였으며, Coverage 역시 Stage D에서 93.3%, Stage E에서 80%, Stage F에서 66.7%로 높은 수준을 유지하였다. 이는 QAOA가 문제 복잡도가 증가하더라도 탐색 범위를 크게 축소하지 않고, 비용–쾌적도 공간 전반에 걸친 해 집합을 안정적으로 생성하고 있음을 의미한다.

특히 PSO의 경우 Pareto count는 일부 단계에서 QAOA보다 많음에도 불구하고 Coverage가 낮거나 계산 시간이 급격히 증가하는 반면, QAOA는 Pareto 해의 개수와 탐색 범위를 동시에 유지하면서 계산 효율 측면에서도 압도적인 우위를 보인다. 이는 PSO가 문제 복잡도가 증가할수록 국소 탐색(Local search)에 치우치며 전역 탐색 능력이 제한되는 반면, QAOA는 확률적 중첩 상태를 기반으로 한 탐색 구조로 인해 비용–쾌적도 공간 전반을 보다 균형 있게 탐색하고 있음을 시사한다.

종합하면, 해결 난이도가 비교적 낮은 기준 문제에서는 세 알고리즘이 동일한 최적 해에 도달할 수 있었으나, 확장 문제에서는 문제 복잡도가 증가함에 따라 탐색 경향의 차이가 나타났다. 특히 QAOA-inspired 접근은 계산 시간이 급격히 증가하지 않는 조건에서도 Coverage 지표가 상대적으로 안정적으로 유지되는 경향을 보였다. 이는 다존 구조, 저장 설비, 신재생에너지 연계 등 물리적 상호작용이 강화된 조건에서 탐색 분포 특성이 달라질 수 있음을 시사한다. 이러한 차이는 PSO가 입자 위치와 군집 최적값을 기반으로 반복 갱신되는 구조를 가지는 반면, QAOA-inspired 구조는 확률 진폭 혼합을 통해 해 공간 분포를 재구성하는 계산 구조를 갖는 점과 관련이 있는 것으로 해석된다. 그 결과, 확장 문제에서 특정 비용 영역으로의 탐색 집중이 상대적으로 완화되는 경향이 관찰되었다.