2.1 지배 방정식
본 연구에서는 데이터센터 냉각용 공랭식 칠러의 부분부하 성능을 예측하기 위해 물리 기반의 열역학적 수학 모델을 수립하였다. 냉매의 열물성치는 CoolProp
라이브러리를 사용하여 실시간으로 계산하였으며 시스템은 R-22 냉매를 기반으로 한다. 엔탈피는 냉동 능력과 압축일을 결정하며, 압력은 압축비를 통해
압축기 효율에 영향을 미친다. R-22 냉매는 설계 조건($T_{evap}$ = 3℃, $T_{cond}$ = 40℃)에서 압축비 3.08, 증발
엔탈피 차이 163 kJ/kg으로 적절한 사이클 성능을 제공한다.
Fig. 1과 같이 데이터센터용 칠러는 다양한 냉매를 사용할 수 있도록 왕복동 압축기 기반의 증기압축 사이클로 구성된다. 검증에 사용된 실험 데이터는 Yu and
Chan(4,
5)이 수행한 정격 120 kW급 R-22 칠러 시스템에서 측정된 것으로, 4대 왕복동 압축기 병렬 구성(Bristol H25B333DBEE), 셸-앤-튜브
증발기, EEV(ALCO EX7)를 갖추며 측정 불확도는 ±0.15~0.26℃, COP의 종합 측정 오차는 최대 4.7%로 보고되었다. 실험은 외기온도
15~35℃(5℃ 간격)와 부분 부하율 0.25~1.00의 조합으로 구성된 총 20개 운전점에서 수행되었으며, 증발 온도 3℃, 과열도 11℃, 냉수
공급 온도 7℃, 냉수 유량 5.2 kg/s를 고정 조건으로 설정하였다.
Fig. 1 Schematic of the chiller with a drycooler for a data center.
증발기에서의 열교환 과정은 식(1)~식(3)과 같이 표현되며, 이때 냉수 출구 온도와 증발 온도의 차이인 접근 온도($\Delta T_{approach}$)는 설계 조건에서 4.0℃로 설정하였다.
압축기로 유입되는 냉매의 액봉 현상을 방지하고 안정적인 운전을 보장하기 위해 11.0℃의 과열도($\Delta T_{sh}$)를 고려한 엔탈피를 산출한다.
단, 과열도는 P-h 선도의 사이클 시각화에만 적용한다. COP 성능 비교(Fig. 7, 10) 및 연간 시뮬레이션(Fig. 8, 9)에서는 압축기 입구를 포화 증기 조건으로 가정하였다. 이 밖에, 본 연구에서 사용된 가정은 아래와 같다. (1) 정상상태 운전(과도 상태 무시)
(2) 냉수 공급 온도 고정 7℃ 및 증발 온도 3℃ (3) 등엔탈피 팽창($h_4 = h_3$) (4) 11℃ 과열도와 3℃ 과냉도 (5) 경험적
압축기 효율 모델(Enhanced Power Law).
가정과 단순화에 따른 COP 절댓값 차이는 소폭 발생하나, 동일 조건 하에서 모든 냉매에 동일하게 적용되므로 냉매 간 상대적 성능 비교 결과에는 영향을
미치지 않는다.(23,
24)
압축 과정은 식(4)~식(7)과 같이 모델링된다. 압축비(CR)는 응축 압력과 증발 압력의 비로 정의되며, 실제 토출 엔탈피($h_2$)는 이상적인 등엔트로피 과정($h_{2s}$)에
등엔트로피 효율 $\eta_s$를 적용하여 계산한다. 압축기의 등엔트로피 효율은 부분 부하율(PLR)에 따라 변화하므로, Enhanced Power
Law 모델을 적용하여 보정 계수를 도입하였다. 보정 계수 $\alpha_{\eta s}$, $\beta_{\eta s}$, $\gamma_{\eta
s}$, $\delta_{\eta s}$는 20개의 실험 데이터 포인트를 기반으로 차분 진화 알고리즘을 통해 최적화하였으며, 시뮬레이션 COP와 실험
COP의 평균 절대 오차(MAE)를 최소화하도록 설정하였다. 최적화된 계수는 높은 PLR에서 효율 개선, 낮은 PLR에서 급격한 효율 감소 거동을
잘 반영하는 것으로 확인되었다. 이때 압축기 소비 동력($W_{comp}$)은 냉매 질량 유량과 엔탈피 차의 곱으로 산출된다.
식(7)은 압축기 등엔트로피 효율 $\eta_s$를 압축비 CR과 부분 부하율 PLR의 함수로 분리 표현한 모델이다. $\eta_{s0}(CR)$은 정격
부하 기준 압축비에 따른 기본 등엔트로피 효율, $\eta_{boost}$는 실험 데이터 기반 차분 진화 알고리즘으로 도출된 효율 보정 계수, $\phi_s(PLR)$은
Enhanced Power Law 형태의 부분부하 보정 함수이다. 정격 운전점에서의 압축비 의존성과 부분부하 운전 시 효율 저하 거동을 분리하여 모델링함으로써,
단일 다항식 모델 대비 저부하 영역($PLR \le 0.5$)에서의 예측 오차를 개선하였다.
응축 과정에서는 공랭식 응축기의 특성을 고려하여 포화 온도에서 3.0℃의 과냉도($\Delta T_{sc}$)가 확보된다고 가정하였으며(식(8)~식(10)), 팽창 과정은 팽창 밸브를 통한 등엔탈피 과정으로 해석하여 식(11)과 같이 계산된다.
왕복동 압축기의 실제 냉매 유량($\dot{m}_{ref}$)은 설계 유량에 부분 부하율(PLR)과 체적 효율($\eta_{vol}$)을 곱하여 식(12)~식(14)와 같이 계산된다. 여기서 설계 냉매 유량은 정격 냉동 능력($Q_{nominal}$)을 기준으로 산정된다. 체적 효율 $\eta_{vol}$ 역시
압축비와 PLR의 함수로 표현되며, 본 연구에서는 기존 다항식 모델의 저부하 예측 오차를 개선하기 위해 식(16)과 식(17)과 같은 Enhanced Power Law 모델을 제안하였다. 부분 부하율(PLR)은 식(15)와 같이 정격 용량 대비 현재 증발 열량의 비로 정의된다. Enhanced Power Law 모델은 PLR에 따른 성능 변화를 주 항과 보정 항으로
분리하여 해석한다. 식(16)의 첫 번째 항은 부하 증가에 따른 효율 상승을, 두 번째 항인 $(1 - PLR)^{\delta_{\eta s}}$는 저부하 영역에서 발생하는 기계적
마찰 손실과 모터 효율 저하로 인한 성능 급락(Penalty)을 물리적으로 반영한다. 본 연구에서 최적화된 등엔트로피 효율 보정 계수는 $\alpha_{\eta
s} = 1.1248$, $\beta_{\eta s} = 0.8417$, $\gamma_{\eta s} = 0.0043$이며, 저부하 페널티 지수
$\delta_{\eta s}$는 2.2188로 도출되었다.
응축기의 열전달 성능은 NTU-effectiveness 방법을 적용하여 식(18)~식(21)과 같이 모델링하였다. 공기 측 열용량 유량($C_{min}$)과 총괄 열전달 계수(UA)를 통해 유용도($\varepsilon$)를 산출하고, 실제
방열량($Q_{dc}$)을 계산한다. 공랭식 응축기의 UA 값은 팬의 풍량에 따라 변화하는 변수이므로 식(22)와 같이 공기 질량 유량의 멱함수 형태로 모델링하였다. 이때 유량 지수 n은 0.531을 적용하여 난류 유동 특성을 반영하였다.
부분부하 운전 시 에너지 절감을 위해 공기 유량 비율($r_{flow}$)은 식(23)~식(24)와 같이 제어된다. 이는 기본적으로 PLR에 비례하여 풍량을 조절하되, 외기온도가 25℃ 이상으로 상승할 때 추가적인 풍량을 확보하여 응축 압력을
적정 수준으로 유지하는 로직을 포함한다. 식(16) 및 식(17)의 보정 계수($\alpha_{\eta s}$, $\beta_{\eta s}$, $\gamma_{\eta s}$, $\delta_{\eta s}$,
$\alpha_{\eta v}$, $\beta_{\eta v}$, $\gamma_{\eta v}$, $\delta_{\eta v}$)와 식(22)의 유량 지수 n은 모두 R-22 칠러의 20개 운전점 실험 데이터(4)를 기반으로 차분 진화 알고리즘을 통해 시뮬레이션 COP와 실험 COP의 평균 절대 오차(MAE)를 최소화하도록 도출되었다. 유량 지수 n = 0.531은
난류 강제대류 영역에서 $Nu \propto Re^{0.8}$ 및 $h \propto \dot{m}^{0.5\sim0.6}$ 경험 상관식 범위에 부합하는
값으로, 본 연구의 박스 제약 범위(0.4~0.7) 내에서 최적화되었다.
전체 시스템의 에너지 균형은 식(25)와 같이 증발기 흡열량과 압축기 일량의 합이 응축기 방열량과 평형을 이루는 조건으로 정의된다. 최종적인 시스템 성능계수(COP)는 식(26)~식(28)에 의해 산출된다. 팬 동력($W_{fan}$)은 팬 법칙에 따라 속도의 3제곱에 비례하며, 펌프 동력($W_{pump}$)은 PLR과 온도 보정
계수($f_{temp}$, $f_{plr,temp}$)를 고려하여 계산된다.(23,
24)
2.2 최적설계 알고리즘
본 연구에서 제안한 화이트박스 모델은 물리 기반의 수식으로 구성되어 있으나, 드라이쿨러의 열관류율이나 압축기의 부하별 효율 특성을 결정하는 일부 경험적
파라미터($\theta$)를 포함하고 있다. 따라서 모델의 예측 정확도를 확보하기 위해 실험 데이터를 기반으로 최적의 파라미터를 도출하는 역해석(Inverse
analysis) 과정이 필요하다. 최적화 문제는 시뮬레이션 결과와 실험값 사이의 오차를 최소화하는 파라미터 벡터 $\theta$를 찾는 것으로 정식화된다.
목적함수로는 식(29)와 같이 평균 절대 오차(MAE)를 선정하였다. 이는 이상치(Outlier)에 대한 민감도를 줄이고 전체 운전 영역에서의 평균적인 예측 성능을 높이기
위함이다.(22)
여기서 N은 실험 데이터의 개수(20개)를 의미하며, $COP_{sim,i}$와 $COP_{exp,i}$는 각각 i번째 운전 조건에서의 시뮬레이션
및 실험 성능계수를 나타낸다. 최적화 대상인 결정변수 벡터 $\theta$는 식(30)과 같이 멀티파라미터로 구성된다.
각 변수는 물리적 의미를 잃지 않도록 식(31)과 같이 탐색 범위(Box constraints)를 설정하였다. 드라이쿨러 열관류율($UA_{dc}$)은 설계값 기준 ±50% 범위인 8.0~25.0
kW/K으로 설정하였으며, 효율 보정 계수들은 이론적 한계 내에서 변동하도록 제한하였다.
수치적 최적화 과정에서 열역학적으로 불가능한 해가 도출되는 것을 방지하기 위해, 페널티 함수(Penalty function) 기법을 적용하여 물리적
제약조건을 강제하였다. 압축기의 등엔트로피 효율과 체적 효율은 식(32)와 같이 0.3에서 0.95 사이의 값을 유지하며, 에너지 보존 오차는 식(33)과 같이 1% 이내로 수렴해야 한다. 또한, 열역학 제2법칙에 따라 응축 온도는 항상 외기온도보다 최소 5℃ 이상 높게 유지되도록 제약하였다.
본 연구의 최적화 문제는 다봉성(Multimodality)을 가지며 미분 불가능한 비선형 특성을 보이므로, 전역 탐색 성능이 우수한 메타휴리스틱 알고리즘인
차분 진화(Differential Evolution, DE) 알고리즘을 적용하였다. DE 알고리즘은 초기 개체군(Population)을 생성한 후,
변이(Mutation), 교차(Crossover), 선택(Selection)의 과정을 반복하며 최적해를 탐색한다. t 세대에서의 변이 벡터 $v_i$는
식(34)와 같이 현재 세대의 최적해($\theta_{best}^t$)를 기반으로 서로 다른 두 개체의 차이를 더하여 생성된다.(22)
여기서 F는 변이의 크기를 조절하는 스케일 계수로 0.8을 적용하였다. 교차 연산은 식(35)와 같이 변이 벡터와 기존 개체를 교차 확률(CR = 0.7)에 따라 조합하여 시험 벡터 $u_i$를 생성한다. 마지막으로 선택 연산에서는 식(36)과 같이 시험 벡터의 목적함수 값이 기존 개체보다 우수할 경우 다음 세대의 개체로 선택한다.
Fig. 2 Visualization of the parameter space during the chiller model optimization
process.
Fig. 2는 다차원 파라미터 공간에서 알고리즘이 초기 가정값인 붉은 원으로부터 오차가 최소화되는 최적값인 금색 별을 찾아가는 수렴 과정을 등고선 형태로 시각화한
결과이다. 그림에서 붉은색 영역은 모델의 예측 오차가 큰 구간을, 녹색 영역은 오차가 작은 구간을 의미한다. Fig. 2(a)는 압축기의 체적 효율 보정 계수들 간의 최적화 경로를 나타낸다. 초기 설정값에서 출발하여 궤적을 탐색하고 이동하며 평균 절대 오차(MAE)가 낮은
영역으로 수렴하는 것을 확인할 수 있다. 압축기의 실제 유량 특성이 부분부하 조건에서 실험 데이터와 일치하도록 보정 계수들이 상호 보완적으로 조정되었음을
의미한다. 등고선이 대각선 형태로 길게 형성된 것은 두 보정 계수 사이에 강한 상관관계가 존재함을 의미하며, 알고리즘이 이러한 비선형적인 관계를 효과적으로
반영하여 최적해를 도출했음을 보여준다.
Fig. 2(b)는 드라이쿨러의 열관류율과 압축기 등엔트로피 효율 계수 간의 최적화 과정을 보여준다. 최적화 결과, 드라이쿨러의 열관류율은 초기 추정값 대비 약 5%
상향 조정되었다. 실제 운전 시 응축기의 열교환 성능이 설계 사양보다 우수하며, 모델이 이를 반영하여 실제 현상을 더 정확하게 묘사함을 의미한다.
동시에 압축기 효율 계수는 소폭 하향 조정되어, 부하 변동에 따른 효율 변화가 보정되었다. 결론적으로 차분 진화 알고리즘은 국소적인 최적해(Local
minimum)에 빠지지 않고 전역적인 탐색을 통해 모델의 오차를 효과적으로 줄였음을 확인하였다. 최종적으로 도출된 파라미터들은 물리적으로 타당한
범위 내에 위치하였으며, 최적 모델은 전체 운전 영역에서 약 4% 내외의 높은 예측 정확도를 확보하였다.