2.1 냉매 사이클의 열역학 상태 계산
냉매 사이클의 운전점을 결정하는 핵심 지표인 증발 포화 온도($T_{\mathrm{ref,evap,sat}}$)와 응축 포화 온도($T_{\mathrm{ref,cond,sat}}$)는
시스템의 열원인 외기 온도($T_0$)와 저탕조 목표 수온($T_{w,\mathrm{tank}}$)을 경계조건으로 하여, 식(1) 및 식(2)에 나타난 바와 같이 각각 결정된다. 여기서 $\Delta T_{\mathrm{ref,evap}}$는 외기($T_0$)와 냉매 증발 포화 온도 사이의
온도차($\Delta T_{\mathrm{ref,evap}}$)이며, $\Delta T_{\mathrm{ref,cond}}$는 저탕조 수온($T_{w,\mathrm{tank}}$)과
냉매 응축 포화 온도 사이의 온도차이다.
본 모델은 외기와 냉매 증발 포화 온도 사이의 온도차 $\Delta T_{\mathrm{ref,evap}}$를 최적 운전점 탐색 시 목적함수의 결정변수로
활용한다(2.2절 참조). 반면, 응축기 측의 응축 온도와 저탕수 온도 사이의 온도차 $\Delta T_{\mathrm{ref,cond}}$는 히트펌프의
응축기 측 온수 가열률($Q_{\mathrm{ref,cond}}$)과 응축기 측 열교환기와 저탕수 사이의 종합열전달계수($UA_{\mathrm{cond}}$)의
비로 식(3)에 의하여 계산된다.
현실에서 열교환기의 종합열전달계수는 열교환기의 복잡한 형상과 수온의 동적 변화 등에 영향을 받는 비선형 변수로 작용하지만, 본 연구에서는 모델링의
복잡성을 배제하기 위해 상수값으로 고정했다. 이에 따라 냉매 응축 포화 온도와 저탕수 온도 사이의 온도차($\Delta T_{\mathrm{ref,cond}}$)는
응축기 측 열교환기의 저탕수 가열률($Q_{\mathrm{ref,cond}}$)에 따라 결정된다.
압축기 흡입단의 냉매 온도($T_{\mathrm{ref,cmp,in}}$)와 팽창밸브 입구단의 온도($T_{\mathrm{ref,exp,in}}$)는
각각 증발 포화 온도($T_{\mathrm{ref,evap,sat}}$)와 응축 포화 온도($T_{\mathrm{ref,cond,sat}}$)에 사용자가
지정한 과열도($\Delta T_{\mathrm{superheat}}$)와 과냉도($\Delta T_{\mathrm{subcool}}$)를 가감하여
식(4) 및 식(5)와 같이 산정된다.
증발기 및 응축기 측 포화 온도와 압축기 흡입단 및 팽창밸브 입구의 온도는 전체 냉매 사이클의 열역학적 상태점을 연쇄적으로 계산하는 데에 사용된다.
구체적인 연산 흐름은 다음과 같은 4단계로 전개된다.
(1) 시스템 기준 압력 도출: 냉매의 증발 포화 온도를 나타내는 식(1)과 응축 포화 온도를 나타내는 식(2)에 상응하는 증발 압력($P_{\mathrm{evap}}$)과 응축 압력($P_{\mathrm{cond}}$)을 도출한다.
(2) 압축기 흡입단 상태 특정: 압축기 흡입단 온도($T_{\mathrm{ref,cmp,in}}$)를 나타내는 식(4)와 앞서 구한 증발 압력($P_{\mathrm{evap}}$)을 바탕으로, 압축기 흡입단 상태점을 특정하고, 물리량($h_{\mathrm{ref,cmp,in}}$,
$s_{\mathrm{ref,cmp,in}}$, $\rho_{\mathrm{ref,cmp,in}}$)을 계산한다.
(3) 압축기 토출단 상태 특정: 계산된 압축기 흡입단의 엔트로피($s_{\mathrm{ref,cmp,in}}$)를 기반으로, 압축기 출구단 압력($P_{\mathrm{cond}}$)
하의 등엔트로피 압축 과정에서의 엔탈피($h_{2,\mathrm{isen}}$)를 계산한다. 이후 압축기 등엔트로피 효율($\eta_{\mathrm{cmp,isen}}$)과
식(6)을 활용하여 압축기 토출단의 엔탈피($h_{\mathrm{ref,cmp,out}}$)를 계산하고, 이를 기반으로 상태점을 특정하여 압축기 토출단 냉매
온도($T_{\mathrm{ref,cmp,out}}$)를 계산한다.
(4) 팽창밸브 전후단 상태 특정: 식(5)에서 계산된 팽창밸브 입구 온도($T_{\mathrm{ref,exp,in}}$)와 앞서 계산된 응축 압력($P_{\mathrm{cond}}$)을 바탕으로
팽창밸브 입구 엔탈피($h_{\mathrm{ref,exp,in}}$)를 계산한다. 이후 등엔탈피(Isenthalpic, $h_{\mathrm{ref,exp,out}}
= h_{\mathrm{ref,exp,in}}$) 팽창 조건에서, 팽창밸브 출구 엔탈피($h_{\mathrm{ref,exp,out}}$)와 증발 압력($P_{\mathrm{evap}}$)을
계산하며 사이클을 완성한다.
본 연구의 모델은 압축기의 등엔트로피 효율($\eta_{\mathrm{cmp,isen}}$), 체적 효율($\eta_{\mathrm{cmp,vol}}$)
및 압축기의 모터 및 인버터 통합 효율($\eta_{\mathrm{cmp}}$)을 압력비($\pi = P_{\mathrm{cond}} / P_{\mathrm{evap}}$)와
압축기 회전수($N_{\mathrm{cmp}}$)의 함수로서 설정할 수 있게 모델링하였다. 압축기 회전수($N_{\mathrm{cmp}}$)는 매
타임스텝마다 반복적으로 목표 응축기 가열률($Q_{\mathrm{ref,cond}}$)을 만족시키는 값을 수치적으로 탐색하여 압축기 회전수에 종속적인
효율 값들을 동시에 결정한다. 이후 냉매 질량유량($\dot{m}_{\mathrm{ref}}$)과 압축기 토출단 상태를 결정하며, 이때 냉매 질량유량은
식(7)과 같이 압축기 레퍼런스 체적($V_{\mathrm{cmp,ref}}$)과 흡입단의 냉매 밀도($\rho_{\mathrm{ref,cmp,in}}$)를
바탕으로 연산된다.
최종적으로 계산된 냉매 질량유량 및 상태점 정보를 통해, 시스템의 증발기 측 흡열률($Q_{\mathrm{ref,evap}}$)은 식(8)과 같이 계산되며, 압축기 투입 전력률($E_{\mathrm{cmp}}$)은 식(9)와 같이 계산된다.
여기서 $\eta_{\mathrm{cmp}}$는 압축기 모터 및 인버터 효율을 동시에 고려하는 복합 효율을 나타내며, 전력 투입 시 발생하는 기계
및 전기적 손실을 반영한다.
본 연구에서는 특정 제조사의 고유 데이터에 의존하는 커브 피팅 방식 대신 운전 압력비($\pi = P_{\mathrm{cond}} / P_{\mathrm{evap}}$)와
회전수에 따른 스크롤 압축기의 효율 변화를 가정된 계수로 표현한 다항식 모델을 사용했다. 압축기의 체적 효율($\eta_{\mathrm{cmp,vol}}$)은
Threlkeld의 클리어런스 팽창 체적 모델(9)에 기반하여 식(10)과 같이 압력비($\pi = P_{\mathrm{cond}} / P_{\mathrm{evap}}$)의 함수로 도출했다. 여기서 $C$는 클리어런스
비율로서, 압축 행정 후 압축실 내부에 불가피하게 남는 잉여 공간 크기의 비율을 나타낸다. 이 공간에 갇힌 고압의 냉매 가스가 재팽창하면서 다음 사이클의
흡입 가능 체적을 감소시켜 체적 효율을 떨어뜨리는 물리적 한계를 반영하기 위한 계수이며, 본 연구에서는 최신 스크롤 압축기의 특성을 고려하여 0.035를
적용하였다. 또한, $k$는 냉매의 등엔트로피 팽창 지수이며, R32 냉매 사용을 고려해 1.18을 적용하였다.
압축기의 등엔트로피 효율($\eta_{\mathrm{cmp,isen}}$)은 다수 문헌(10-
12)에서 확인된 바와 같이 압력비 증가에 따라 효율이 저하되는 선형 모델을 채택하여 식(11)과 같이 적용하였다. 스크롤 압축기의 일반적인 거동 범위를 고려하여 레퍼런스 효율 0.90을 기준으로 압력비 증가에 따른 효율 저하 계수를 0.02로
설정하였다.
인버터와 모터의 전기 및 기계적 손실을 통합한 복합 효율($\eta_{\mathrm{cmp}}$)은 가변속 압축기의 초당 압축기 회전수($N_{\mathrm{cmp}}$)에
대한 2차 다항식으로 식(12)와 같이 모델링하였다. 본 연구에서는 압축기의 1초당 회전수가 20 rps 및 100 rps에서 복합 효율이 0.80으로 감소하도록 모델링하였으며,
60 rps에서 최고 효율 0.90을 가지도록 위로 볼록한 형태의 효율 곡선을 채택하여 극단적인 운전 조건에서의 성능 저하를 모사하였다.
개발된 히트펌프 모델은 특정 제조사 모델의 데이터에 정밀하게 피팅된 결과를 추구하기보다, 다양한 시스템 구성 및 운전 조건에 대해 합리적인 수준의
정확도를 제공하는 것이 목적이다. 즉, 폭넓은 운전 조건에서 시스템 거동에 따른 물리적 경향성을 신뢰 가능한 수준으로 재현하는 데 중점을 둔다. 이를
위해 본 모델은 사용자가 압축기 특성을 압력비 및 압축기 회전수의 함수로 직접 정의할 수 있도록 유연하게 구성하였으며, 본 시뮬레이션에 사용된 효율
함수의 계수는 상용 제품의 성능을 적절히 모사하도록 가정된 값이다.
2.3 열교환기 에너지 밸런스
열교환기 내부에서는 냉매의 상변화에 따른 국소적인 열전달 특성 변화와 복잡한 공간적 온도 분포가 수반된다. 본 모델에서는 이러한 비선형적 온도 구배와
상변화 경계 지점에 따른 수치 해석적 복잡성을 단순화하기 위해, 냉매의 과열 및 과냉각 상태인 단상 구간 면적은 상변화 구간에 비해 충분히 작다고
가정했다. 열교환기의 높은 열전도율과 얇은 두께로 인해 냉매와 금속 표면 사이의 온도 차이는 무시할 수 있다고 가정하여 응축기와 증발기 전체의 표면
온도를 각각 응축 포화 온도($T_{\mathrm{ref,cond,sat}}$) 및 증발 포화 온도($T_{\mathrm{ref,evap,sat}}$)와
동일하다고 정의했다. 또한, 저탕조 내부의 온도 성층은 고려하지 않고 저탕수가 단일 온도를 갖는다고 가정했다. 이러한 가정하에, 응축기 측 열교환기에서
저탕수 측으로의 열전달률은 식(15)와 같이 정의된다.
증발기 측 열교환기의 경우, 에너지 보존법칙에 의해 증발기 측 흡열률($Q_{\mathrm{ref,evap}}$)과 공기 측 열 손실률($Q_{\mathrm{ou,a}}$)이
동일하다는 가정하에 에너지 밸런스 방정식을 전개하며, 실외기를 지나는 공기가 증발기 측 열교환기로 방출한 열에너지율($Q_{\mathrm{ou,a}}$)은
식(16)과 같이 정의된다.
식(16)의 $c_a$와 $\rho_a$는 각각 공기의 비열과 밀도를 나타내며, 본 연구에서는 각각 1005 J/(kg·K) 및 1.225 kg/m3로 고정했다. $\dot{V}_{\mathrm{ou,fan,a}}$는 실외기를 지나는 공기의 체적유량, $T_{\mathrm{ou,a,in}}$은
실외기 흡기 온도(외기 온도 $T_0$와 동일), $T_{\mathrm{ou,a,mid}}$는 증발기 측 열교환기를 지난 후 실외기 팬 통과 전 공기
온도를 의미한다.
증발기 종합열전달계수($UA_{\mathrm{evap}}$)는 공기 체적유량($\dot{V}_{\mathrm{ou,fan,a}}$)의 거듭제곱 법칙
관계를 따르며, 정격 풍량 및 정격 종합열전달계수 기준으로 정규화하여 식(17)과 같이 정의했다. 지수 $n_{\mathrm{evap}}$은 기존 문헌(14)의 데이터를 바탕으로 산출 시 통상 0.58~0.83의 범위를 가질 수 있음을 참고하여, 본 연구에서는 $n_{\mathrm{evap}} = 0.65$를
사용했다.
증발기 측 흡열률($Q_{\mathrm{ref,evap}}$)을 만족시키는 체적유량($\dot{V}_{\mathrm{ou,fan,a}}$)은 증발기
흡열률($Q_{\mathrm{ref,evap}}$)에 종속된 수치해석적 근 탐색을 통해 도출된다. 본 모델은 ε-NTU 기법을 기반으로, 종합열전달계수
$UA_{\mathrm{evap}}$를 통해 식(18)과 같이 열교환 유효도(ε)를 연산하며, 증발기 측 열교환기와 열교환 후의 공기 온도($T_{\mathrm{ou,a,mid}}$)는 식(19)을 통해 계산된다.
여기서 $T_{\mathrm{ref,evap,sat}}$는 증발기의 포화 냉매 온도이다. 식(19)에서 계산한 열교환기 토출 공기 온도 $T_{\mathrm{ou,a,mid}}$를 식(16)에 대입하여 공기 측 열 손실률 $Q_{\mathrm{ou,a}}$을 계산한다. 팬 풍량 $\dot{V}_{\mathrm{ou,fan,a}}$은 공기
측 열 손실률이 식(8)의 냉매 측 흡열률 $Q_{\mathrm{ref,evap}}$과 같아지도록 반복 계산하여 결정한다.
실외기 팬 통과 후 공기 온도($T_{\mathrm{ou,a,out}}$)는 팬 전력 투입이 모두 열에너지로 전환된다는 가정하에 식(20)과 같이 계산된다.
2.4 실외기 팬 전력 투입률
실외기 팬 구동에 요구되는 전력 투입률은 ASHRAE Standard 90.1(15) 기반의 가변 속도 드라이브(VSD) 곡선 모델로 산정된다. 유량비($f_{\mathrm{flow}}$)는 식(21)과 같이 정의된다.
부분 부하율(PLR)은 식(22)와 같이 3차 다항식으로 표현된다.
여기서 VSD 곡선 계수는 ASHRAE Standard 90.1의 표준 값을 사용했다: $c_1 = 0.0013$, $c_2 = 0.1470$, $c_3
= 0.9506$, $c_4 = -0.0998$.
팬의 전력 투입률은 식(23)과 같이 팬의 정격 전력 투입률($E_{\mathrm{ou,fan,design}}$)에 PLR을 곱하여 산정된다.
팬의 정격 전력 투입률은 식(24)에 나타난 바와 같이 팬의 정격 유량($\dot{V}_{\mathrm{ou,fan,a,design}}$), 팬의 정격 운전 시의 압력차($\Delta
P_{\mathrm{ou,fan,design}}$) 및 팬의 정격 효율($\eta_{\mathrm{ou,fan,design}}$)로부터 유도된다.
2.5 저탕조 에너지 밸런스
저탕조의 에너지 밸런스는 다음 식(25)와 같이 표현된다.
여기서 $C_{\mathrm{tank}} = c_w \rho_w V_{\mathrm{tank}}$는 저탕조의 열용량이며, 모델에 적용된 물의 비열($c_w$)과
밀도($\rho_w$)는 각각 4186 J/(kg·K) 및 1000 kg/m3로 가정되었고, $V_{\mathrm{tank}}$는 저탕조 내 저탕수 체적이다. $Q_{\mathrm{tank,loss}}$는 저탕조 표면 열손실,
$Q_{\mathrm{tank,w,out}}$은 급탕 출수에 의한 열유출, $Q_{\mathrm{tank,w,in}}$은 상수도 유입에 의한 열유입이다.
저탕조 표면 열손실은 식(26)과 같다.
여기서 $UA_{\mathrm{tank}}$는 저탕조 외피 종합열전달계수로서, 원통형 셸의 전도 저항(금속 외벽, 단열재)과 외부 대류 저항을 고려하여
산정된다(16).
저탕조의 출수 및 상수도 유입의 에너지 유동은 각각 식(27), 식(28)과 같다.
여기서 $\dot{V}_{\mathrm{tank,w,out}}$은 저탕수 출수 유량, $\dot{V}_{\mathrm{tank,w,in}}$은 유입되는
상수도 공급 유량을 의미하며, 이 항들의 에너지 유동은 엔탈피 기준점인 외기 온도($T_0$) 대비 엔탈피 유동으로 정의된다.
2.6 혼합밸브 및 유량 관계
저탕조의 고온수와 상수도는 혼합밸브에서 각각 $T_{w,\mathrm{tank}}$, $T_{w,\mathrm{sup}}$의 온도로 혼합되어 설정
급탕 온도 $T_{\mathrm{mix,w,out}}$로 온수를 최종 사용자에게 공급한다. 최종 온수 공급 유량($\dot{V}_{\mathrm{mix,w,out}}$)
대비 저탕조 출수 유량($\dot{V}_{\mathrm{tank,w,out}}$)의 비율을 혼합비 $\alpha$로 정의하면, 식(29)과 같다.
저탕조 출수 유량($\dot{V}_{\mathrm{tank,w,out}}$)과 혼합밸브 상수도 공급 유량($\dot{V}_{\mathrm{mix,sup,w,in}}$)은
혼합비($\alpha$)와 최종 온수 공급 유량($\dot{V}_{\mathrm{mix,w,out}}$)을 통해 각각 식(30), 식(31)과 같이 정의된다.
본 모델에서는 저탕조의 수위가 항상 만수 상태로 유지된다고 가정한다($\dot{V}_{\mathrm{tank,w,in}} = \dot{V}_{\mathrm{tank,w,out}}$).