1. 서    론

콘크리트는 골재와 모르타르 매트릭스로 이루어진 복합재료이지만 구조부재 혹은 실구조체의 크기 관점에서 거시적으로 볼 때, 재료의 특성을 통계적으로는 균질하다고 가정할 수 있으며, 콘크리트 내부의 비균질성에 의한 영향이 전체 구조체의 거동에 미치는 영향은 크지 않다(Rhee and Kim 2006). 하지만 서로 다른 역학적 특성을 지닌 재료로 구성된 다상의 복합체인 콘크리트의 균열 및 파괴거동을 보다 명확하게 살펴보기 위해서 다상의 중규모크기(Meso-scale)의 연구가 필요하며, 근래 들어 콘크리트 균열 및 파괴거동에 관한 해석적 연구가 활발하게 수행되고 있다(Nagai et al. 2004; Nagai et al. 2005; Cusatis and Bazant 2006; Rhee and Kim 2006; Grassl and Rempling 2008; López et al. 2008; Kim and Adu Al-Rub 2011; Shahbeyk et al. 2011; Huang et al. 2015).

중규모크기의 콘크리트 해석에서는 골재와 모르타르 매트릭스 그리고 골재와 모르타르 매트릭스 경계의 ITZ(Inter-facial Transition Zone)등을 다상의 복합체로 간주하여, 각각의 상에 대한 형상, 재료특성 등을 정의하고 RBSM(Rigid Body Spring Model), CSLM(Confinement-Shear Lattice Model) 등의 수치해석방법을 이용한다.

콘크리트는 압축에 비해 인장에 취약한 재료로 인장강도는 압축강도의 대략 8~15 % 수준으로 알려져 있다. 대부분의 균열의 발생 및 진전, 크기효과 등에 관한 해석적 연구는 인장에 대한 연구가 주를 이루고 있으며 중규모크기효과에 대한 해석적 연구 또한 크게 다르지 않다.

콘크리트의 압축파괴는 국부적인 인장효과에 의한 쪼갬인장균열의 전파가 일어나므로 파괴역학적 개념을 적용가능하며, 일부 연구자들에 의한 실험을 통해 압축강도에도 크기효과가 확인되었다(Gonnerman 1925; Kim et al. 1997). 하지만 인장강도에 대한 크기효과 실험에 비해 압축강도에 대한 실험은 상대적으로 적고, 실험실 규모에서 대형 공시체에 대한 압축강도를 실험하기 위해서는 많은 제한사항이 있다. 이러한 측면에서 균열의 발생과 진전에 대한 중규모크기의 해석이 그 대안이 될 수 있다.

Nagai et al.(2004; 2005)은 RBSM을 사용하여 중규모크기의 2D 및 3D 해석모형을 구축하고 콘크리트의 압축강도에 대한 연구를 수행하였다. Cusatis and Bazant(2006)는 CSLM을 이용하여 V형 노치의 유·무에 따른 콘크리트 각주 공시체의 압축강도에 대한 크기효과를 해석적으로 확인하였다.

본 연구는 유한요소법을 사용하여 중규모크기의 콘크리트의 2차원 불균질 해석모형을 구성하고 이를 이용하여 콘크리트의 압축강도에 대한 크기효과를 해석적으로 평가하였다. 그리고 해석방법의 유효성을 평가하기 위해 기존의 실험결과와 해석결과를 비교/분석하였다.

2. 해석모형

압축강도에 관한 크기효과를 해석적으로 연구하기 위해 범용 유한요소해석 프로그램인 ABAQUS를 사용하였고, 본 절에서는 중규모크기의 해석모형을 구축하는 과정에 대하여 논하였다.

2.1 RVE (Representative Volume Element)

2.1.1 RVE 크기

골재, 모르타르 매트릭스 및 ITZ을 고려한 중규모크기의 해석을 위해 복합체 거동의 기준이 되는 RVE(Representative Volume Element)의 크기를 결정해야한다. 선행연구에서 수행된 콘크리트의 RVE의 한변의 길이는 17.5 mm에서부터 100 mm까지 다양하였으며, 이는 굵은 골재의 크기, 해석의 범위 등의 이유에 기인한 것이다. 본 연구에서는 실내 실험체의 최소 부재 두께인 50 mm를 고려하여 2D RVE의 크기를 50 mm × 50 mm로 결정하였다. 그리고 ITZ의 두께는 Kim and Adu Al-Rub(2011)의 연구결과를 참조하여 0.2 mm로 결정하였다.

2.1.2 골재 분포

결정된 RVE를 크기를 기준으로 다양한 크기의 굵은 골재를 분포시켜 모형을 구축해야한다. 본 연구는 Yi(2000)의 실험을 기준으로 사용한 재료의 강도를 기준으로 하였다. 해당 실험에 사용된 콘크리트는 다음 Table 1과 같은 배합을 가지는 콘크리트이다. 실험시 사용된 굵은골재의 최대치수는 13 mm이고, 골재 입도는 콘크리트표준시방서(KCI 2009)의 입도를 따른다고 가정하였다.

RVE를 구성하기 위해 Comby-Peyrot et al.(2009)의 랜덤 골재 분배 알고리즘을 참조하여 골재를 분배하였다. 골재 전체 부피는 배합표에 따라 콘크리트 부피의 약 40 %를 차지하였고, 본 연구에서는 골재의 크기를 13 mm, 8.6 mm 그리고 4.3 mm 총 세 가지로 구분하여 입도곡선에 부합하도록 그 양이 결정되도록 하였고, 골재 사이의 최소 간격은 0.5 mm로 결정하였다. 그 결과 13 mm 골재는 5개, 8.6 mm 골재는 4개, 4.3 mm 골재는 6개가 무작위로 다음 Fig. 1과 같이 RVE내에 위치하였다.

2.1.3 요소

골재, 모르타르 매트릭스 및 ITZ에는 2차원 삼각형 고체 요소인 CPS3을 사용하였데, 삼각형 요소를 이용할 경우 비정형성 유한요소망을 구성하게 되어 다양하게 ‘가능한’ 균열의 방향을 모사할 수 있고, 사각형 요소를 사용할 경우 전단잠김을 회피할 수 있다(Rhee and Kim 2006). 그리고 요소의 크기는 한변의 길이가 Fig. 1과 같이 1 mm가 되도록 분할하였다.

2.2 재료물성

콘크리트 압축과 인장손상 및 파괴에 대하여 ABAQUS는 CDP(Concrete Damaged Placiticity) 모형(Lubliner et al. 1989; Lee and Fenves 1998)을 제공하고 있다. CDP는 Drugker-Prager 모형을 기반으로 발전된 콘크리트 재료의 구성모형으로 최근 거시적 콘크리트 구조체의 파괴거동 해석에 사용될 뿐만 아니라 불균질한 다상의 복합재료를 가지는 중규모크기 해석에서도 콘크리트 균열 및 이의 진전에 관한 연구에 활발하게 적용되고 있다(Kim and Adu Al-Rub 2011; Shahbeyk et al. 2011; Huang et al. 2015). 본 연구에서도 재료의 구성모형으로 CDP를 사용하였다.

2.2.1 탄성계수 및 강도

골재는 국내 골재의 대부분을 차지하는 화강암으로 가정하여 탄성계수로 50 GPa를 사용하였다. 모르타르의 탄성계수는 실험체의 탄성계수가 31.5 GPa임을 기준으로 하여 Hashin and Shtrikman(1963)이 제시한 2상 재료를 가지는 복합체의 유효 탄성계수의 상한 및 하한 산정방법을 고려한 상한 및 하한치의 평균값이 공시체의 탄성계수가 되도록 모르타르 매트릭스의 탄성계수를 역산한 결과 약 23 GPa를 얻을 수 있었고, 이를 사용하였다.

ITZ의 탄성계수에 대한 선행연구(Kim and Adu Al-Rub 2011)에서는 보통강도 콘크리트의 경우 모르타르 매트릭스의 약 75 %를 적용하였는데, 본 연구에서 고려된 콘크리트는 고강도 콘크리트이므로 90 % 수준인 21 GPa를 적용하였다. 모르타르 매트릭스의 압축강도 및 인장강도는 52 MPa 및 5 MPa로 결정하였고, ITZ는 탄성계수에서와 마찬가지로 90 %수준으로 압축강도 및 인장강도를 47 MPa 및 4.5 MPa로 하였다. 그리고 본 연구에서 골재에는 파괴가 발생하지 않는다고 가정하여 골재를 선형탄성재료로 정의하였다.

2.2.2 응력-변형률 관계

모르타르 매트릭스 및 ITZ의 압축거동에 관한 응력-변형률관계는 Guo(2004)가 제안한 다음 식 (1)을 사용하였다. 이와 함께 경화 및 연화시의 응력-변형률에 관한 손상도는 Kim and Adu Al-Rub(2011)의 연구를 참조하여 적용하였다.

 (1)

여기서 는 압축응력, 은 압축변형률, 는 압축강도, 는 압축강도 시의 변형률이고 는 모형계수로 다음 식 (2)와 같다.

 (2)

모르타르 매트릭스 및 ITZ의 인장거동에 관한 인장응력()-균열개구변위()는 Hordijk(1992)에 의해 정의된 다음 식 (3)을 사용하였다.

 (3)

여기서 는 인장강도, 는 인장응력이 0일 때의 균열개구변위로 다음 식 (4)와 같다.

 (4)

여기서 모르타르 매트릭스에 대한 는 0.04 으로, ITZ의 경우는 0.02 를 적용하였다(Grassl and Rempling 2008; López et al. 2008).

2.2.3 CDP 모델 파라메터

모르타르 매트릭스 및 ITZ의 CDP의 파라메터는 Huang et al.(2015)의 연구결과를 참조하여 다음 Table 2와 같이 정의하였다.

3. 일축압축강도 해석

일축압축강도의 해석을 위한 모형 형상과 크기는 Yi(2000)의 각주 공시체에 대한 실내실험을 참조하여 결정하였으며 이 장에서는 공시체의 크기에 따른 압축강도의 변화를 해석적으로 검토하였고, 실험결과와 비교 및 분석하였다.

3.1 해석 공시체의 크기

Yi(2000)가 실험한 공시체의 깊이(c) 및 길이(h)의 비는 1 : 2이며, 앞서 언급한 바와 같이 본 연구에서의 해석모형에 기본이 되는 RVE는 50 mm × 50 mm를 기준으로 하였고 Table 3에 나타낸 공시체는 이 RVE를 연결 조합하는 형태로 모형을 구성하였다. P-4 공시체는 실험실에서 실험하지 못한 크기의 공시체로 해석적으로 크기효과를 살펴보기 위해 추가하였다. Fig. 2에 그려진 RVE는 전체 중 일부이다. 즉, P-4 공시체의 경우 Table 3에 나타낸 16개의 RVE 중 4개만 공시체의 모서리에 그려져 있고 나머지는 점으로 나타내었다.

3.2 경계조건 및 해석방법

해석 공시체의 경계조건은 Fig. 2와 같이 공시체의 하면은 수직 및 수평방향을 모두 구속하고, 상면은 수평방향을 구속하고 수직방향으로 변위를 주어 부재가 길이 방향의 하중에 의해 파괴가 발생하도록 정의하였다. 변위제어방법으로 부재를 길이방향으로 변형시킬 때, 경계조건에서 발생하는 수직반력의 합을 해석과정에서 별도로 저장하여 하중-변위 및 응력-변형률 관계를 도출하였다. 수치해석 시에는 수렴성 측면에서 보다 탁월한 Riks 방법을 사용하여 비선형 정적해석을 수행하였다.

3.3 일축압축강도의 해석결과

3.3.1 응력-변형률 관계

Fig. 3은 해석을 통해 얻은 4가지 크기 공시체의 응력-변형률 곡선을 도시한 것이다. 가장 크기가 작은 공시체 P-1부터 가장 큰 공시체 P-4까지의 압축강도는 57.6 MPa, 54.7 MPa, 50.5 MPa 그리고 46.3 MPa로 나타났고, 작은 공시체일수록 압축강도에 해당하는 변형률이 크게 나타났는데 이는 일반적인 압축강도에 대한 실험의 경향과 유사하였다.

본 연구에서 수행한 중규모크기의 다상 비선형 재료특성을 고려한 콘크리트의 압축거동에 대한 유한요소해석을 통해서도 공시체의 크기가 커질수록 강도가 작아지는 크기효과를 확인할 수 있었다.

3.3.2 선행연구와 비교

Fig. 4는 각주 공시체에 대한 실험을 수행한 Yi(2000)의 실험결과, Yi(2000)의 각주 공시체에 대한 크기효과의 회귀분석모델식, CSLM을 이용한 Cusatis and Bazant(2006)의 해석적 결과 및 본 연구의 해석결과를 도시한 것이다. Fig. 4의 x축은 공시체의 깊이(c, cm)를 대수화하여 나타낸 것이며, y축은 표준공시체의 강도대비 각 크기에서의 강도의 비를 나타낸 것이다. 실내 실험에서는 크기가 작을 때에는 강도의 분포가 다소 넓어지다가 크기가 커질수록 점차 그 범위가 좁아지는 결과를 나타내었고, 해석에서는 크기가 작을 때 실험결과의 범위에서 하한에 가까운 결과를 나타내었다. 대체로 해석결과는 실험결과와 일치하는 경향을 나타내었다. 반면에 CSLM 모델의 해석결과에서도 크기효과를 나타내기는 하였으나 그 차이가 매우 미미하였으며, Cusatis and Bazant(2006)의 해석모형은 본 연구에서 수행한 콘크리트보다 저강도의 콘크리트를 고려하였으며, 또한 공시체의 형상비인 c : h가 본 연구에서는 1 : 2인 것과는 달리 1 : 3의 비율을 가져 직접적인 비교는 어려웠다.

3.3.3 균열의 발생 및 진전

중규모크기의 해석은 압축거동과 함께 부재 내부에서 균열의 발생, 분포 및 진전을 가시적으로 확인할 수 있는 장점이 있다.

Fig. 5는 P-2 공시체의 압축강도 시 변형률() 대비 각 변형률 수준에서 수준에 대하여 공시체 내부에서의 균열(손상)발생 및 진전이 어떻게 진행되는지 나타낸 것으로 인장손상도가 0.9 이상인 부분은 요소를 제거하여 균열분포를 더욱 분명하게 하였다.

Fig. 5(a)는 강도변형률의 약 80 % 수준일 때, 골재 주변을 따라 미소균열들이 분포함을 확인할 수 있다. 그리고 Fig. 3을 보면 이 구간까지는 응력-변형 곡선이 거의 선형과 같은 관계를 나타내고 있음을 확인할 수 있다. Fig. 5(b)는 강도변형률의 약 90 % 수준의 압축변형이 발생할 때를 도시한 것으로 골재 주변에 국부적으로 가시적인 인장균열이 확인된다. Fig. 5(c)와 (d)에서 강도 및 그 이상의 변형수준에서의 균열분포로 콘 형상의 압축영역에는 균열이 없으며, 콘크리트 파괴역학에서 가정하는 특성길이 영역에서 골재와 골재 사이의 모르타르에 균열이 중심부에서부터 뚜렷하게 발생하며 압축강도 이후에는 점차 옆으로 퍼져나가고 있음을 확인할 수 있었다. 이를 통해 중규모크기의 유한요소해석 부재의 크기에 따른 크기효과를 적절히 표현할 뿐만 아니라, 균열의 발생 및 진전 또한 합리적인 수준으로 모사하고 있음을 확인할 수 있다.

4. 휨압축강도 해석

휨압축강도에 대한 해석을 위한 모형의 형상과 크기는 Yi(2000)의 C형 공시체에 대한 실내실험을 참조하였다. 그리고 공시체의 크기에 따른 강도의 변화를 실험결과와 비교 및 분석하였다.

4.1 해석 공시체의 형상 및 크기

Yi(2000)가 실험한 공시체의 깊이(c) 및 길이(h)의 비는 앞서 언급한 Table 3에서와 같이 1 : 2이며, 일축압축강도의 해석에서와 동일하게 RVE는 50 mm × 50 mm를 기준으로 Table 4에 C형 공시체의 파괴부에 연결 조합하는 형태로 모형을 구성하였다. C-4 공시체는 실험실에서 실험하지 못한 크기의 공시체로서 해석적으로 크기효과를 살펴보기 위해 추가하였다. Fig. 6은 Yi(2000)의 공시체 및 유한요소모형을 도시한 것이다. 휨압축강도의 중규모크기 해석모형은 부재 전체에 대하여 RVE을 적용한 것이 아니라 휨압축파괴가 발생하는 관심영역에 대해서만 RVE를 적용하였고, 나머지 부분은 하중전달을 위한 부재이므로 선형탄성체로 가정하여 모형화하였다. 실제 Yi(2000)의 실내실험에서도 대부분의 휨압축파괴는 RVE를 적용한 관심 영역에서 발생하였다.

4.2 경계조건 및 해석방법

C형 공시체에 대한 휨압축강도 실험은 Fig 6에서와 같이 공시체에서 관심영역의 중심을 따라서 하중 P₁을 일정수준까지 가하고, 유압잭을 통해 하중 P₂를 가하여 인장측의 변형률을 0으로 유지시키며 관심부에 모멘트를 유발시킴으로서, 압축변형률이 누적되어 결국 휨에 의해 압축부가 파괴되도록 실험하였다. 유한요소해석의 경우에서도 실험방법과 동일한 과정을 적용하여 P₁과 P₂ 하중을 번갈아 가며 해석하는 단계해석을 수행하였다. 휨압축강도는 실험 시 변형률을 계측한 위치에서 응력-변형률을 검토하여 결정하였다. 수치해석 방법은 단계해석인 관계로 일축압축 해석과는 달리 뉴튼-랩슨법을 이용하여 수치해석을 수행하였다.

4.3 휨압축강도의 해석결과

4.3.1 응력-변형률 관계

Fig. 7은 휨압축강도에 대한 해석을 통해 4가지 크기의 공시체에 대한 응력-변형률 곡선을 도시한 것이다. 가장 크기가 작은 공시체인 C-1부터 가장 큰 공시체인 C-4까지의 압축강도는 47.3 MPa, 41.4 MPa, 37.1 MPa 그리고 35.0 MPa로 나타났으며, 이는 Yi(2000)의 연구에서와 동일하게 일축압축강도에 비하여 휨압축강도가 좀 더 감소하는 경향을 나타냈다. 즉, 휨압축강도에서도 공시체의 크기가 증가할수록 강도가 감소하는 크기효과를 확인하였다.

4.3.2 선행연구와 비교

Fig. 8은 C형 공시체의 실험을 수행한 Yi(2000)의 실험결과와 회귀모델식(Kim et al. 1999; Yi 2000) 및 본 연구에서의 해석결과를 도시한 것이다. 공시체의 크기에 따른 해석결과는 대체로 실내실험을 수행한 결과의 범위 내에 들어왔다. 크기가 커짐에 따른 회귀모델식의 기울기에 비하여 다소 급한 경사를 이루고 있으나, 공시체의 크기를 나타내는 ‘c’가 커질수록 그 기울기가 감소하는 경향은 유사하게 나타났다. 이를 통해 다상을 고려한 중규모크기의 유한요소해석 모형을 통해 압축파괴에 대한 메커니즘을 해석적으로도 연구 가능함을 확인할 수 있다.

4.3.3 균열의 발생 및 진전

본 연구에서 파괴가 발생하는 부분에 국부적으로 RVE를 적용함이 타당한지를 판단하기 위해서 균열의 발생 및 진전을 확인하였다.

Fig. 9는 C-1 공시체의 압축강도 시의 변형률 대비 각 변형률 수준에서 수준에 대하여 공시체 내부에서의 균열(손상)발생 및 진전이 어떻게 진행되는지 도시한 것으로 손상도가 0.9 이상인 요소를 제거하여 균열의 생성 및 전파를 더욱 분명히 나타내었다. 공시체의 크기가 큰 경우, 부재의 크기에 비해 균열의 크기가 뚜렷이 나타나지 않아 C-1에 대한 결과를 도시하였다.

Fig. 9(a)는 강도변형률의 약 80 % 수준일 때에 대한 것으로 거의 가시적인 균열이 보이지 않고 있다. Fig. 9(b)는 강도변형률의 약 90 % 수준의 압축변형이 발생할 때를 도시한 것으로 골재 주변에 국부적으로 가시적인 균열이 확인된다. Fig. 9(c)로부터는 강도에서의 균열분포로 압축부에서 파괴가 쇄기형태의 파괴가 발생함을 확인할 수 있다. Fig. 9(d)에서는 강도 이상의 변형률 수준에서의 균열 분포로 인장부까지 균열이 전파되어 전단면에 걸친 균열의 발생으로 부재가 구조적인 역할을 더 이상 할 수 없음을 알 수 있다. 각 변형률 수준에서 균열의 발생 및 진전을 확인한 결과 균열의 발생 및 진전이 RVE 부분 내에서 크게 벗어나지 않음을 확인하였고 이를 통해 파괴가 예상되는 부분에 국부적으로 RVE를 적용하여 해석하는 것이 비교적 합리적인 방법이라 사료된다. 즉, 요소의 분할 수를 줄일 수 있고 이로 인해 해석시간도 다소 단축시킬 수 있음을 예상할 수 있다.

5. 결    론

본 연구는 다상의 복합체인 콘크리트를 중규모크기의 유한요소해석 모형으로 구축하고 CDP 재료 구성모형을 적용하여 콘크리트의 압축강도에 대한 크기효과를 해석적으로 살펴보았으며, 다음과 같은 결과를 확인하였다.

1)일축압축강도에 대한 해석을 수행한 결과 공시체의 크기가 커질수록 강도가 저하되는 크기효과를 확인할 수 있었고, 실내실험 결과와 비교해 보았을 때도 충분히 신뢰할 만한 수준의 결과를 나타내었다.

2)휨압축강도에 대한 해석을 수행한 결과 선행 실험연구의 결과와 같이 일축압축강도보다 큰 수준에서 파괴가 발생하였다. 또한 크기효과 측면에서 일축압축강도에 대한 해석에 비해 실험결과에 보다 근사한 결과를 나타내었다.

3)해석을 통해 일축 및 휨압축 파괴시 균열의 발생 및 진전에 대하여 살펴본 결과, 이론 및 선행연구와 부합하는 결과를 얻었으며, 이를 통해 인장균열의 발생 및 진전뿐만 아니라 압축에 의한 균열의 발생 및 진전에 관한 연구에도 충분히 중규모크기 해석모형의 적용 및 활용이 충분히 가능함을 확인할 수 있었다. 이와 더불어 수치해석 모형의 크기와 해석시간 단축을 위해 파괴가 예상되는 부분에 국부적으로 RVE를 적용하는 것이 가능함을 확인하였다.

4)중규모크기의 유한요소법을 이용하여 콘크리트의 크기효과에 대한 해석을 수행하기 위해서는 골재의 형상, ITZ의 두께 및 물성의 정의, RVE의 크기 및 배치, 3차원 모형의 적용 등에 대한 추가적인 연구가 필요하며, 추후 다양한 원인에 의한 균열의 발생과 진전에 대한 연구에 이 중규모크기의 유한요소해석법을 활용하는 것이 가능하리라 판단된다.