2.1. 탄성전단좌굴이론식

탄성전단좌굴이론식은 주로 제형파형 강판을 대상으로 연 구가 진행되어왔으며, 국부좌굴형상, 전체좌굴형상, 연성좌 굴형상의 이론식으로 나누어 각각의 좌굴모드별로 강도를 결정하였다. 그러나 곡선주름인 정현파형의 경우에 있어서 좌굴모드별 강도의 결정은 어려움이 많아 따랐으며 본 논문 을 통해서 이들을 정리하여 설명하도록 한다.

탄성국부좌굴은 파형강판의 한 패널 내에서 좌굴이 발생 하는 형상을 말하며, 인접해있는 패널 및 플랜지의 경계조건 에 의해 결정된다고 가정하여 ^{Timoshenko (1981)}의 판 좌굴 이론에 의한 식이 이용된다. 국부좌굴응력은 경계조건과 형 상비 (h/a₃ )에 따라 국부전단좌굴계수 (k)가 결정되며 경계 조건은 장변 및 단변의 단순지지, 고정지지의 조건으로 나뉜다.

탄성전체좌굴은 파형강판 전체에 발생하는 형상을 말하며 ^{Easley (1969)}가 제안한 파형강판을 직교이방성판으로 가정 하여 Ritz-energy 법을 이용하여 유도된 좌굴이론식을 이용 한다.

연성좌굴의 경우는 앞서 설명된 두 좌굴과는 달리 그 형상 이 다양하며 발생의 원인과 강도가 명확하게 정의되지 않는 다. 탄성연성좌굴의 경우 탄성국부좌굴과 탄성전체좌굴의 비 의 영향을 받으나 강재의 재료적 성질과는 무관하므로 국부 좌굴응력, 전체좌굴응력의 항만을 이용하여 강도를 감소시키 는 식이 주로 적용된다 (^{Yi et al., 2007}). 이상의 내용에 대 해서 좌굴응력산정식을 정리하면 Table 1과 같고, 단순지지 상태의 국부좌굴이론식 (^{Abbas et al., 2002}), ^{Elgaaly (1996)} 의 제안한 전체좌굴이론식을 본 연구에서 유한요소해석결과 (FEM)과 함께 비교한다. 기본적인 형상변수로서 제형은 w, a₁ , a₂ , a_3(t) , a₄ , S_(t)이고, 정현형은 w, a_3(s) , S_(s)이며 Table 2와 같다. 여기서, S_(t) 와 S_(s)는 각각 제형 및 정현형 의 반파장 길이이다. 제형과 정현형의 공통된 변수는 w와 θ_c 이며, θ_c는 초기접선각도이다.

Table 2.

Geometric notations of corrugated plates

Shape	Geometric notation
Sinusoidal
Trapezoidal

2.2. 유한요소해석에 의한 전단좌굴응력 계산방법

파형강판의 전단좌굴응력은 고유치해석을 통해 얻을 수 있으며, Table 3과 같이 유한요소로 주름강판을 모델링하여 해석을 수행한다. 이 때, 좌굴응력 산정식은 식 (1)과 같고, 최소고유치인 1차 모드를 이용하여 유도된다.

Table 3.

Profiles of corrugated steel plates

Sinusoidal	Trapezoidal

하중은　순수전단 하에서 직선 복부판의 경계면을 따라 전 단응력이 균일하게 분포한다고 가정되며, 파형강판의 전단좌 굴에 대한 대부분의 연구에서 적용된 것이다. 이러한 가정은 정적 재하실험연구에 의해서 사실로 검증되었다 (^{Han, 2000}).

3.1. 파형강판 해석모델

두 파형의 전단좌굴특성을 비교하기 위해 수행되는 유한 요소해석은 ABAQUS를 이용하도록 하며, 파형강판의 전단 좌굴 강도와 모드에 영향을 미치는 독립된 기하학적 변수는 판두께 t_w , 반파장의 길이 w, 수평 패널폭 a₁ , 파고 a₃ , 접선각 도 θ_c이다. 정현형은 독일 Stahlbau-Kalender 2004 (^{Pasternak, 2004})문헌에서 소개된 형상을 기준으로 변수를 결정하였으 며, 제형 형상은 Table 4와 같이 정현형의 초기접선각도와 반파장 곡선길이를 동일하게 적용한 변수를 이용하였다. 이 것은 반파장길이 및 초기접선각도가 동일한 모델은 강재의 사용량이 동일한 상태라는 것을 의미한다. 해석대상모델에서 반파장 길이는 같지만 파고의 깊이 a₃는 형상에 따라 다르 다. 모델에 이용된 a₃ 는 각각 20, 30, 40mm, 판높이 h는 500, 1000, 1500mm가 적용되었고, 반파장곡선길이 S 에 대 해 두께가 증가함에 따른 응력변화를 분석하였다. 두께의 범 위는 0.2~5mm이다. 이상과 같이 설명한 모델에 대해서 동 일한 길이 S (S_(s) 와 S_(t) 을 S 로 같이 표기함)를 갖는 파형 강판의 좌굴응력 및 형상을 비교하며, 모델의 파라메타는 Table 4에 요약하였다.

해석에서 경계조건은 플랜지와 웨브가 단순지지와 고정지 지의 중간상태인 탄성적 지지상태로 고려되는데, 파형 형상 을 유지하기 위해 AB , OC 모서리를 x축 방향으로 구속하 여 적용하는 것을 반영한 것이다. 경계조건의 경우 조건에 따라 결과의 차이가 발생하며, 언급된 경계조건은 ^{Yoo et al. (2013)}의 문헌에서 설명된 가장 적합한 경계조건에 해당된다.

3.2 두께변화에 따른 좌굴응력변화

Fig. 1에서 정현형 강판의 경우 두께가 증가함에 따라 전 단좌굴응력은 증가하며, 일정한 증가이후에 증가율이 감소한 다. 이것은 얇은 두께에서 국부좌굴이, 두꺼운 두께에서는 전체좌굴이 나타나는 경향 때문이며, 두께의 증가에 따라 전 단좌굴의 분류범위가 달라지는 것이다 (^{Shon et al., 2014}). Fig. 2에서 보는바와 같이 제형의 경우에도 정현형 강판과 같이 유사한 경향이 분석되었다. 전단좌굴응력 증가율이 감 소하는 구간에서 연성좌굴형상이 발생하는 것도 정현형에서 나타난 경향이다. 두께 증가에 따른 좌굴응력곡선에서 곡선 의 증가율이 달라지는 시점이 가장 빠른 모델은 S =81mm모 델이었다. 증가율이 달라지는 구간에 대해서 국부좌굴 영역 은 S =89mm모델이, 전체좌굴영역은 S =161mm이 가장 크 게 나타났다.

Fig 1.

Buckling stress curve of sinusoidal models

Fig 2.

Buckling stress curve of trapezoidal models

3.3. 제형 및 정현형의 전단좌굴응력 비

Table 5, Table 6과 Table 7은 각 형상별 27개의 모델간의 전단좌굴응력 비를 계산하였다. 여기서 정현형 좌굴응력 (S) 와 제형의 좌굴응력 (T) 비 ({(S/T)-1}*100(%))를 γ로 표현 하였으며 비율의 최대값을 γ_max로 표기하였다. 또한 표 내 의 모든 단위는 mm이다.

Fig. 3의 27개의 비율변화 곡선이 공통적으로 γ>0구간에 서 두 형상에 따른 전단좌굴응력 차비의 변화 증가하다가 1%이내로 수렴한다. 또한 판높이 (h )가 높을수록 얇은 판에 서 비율변화의 수렴도가 빠르게 나타남을 확인할 수 있다.

Fig 3.

γ of half wave curve length

Fig. 3에서 γ<0구간은 제형의 전단좌굴응력이 정현형의 전단좌굴응력보다 큰 구간이며, γ>0구간은 정현형의 전단좌 굴응력이 제형의 전단좌굴응력보다 큰 구간이다. Table 5, Table 6과 Table 7의 γ<0구간에서 최대 30.27%, γ>0구간 에서 최대 17.1%의 차이를 나타낸다. 이는 γ<0구간의 얇은 강판에서 제형이 정현형의 전단좌굴응력보다 최대 30.27% 큰 좌굴응력을 갖으며 얇은 판에서 제형이 정현형보다 유리 하다는 것을 의미한다. 이에 반해 γ>0구간에서 정현형이 제 형의 전단좌굴응력보다 최대 17.1% 큰 좌굴응력을 갖으며 강판이 5mm에 가까워질수록 정현형이 제형보다 유리한 값 을 갖는다.

3.4. 제형 및 정현형 좌굴응력 경향

본 논문에서는 파형강판의 좌굴응력과 좌굴형상의 경향을 파악하기 위해 형상파라메타 변수를 포함하는 이론적인 전 체좌굴응력 및 국부좌굴응력식의 비를 이용하였다. Fig. 4는 전체좌굴응력식과 국부좌굴응력식의 비에 따른 좌굴응력과 이론적인 응력의 비의 그래프이다. 수평축은 Table 4의 형상 을 Table 1의 정현형 및 제형의 각각의 이론적인 응력식으로 계산하여 전체좌굴응력을 국부좌굴응력으로 나누어 로그 스케 일로 표현하였다. 여기서 수평축의 이론적인 전체좌굴응력과 국부좌굴응력의 비 (τ_g/τ_l)를 G/L 로 표현하였으며 0<G/L <10의 구간만을 고려하였다. 수직축은 해석결과로부터 유도 한 좌굴응력을 이론적인 전체좌굴응력과 국부좌굴응력 중 작은 값으로 나누어 나타낸 무차원 좌굴강도이다. 여기서 수 직축의 응력비FEMmin(G/L)로 표현하였다.

Fig 4.

Influence of theoretical equation on shear buckling stress

Fig. 4의 해석결과에서 G/L 가 1보다 큰 구간은 이론상 국부좌굴이 발생할 가능성이 큰 구간이며, G/L 가 1보다 작 은 구간은 이론상 전체좌굴이 발생한 가능성이 큰 구간이다. 제형과 정현형이 공통적으로 전체좌굴범위에 더 많은 실험 체가 존재하며 판의 높이별로 그래프를 비교하였을 때 판높 이 (h)가 높아질수록 해석과 이론값 차이가 증가하고 이론 상의 국부좌굴 범위에 들어서는 형상이 줄어든다.

G/L 가 1보다 큰 구간에서 Fig. 4(a)의 FEMmin(G,L) 이 제형강판의 경우 최대 1.6이며 정현형 강판의 경우 최대 1.9이다. 이는 해석결과로부터 계산한 좌굴응력이 이론적 전체좌 굴응력에 비해 제형강판의 경우 최대 160%, 정현형의 경우 최대 190% 큰 좌굴응력을 나타낸다. Fig. 4(b)에서 FEMmin(G,L) 이 제형강판의 경우 최대 1.5, 정현형 강판의 경우 최대 1.7 이며 Fig. 4(c)에서 FEMmin(G,L)이 제형강판의 경우 최대 1.4, 정현형 강판의 경우 최대 1.6이다. Fig. 4(d)에서 제형과 정현형이 각각 최대 1.7, 1.8, Fig. 4(e)는 1.6, 1.7, Fig. 4(f)는 1.6, 1.6, Fig. 4(g)는 1.9, 1.9, Fig. 4(h)는 1.7, 1.6, Fig. 4(i)는 1.6, 1.6가 나타났다.

G,L 가 1보다 작은 구간에서 Fig. 4(a)의 FEM/ min(G,L) 이 제형강판의 경우 최대 2.1이며 정현형의 경우 최대 2.1이 다. 이는 해석결과로부터 계산한 좌굴응력이 이론적 국부좌 굴응력에 비해 제형과 정현형이 최대 210% 큰 좌굴응력을 나타낸다. Fig. 4(b)에서 FEM/ min(G,L)이 제형 강판과 정현형이 각각 최대 2.1, 2.2, Fig. 4(c)는 2.1, 2.2, Fig. 4(d) 는 2.1, 2.1, Fig. 4(e)는 2.1, 2.1, Fig. 4(f)는 2.1, 2.1, Fig. 4(g)는 2.1, 2.1, Fig. 4(h)는 2.1, 2.1, Fig. 4(i)는 2.1, 2.1이 나타난다. 해석결과 G/L 가 1보다 큰 구간에서는 해석결과 로부터 계산한 좌굴응력이 이론적 좌굴응력에 비해 1.5배에 서 2.0배 차이를 나타내며 G/L 가 1보다 작은 구간에서는 해석결과로부터 계산한 좌굴응력이 이론적 좌굴응력에 비해 약 2.0배정도 차이를 나타낸다. 이러한 차이는 이론적인 좌 굴응력의 계산에서 좌굴계수 를 안전 측 1.0으로 가정하였 기 때문이다 (^{Gill et al., 2004}).

Table 4의 형상을 0.2 ≤ t ≤ 5.0범위에서 Fig. 5와 같이 국부, 전체, 연성좌굴별로 나누어 비교하였다. 해석결과 정현 형의 경우 연성구간 범위가 제형보다 좁고 특히 국부좌굴경 향의 연성좌굴범위가 제형에서 길게 나타남을 확인 할 수 있다.

Fig 5.

Sinusoidal mode shape (S ≒81mm, h=500mm)

Fig. 3을 Fig. 4의 좌굴응력과 비교하였을 때 제형의 경우 전체좌굴응력과 국부좌굴응력이 같아지는 의 수직 축을 중심으로 좌우에서 연성좌굴이 발생하고 가 0에 가까울수록 전체좌굴이 발생하며 가 10에 가까울수록 국부좌굴이 발생하게 된다. 그러나 정현형의 경우 이론적으 로 전체좌굴이 발생할 가능성이 큰 <1구간에서 국부 좌굴의 형상이 발생한다. 이는 기존의 제형을 바탕으로 만들 어진 정현형의 식으로 정현형의 좌굴모드를 예측하기 어려 움을 예상할 수 있다.

Fig. 4의 G/L 이 0보다 크고 1보다 작은 구간에서 발생하 는 기울기가 양수에서 음수로 변하는 변곡점, G/L 이 1보다 크고 10에 가까운 구간의 기울기가 양수에서 음수로 변하는 변곡점, G/L 이 1에 가까운 구간에서 기울기가 음수에서 양 수로 변하는 변곡점인 총 3개의 변곡점과 형상간의 연관성 을 보았을 때 제형과 정현형 모두 좌측 변곡점을 전후로 연성 과 전체좌굴이 뚜렷하게 구분된다. 또한 G/L <1구간에서 좌 굴응력과 이론적 응력의 비 (FEMminG,L)의 차이가 가장 큰 점은 변곡점이 발생하는 점으로 FEM/ min(G,L) 가 약 2배 차이가 날 때 연성구간에서 전체좌굴로 넘어가는 경향을 예측할 수 있다. 주로 정현형의 국부좌굴범위에서 발 생한 변곡점의 경우 변곡점이 발생한 이후인 10에 가까울수 록 좌굴 패턴을 확인하기에 명확하지 않은 형상이 발생하였 다. 이는 3.3절에서 경향이 일정하지 않는 0.2 ≤ t ≤ 0.6 구간에 해당한다.

연성좌굴은 이론식의 경우 ^{DASt-R.015 (1990)}에서 0.5≤ G/L ≤2.0 구간에서 연성좌굴이 발생한다고 예측하였다. 이러한 결과를 바탕으로 Fig. 3과 형상모드를 비교하였을 때 제형의 연성구간은 대부분 0.5≤G/L ≤2.0 범위에 발생하 며 G/L 이 1에 가까운 구간에서 기울기가 음수에서 양수로 변하는 변곡점 부근에서 발생한다. 그러나 정현형의 연성구 간은 대부분 G/L <1범위에서 발생하며 연성좌굴의 범위를 비교하였을 때 제형의 연성구간이 정현형의 연성구간에 비 해 길게 나타났으며 제형의 경우 국부좌굴에 대한 연성구간 이 전체좌굴에 대한 연성좌굴구간보다 길다.