2.3.1 가상 신호의 구성

함수 x(t)에 대한 힐버트 변환의 정의는 다음과 같다(^{Feldman, 1997}).

힐버트 변환된 함수 X_H(t)는 원함수(Original Function) x(t)에 대해서 위상 정보 및 주파수 성분이 동일하며, 가상 신 호는 힐버트 변환 함수 X_H(t)와 원함수 x(t)의 조합에 의해서 다음과 같이 구성된다.

단자유도 감쇠 시스템에 대한 충격 응답 함수는 다음과 같 이 표현될 수 있다(^{Paz, M., 1997}).

여기서, ω_n은 고유주파수(rad/sec), ξ는 감쇠비, A는 신호의 크기(Magnitude)이다.

식 (11)로부터 식 (13)의 힐버트 변환은 다음과 같다.

따라서, 식 (13), (14)를 식 (12)에 대입함으로써 가상신호는 다음과 같이 구성된다.

2.3.2 신호잡음비

디지털 신호에서 신호잡음비(Signal to Noise Ratio, SNR) 는 노이즈에 대한 신호의 상대적인 크기로 다음과 같다.

여기서, σ²_s은 신호 성분의 분산, σ²_n는 노이즈 성분의 분산 이다.

신호 성분에 중첩되는 노이즈 성분 n(t)는 다음과 같은 식 에 의해 고려될 수 있다.

여기서, σ_n은 노이즈 성분의 표준편차, N(0, 1)은 평균이 0 이고 분산이 1인 무작위 가우시안 분포 변수(Gaussian Distributed Random Variable)이다.

2.3.3 단일 모드 분석

단일 모드로 구성된 가상신호의 감쇠변수 평가에 따른 오차 를 분석하기 위하여 Table 1과 같은 조건에서 수치해석을 수행 하였으며, Table 2, 3은 감쇠비 및 신호잡음비에 따른 분석 오 차를 보여주고 있다. 결과에서 볼 수 있는 바와 같이 가상신호 의 감쇠비가 커질수록 그에 따른 오차도 커지고 있으며, 신호 잡음비가 작아질수록 즉, 노이즈의 영향이 커질수록 오차가 급 격히 증가함을 알 수 있다. 이는 감쇠비가 커질수록 신호의 에 너지가 급속히 소산되기 때문이며, 고유주파수 4 Hz를 고려해 볼 때 분석가능한 신호주기의 짧은 반복횟수를 의미한다.

Table 4와 Fig. 2는 웨이블릿 중심주파수에 따른 감쇠비 평 가 분석 조건과 결과이다. 일반적으로 웨이블릿 중심주파수 는 신호의 고유주파수보다 높은 성분으로 형성되고, 이러한 웨이블릿 중심주파수가 낮게 설정될수록 고유주파수에 해당 되는 스케일이 작게 되므로 대응되는 주파수 대역 범위가 넓 게 된다. 따라서 정확한 고유주파수 성분에 해당되는 웨이블 릿 계수의 추출이 불가능하게 된다. 반면에 고유주파수에 대 응되는 웨이블릿 계수가 높은 스케일 대역에 위치하면 주파 수 범위가 좁아지게 되어 웨이블릿 계수의 정확성이 향상되 지만 시간축에 대한 대역이 넓어지게 되므로 높은 감쇠비에 대해서 정확성이 저하된다. 이는 고감쇠 신호의 에너지가 급 히 소산되고, 신호의 길이가 웨이블릿 해상도 시간축의 넓은 대역에 비해 짧아지기 때문이다. 노이즈가 포함되지 않은 경 우 웨이블릿 중심주파수를 높게 설정하여 고유주파수에 대응 되는 스케일이 웨이블릿 해상도의 낮은 영역에 존재하여도 넓은 시간축 대역에 대한 오차가 크지 않지만, 노이즈가 포함 되면 고감쇠 신호에 대해서 신호의 에너지가 소산된 이후에 노이즈 성분이 계속 존재하게 되어 고유주파수 스케일에 대 한 넓은 시간축 대역은 그 오차가 커지게 된다. 이는 Fig. 2에 서 확연히 그 차이를 볼 수 있다. 그러므로 신호 분석시 전체 스케일에 대한 해당 스케일의 위치를 파악하여 웨이블릿 중 심주파수를 결정하는 과정이 필요하게 된다. Fig. 2에서 볼 수 있는 바와 같이 웨이블릿 영역에 대한 웨이블릿 중심주파수 의 스케일은 전체스케일의 중심에 위치될 때 가장 오차가 작 다. 이는 웨이블릿 영역의 해상도에서 스케일의 형상이 비교 적 정사각형에 가깝도록 설정하는 것을 의미하며, 시간축과 스케일축의 중심에 위치하여 시간축에 대한 노이즈 영향과 스케일축에 대한 주파수 범위 영향이 동시에 고려될 수 있다. 고유주파수에 대응되는 스케일 위치가 전체 스케일의 중심에 위치하기 위하여 웨이블릿 중심주파수는 식 (5)에 의하여 계 산될 수 있다.

Fig. 2

Analysing Results for Single Mode with Various Wavelet Center Frequencies and SNRs

2.3.4 분리 중첩 모드 분석

2 Hz, 5 Hz, 9 Hz 성분으로 구성된 가상신호의 분리 중첩된 모드 감쇠비에 대한 영향을 분석하고자 Table 5, 6과 같이 9가 지 경우에 대하여 감쇠비 오차를 평가하였다. 단일 모드 분석 의 결과와 같이 분리 중첩 모드에서도 조합된 감쇠비가 증가 할수록 오차율이 증가하고 있으며, 조합된 감쇠비가 커지고 각 모드의 고유주파수가 낮을수록 그 영향은 커지고 있다. 감 쇠비가 크고 고유주파수가 낮다는 것은 신호의 반복주기가 짧다는 것을 의미한다.

분리 중첩된 모드의 웨이블릿 중심주파수에 대한 영향을 분석하기 위해서 Table 7과 같은 조건에서 수치해석을 수행하 였다. 웨이블릿 중심주파수는 0.5~8.0 rad/sec까지 76가지 경 우에 대하여 분석하였고, 신호잡음비는 ∞, 30, 20의 세 가지 경우에 대하여 각각 분석하였으며, 세 가지 모드의 고유주파 수 2 Hz, 5 Hz, 9 Hz에 대응되는 스케일에 대하여 전체스케일 을 초과하는 범위에 대해서는 결과에서 제외하였다. 첫 번째 모드의 고유주파수 2 Hz에 대응되는 스케일은 웨이블릿 중심 주파수 1.17 rad/sec에서 전체 스케일의 중심에 위치하고, 두 번째 모드의 고유주파수 5 Hz는 2.93 rad/sec에서 중심에 위치 하며, 세 번째 모드의 고유주파수 9 Hz는 5.27 rad/sec에서 전 체 스케일의 중심에 위치한다.

Fig. 3에서 볼 수 있는바와 같이 임의로 선택된 웨이블릿 중 심주파수는 각 모드의 감쇠비 평가 오차에 영향을 주고, 각 모 드의 고유주파수에 대응되는 스케일이 전체스케일의 1/3~1/2 에 위치할 때 비교적 오차가 적으며, 전체스케일의 1/2을 초과 하면 오차가 급격히 커지게 됨을 알 수 있다. 중첩된 세 가지 모드 중 신호 지속시간이 가장 긴 2 Hz 성분의 경우 높은 스케 일 대역에서도 비교적 오차가 작게 나타나고 있으나, 신호 지 속시간이 가장 짧은 9 Hz 성분은 높은 스케일 대역에서 오차 가 다소 크게 나타나고 있다. 따라서 모드 중첩된 신호의 감쇠 비 평가 시 각 모드의 고유주파수에 따라 해당 고유주파수에 대한 대응 스케일이 전체 스케일의 중심에 위치하도록 웨이 블릿 중심주파수를 달리 선택함으로써 결과의 신뢰성을 향상 시킬 수 있다.

Fig. 3

Analysing Results for Separated Modes with Various Wavelet Center Frequencies and SNRs

2.3.5 인접 중첩 모드 분석

인접 중첩 모드로 구성된 가상신호의 웨이블릿 중심주파 수에 대한 영향을 분석하기 위하여 Table 8와 같은 조건에서 수치해석을 수행하였다. 첫 번째 모드의 고유주파수 2 Hz에 대응되는 스케일은 웨이블릿 중심주파수 2.34 rad/sec에서 전 체 스케일의 1/2에 위치하고, 두 번째 모드의 고유주파수 2.5 Hz는 중심주파수 2.93 rad/sec에서 전체 스케일의 1/2에 위치 하며, 세 번째 모드의 고유주파수 3.5 Hz는 4.10 rad/sec에서 전체 스케일의 1/2에 위치한다. 각각의 모드가 0.5 Hz와 1.0 Hz 이격된 중첩모드의 분리를 위하여 전체 스케일 240은 고 주파수 영역의 웨이블릿 중심주파수 적용에 대한 충분한 범 위를 확보하지 못한다. 주파수 간격 0.5 Hz를 분리시키기 위 해서는 고주파수 영역의 웨이블릿 중심주파수가 요구되는데 낮은 전체 스케일은 웨이블릿 중심주파수가 관심 스케일에 접근하기 전에 전체 스케일을 초과해버리는 결과를 초래한 다. 따라서 전체 스케일을 480으로 확장하여 수치해석을 수 행하였으며, 그 결과는 Fig. 4와 같다. 앞서 단일 모드 및 분리 중첩 모드의 수치해석 결과와 유사하게 스케일 형상이 정사 각형과 유사해지는 즉, 각 모드의 고유주파수에 대응되는 스 케일이 전체스케일의 1/2에 위치할 때 오차율이 작아지는 결 과를 보이고 있다.

일반적으로 공용중인 구조물에 대한 실측된 신호의 경우 노이즈 성분의 함유는 피할 수 없다. 이러한 노이즈의 영향을 최소화하기 위한 웨이블릿 중심주파수의 선택에 있어서 스케 일의 형상이 고려되어야 하고, 이는 각각의 모드가 인접된 경 우에 그 영향이 더욱 커지게 된다.

Fig. 4

Analysing Results for Close Modes with Various Wavelet Center Frequencies and SNRs