1. 서 론

이방성평판은 구조물을 구성하는 주요한 요소 중의 하나이 다. 이에 대한 구조적 안전을 평가하기 위해 여러 가지 해석기 법들이 알려져 왔다. 현재 일반적인 평판해석은 전산화 된 유한 요소 이론을 활용하거나 해석의 편리성을 위해 평판을 띠부재 (Strip member)로 단순화하여 보 이론을 사용하는 방법을 채택 한다. 이러한 해석은 근사해법으로 보다 정확한 해법을 통한 구 조적 안전을 평가할 필요가 있다. 본 연구는 평판해석 전산프로 그램 개발에 활용할 수 있는 이방성평판의 정확한 해법을 연구 하여 제안하였다.

평판이론은 처음 Lagrange(1813)에 의하여 등방성 평판의 지 배 방정식이 유도 된 후 Navier(¹⁸²⁰)가 삼각함수의 double series 를 이용하여 지배방정식을 해석했다. 이방성 평판에 대한 연구 는 Cauchy(1829)가 이방성 물체의 탄성론에 관한 일반화된 식 을 발표함으로써 시작되었고 Boussinesq(¹⁸⁷⁹)가 이방성 평 판에 대한 평형방정식을 제안하였다. 그 후 Huber(1929)는 비 대칭하중을 받고 있는 원형 이방성평판을 해석했다. Hrennikoff (¹⁹⁴¹)는 근사해법으로 복잡한 평판 해석에 대한 프레임워크 (framework)해석 방법을 발표하였지만 고속으로 처리할 수 있는 컴퓨터의 부족으로 그의 이론은 일반화 되지 못하였다. Turner et al(¹⁹⁵⁶)는 복잡한 평판구조물을 해석할 수 있는 유한요소 해석 방법을 처음 소개하였는데 그 후 컴퓨터의 발달로 최근까지 이 이론을 기초로 다양한 평판 해석이 가능해졌다.(^Szilard,1974) 최 근 국내에서 한충목(²⁰⁰⁵)이 원형 등분포 하중을 받고 있는 탄성 지반위에 놓인 평판에 대한 수치해석 과정을 제안했고 박효진과 황상무(2017)는 평판압연에 대한 새로운 유한 요소 접근방법을 제안하는 등 다양한 연구가 이루어지고 있다.

일반적으로 평판구조물은 처짐이 작은 얇은 평판, 처짐이 큰 얇은 평판, 그리고 두꺼운 평판으로 나뉘는데 그 구분에 따라 각각 선형이론, 비선형이론 그리고 3차원 탄성체이론을 기초로 해석 한다.(^Szilard,1974)

지금까지 처짐이 작은 얇은 이방성 사각형 평판의 해를 구하 는 방법으로 Levy(¹⁸⁹⁹)의 방법과 Navier(¹⁸²⁰)의 방법이 일반 적으로 정확한 해법으로 알려져 왔다.(Timoshenko et al., 1970) 이 들의 방법은 처짐과 하중의 관계를 나타내는 지배 미분 방정식 을 각각 삼각함수의 단일급수해법(Single fourier series) 과 이중삼 각급수해법(Double trigonometric series)을 이용하여 대수학적 방 정식으로 변환시킴으로서 용이하게 해를 구할 수 있는 장점이 있다. 그러나 Navier(¹⁸²⁰)의 방법은 평판의 네 끝단이 모두 단 순 지지단일 경우에만 적용되며, Levy(¹⁸⁹⁹)의 방법은 서로 마 주보는 두 끝단이 단순 지지단일 경우에만 적용이 되는 단점이 있다.(^Szilard,1974) 이러한 풀이 해의 한계를 극복하고자 유한요 소법(^Yang,1986), 유한띠요소법(Harrik et al.,1986), 일방향유한차 분법(^Gould,1988), 에너지방법(^Reddy,1984) 등 여러 가지 근사 해 법이 소개되었으나 이러한 방법들은 각각의 요소들의 개수에 따라 해석결과에 정확도의 문제가 유발된다.

본 연구는 Navier(¹⁸²⁰)와 Levy(¹⁸⁹⁹)방법의 장점인 미분 방 정식을 대수학적 방정식으로 변환시키는 방법을 유지하면서 이들 방법이 갖는 단점인 경계조건과 하중조건의 제약을 극복 하였다. 본 연구는 직교조건을 만족하는 진동보의 고유함수 를 이용하여 여러 가지 경계조건과 함께 선하중, 부분하중 그 리고 분포하중을 받고 있는 이방성평판의 해석방법을 제안하 고 그 풀이 과정을 소개하였다.

2. 이방성 평판의 기본 미분 방정식 유도

수직 하중 q(x,y)을 받는 이방성 평판에서 두께에 비하여 처짐이 작은 경우를 생각해 보기로 한다. , 평판의 한 요소에 작 용하는 힘은 그림 1.과 같이 평판의 각 면에 휨 모멘트 M_x, M_y 와 비틀림 모멘트 M_xy 그리고 전단력 V_x, V_y가 작용한다. 평판 의 두께가 넓이나 길이에 비해 작은 경우 이들 힘들은 x, y함수 로 만 나타낼 수 있는데 각각의 힘의 크기는 식(1)과 같다.

그림 1.에 나타난 평판요소에서 힘의 평형방정식 ΣM_x = 0, ΣM_y = 0를 정리하여 ΣM_z = 0에 대입하면 식 (2)가 된다.

그림 1,의 평판요소에서 중립선 위, 임의 점에서 하중에 의 한 처짐벡터의 x, y, z방향 성분을 각각 u, υ, w라 하면 처짐과 변형율의 관계를 나타내는 변위방정식은 식 (3)과 같다.

그리고 이방성 물체의 응력과 변형율의 관계를 응력에 관 한 식으로 바꾸어 표현하면 식 (4)가 된다.

식 (3)을 식 (4)에 대입하면 평판 각 방향의 응력을 처짐과 의 관계로 나타내는 구성방정식을 얻을 수 있고 이렇게 얻어 진 구성방정식을 식 (1)에 대입하여 적분 한 후 식 (2)의 힘의 평형방정식에 대입하면 식 (5a)와 같이 이방성 평판의 처짐에 관한 기본 미분 방정식이 유도된다. 여기서 D_x, D_x는 각방향 의 휨강성이고 D_xy는 비틀림강성 이다.

위의 식 (5)에서 E_x, E_y는 각 방향 탄성계수, G는 전단계수, μ_x,μ_y는 각 방향 포아손 비, q(x,y)는 평판에 작용하는 수직하 중, w(x, y)는 평판의 z 방향 처짐이다. 식 (5)는 힘의 평형방정 식, 변형율방정식, 그리고 구성방정식을 통해 유도된 이방성 평판 해석에 기초가 되는 중요한 지배 방정식이다. 이 선형 미 분 방정식을 경계조건을 이용하여 수학적 개념으로 풀고 그 값 을 가지고 전단력 V_x, V_y 그리고 모멘트 M_x, M_y, M_xy를 계산 할 수 있다.

3. 이방성 평판의 미분방정식 풀이

본 연구는 식 (5)의 지배함수의 해를 구하기 위해 Navier와 Levy방법을 개선하여 여러 형태의 경계조건 및 하중조건을 적 용시킬 수 있는 풀이방법을 제안한다. 식 (5)의 수직하중 q(x,y) 을 받고 있는 이방성 평판의 처짐 w(x, y)에 관한 미분방정식을 풀기 위해 처짐함수w(x, y)를 F(x)와 G(y) 함수의 곱인 변수 분리 형태로 놓으면 식 (6)과 같다.

여기서 F_n(x)와 G_n(y)는 각각 n번째 처짐 모드의 x와 y방 향 처짐함수 이다. 식 (6)을 식(5)의 지배 미분방정식에 적용 하면 식 (7)이 된다.

한편, 식 (5) 선형 편미분 방정식의 해는 다음과 같이 일반 해와 특이해인 두 함수의 합으로 이루어져 있다. 여기서 w_H(x,y)는 일반해 이고, w_P(x,y)는 특이해 이다.(8)

y방향의 처짐함수 G_n(y)는 y방향의 경계조건을 만족시켜 야 하고, 처짐함수 w(x, y)가 변수분리의 형태로 되기 위해서 n≠m인 경우에 다음과 같은 직교조건을 만족해야한다.(9a)

여기서 b는 평판의 y방향 길이 이다. y방향의 처짐함수 G_n(y)는 위의 직교조건을 만족하는 진동보의 n번째 모드에 관한 고유함수(Clough 와 Penzien,1975)를 이용하면 일반해는 식 (10)이 된다.

여기서 λ_n와 상수 Y 1 n , Y 2 n , Y 3 n , Y 4 n 은 y = 0 과 y = b 에서 경 계조건을 사용하여 구한다. 본 연구에서 y방향 경계조건은 실 제 구조물에서 주로 사용되는 양단이 모두 단순지지단인 경 우와 양단이 모두 고정단인 경우 그리고 y = 0 에서 고정단, y = b 에서 단순지지단인 경우를 고려한다. 이들의 경계조건을 이용하여 구한 각각의 λ_n과 상수 Y 1 n , Y 2 n , Y 3 n , Y 4 n 값을 정리 하면 표 1.과 같다. 여기서 B_n은 아래 식 (11)과 같다.

y방향의 처짐함수 G_n(y)이 결정된 후 평판의 지배함수 식 (7) 양변에 n≠m인 m 번째 모드의 G_m(y)을 곱하고 y=0 에서 y=b까지 적분을 시켜주면, 직교조건에 의하여 n≠m인 경우 는 모두 0이 되므로 결국 식 (7)의 x와 y에 관한 편미분방정식 형태의 지배 방정식은 식 (12)와 같이 m번째 처짐모드의 x에 관한 상미분 방정식으로 바뀌어 진다.

x방향 처짐함수의 계산을 위해 식 (12)의 양변을 ∫ 0 b G m 2 ( y ) d y 로 나누어 주고 외부하중 q(x,y)를 x와 y 방향의 함수의 곱인 q ( x , y ) = Q 0 f ( x ) g ( y ) , (Q₀=상수)의 형태라 하면 이 식은 x에 대 한 선형 미분 방정식인 식 (13)이 된다.

여기서 η m = λ m / b 이고 g 1 m , g 2 m , g 4 m 은 m번째 모드의 처짐 상수로써 식 (14)와 같다.

식 (13)은 선형미분방정식으로 F_m(x)는 일반해 F_mH(x) 와 특이해 F_mP(x)의 합 형태를 갖고 처짐 함수는 식 (15)와 같다.

식 (13)의 x방향의 일반해 F_mH를 구하기 위해 아래 방정식 (16)을 풀면 다음 식 (17)과 같은 근을 구할 수 있는데 여기서 α와 β는 각각 α = D y / D x ,   β = H / D x 이다.

따라서 식 (13)의 일반해는 식 (18)로 정식화 되고 다음 식 (19) 과 같이 3가지 경우로 분류된다.

식 (19a)의 경우는 ξ_m이 ξ_m1 = -ξ_m3, ξ_m2 = -ξ_m4가 되어 각 각 서로 다른 실근을 갖기 때문에 일반해는 식 (20)으로 나타 낼 수 있다. 식 (19b)의 경우는 ξ_m1 = ξ_m2 = -ξ_m3 = -ξ_m4 인 두 세트의 실근을 갖기 때문에 식 (21)로 나타낼 수 있다. 식 (19c) 의 경우, ξ m ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ± Φ m ± Ψ m i 인 허근을 가지므로 식 (22)로 나타낼 수 있다. 여기서 Φ_m 과 Ψ_m 은 각각 식 (23)과 식(24)와 같고 상수 X 1 m , X 2 m , X 3 m , X 4 m 은 y축과 나란한 가장자리의 경 계조건에 의하여 각각 결정된다.

식 (13)의 x방향의 특이해 F_mP를 구하는 문제에서 본 연구 는 평판에 작용하는 외부하중이 아래 그림 2.에서 그림4.와 같 이 등분포하중, 선하중, 부분분포하중의 경우로 제한 한다.

그림 2.와 같이 평판에 작용하는 분포하중이 등분포 인 경 우 하중함수 q(x,y)와 이에 대한 특이해 F_mP와 처짐상수 g_1m 를 정리하면 표 2.와 같다.

특히 그림 4.와 같이 y축 방향으로 부분하중을 받는 평판은 표 2.에 제시된 등분포 하중의 특이해를 사용하고 처짐상수 g_1m은 하중을 받는 구간만 적분하여 결정한다. 이 경우 하중 분포 구간을 변화시킴으로 그림 3.과 같이 직선하중을 받는 평판의 경우도 쉽게 계산 할 수 있다. y축 방향으로 부분하중 을 받는 평판의 특이해와 각각의 변수 식 (25)와 같이 정식화 된다.

여기서 y₁과 y₂는 각각 하중의 시작점과 끝점이고 y k = ( y 1 + y 2 ) / 2 ,   Δ y = ( y 1 − y 2 ) / 2 이다. 식 (25)의 처짐상수 각각 의 변수를 적분하여 부분하중을 받는 이방성 평판의 특이해 를 정리하면 식 (26)이 된다.

여기서 y=0과 y=b에서 단순지지단인 경우 δ=2.0이고 고 정단인 경우 δ=1.0이다. 그리고 y=0에서 고정단이고 y=b에 서 단순지지단인 경우 δ=1.0이다. 만약 평판 전체에 등분포 하중을 받는 경우 y₁ = 0, y₂ = b이므로 y_k =Δy= b/2 가 된다. 또한 그림 5.와 같이 평판이 선하중을 받는 경우 Q₀ =L_x로 놓 고 Δy를 0으로 접근시켜 계산하면 식 (27)로 나타난다.

앞에서 구한 특이해 F_mP가 상수이므로 식 (15)를 식 (28)로 변형시켜 사용한다.

x 방향의 처짐함수 F_m(x)의 상수 X 1 m , X 2 m , X 3 m , X 4 m 를 구 하기 위해 평판의 x 와 y 의 좌표축 결정은 그림 5. 및 그림 6 과 같이 구성한다. y축과 평행한 평판의 양 끝단의 경계조건 이 서로 대칭인 경우는 그림 5와 같이 x축은 평판 가장자리 에 y축은 평판 중앙에 놓고, 대칭이 아닌 경우에는 그림 6과 같이 x, y축을 모두 평판의 가장 자리에 놓고 경계조건을 이 용함으로서 적분상수 X 1 m , X 2 m , X 3 m , X 4 m 를 결정할 수 있다. 여기서 x방향의 경계조건을 정리하면 표 3.과 같다.

식 (19)에서 구분한 것과 같이 g 2 m 2 / g 4 m > α / β 2 일 때 적분상 수 X 1 m , X 2 m , X 3 m , X 4 m 를 구하면 경계조건에 따라 식(29)에 서 식(32)와 같다. x = ±a/2에서 단순지지단일 경우 적분상수 는 식 (29)이다. 이 경우 X 3 m = X 4 m = 0.0 이다.

x = ±a/2에서 고정단일 경우 적분상수는 식 (29)인데 이 때 X 2 m = X 4 m = 0.0 이다.

x=0에서 단순지지단이고 x=a에서 고정단일 경우 적분상 수는 식 (31)이다.

x=0에서 고정단이고 x=a에서 단순지지단일 경우 적분상 수는 식 (32)이다.

또한 g 2 m 2 / g 4 m = α / β 2 일 때 적분상수 X 1 m , X 2 m , X 3 m , X 4 m 를 구하면 다음 식 (33)에서 식(36)과 같다. x = ±a/2에서 단순지 지단일 경우 적분상수는 식 (33)인데 X_2m = X_3m = 0.0이다.

식 (34)는 x = ±a/2에서 고정단일 경우 각각의 적분상수이 인데 이 경우 X_2m =X_3m = 0.0 이다.

x=0에서 단순지지단이고 x=a에서 고정단일 경우 적분상수 는 식 (35)이다. 이 때 X_1m=-1.0이다.

x=0에서 고정단이고 x=a에서 단순지지단일 경우 적분상수 는 식 (36)이고 X_1m=-1.0이다.

마지막으로 g 2 m 2 / g 4 m < α / β 2 일 때 각각의 경계조건에 따라 적분상수 X 1 m , X 2 m , X 3 m , X 4 m 를 구하면 다음 식(37)에서 식 (40)과 같다. x = ±a/2에서 단순지지단일 경우 적분상수는 식 (37)인데 X 3 m = X 4 m = 0.0 이다.

식 (38)은 x = ±a/2에서 고정단일 경우 각각의 적분상수이 며 이 때 X 3 m = X 4 m = 0.0 이다.

그리고 x=0에서 단순지지단 x=a에서 고정단일 경우 적분 상수는 식 (39)이다. 이 경우 X_1m=-1.0이다.

x=0에서 고정단 x=a에서 단순지지단일 경우 적분상수는 식 (40)이다. 이 경우 X_1m=-1.0이다.

4. 이방성 평판 해석

이상과 같이 다양한 경계조건을 갖는 이방성 평판의 해법 을 정리하면 다음과 같다. 먼저 평판재료의 물성치와 경계조 건 그리고 하중의 분포와 크기를 이용하여 적분상수를 결정 한 다음 y 방향 일반해를 계산한다. 이 때 수직하중을 받는 이 방성평판의 처짐함수는 식 (28)과 같다. 여기서 y방향 처짐함 수 G_m(y)는 식(10)을 사용하고 필요한 상수들은 각각의 경계 조건에 따라 표 1,의 값을 사용한다.

다음으로 경계조건에 따른 x 방향 일반해를 계산하고 하중 조건에 따른 특이해를 계산한다. x방향 처짐함수의 일반해 F_mH(x)는 강성비 α와 β에 따라 식 (20), 식(21), 식(22)를 선 택하고 특이해 F_mP(x)는 하중상태에 따라 식 (26) 또는 식 (27)을 사용하는데 상수 X 1 m , X 2 m , X 3 m , X 4 m 은 강성비와 경계 조건에 따라 식 (29)에서 식 (40) 사이의 것을 선택하여 사용한 다. 마지막으로 계산된 각 방향 일반해와 특이해의 결과를 이 용하여 처짐량을 산출한다.

5. 이방성 평판의 해석 결과 비교

그림 7에서 보는 바와 같이 평판의 가장자리가 비대칭으로, 두 단은 고정단, 나머지 두 단은 단순지지단 일 때, 이방성 평판 의 y축으로 b/3지점에서 2b/3지점까지 부분 하중을 받는 경우에 대하여 각각의 점에서 처짐과 모멘트를 계산하였으며 그 결과 는 표 4.와 같다.

본 연구에서 사용된 이론의 정확성을 증명하기 위해 그림 8,과 같이 등분포 하중을 받는 네 단이 모두 단순지지단인 등 방성 평판의 계산 결과를 Navier의 방법과 비교하였다. 두 방 법에 의한 처짐 결과는 표 5.와 같으며 정확해법인 Navier방법 의 결과와 일치하고 있음을 알 수 있다.

또한 본 연구의 결과와 Levy방법의 결과를 비교하였다. 등분포하중을 받는 네 단이 모두 고정단인 정사각형과 직사 각형 평판을 대상으로 하였으며 각 평판의 중앙점에서의 처 짐과 모멘트를 계산하여 그 비교 값들을 표 6.에 나타내었다. 표에서 알 수 있듯이 초기 변수인 처짐은 본 논문의 결과와 정 확해법인 Levy의 결과와 매우 접근함을 알 수 있다. 그러나 이 차변수인 모멘트는 약간의 오차를 나타내며 이것은 컴퓨터에 의한 반올림오차로 생각 되어 진다.

그리고 선 하중을 받는 정사각형 이방성 평판의 네 단이 모 두 단순지지단인 경우에 본 연구의 계산결과를 이용한 처짐 의 계산 값과 R. Szilard의 방법을 이용한 처짐의 계산 값을 계 산하여 표 7.에서 비교하였다. 각 방법의 평판 좌표와 처짐을 계산한 점과 작용하는 선 하중의 위치는 그림 9.와 같다. 비교 에서 알 수 있듯이 두 방법은 일치된 결과를 나타내고 있다.

6. 결론

본 연구는 이방성 평판의 해법을 유도하여 제안하였다. 본 연 구에 사용된 해석 방법은 삼각급수를 이용한 Levy방법을 개선 하여 평판의 서로 마주보는 두 끝단이 단순지지단과 고정단의 어떠한 조합이라도 해석이 가능하다. 하중은 등분포하중, 부분 하중과 선하중의 경우를 고려하여 계산할 수 있도록 하였다. 본 연구에서 사용된 해석 방법 중의 또 하나의 특징은 계산 값이 정 확하다. 여기에서 제안한 해법을 통해 얻어진 여러 가지 결과를 지금까지 알려진 정확한 해법과 비교하여 본 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.