2.1 누적소성변형지수

누적소성변형지수(Cumulative plastic deformation index)는 Eq. (1)과 같이 나타낼 수 있으며, 다양한 사이클의 소성변형에 대한 가중치를 고려할 수 있다 ^{(Krawinkler, 1987)}. 누적된 변위를 지수함수를 이용하여 표현한 손상모델이며 Eq. (1)에서 $i$번째 사이클에서 가력된 변위($D_{i}$)와 항복변위 사이($D_{y}$)의 비로 정의된다. Eq. (1)에서 상수 $a$는 철근 콘크리트 구조물과 강구조물의 다양한 실험들을 이용하여 결정되었으며 범위는 1.6 ~ 1.8 사이이다. 이 연구에서는 Tee 시험체가 강구조물이므로 선행연구들을 참조하여 $a$는 1.6을 사용하였다 ^{(Krawinkler, 1987)}.

2.2 누적일지수

누적일지수(Cumulative work index)는 구조물의 소성변형($D_{i}/D_{y}$)과 지지력($F_{i}$)을 결합하였으며 Eq. (2)와 같이 나타낼 수 있다 ^{(Gosain et al., 1977)}. Eq. (2)에서 첫 번째 항은 누적소성변형지수와 유사하며 두 번째 항은 $i$번째 사이클에서의 지지력과 항복력($F_{y}$)의 비로 정의된다. 누적일지수는 포락 곡선으로부터의 변위와 힘만을 고려하기 때문에 소산되는 에너지를 직접적으로 나타내지 않는다. 그러나 포락곡선이 소산 에너지 및 손상과 관련된 강성의 저하를 나타내므로 누적일지수는 에너지를 간접적으로 나타낼 수 있음을 의미한다.

2.3 에너지소산지수

지진과 같은 반복적인 하중을 받는 구조물의 성능에서 가장 중요한 측면 중 하나는 에너지를 적절하게 분산시키는 구조물의 능력이다. 에너지소산지수(Energy dissipation index)는 각 구조물은 주어진 양의 소성 에너지를 소산할 수 있는 능력을 가지고 있으며, 그러한 양의 에너지가 소산할 때 파괴가 발생하는 것을 의미한다. 에너지소산지수는 누적된 손상을 정량화하여 표현할 수 있으며 Eq. (3)과 같이 나타낼 수 있다 ^{(Darwin and Nmai, 1986)}. Eq. (3)에서 $E_{i}$는 $i$번째 사이클에서의 에너지, $F_{y}$는 항복력, $D_{y}$는 항복변위이다.

2.4 누적에너지감소지수

누적에너지감소지수(Cumulative energy reduction index)는 외력에 의한 구조물의 응답과 관련된 매개변수로 에너지 소산 능력을 기반으로 한다. 에너지 흡수 능력의 감소에 기반을 둔 손상지수이며 Eq. (4)와 같이 나타낼 수 있다 ^{(Castiglioni, 1999)}. 누적에너지감소지수는 에너지 흡수 능력이 특정 수준 아래로 떨어질 때 파괴가 발생하는 것을 의미한다. Eq. (4)는 변위진폭($\Delta D$)과 한 사이클에 대한 항복변위($D_{y}$)의 비가 1.15 이상일 때 사용할 수 있다. Eq. (4)에서 $\eta_{i}$는 탄소성 거동을 갖는 경우 전체 사이클에서 흡수된 에너지에 대한 $i$차 사이클에서의 에너지에 대한 비율을 나타낸다. $\eta_{o}$는 전체 사이클에서의 에너지에 대한 첫 번째 소성이 발생하는 사이클에서의 에너지에 대한 비율을 나타낸다.

2.5 Park and Ang 지수

Park and Ang 지수는 최대 변형 및 누적된 에너지 소산에 대하여 선형적인 조합에 기반을 둔 이중 매개변수를 고려하였으며 Eq. (5)와 같이 나타낼 수 있다 ^{(Park and Ang, 1985; Park et al., 1987)}. Eq. (5)에서 첫 번째 항은 연성 기반의 지수이고 두 번째 항은 구조물의 항복력과 항복변위에 의해 정규화된 에너지 소산을 나타내는 지수이다. 여기서 $E_{i}$는 $i$번째 사이클에서의 소산되는 에너지, $D_{i}$는 $i$번째 사이클의 변위진폭, $F_{y}$는 항복력, $D_{y}$는 항복변위이다. $b$는 에너지 기반의 강도 감소 계수이며 구조물의 특성에 따라 달라지는 음이 아닌 무차원 상수이다. 강구조물에 대해서는 상수 $b$의 값으로 0.025를 사용할 수 있다.

2.6 Banon 지수

Banon 지수는 최대 변형 및 누적된 에너지 소산에 대하여 Park and Ang 지수와 다르게 고려하였다. Banon 지수는 연성과 누적된 에너지 소산을 비선형 조합에 기반을 두고 있다 ^{(Banon et al., 1981; Banon and Veneziano, 1982)}. Banon 지수는 Park and Ang 지수와 같이 첫 번째 항은 누적된 손상을 고려하지 않는 변위 기준이고 두 번째 항은 누적된 손상을 고려한 흡수된 에너지를 나타내었다. 이러한 방식으로 이 지수들은 반복하중으로 인한 피로에 의한 손상과 동시에 최대 변형의 영향을 고려할 수 있다. Eq. (6)의 $c$와 $d$는 구조적인 특성에 따라 음이 아닌 상수이며 각각 1.1과 0.38로 제시되었다.

4.1 파괴모드

Table 1은 일정한 사이클의 하중진폭에 대하여 총 15개의 Tee 시험체의 강재 배관 Tee에서 누수가 발생하였을 때의 저주기 피로 수명과 평균 피로수명을 나타내었다. Nf(number of cycles to failure)는 피로균열에 의한 누수가 발생할 때까지의 사이클 수이다. 40mm 이상의 큰 하중진폭에서 피로균열이 발생할 때까지의 사이클의 수가 30회 이하이며, 큰 하중진폭에서는 한 사이클에 대한 소산에너지는 상당히 큰 비중을 차지하게 된다. ±80mm의 경우 Nf가 발생하였을 때의 한 사이클은 전체 사이클의 약 14% 이상을 차지하므로 이 연구에서는 한 사이클에 대하여 4등분 하여 나타내었다. 각각의 하중진폭은 ±20mm부터 ±100mm까지 수행되었으며 피로 균열은 5.25 ~ 98.25 사이클 사이로 나타났다. 가장 작은 하중진폭인 ±20mm인 경우의 평균 Nf는 89.33 사이클이며, 가장 큰 하중진폭인 ±100mm인 경우의 평균 Nf는 5.33 사이클로 나타났다.

면내반복가력실험에서 강재 배관 Tee의 파괴모드는 피로균열에 의한 누수이다. Fig. 3은 누수가 발생한 ±60mm 및 ±100mm의 하중진폭에 대한 대표적인 Tee 시험체를 나타내었다. 모든 Tee 시험체에서 피로 균열은 Tee에서 횡방향의 중립축과 수직방향의 중립축이 만나는 위치의 상부에서 피로균열에 의한 누수가 발생되었다. 피로균열은 수직 방향의 중립축에 따라 길이 방향으로 진전하였으며 피로균열은 모든 Tee 시험체에서 매우 유사하게 나타났다.

Fig. 3 Tee specimen with fatigue crack

4.2 에너지

Fig. 4는 각각의 하중진폭에서 측정된 힘 범위와 변위 범위의 관계를 나타내었으며 최소자승법으로 산정한 평균 회귀곡선식은 Eq. (7)과 같다. Eq. (7)에서 결정계수($R^{2}$)는 0.93 이상으로 힘 범위와 변위 범위의 관계는 선형적으로 나타났다. Fig. 4에서 변위의 범위는 40mm ~ 200mm이며 이에 대응하여 힘의 범위는 68.91 kN ~ 140.64 kN로 나타났다.

Fig. 5는 각각의 하중진폭에서 대표적인 Tee 시험체의 P–D 관계에 대한 이력곡선과 한 사이클에 대한 에너지를 나타내었다. 반복적인 하중으로 인한 Tee 시험체의 거동은 이력곡선의 형태로 나타낼 수 있으며 이력곡선의 높이는 힘이며 폭은 변위이다. 그리고 각각의 이력곡선의 면적은 사이클 동안 사용된 에너지로 Tee 시험체가 받는 소성변형의 정도를 나타낸다. 따라서 이력곡선의 면적은 Tee 시험체가 외력으로 인한 소성변형으로 소실되는 에너지이며 하중진폭의 크기가 증가할수록 한 사이클에서 소산되는 에너지도 증가함을 확인할 수 있었다. 모든 Tee 시험체는 일반적으로 주어진 변위 수준에서 두 번째 사이클 후에 Tee 시험체의 강도와 강성의 저하가 나타났다. 또한 하중진폭의 반복가력 횟수가 증가할수록 최대하중이 감소함을 확인할 수 있었다. 하중진폭이 ±80mm에서는 첫 번째 사이클과 두 번째 사이클에 대한 에너지가 유사함을 확인할 수 있었으며, ±100mm인 변위 수준에서는 첫 번째 사이클 후에 Tee 시험체의 강도와 강성의 저하가 나타남을 확인할 수 있었다. 이는 ±80mm 이상인 하중진폭부터는 첫 번째 사이클에서부터 소성변형이 집중됨을 확인할 수 있었다.

Fig. 4 Relationship between force range and displacement range

Fig. 5 Hysteresis loop and energy for one cycle

4.3 손상모델을 이용하여 산정된 손상지수

이 연구에서는 Tee 시험체의 실제 파괴모드인 피로균열에 의한 누수가 발생한 한계상태를 손상지수에 기반을 둔 손상모델들을 이용하여 정량적으로 표현하였다. 여섯 가지의 손상모델들은 단순성을 기반으로 선택되었으며 연성, 에너지 소산 및 연성과 에너지 소산에 대한 조합을 모두 고려하였다.

손상모델들을 이용한 손상지수들을 산정하기 위해서는 한계하중인 항복변위와 항복력에 대한 정의가 필요하다. ASME Boiler & Pressure Vessel Code에서는 배관 및 압력용기의 최대하중은 붕괴하중으로 나타낸다 ^{(ASME, 2004)}. 붕괴하중은 Fig. 6과 같이 배관 및 압력용기에서 측정된 P–D 곡선의 탄성구간에서 최소자승법을 이용하여 회귀선을 그리고 이때의 기울기를 $\theta$라 한다. Eq. (8)과 같이 두 배의 기울기인 $\phi$를 가지는 붕괴한계선을 그리고 이 선 이상을 가지는 첫 번째 데이터를 붕괴하중점으로 정의한다. 이 연구에서는 붕괴하중점을 손상지수를 산정하는 데 필요한 항복점으로 정의하였다.

Fig. 7은 각각의 하중진폭에 대한 P–D 관계를 이용하여 산정된 손상지수들을 나타내었다. Fig. 7(a)와 Fig. 7(b)는 누적소성변형지수와 누적일지수이며 누적된 연성을 표현하는 손상지수이다. Fig. 7(c)와 Fig. 7(d)는 에너지소산지수와 누적에너지감소지수이며 누적된 에너지 소산을 표현하는 손상지수이다.

Fig. 7(e)와 Fig. 7(f)는 Park and Ang 지수와 Banon 지수이며 연성과 누적된 에너지 소산의 조합을 표현하는 손상지수이다. Fig. 7에서 각각의 하중진폭에서 대부분의 손상지수들은 평균 선도의 ±2$\sigma$(표준편차) 사이에 위치함을 확인할 수 있었다. Fig. 7(a)와 Fig. 7(b)는 하중진폭이 증가할수록 누적된 연성을 표현하는 손상지수들은 증가함을 확인할 수 있었다. 누적된 연성을 표현하는 손상모델의 차이는 함수의 형태이므로 결과적으로 두 손상지수들의 경향은 유사하게 나타났다. Fig. 7(c)와 Fig. 7(d)는 하중진폭이 증가할수록 손상지수는 감소하는 경향을 확인할 수 있었다. Fig. 7(e)와 Fig. 7(f)는 연성과 누적된 에너지 소산의 조합을 고려한 손상지수를 나타내었으며 손상지수가 다른 손상지수보다 균등하게 분포함을 확인할 수 있었다. Park and Ang 지수 및 Banon 지수는 손상을 표현하는 매개변수는 기본적으로 일치하나 조합 형태와 매개변수의 가중치가 다르므로 두 손상모델에 대한 손상지수의 차이를 확인할 수 있었다. Table 2에서 P–D 관계를 이용하여 산정된 손상지수에 대한 평균값, 최댓값, 최솟값 및 표준편차를 나타내었다. Table 2에서 Park and Ang 지수 및 Banon 지수를 제외한 나머지 손상지수들의 표준편차는 평균값과 비교하여 차이가 크게 나타남을 확인할 수 있었다.

Fig. 6 Collapse load point

Fig. 7 Damage index calculated using damage model

지진과 같은 반복하중을 받는 구조물은 붕괴에 저항하면서 구조물에 제어된 손상이 발생하도록 허용한다. 이는 구조물의 해석 및 설계 과정에서 적절한 손상의 정량화가 필요하며 손상지수는 구조물의 외력에 의한 손상을 수치적으로 정량화하는 데 필요하다. 손상지수의 정규화된 값은 0(손상되지 않은 구조물의 경우)에서 1(완전히 손상되거나 붕괴된 구조물의 경우) 사이의 범위로 의도된 무차원 매개변수이며 중간값을 이용하여 부분적인 손상 정도를 측정할 수 있다.

Fig. 8과 Table 3은 각각의 하중진폭에서의 평균 손상지수를 최대 손상지수로 정규화한 손상지수를 나타내었다. 이 연구에서는 Tee 시험체의 실제 파괴모드는 피로균열에 의한 누수이므로 누수가 발생한 한계상태에 대한 손상지수는 모든 하중진폭에서 유사하게 나타나야 한다. 따라서 Tee 시험체의 한계상태에 대한 손상지수의 정규화된 값은 1과 가깝게 분포하여야 한다. Fig. 8과 Table 3에서 Banon 지수를 제외한 나머지 손상지수들은 하중진폭이 증가할수록 손상지수들이 증가하거나 감소하는 경향을 확인할 수 있었다. 따라서 연성과 누적된 에너지 소산을 비선형으로 조합한 Banon 지수의 손상모델이 다른 손상모델들보다 누수가 발생한 한계상태를 잘 표현함을 확인할 수 있었다. Table 4에서 손상지수의 정규화된 값의 통계 정보를 나타내었으며 Banon 지수에 대한 표준편차는 0.04로 평균값에 가깝게 분포하고 있음을 확인할 수 있었다. 따라서 이 연구에서는 Tee 시험체의 실제 파괴모드인 누수가 발생한 한계상태에 대한 손상지수를 나타내므로 각각의 하중진폭에 대한 손상지수가 평균값에 가깝게 분포하고 있는 Banon 지수를 사용하는 것이 타당할 것으로 나타났다. 따라서 각각의 하중진폭에 대하여 산정된 Banon 지수의 평균값은 피로균열에 의한 누수를 표현할 수 있는 한계상태에 대한 대푯값으로 사용할 수 있을 것으로 나타났다.

Fig. 8 Damage index normalized to maximum value