2.1 실험체 설계 및 제작

본 연구에서는 4층 규모의 저층 강재 골조 구조물을 간략하게 모사한 골조 실험체를 제작하였다. 실험체는 1차 모드 주기가 약 0.5초가 되도록 설계하였다. Fig. 1은 설계된 실험체와 접합부 상세를 나타내고 있다. 실험체의 총 규격은 가로 400 mm, 세로 300 mm, 높이 1,600 mm이며, 각 층의 높이는 400 mm이다. 각 층의 질량은 약 11.6 kg이며, 기둥은 두께 3 mm, 너비 50 mm, 길이 400 mm(유효길이는 388 mm)으로 제작하였으며, 이를 통해 계산된 기둥 부재와 각 층의 강성은 각각 4.6 kN/m, 18.5 kN/m이다.

Fig. 1 Details of four-story frame structure specimen

실험체는 슬래브에 휨과 뒤틀림이 발생하지 않고 골조 거동에 지배될 수 있도록 기둥의 양단을 M10 볼트로 고정하고 슬래브 상부에 보조 플레이트를 설치하여 휨강성과 비틀림강성을 증가시켰다(Fig. 1(c)). 이 때, 슬래브 강성 증가로 하중과 변형이 기둥에 집중될 수 있으므로 입력 지진파를 활용한 시간이력해석을 수행하여 예상되는 최대 변위 발생시에도 기둥은 탄성 거동하도록 설계하였다. 이외에도 부재의 좌굴하중, 최대 축하중, 기둥의 횡하중, 단부 모멘트, 항복 모멘트, 볼트의 설계전단강도 등 골조 및 접합부의 안전성과 요소 간 체결을 고려하여 설계하였다.

2.2 실험 셋업 및 장비

본 연구에서는 1방향 진동대를 사용하였으며, 진동대의 크기는 2,000 mm × 2,000 mm, 최대 허용 가속도는 10 g, 최대 허용 변위는 $\pm $400 mm이다. 진동대의 주요 제원을 Table 1에 제시하였다. Fig. 2는 진동대 실험 셋업과 4층 골조 실험체에 부착한 가속도계를 나타낸다. 층별 응답 가속도를 측정하기 위해 실험체 각 층 슬래브의 중앙에 1축 가속도계를 부착하고, 입력 지진파를 측정하기 위해 진동대 상부에도 1축 가속도계를 부착하였다. 사용된 가속도계는 1000 mV/g의 민감도를 가지며, 측정 가능한 가속도 범위는 $\pm $5 g이다. 가속도계의 세부 제원은 Table 2에 제시하였다. 가속도계 샘플링 주파수($f_{samp\le}$)는 Nyquist-Shannon 샘플링 이론에 따라 위신호 현상(Aliasing)를 방지하기 위해 입력 지진파의 주파수 성분을 고려하여 250 Hz로 설정하였으며, 수집된 가속도 데이터는 신호 컨디셔너와 DAQ(Data Acquisition) 시스템을 통해 저장 및 처리하였다.

Fig. 2 Shaking table test set-up and measurement instrumentation

2.3 지진파 가력 계획

Table 3, Fig. 3에는 가력에 사용한 지진파와 푸리에 변환을 통해 도출한 지진파의 특성 분석 결과를 제시하였다. 지진파는 계측 지진파 2종과 인공 지진파 1종을 사용하였다. 계측 지진파의 경우, 지진파의 주기에 따른 영향을 검토하기 위해 1초 이상 장주기 특성이 우세한 Chichi 지진파, 1초 미만 단주기 특성을 갖는 Morgan hill 지진파를 사용하였으며, 태평양 지진공학연구센터(Pacific Earthquake Engineering Research Center; PEER)에서 제공된 가속도 기록을 사용하였다. 인공지진파는 1~50 Hz 주파수 성분을 포함하도록 제작된 진동을 사용하였다. 사용된 모든 지진파는 실험체 설계조건을 고려하여 Scale factor를 적용하여 최대 지반 가속도(PGA, Peak Ground Acceleration)를 비슷하게 조정하였다.

Fig. 3 Fourier spectrum of seismic excitation

3.1 가속도 데이터 계측

실험 결과 진동대에서 계측된 지반 가속도와 최상층에서의 응답가속도를 비교하여 Fig. 4에 제시하였다. 장주기 특성을 가진 Chichi 지진파는 30초 내외에서 4층 최대가속도 0.13 g을 기록하며, 단주기 특성을 가진 Morgan hill 지진파는 5초 부근에서 최대 가속도 0.31 g를 보인다. 장단주기 특성을 가진 White noise는 약 20초에서 최대가속도 0.13 g를 기록하였다.

또한, 최대지반가속도(PGA, Peak Ground Acceleration)와 각 층에서의 최대 층 가속도(PFA, Peak Floor Acceleration)의 비율을 산출하고, 그 결과를 Fig. 5에 제시하였다. 모든 입력 지진파에 대해 층수가 높아질수록 응답가속도가 증가하는 경향을 보인다. 특히, Morgan hill 지진파의 경우 다른 지진파에 비해 가속도 증폭이 더 크게 나타나는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 4 Ground and 4F acceleration for each seismic excitation

Fig. 5 Ratio of PFA and PGA for each seismic excitation

3.2 고유 진동수 식별

실험체의 고유 진동수, 감쇠비는 전달함수(Transfer function)를 사용하여 평가하였다. 전달함수는 고속 푸리에 변환(FFT, Fast Fourier Transform)을 수행한 입력 신호와 출력 신호의 비율을 나타내며 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서, $X(j\omega)$와 $Y(j\omega)$는 각각 입력 신호와 출력 신호의 푸리에 변환 결과이며 식 (2), 식 (3)에 따라 계산된다.

여기서, $x(t)$와 $y(t)$는 각각 시간 영역에서의 입력 신호와 출력 신호를 나타내며 $\omega $는 주파수 변수로 단위는 rad/sec, $j$는 단위 복소수이다.

Fig. 6은 Chichi 지진파 가력시 실험체 1층부터 4층까지의 응답가속도 데이터에 대한 고속 푸리에 변환 분석 결과를 나타낸다.

Fig. 6 Natural frequency acquired from test result of Chichi

전달함수 산정 시 잡음을 줄이기 위해 데이터 평활화(smoothing) 작업을 수행하였다. 분석 결과, 층별로 진폭의 차이는 있지만 동일 주파수에서 공진 발생함을 확인할 수 있다.

지진파별로 실험체의 고유 진동수를 평가한 결과, 1차부터 4차모드까지의 평균 고유 진동수는 각각 2.13~2.18 Hz, 6.55~6.62 Hz, 9.86~10.09 Hz, 13.08~13.28 Hz로 산정되었다(Table 4). 1차, 2차 고유 진동수는 입력 지진파에 따라 각각 최대 0.03 Hz, 0.05 Hz의 편차를 보였고, 3차와 4차 고유 진동수는 최대 0.12 Hz의 편차가 나타냈다. 고차모드로 갈수록 편차가 다소 증가하는 경향이 있지만, 전반적으로 일관된 패턴을 보이고 있다.

3.3 감쇠비 식별

본 연구에서는 반전력 대역폭법(Half-power bandwidth method)을 사용하여 감쇠비를 평가하였다. 이 방법은 선형 점성 감쇠를 가진 구조물의 주파수 응답 함수에서 최대 응답의 폭을 측정하고, 반전력 대역의 두 지점을 사용하여 감쇠비를 추정한다. 응답 곡선이 공진 주파수($\omega_{d}$)에서 국부 최댓값을 가지며, 이 때의 진폭($P_{m}$)에 대하여 반전력 대역폭은 최대 응답의 70.7% (또는 $P_{m}/\sqrt{2}$)에 해당하는 진폭 지점에서의 주파수 범위를 의미한다. 이 두 지점의 주파수를 각각 $\omega_{a}$과 $\omega_{b}$라고 할 때, 반전력 대역폭과 감쇠비는 식 (4), 식 (5)을 이용하여 계산된다^{(Papagiannopoulos and Hatzigeorgiou., 2011)}.

각 지진파에 따른 층수, 모드별 감쇠비를 Table 5에 제시하였다. 입력 지진파에 따라 감쇠비의 크기가 다르게 나타났으며, 모든 지진파에서 1차모드의 감쇠비가 가장 크고 고차모드로 갈수록 점점 작게 나타났다.

3.4 레일레이 감쇠 모델

본 연구에서는 감쇠를 모델링하기 위해 가장 일반적으로 사용되는 방법인 두 개의 감쇠 계수를 이용한 Rayleigh 감쇠를 적용하였다^{(Liu and Gorman., 1995)}. Rayleigh 감쇠는 구조물의 전체 감쇠를 고려하는 방법으로, 점성 감쇠가 있는 운동방정식을 기반으로 감쇠를 도입한다.

식 (6)는 점성 감쇠가 있는 운동방정식을 나타내며, $u$는 자유도의 변위, $m$은 질량, $c$는 감쇠, $k$는 강성, $f(t)$는 시간에 따른 외력을 나타낸다. 여기서 $c$는 Rayleigh 감쇠 계수인 $\alpha$및 $\beta$를 사용하여 질량과 강성의 비율 관계로 표현되며, 이는 식 (7)에서 식 (10)과 같다

실험에서 측정된 각 지진파의 감쇠비는 Rayleigh 감쇠 모델의 형태를 보이며, 이를 Fig. 7에 제시하였다. 여기서, Rayleigh 감쇠 계수는 1차 및 2차 모드의 동적 특성과 실험 결과의 평균값을 기반으로 도출하였다.

Fig. 7 Rayleigh Damping for each seismic excitation

3.5 모드벡터 식별

본 절에서는 시스템의 운동방정식에 기반하여 모드 형상을 도출하는 방법을 제시한다. 감쇠비가 낮고 $i$차 모드의 고유 진동수 $\omega_{i}$를 가지며 조화함수로 가진 되는 다자유도계 시스템의 운동 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서, $[M]$은 시스템의 질량 행렬, $[C]$는 시스템의 감쇠비 행렬, $[K]$는 시스템의 강성 행렬이다. $\{u\}$는 변위량 행렬이며 $\{f\}$는 입력 데이터 행렬이다.

입력과 출력의 비율로 정의되는 전달함수 $\left[H(\omega_{i})\right]$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (12)에 정규화된 질량 및 강성 행렬을 도입하고, 감쇠비 행렬 $[C]$를 강성 행렬과 질량 행렬의 선형 조합으로 표현하는 레일레이 감쇠로 가정하면 식 (12)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때, $[\gamma]$는 대각행렬로, $\gamma_{i}=1/(2A\zeta_{i}\omega_{i}^{2})$이며 $[\psi]$는 정규모드벡터(Normalized mode vector)이다.

식 (13)을 전개하여 각 모드 벡터를 도출하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

여기서, $\psi_{p i}$는 $p$번째 출력에서의 $i$차 모드 벡터를 나타내며, $p$는 $p$번째 출력, $q$는 $q$번째 입력을 나타낸다. 본 실험에서는 진동대를 이용하여 가진하였으므로, 입력 $q$는 하나의 위치($q=1$)에서 수행되었고, 출력 $p$는 각 가속도계가 위치한 4개의 지점($p=1,\: 2,\: 3,\: 4$)에서 측정되었다.

$sign(\sin(\theta_{pq}(\omega_{i})))$는 모드 주파수에서의 전달함수 위상각을 이용해 도출된 모드 벡터 요소의 부호를 나타내며, $\theta_{pq}(\omega_{i})$는 $H_{pq}(\omega_{i})$를 복소수로 표현했을 때 전달함수의 위상각을 의미한다.

Fig. 8은 각 입력 지진파에 대한 모드벡터를 정규화하여 나타낸 모드 형상을 보여준다. 3차모드의 4층에서 계측 지진파와 인공 지진파 간에 약 15%의 차이가 나타나지만, 그 외의 경우에는 대체로 일치하는 경향을 보인다.

Fig. 8 Mode shape of test specimen for each seismic excitation

3.6 강성 도출 및 교정

강성 도출 및 교정 과정을 Fig. 9에 정리하여 제시하였다. 먼저, 강성 도출에 사용된 강성과 질량의 관계는 다음과 같이 정의된다.

Fig. 9 Derivation and calibration of stiffness from test result

여기서, $[K]$는 시스템의 강성 행렬, $[M]$은 시스템의 질량 행렬, $[\psi]_{i}$는 시스템의 $i$차 모드 벡터 행렬, $\omega_{i}$는 시스템의 $i$차 모드의 고유 진동수를 나타낸다.

식 (15)를 이용하여 각 모드의 강성 행렬을 도출하였다. 이론적으로는 부재의 거동 조건 가정에 따라 모드별 강성 값은 동일해야 하지만, 계측된 가속도 데이터에 포함된 노이즈, 실험체 결속부의 미세한 미끄러짐 등으로 인해 진동대 실험으로부터 도출된 강성 값은 모드별로 차이가 발생할 수 있다. 이러한 차이를 줄이기 위해 식 (16)에 제시한 것처럼 질량 참여율을 도입하여 반복 계산 과정을 통해 강성 행렬을 교정하였다.

이 때, $n$은 모드의 수, $[K]_{(n ew)}$는 교정된 강성 행렬, $[K]_{i}$, $\overline{m}_{i}$는 $i$차모드의 강성 행렬 및 유효 질량비를 나타낸다.

이 과정을 통해 이론적 예측과의 차이를 줄이고 보다 정확한 시스템의 강성 행렬을 도출할 수 있다. 유효 질량은 다자유도계의 각 진동모드를 하나의 단자유도계로 간주할 때, 해당 단자유도계 구조물에 해당하는 질량을 의미한다. 각 진동 모드의 유효 질량이 전체 질량에서 차지하는 비율을 유효질량비(EMR, Effective Mass Ratio)라고 하며, 일반적으로 모드의 질량 참여율의 합이 90% 이상이면 충분히 정확한 해석이 가능하다고 보고된다. 유효 질량과 유효 질량비는 다음과 같이 정의된다.

Table 6은 지진파별로 최종 교정되어 도출한 층별 평균 강성을 나타낸다. 입력 지진파에 따라 층별 평균 강성 값은 최대 1.3 kN/m 오차가 발생하였으나, 전반적으로 유사한 값을 보였다.

4.1 고유 진동수

Table 8는 계측 지진파 2종 가력에 따른 응답으로 도출한 실험, 해석별 고유 진동수와 결과 간의 오차율을 보여준다.

Chichi 지진파의 경우, 전반적으로 고차 모드로 갈수록 오차율은 증가하는 경향을 보이며, Model B는 Model A보다 낮은 오차율을 나타낸다. 특히 4차 모드에서 Model B의 오차율 6.1%로, Model A의 10.1%보다 낮은 결과를 나타낸다.

Morgan hill 지진파의 경우, Chichi 지진파와 달리 3차 모드에서 가장 낮은 오차율이 나타난다. 가장 높은 오차율은 4차 모드에서 나타나며, Model B가 Model A보다 진동대 실험 결과에 더 근접함을 보여준다.

4.2 모드벡터

진동대 실험 결과와 해석 결과 간의 모드벡터 비교는 모드형상과 Mode Assurance Criterion(MAC)을 사용하여 수행하였다. 앞선 진동대 실험의 모드형상 결과에서 입력 지진파의 영향이 미미함을 확인하였으므로, Chichi 지진파를 사용한 모드형상 도출 결과만을 Fig. 11에 제시하였다. 해석 모델은 1차모드에 대한 실험 결과와 거의 일치하였으니, 3차모드의 4층에서는 약 30%의 상대적인 오차가 나타났다.

Fig. 11 Mode shape of test and analysis result using Chichi

추가적으로 각 지진파에 따른 모드벡터 해석 결과의 신뢰성과 일관성을 검증하기 위해 모드의 유사성을 평가할 수 있는 Mode Assurance Criterion(MAC)을 산출하였다. MAC는 모드 형상 간의 일관성을 나타내는 통계 지표로, 아래와 같은 수식을 통해 구할 수 있다^{(Pastor et al., 2012)}.

여기서, $\left\{\phi_{X}\right\}_{q}$는 $X$ 모드벡터의 $q$번째 모드행렬이며, $\left\{\phi_{A}\right\}_{r}$은 $A$ 모드벡터의 $r$번째 모드행렬이다. MAC값은 0에서 1까지의 범위를 가지며, MAC$\approx$1이면 두 모드벡터 간의 유사성과 연관성이 높음을 의미하며, MAC$\approx$0이면 두 모드벡터 간의 차이가 있으며, 연관성이 낮음을 의미한다.

Table 9, Table 10은 실험과 해석 결과 간의 모드벡터 일치율을 평가하기 위해 산정된 MAC 값을 보여준다. 분석에 사용된 모드벡터는 소수점 둘째 자리까지 반영되었으며, 전반적으로 MAC 값은 1에 가까운 결과를 나타냈다. 특히, 저차 모드에서 고차 모드보다 더 높은 일치율을 보였으며, 가장 낮은 MAC값이 0.961로 나타나, 실험과 해석 모델 간의 모드벡터 유사성이 매우 높음을 확인할 수 있다.

Table 9 MAC values of test and analysis results using Chichi

Table 10 MAC values of test and analysis results using Morgan hill

4.3 강성

해석모델별 강성을 도출한 결과는 Table 11, Table 12에 제시되어 있다. 각 결과는 최초 해석시 입력한 층 강성값과 비교하였다. Model A는 Morgan hill 지진파를 가력했을 때 최대 3.3%의 오차율을 보였으며, Chichi 지진파의 경우 최대 오차율은 1.9%로, 상대적으로 낮은 오차율을 나타냈다. 특히 2차모드에서 두 지진파 모두 0.5% 이하의 매우 낮은 오차율을 보였다. 반면, Model B는 Morgan hill 지진파의 2차모드에서 최대 6.1%의 오차율을 나타냈으며, 전반적으로 Chichi 지진파에 대해 더 낮은 오차율을 나타냈다.